考点练习(必修五)：正、余弦定理与向量的综合(附答案)

正、余弦定理与向量的综合 1. 在ABC △中，已知tan AB AC A ⋅=uu u r uuu r
，当π
6
A =时，ABC △的面积为 .
2. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b 2＋c 2－a 2＝bc ，AB ―→·BC ―→
>0，a ＝
3
2
，则b ＋c 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫1，32 B.⎝⎛⎭
⎫
32，32
C.⎝⎛⎭⎫12，32
D.⎝⎛⎦⎤12，32
3. 在锐角三角形C AB 中，1
tan 2
A =
，D 为边C B 上的点，D ∆AB 与CD ∆A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DF C ⊥A 于F ，则D DF E⋅= ．
4. ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()m a =与(cos ,sin )n A B =平行. (I)求A ；
(II)若2a b ==求ABC ∆的面积.
5. 在平面直角坐标系xoy 中，已知向量222m ⎛=- ⎝⎭
，()sin ,cos n x x =，0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭． （1）若m n ⊥，求tan x 的值； （2）若m 与n 的夹角为
3
π
，求x 的值．
6. 已知向量(,cos2)a m x =，(sin 2,)b x n =，设函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图象过
点(
12
π
和点2(
,2)3
π
-. （Ⅰ）求,m n 的值；
（Ⅱ）将()y f x =的图象向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x =的图象.若
()y g x =的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()y g x =的单调增区间.
7. 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=，1cos 3
B =
，3b =，求：（1）a 和c 的值；（2）cos()B C -的值.
8. 设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎡⎦
⎤0，π2. (1)若|a |＝|b |，求x 的值；
(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．
9. 已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－1
2，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的最小正周期．
(2)求f (x )在⎣⎡⎦
⎤0，π
2上的最大值和最小值．
10. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 且2cos 2A －B 2·cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－3
5
.
(1)求cos A 的值；
(2)若a ＝42，b ＝5，求向量B A →在B C →
方向上的投影．
11. 已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A
2cos 2x )(A >0)，函数f (x )＝m·n 的最大值为6.
(1)求A ；
(2)将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的
1
2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )在[0，5π
24
]上的值域．
12. 已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx,23cos ωx )，
设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R)的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(1
2，1)．
(1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)若y ＝f (x )的图象经过点(π4，0)，求函数f (x )在区间[0，3π
5
]上的取值范围．
参考答案
正、余弦定理与向量的综合
1. 由已知及平面向量数量积的定义可得cos tan AB AC AB AC A
A ⋅
==，
3
26
cos 6tan
cos tan ==
=
π
π
A A ， 所以61
6sin 3221=⨯⨯==
∆πA S ABC 答案：16
2. 解析：选B 在△ABC 中，b 2
＋c 2
－a 2
＝bc ，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝1
2
，
∵A 是△ABC 的内角，∴A ＝60°. ∵a ＝32， ∴由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c
sin C
＝
c －B
＝1，
∴b ＋c ＝sin B ＋sin(120°－B )＝32sin B ＋3
2cos B ＝3sin(B ＋30°)．
∵AB ―→·BC ―→＝|AB ―→|·|BC ―→
|·cos(π－B )>0，∴cos B <0，B 为钝角， ∴90°<B <120°，120°<B ＋30°<150°，故sin(B ＋30°)∈⎝⎛⎭⎫12，32，
∴b ＋c ＝3sin(B ＋30°)∈⎝⎛⎭
⎫
32，32.
3.
【答案】1615
-
4. 【解析】试题解析：(I)因为//m n ，所以sin cos
0a B A =
由正弦定理，得sin sin cos 0A B B A
-=， 又sin 0B ≠，从而tan A =0A π<<，所以3
A π
=
(II)解法一：由余弦定理，得
2222cos a b c bc A =+-
，而2a b ==，3
A π
=
，
得2742c c =+-，即2230c c --=，因为0c >，所以3c =， 故ABC ∆
面积为
1sin 2bc A =
.
解法二：由正弦定理，得
2sin sin
3
B π
=
，从而sin 7
B = 又由a b >知A B >
，所以cos B =
， 故sin sin()sin()3
C A B B π
=+=
+
sin cos
cos sin
3
3
14
B B π
π
=+=
， 所以ABC ∆
面积为
1sin 22
ab C =
. 5. 【解析】（1）∵
222m ⎛=-
⎝
⎭，()sin ,cos n x x =且m n ⊥
， ∴
()2sin ,cos sin 04m n x x x x x π⎛⎛
⎫⋅=⋅==-=
⎪⎝⎭⎝⎭
， 又0,
2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，∴ ,444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴ 04x π-=即4x π=，∴ tan tan 14x π==； （2）由（1）依题知 sin cos
sin 3
4x m n x m n
ππ
π⎛
⎫- ⎪
⋅⎛
⎫=
=
=- ⎪⎝
⎭⋅⎛，
∴ 1sin 42x π⎛
⎫
-= ⎪⎝
⎭又,444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭
， ∴ 4
6
x π
π
-
=
即512
x π
=
．
6. 【解析】（Ⅰ）已知x n x m x f 2cos 2sin )(+=⋅=，因为()f x 过点)2,3
2(
),3,12
(
-π
π
， 36
cos 6sin )12(=+=π
ππn m f 所以，
234cos 34sin )32(-=+=πππn m f ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+2
2
12332321n m 所以解得⎩⎨⎧==13n m
（Ⅱ）)6
2sin(22cos 2sin 3)(π
+
=+=x x x x f ，
)(x f 左移ϕ后得到)6
22sin(2)(π
ϕ+
+=x x g ，
设)(x g 的对称轴为0x x =，112
0=+=x d 因为解得00=x ，2)0(=g 所以， 解得6
π
ϕ=
，x x x x g 2cos 2)2
2sin(2)6
3
2sin(2)(=+
=+
+
=π
π
π
所以，
z k k x k ∈≤≤+-,222πππ所以，
z k k x k ∈≤≤+-
,2
πππ
，)(x f 所以的单调增区间为z k k k ∈+-
],,2
[πππ
7. 【解析】（1）由2BA BC ⋅=，1
cos 3
B =
得cos 2BA BC ca B ⋅==，所以6ac =； 又由3b =及余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2213a c += 结合a c >，解得3,2a c ==
（Ⅱ）由3,3,2a b c ===得2227cos 29a b c C ab +-==
，sin C ==
由1cos 3B =
得sin B ==
;
所以1723
cos()cos cos sin sin 393927
B C B C B C -=+=
⨯+=
8. 解：本题考查向量与三角函数的综合应用，侧重考查三角函数的性质． (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π
6. (2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝
32sin 2x －12cos 2x ＋1
2
＝sin ⎝⎛⎫2x －π6＋12， 当x ＝π
3∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6取最大值1. 所以f (x )的最大值为3
2
.
9. 解：本题主要考查向量的数量积和三角恒等变换的方法以及三角函数的有界性，意在考查考生应用向量和三角工具解决问题的能力．
f (x )＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12·( 3 sin x ，cos 2x )＝3cos x sin x －12cos 2x ＝32sin 2x －1
2cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π
6
cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (1)f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π
2＝π，即函数f (x )的最小正周期为π.
(2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π
6.由正弦函数的性质，知
当2x －π6＝π2，即x ＝π
3时，f (x )取得最大值1.
当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )取得的最小值－1
2.
因此，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是1，最小值是－1
2
.
10. 解：本题主要考查两角和的余弦公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理、同角三角函数的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化等数学思想． (1)由2cos 2A －B 2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－3
5，
得[cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－3
5，
即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－3
5.
则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－3
5.
(2)由cos A ＝－35，0＜A ＜π，得sin A ＝4
5
，
由正弦定理，有a sin A ＝b sin B ，所以，sin B ＝b sin A a ＝2
2.
由题知a ＞b ，则A ＞B ，故B ＝π
4
.
根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭
⎫－35，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)． 故向量BA →在B C →方向上的投影为|B A →
|cos B ＝22
.
11. 解：(1)f (x )＝m·n ＝3A sin x cos x ＋A 2cos 2x ＝A (32sin 2x ＋12cos 2x )＝A sin(2x ＋π
6
)．
因为A >0，由题意知A ＝6. (2)由(1)f (x )＝6sin(2x ＋π
6
)．
将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位后得到y ＝6sin[2(x ＋π12)＋π6]＝6sin(2x ＋π
3)的图像；
再将得到图像上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin(4x ＋π
3)的图像．
因此g (x )＝6sin(4x ＋π3)．因为x ∈[0，5π24]，所以4x ＋π3∈[π3，7π
6]，
故g (x )在[0，5π
24
]上的值域为[－3,6]．
12. 解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin(2ωx －π
6
)＋λ.
由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin(2ωπ－π
6)＝±1，
所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z)，即ω＝k 2＋1
3
(k ∈Z)．
又ω∈(12，1)，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56. 所以f (x )的最小正周期是6π
5
.
(2)由y ＝f (x )的图象过点(π4，0)，得f (π4)＝0，即λ＝－2sin(56×π2－π6)＝－2sin π
4＝－2，
即λ＝－ 2. 故f (x )＝2sin(53x －π
6
)－2，
由0≤x ≤3π5，有－π6≤53x －π6≤5π6，所以－12≤sin(53x －π
6)≤1，
得－1－2≤2sin(53x －π
6
)－2≤2－2，
故函数f (x )在[0，3π
5]上的取值范围为[－1－2，2－ 2 ]．。