角平分线性质练习题

【点评】在已知条件中，有角平分线，可以在角平分线上任取一点向两边作垂线，构造 全等三角形.
角平分线（同步测控）
一、选择题
1. 2007 广东茂名课改） 在Rt△ABC中，C＝90 ，BAC 的角
平分线 AD 交 BC 于 点 D，CD＝2 ，则点 D 到 AB 的距离是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
A
二、填空题
CDB D
EB
3．角平分线的性质定理：
角平分线上的点_____________________________．
.
资料
4．⑴如图，已知∠1 =∠2，DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别为 E、F，则 DE____DF．
B E
⑵已知 DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别 为 E、F，且 DE = DF，则∠1_____∠2．
M
P
(3)三角形的三条角平分线有什么关系呢？
５ 课堂反思，强化思想
活动五 想一想
（1）这节课我们帮助别人解决了什么问题？你是怎么做到的？
（2）你感悟到了什么？
６ 布置作业，指导学习
C
A
N B
.
资料
1、必做题：教材：第 2 题。 2、选做题：教材：第 3 题。
板书设计
A P
O
角平分线的性质
B
角平分线的判定
9. （2006 芜湖课改）如图，在 △ABC 中，C 90 ，AD 平分 CAB ，
BC 8cm，BD 5cm ， 那 么 D 点 到 直 线 AB 的 距 离 是
cm．
C
D
B
10. (2006 重庆课改)如图所示，A，B 是 4×5 网格中的格点，网
格中的每个小正方形的边长都是 1．请在图中清晰标出使以 A，B，
Ａ．1 处
Ｂ．2 处
Ｃ．3 处
Ｄ．4 处
③
②
① ④
.
资料
二、填空题 3．角的内部_____________________________的点，在这个角的平分线上． 4．如图， 点 P 到∠AOB 两边的距离相等，若∠POB=30°， 则 ∠AOB=_____度．
5．已知：有一块三角形空地，若想在空 点到三边的距离相等，试找出该点．（保留画图痕迹）
∠BDA=∠A．若∠A：∠C=5：3，则∠DBE 的度数是（ ） A．100° B．80° C．60° D．120°
E
B
C
DA
15．如图，已知△ABC 中，∠C=90°，E 是 AB 的中点，D 在∠B 的平分线上，且 DE⊥AB，
则( )
A.BD＜AE
B.BC=AE
C.BC＜AE
D.以上都不对
16．如图，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，则下列结论：①∠3=∠4；②∠1=∠2；③∠5=
A
D
B
C
测试目标：探索并掌握角平分线性质
11.3 角平分线性质（2）
一、选择题
1．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条中线的交点
B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三条角平分线的交点
2． 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距
离相等，则可供选择的地址有（ ）
.
资料
小结:本题主要通过利用角平分线的性质以及直角三角形全等的有关知识进行证明的.解决问 题时应灵活应用角平分线的性质. 二、“到角的两边的距离相等的点在角平分线上”的应用 例 3 如图，△ABC 外角∠MAC 与∠NCA 的平分线相交于点 P，PD⊥BM 于 D，PF⊥BN 于 F.求证：BP 为∠ABC 的平分线.
B
2. （2007 浙江义乌课改） 如图，点 P 是∠BAC 的平分线 AD 上一
点，PE⊥AC 于点 E．已知 PE=3，则点 P 到 AB 的距离是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
3. (2007 广东课改)到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角
形的（ ）
Ａ．三条中线的交点
Ｂ．三条高的交点
Ｃ．三条边的垂直平分线的交点
例 2．如图 1，△ABC 的角平分线 BM、CN 相交于点 P，试问：P 到 AB、BC、CA 的距
离相等吗？
A
N
例 3．如图 2，△ABC 中，∠C=90 0 ，AD 平分∠BAC，BD=4，BC=B7，
A
则 D 到 AB 的距离是
．
M PF
C E图１
例 4．如图 3，△ABC 中，∠B、∠C 的角平分线相交于 O，
关系是（ ）
Ａ． PC PD Ｃ． PC PD
Ｂ． PC PD
Ｄ．不能确定
大
A
小 C
P
O
D
B
6．一个角的平分线的尺规作图的理论依据是（ ）
A．SAS B。SSS C。ASA
D。AAS
7． 如图所示，三条公路两两相交，交点分别为 A、B、C，现计划修一 个油库，要求到三条公路的距离都相等，可供选择的地址有几处
1 2
A
D C
F
三、解答题 5．如图，点 D、B 分别在∠A 的两边上，C 是∠A 内一点，AB = AD，BC = CD，CE⊥AD 于 E，CF⊥AF 于 F． 求证：CE = CF
E
D C
A
BF
6．已知：如图，在△ABC 中，∠A=90°，AB = AC， BD 平分∠ABC． 求证：BC = AB + AD
资料
４ 分层练习, 评价自我
活动四 做一做
练习一：
判断：（1）OP 是∠AOB 的平分线，则 PE=PF（ ）
（2）PE⊥OA 于 E ，PF⊥OB 于 F 则 PE=PF （ ）
（3）在∠AOB 的平分线上任取一点 Q，点 Q 到 OA 的距离等于 3cm,则
点 Q 到 OB 距离等于 3cm （ ）
34
B 2 56 1 D C
12．如图，三条公路两两交于点 A、B、C，现要修一个货物中转站，要求到三条公路距离 相等，则可供选择的地址有（ ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
A
B
C
13．△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D，且 BD：CD=3：2，BC=15cm，•则 点 D 到 AB 的距离是__________． 14．如图，已知点 D 是△ABC 中 AC 边一点，点 E 在 AB 延长线上，且△ABC•≌△DBE，
D
A
求证：CD=AD+BC.
E
C B
图 2-1
10．如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，下列结论错误的是（ ） A、PD＝PE B、OD＝OE C、∠DPO＝∠EPO D、PD＝OD
B 等级
.
资料
11．如图，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，则下列结论：①∠3=∠4；•②∠1=∠2；③∠ 5=∠6；④AC 垂直且平分 BD，其中正确的有（ ） A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．①③④ A
A．PC = PD
B．OC = OD
A
C．∠CPO = ∠DPO D．OC = PC
C
P
2．如图，△ABC 中，∠C = 90°，AC = BC，
AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于 E， O 若 AC = 10cm，则△DBE 的周长等于( ) A．10cm B．8cm C．6cm D．9cm
练习二
判断:1、若 PE=PF，则 OP 是∠AOB 的平分线。( )
2、若 PE⊥OA 于 E，PF⊥OB 于 F，则 OP 是∠AOB 的平分线。( )
3、已知 Q 到 OA 的距离等于 3cm, 且 Q 到 OB 距离等于 3cm ，则 Q 在∠
AOB 的平分线上（ ）
练习三
如图，△ABC 的角平分线 BM、CN 相交于点 P。 (1)求证：点 P 到三边 AB、BC、CA 的距离相等 。 (2)点 P 在角 A 的平分线上吗？
与外角
A P
的平分线 BD 与 CD 的
O 交点，过 D 作 DE//BC，交 AB 于 E，交 AC 于 F。试确定 EF、EB、FC 的B关系。
.
资料
B
图3 16．已知：如图 4-1，在△ ABC 中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.
求证：AB=AC+CD.
A 12
D
C
图 4-1
17 如图 2-1，AD∥BC，点 E 在线段 AB 上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.
．
例 7．如图 5，△ABC 中，∠A=90 0 ，点 D 在 BC 上，DE⊥AB 于 E，且 AE=EB，DE=DC，
求∠B 的度数．
A
2
E
1
B
D
C
图５
角平分线典型案例精析
安徽 李庆社 题 1 已知：如图 CD⊥AB 于 D，BE⊥AC 于 E，且 CD、BE 相交于 O 点. 求证：（1）当∠1=∠2 时，OB=OC； （2）当 OB=OC 时，∠1=∠2. 【点评】利用角平分性质定理或判定定理时，一定要注意垂直的条件.
Ｄ．三条角平分
线的交点
4. （2006 贵港课改）已知：如图， AD 是 △ABC 的角
A DC
A
平分线，且 AB : AC 3 : 2 ，则 △ABD 与 △ACD 的面 B
积之比为（ ）
D
C
Ａ． 3: 2
Ｂ． 3 : 2
Ｃ． 2 : 3
Ｄ． 2 : 3
5. （2005 盐城）如图，OP 平分∠AOB，PC⊥OA 于 C，PD⊥OB 于 D，则 PC 与 PD 的
A
Ｃ为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点Ｃ的位置．
B
11 如图 2，P 是∠AOB 的平分线上一点． PC⊥AO 于 C，PD⊥OB 于 D， 写
出图中一组相等的线段
．（只需写出一组即可）
12 在 △ABC 中∠BAC 和∠ABC 的平分线相交于 P，若 P 到 AB 的距离为 10，则它到边 AC
和 BC 的距离和为
．
13．在 △ABC 中， C 70 ，∠A 和∠B 的平分线相交于点 P，则∠BPA=
。
14(2008 年双柏县)如图，点 P 在∠AOB 的平分线上，若使 △AOP ≌△BOP ，
则需添加的一个条件是
（只写一个即可，不添加辅助线）：
三，证明题
15. 已知，如图 3，D 是
的内角
小结:本题角平分线性质和判定的综合应用,应注意辅助线的添加的方法.
角的平分线性质及应用
山东 李其明
（1）性质定理：在角的平分线上的点到这wenku.baidu.com角的两边的距离相等；
（2）性质定理的逆定理：到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
例 1．三角形内到三边的距离相等的点是（
）的交点．
（A）三条中线（B）三条高（C）三条角平分线（D）以上均不对．
求证:∠CBA+∠ADC=180°. 小结:涉及到角平分线有关的问题,要想到角平分线性质的应用,应用 注意步骤的完整性.不要漏点关键的步骤:如 CE⊥AB，CF⊥AD，垂足 分别是 E，F 不能漏掉.
例 2 如 图 , 在 △ ABC, ∠ C=90 ° ,AD 是 ∠ ABC 的 角 平 分 线 ,DE ⊥ AB. 垂 足 为 E.DE=EB. 求 证:AC+CD=AB.
.
资料
（
）A.1 B.2 C.3 D.4
8. （2008 山东潍坊）如图, Rt△ ABC 中,AB⊥AC,AD⊥BC,BE 平分∠ABC，交 AD 于 E，EF∥AC， 下列结论一定成立的是（ ） A.AB=BF B.AE=ED C.AD=DC D.∠ABE=∠DFE，
A
E
二、填空题
B DF
C
A
∵ PA=PB
∵ OP 平分∠AOB，
又∵ PA⊥OA，PB⊥OB
又∵ PA⊥OA, PB⊥OB
∴ OP 平分∠AOB
∴ PA=PB
到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 角平分线上的点到角的两边距离
相等
测试目标：探索并掌握角平分线性质
11.3 角平分线性质（1）
一、选择题
1．如图，OP 平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是 C、D．下列结论中错误的是 ( )
下面结论中正确的是（
）．
（A）∠1＞∠2（B）∠1=∠2（C）∠1＜∠2（D）不能确定．
例 5．如图 4，在△ABC 中，∠A=90 0 ，BD 是角平分线， 若 AD=m，BC=n，求△BDC 的面积．
B
.
E
C
D 图2
A
B
12
O
图３
B
C
A
D
EC
资料
例 6．如图 4，在△ABC 中，∠A=90 0 ，AC=AB，BD 平分∠BAC，DE⊥BC，BC=8， 求△BED 的周长．
地中找到一个点，使这个
6．已知，如图，BP 是△ ABC 的外角平分线，点 P 在∠BAC 的角平分线上．求证：CP 是△ ABC 的外角平分线．
角的平分线性质的正确
应用
“角平分线上的点到角两边的距离相等”的应用 例 1 如图，AC 平分∠BAD，CD=CB，AB>AD，CE⊥AB 于 E，CF⊥AD 于 F.
题 2 已知：如图∠1=∠2，BC⊥AC 于 C，BD⊥AD 于 D，连结 CD 交 AB 于 E 求证： AB 垂直平分 CD.
【点评】用了角平分线性质定理，可代替用全等三角形得到的结论，简化证明过程.
.
资料
题 3 已知：如图 AD 为△ABC 的角平分线，DE⊥AC 于 E，DF⊥AB 于 F，EF 交 AD 于 M,求证：MF=ME.