中考数学分类复习题(07)以圆为背景的综合计算与证明

提分专练(七)以圆为背景的综合计算与证明

|类型1| 圆与平行四边形结合的问题

1.如图T7-1,AB是☉O的直径,点C,D为半圆O的三等分点,过点C作CE⊥AD,交AD的延长线于点 E.

(1)求证:CE为☉O的切线.

(2)判断四边形AOCD是否为菱形?并说明理由.

图T7-1

2.[2019·长春]如图T7-2,四边形ABCD是正方形,以边AB为直径作☉O,点E在BC边上,连接AE交☉O于点F,连接BF并延长交CD于点G.

(1)求证:△ABE≌△BCG.

?的长.(结果保留π）

OA=3,求????

(2)若∠AEB=55°，

图T7-2

3.[2018·河南]如图T7-3,AB是☉O的直径,DO⊥AB于点O,连接DA交☉O于点C,过点C作☉O的切线交DO 于点E,连接BC交DO于点F.

(1)求证:CE=EF.

(2)连接AF并延长,交☉O于点G.填空:

①当∠D的度数为时,四边形ECFG为菱形;

②当∠D的度数为时,四边形ECOG为正方形.

图T7-3

|类型2| 圆与三角函数结合的问题

4.[2019·镇江]如图T7-4,在△ABC中,AB=AC,过AC延长线上的点O作OD⊥AO,交BC的延长线于点D,以O为圆心,OD长为半径的圆过点 B.

(1)求证:直线AB与☉O相切;

(2)若AB=5,☉O的半径为12,则tan∠BDO=.

图T7-4

5.[2019·随州]如图T7-5,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O分别交AC,BC于点D,E,点F在AC的延长线上,且∠BAC=2∠CBF.

(1)求证:BF是☉O的切线;

,求BC和BF的长.

(2)若☉O的直径为3,sin∠CBF=√3

3

图T7-5

6.[2018·成都]如图T7-6,在Rt△ABC中,∠C=90°，

AD平分∠BAC交BC于点D,O为AB上一点,经过点A,D的☉O分别交AB,AC于点E,F,连接OF交AD于点G.

(1)求证:BC是☉O的切线;

(2)设AB=x,AF=y,试用含x,y的代数式表示线段AD的长;

(3)若BE=8,sinB=5

,求DG的长.

13

图T7-6

|类型3| 圆与相似三角形结合的问题

7.[2018·日照]如图T7-7所示,☉O的半径为4,点A是☉O上一点,直线l经过点 A.P是☉O上的一个动点(不与点A重合),过点P作PB⊥l于点B,交☉O于点E,直径PD的延长线交直线l于点F,点A是????

?的中点.

(1)求证:直线l是☉O的切线;

(2)若P A=6,求PB的长.

图T7-7

8.[2019·大庆]如图T7-8,☉O是△ABC的外接圆,AB是直径,D是AC中点,直线OD与☉O相交于E,F两点,P是☉O外一点,且P在直线OD上,连接PA,PC,AF,满足∠PCA=∠ABC.

(1)求证:P A是☉O的切线;

(2)证明:EF2=4OD·OP;

(3)若BC=8,tan∠AFP=2

3

,求DE的长.

图T7-8

【参考答案】1.解:(1)证明:如图,连接OD,

∵点C,D为半圆O的三等分点,

∴∠AOD=∠COD=∠COB=60°.

∵OA=OD,

∴△AOD为等边三角形,

∴∠DAO=60°，

∴AE∥OC.

∵CE⊥AD,

∴CE⊥OC,

∴CE为☉O的切线.

(2)四边形AOCD为菱形.

理由:∵OD=OC,∠COD=60°，

∴△OCD为等边三角形,

∴CD=CO.

同理:AD=AO.

∵AO=CO,

∴AD=AO=CO=DC,

∴四边形AOCD为菱形.

2.解:(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形,AB 为☉O 的直径,∴∠ABE=∠BCG=∠AFB=90°，AB=BC ,

∴∠BAF +∠ABF=90°，∠ABF +∠EBF=90°，

∴∠EBF=∠BAF ,

在△ABE 与△BCG 中,

{∠??????=∠??????,????=????,∠??????=∠??????,

∴△ABE ≌△BCG(ASA).

(2)连接OF,

∵∠ABE=∠AFB=90°，∠AEB=55°，

∴∠BAE=90°-55°=35°，

∴∠BOF=2∠BAE=70°.

∵OA=3,

∴?????的长=70×π×３180=7π

6.

3.解:(1)证明:连接OC.

∵CE是☉O的切线,∴OC⊥CE.

∴∠FCO+∠ECF=90°.

∵DO⊥AB,∴∠B+∠BFO=90°.

∵∠CFE=∠BFO,

∴∠B+∠CFE=90°.

∵OC=OB,∴∠FCO=∠B.

∴∠ECF=∠CFE.

∴CE=EF.

(2)∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.

∴∠DCF=90°.

∠D+∠EFC=90°.∴∠DCE+∠ECF=90°，

由(1)得∠ECF=∠CFE,

∴∠D=∠DCE.

∴ED=EC.

∴ED=EC=EF.

即点E为线段DF的中点.

①四边形ECFG为菱形时,CF=CE.

∵CE=EF,∴CE=CF=EF.

∴△CEF为等边三角形.

∴∠CFE=60°.

∴∠D=30°.

故填30°.