刚粘塑性有限元法的基本原理

第二章 刚粘塑性有限元法的基本原理

在金属塑性成形过程中，对于大多数体积成形的问题，弹性变形量相对非弹性变形量来说很小，一般情况下是可以忽略不计的，也就是说可以将材料视为刚（粘）塑性材料。本章主要介绍刚粘塑性有限元法的理论基础，基于等效积分形式的虚功原理以及泛函变分法。

2.1刚粘塑性材料流动的基本方程

设变形体的体积为V ，在V 内给定体力i p ；表面积为S ，在S 的一部分力面t S 上给定面力i q ，在S 的另一部分速度（位移）面V S 上给定速度o i v ，则材料在流动过程中满足下列力学基本方程

1．力平衡方程

0,=+i j ij p σ (2.1)

2．力边界条件

即在t S 上 i j ij q n =σ (2.2)

3．几何方程

)(2

1,,i j j i ij v v +=ε (2.3) 4．速度边界条件

即在V S 上 0i i v v = (2.4)

5．体积不可压缩方程

0==ij ij v εδε

(2.5) 6．屈服准则

采用Misers 屈服准则和等向强化模型，初始屈服准则为

0=-s σσ (2.6)

后继屈服条件，对于静态加载只考虑应变强化

)(,0⎰

==-εσd H K K (2.7) 式中H 可以由单向拉伸试验曲线确定。

对于粘塑性材料，加载还应考虑时间因素即变形速度的影响，瞬时屈服条件为 ),(,0ε

εσ Y Y Y ==- (2.8) 式中Y 可以由一维动力试验确定。

7． 本构关系

对于粘塑性材料的本构关系将在下一章作详细的讨论。

通常我们把满足上述所有基本方程的应力场、应变率场、速度场称为真实应力场、应变率场、速度场。满足方程1、2、6即满足应力平衡方程，应力边界条件和屈服条件的应力场称为静力许可应力场；满足3、4、5的速度场称为运动许可速度场。

利用上述方程和边界条件，变形体在塑性成形时的场变量从理论上是可以求解的，但实际上很困难，只有在少数几种简单情况下才能求出较准确的解析解。对于大多数情况利用传统的解析方法如主应力法、滑移线法等往往需要对实际的问题进行简化，难以获得满意的计算结果。而塑性加工中的有限元法借助于虚功原理或变分法，采用离散化的方法将变形体进行离散，可以根据实际工程的需要得到较为满意的结果。下面着重阐述塑性加工有限元的基础，基于等效积分形式的近似方法：虚功原理和变分法。

2.2虚功原理

变形体的虚功原理可以叙述如下：变形体中满足平衡的力系在任意满足协调条件的变形状态上作的虚功等于零，即体系外力的虚功与内力的虚功之和等于零。

虚功原理是虚位移（功率）原理和虚应力（率）原理的总称，它们都是与某些控制方程相等效的积分“弱”形式，虚位移（功率）原理是平衡方程和力的边界条件的等效积分“弱”形式；虚应力原理则是几何方程和位移（速度）边界条件的等效积分“弱”形式。下面来推导虚功率原理。

首先考虑平衡方程

0,=+i j ij p σ (2.9) 以及力的边界条件

i j ij q n =σ (2.10)

我们可以采用相应的方法建立与他们等效的积分形式，在这里权函数不失一般地取速度的变分i v δ及其边界值（取负值）。这样就可得到上面两式的等效积分形式

0)()(,=--+⎰⎰ds q n v dv p v i j ij s i i j ij i v t

σδσδ (2.11) 对上式体积分中的第一项进行积分，并注意到应力张量是对称张量，以及由于i v δ是速度的变分，因而有在速度边界上0=i v δ，再考虑体积内部满足几何方程，则可以得到 ds n v dv dv v j ij s i ij v ij j ij v i

t σδσεδσδ⎰⎰⎰+-= , （2.12） 将上式代入(2.11)式，就得到经分部积分后的“弱”形式虚功率方程 0=++-⎰⎰⎰ds q v dv p v dv i s i i v i ij v ij t

δδσεδ (2.13) 上式第一项是变形体内应力在虚应变率上所作之功，即内力虚功率；第二、第三项分别为体积力、面力所作的虚功率。外力和内力的虚功率和为零。这就是虚功率原理。

应当指出虚功率原理是力系平衡的必要和充分条件。还应指出的是，在推导虚功效率方程时，并未涉及物理方程（应力—应变率）关系，所以虚功率方程不仅可以用于线弹性问题，而且还可用于非线性问题。所以虚功方程是建立塑性加工过程中有限元法的一个重要工具。

2.3变分原理

刚粘塑性有限元法利用Markov 变分原理对变形体进行数值求解；完全广义变分原理是对能量泛函

ds v q dv E v S i i t ⎰⎰-=∏)(ε （2.14）

求极值，以寻求问题的真实解。实际上由于寻求既要满足边界速度条件又满足体积不变条件的速度场是很困难的，而仅满足边界条件的速度场则很容易找到。因此，可以通过某种途径把体积不可压缩条件引入原泛函，构造一个新泛函，再对这个新泛函变分，以求取问题的解，这一过程称为不完全广义变分原理。处理体积不变条件通常有两种方法：拉格朗日乘子法、罚函数法。

拉格朗日乘子法是在原泛函中引入拉格朗日乘子λ，得到新泛函

dv ds v q dv E v

v v S i i t ⎰⎰⎰+-=∏ελε )( (2.15) 再对新泛函变分求解。拉格朗日方法的优点是收敛的稳定性较好，对初始速度场要求不高。同时，还可证明拉格朗日乘子λ具有明确的物理意义。当速度场收敛时λ即为静水压力。但是，这种方法在求解时增加方程中的未知量，使方程数目增加，从而增加了存储空间和计算时间。

罚函数法是用一个足够大的正数α作为惩罚因子（一般取6

410~10）附加在体积不可压缩条件上，作为惩罚项引入到原泛函，从而得到新的泛函

dv ds v q dv E v

v v S i i t 2)(2)(⎰⎰⎰+-=∏εαε (2.16) 按照不完全广义变分原理对此新泛函变分求驻值，即可得到问题的解。在求解过程中，当

速度场接近真实解时，体应变速率v ε

接近于0，惩罚项接近与0。反之，当速度场远离真实解时，惩罚项的值很大，使问题得不到要求的解。在对泛函求驻值的过程中，速度场逐渐趋于真实解，使惩罚项的作用逐渐消失。罚函数法具有收敛速度快的优点，但是惩罚因子的值不可取得太大，否则可能会导致病态方程组；此外罚函数法也可求出静水压力，可以

证明v m εασ =]80[。本文正是采用该方法来建立刚粘塑性的有限元计算列式。

也可利用罚函数法将体积不变条件直接引入到材料的本构关系中，对于刚（粘）塑性材料,本构关系通常给出的是应力偏量和应变速率之间的关系，而任一点的应力状态可用下式表示

ij m ij ij δσσσ+=' (2.17)

对于刚粘塑性材料，可采用罚函数法将体积不变条件视为对速度变量的一个约束条件，上式中平均应力可变为

v m ε

ασ = (2.18) 把上式代入式（2.17），这样可通过虚功率原理直接建立相应的有限元列式。