十八章单自由度系统的振动
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(整理)1 单自由度体系的自由振动.
y sy(t)s=-k(y+y s )w=mg F(t)=-m y§1 单自由度体系的自由振动一、无阻尼的自由振动：如下图，以单自由度体系为例，设此梁上的集中质量为m ，其重量为W mg =，梁由于质量的重力引起的质量处的静力位移用s y 表示，与s y 相应的质量位置称为质量的静力平衡位置。
若此质量受到扰动离开了静力平衡位置，当扰动除去后，则体系将发生振动，这样的振动称为体系的自由振动。
由于振动的方向与梁轴垂直，故称为横向振动。
在此，只讨论微小振幅的振动，由振动引起的内力限于材料的弹性极限以内，用以表示质量运动的方程将为线性微分方程。
1、建立运动方程建立运动方程常用的基本原理是达朗伯原理（亦称惯性力法或动静法）。
今考虑在振动过程的某一瞬时t ，设质量在此瞬时离开其平衡位置的位移为y ，取质量为隔离体，则在质量上作用有三种力：质量的重量W ，杆件对质量的弹性恢复力S 和惯性力F(t)。
根据达朗伯原理，这三个力应成平衡，即 W+S+F(t)＝0 （1） 在弹性体系中，弹性恢复力S 为 ()s k y y s =-+上式中的K 为一常数，称为刚度系数，代表简支梁上使质量在运动方向产生单位位移时需要加在质量上的沿质量运动方向的集中力的量值。
式中负号表示s 的指向和位移的方向相反。
而 1y s W k=⋅ 即 y s W k =⋅因此，将()s k y y s =-+和y s W k =⋅代入式（1）得()0F t ky =-+ （2）上式表明，如果以静力平衡位置作为计算位移的起点，则建立体系的运动方程时，可以不考虑重力W 的影响。
这对其他体系的振动（包括受迫振动）也同样适用。
将22()d yF t m dt =-代入式（2）得：22()0d ym ky t dt+= 令2k m ω= dyy dt= （速度） 22d y y dt =（加速度） 则 22()0d ym ky t dt+= 可变为 20y y ω+= （3）此为单自由度体系无阻尼自由振动的运动方程，它反映了这种振动的一般规律。
单自由度系统的有阻尼自由振动
0.8 (e nTd ) 20 0.16
ln5 20 nTd 20 n 2 n 1 2
由于 很小，ln5 40
ln5 W W ln5 1502 c 2 m k 2 2 40 g st 40 1980 0.122( Ns/cm)
nt
2 t n2 n
C2 e
2 t n2 n
)
代入初始条件 (t 0时 , x x0 , x x 0 )
C1
2 0 ( n n 2 n x ) x0
2 n
2
2 n
; C2
2 0 ( n n 2 n ) x0 x 2 2 n 2 n
可见阻尼使自由振动的周期增大，频率降低。当阻尼小时， 影响很小，如相对阻尼系数为5%时，为1.00125，为20%时， 影响为1.02，因此通常可忽略。
14
振幅的影响： 为价评阻尼对振幅衰减快慢的影响，引入减 幅系数η ，定义为相邻两个振幅的比值。
Ai Aewnti wnti td ewntd Ai 1 Ae
5
也可写成
x Ae nt sin(d t )
2 d n n2
—有阻尼自由振动的圆频率
x 0 , 则 设 t 0 时, x x0 , x
2 2 2 x n ( x nx ) 0 n 2 A x0 0 2 02 ; tg1 0 nx0 n n x
16
例4 如图所示，静载荷P去除后质量块越过平衡位置的最大 位移为10%，求相对阻尼系数。
17
x(t ) e
wnt
0 wn x0 x ( x0 cos wd t sin wd t ) wd
18
单自由度系统振动
图 2-7 船舶振动记录仪的原理图
ϕ = Φ sin( pn t + α )
角速度及系统的最大动能分别为
&= ϕ
dϕ = Φpn cos( p n t + α ) dt 1 1 2 & max = I BΦ 2 p n I Bϕ 2 2
(a)
Tmax =
如取平衡位置为系统的势能零点。设在平衡位置时，弹簧的伸长量为δst 。此时，弹性力 Fst=kδst , 方向向上。
当物块在静平衡位置时，它的静位移 δ st 等于每根弹簧的静变形之和，即
δ st = δ 1st + δ 2 st
（d）
因为弹簧是串联的，其特征是：二弹簧受力相等，即每 根弹簧所受的拉力都等于重力 mg 。
δ 1 st =
mg mg , δ 2 st = k1 k2
（e）
如果用一根弹簧常量为 k 的弹簧来代替原来的两根弹簧， 此弹簧的静变形等于 δ st (图 2-3（b）)。
图 2-5 扭振系统
20
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定圆轴的抗扭刚度为 k n ，它表示使圆盘产生单位扭角所需的力矩。根据刚体转动微分方程建立该系 统的运动微分方程
&& = −k nϕ I Oϕ
令
pn =
代入式（2-6） ，自由振动的振幅为
2 gh
2 A = x0 +(
&0 2 x 2 ) = δ st + 2hδ st pn mgl 3 96 EJh (1 + 1 + ) 48 EJ mgl 3
梁的最大挠度为
2 δ max = A + δ st = δ st + 2hδ st + δ st =
ϕ = Φ sin( pn t + α )
角速度及系统的最大动能分别为
&= ϕ
dϕ = Φpn cos( p n t + α ) dt 1 1 2 & max = I BΦ 2 p n I Bϕ 2 2
(a)
Tmax =
如取平衡位置为系统的势能零点。设在平衡位置时，弹簧的伸长量为δst 。此时，弹性力 Fst=kδst , 方向向上。
当物块在静平衡位置时，它的静位移 δ st 等于每根弹簧的静变形之和，即
δ st = δ 1st + δ 2 st
（d）
因为弹簧是串联的，其特征是：二弹簧受力相等，即每 根弹簧所受的拉力都等于重力 mg 。
δ 1 st =
mg mg , δ 2 st = k1 k2
（e）
如果用一根弹簧常量为 k 的弹簧来代替原来的两根弹簧， 此弹簧的静变形等于 δ st (图 2-3（b）)。
图 2-5 扭振系统
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定圆轴的抗扭刚度为 k n ，它表示使圆盘产生单位扭角所需的力矩。根据刚体转动微分方程建立该系 统的运动微分方程
&& = −k nϕ I Oϕ
令
pn =
代入式（2-6） ，自由振动的振幅为
2 gh
2 A = x0 +(
&0 2 x 2 ) = δ st + 2hδ st pn mgl 3 96 EJh (1 + 1 + ) 48 EJ mgl 3
梁的最大挠度为
2 δ max = A + δ st = δ st + 2hδ st + δ st =
单自由度系统的振动
基本假设
假设系统的变形是线性的，即当弹簧下段的位移 为 x0 的时候，在距离弹簧上端 u 的截面振幅 u 为 l x0 ，假定系统的速度分布也满足线性要求 （在端点处显然成立）
设质量块的位移为
x ，速度为 x
弹簧的动能
则在距离上端点距离为 u ，长度为 du 的长度微 元的动能为： 2 1 u dEs du x 2 l
O
S
θ J
S
k
x (t )
m
O
1.1单自由度系统的无阻尼自由振动
•自由振动：系统在初始激励下，或外加激励消失后 的一种振动形态，是没有外界能量补充的振动。 • 系统的无阻尼振动是对实际问题的理论抽象， 是一种理想条件，实际的系统都有阻尼。如果现 实世界没有阻止运动能力的话，整个世界将处于 无休止的振动中。
幅值和相角的确定
由前面推导
幅值
A
A A
2 1 2 2
x0 x n
2 0
2
相角
arctan(
n x0
x0
)
初始条件和相角取值的关系
x0 cos A x0 sin An
x0 0, x0 0, x 0, 0 x 0, 0 x0 0 0, 2 x0 0 , 2 3 0 0 , x 2 3 x0 0 , 2 2
在写微分方程的时候，可以以物体的静平衡
位置为坐标原点，而不必考虑物体重力造成 的弹簧静变形
作业
O
O
S
θ
θ J
S
第三讲单自由度系统振动
ent D1d sin d t D2d cos d t
35
关于解的讨论——小阻尼振动系统
在t=0时有 x0 D1, 解得
x0 n x0 D2d
D2 x0 n x0
D1 x0 ,
d
经 D1与D2代入式(2.4-17)即得系统对于初始条件x0 0 的响应。 与x
另一方面使系统振动的振幅按几何级数衰减。 相邻两个振幅之比
A1 Ae nTd n (t1 T d ) e A2 Ae
n d
nt1
(2.4-21)
式中称为减幅系数。可见在一个周期内，振幅 T 1 e 减缩到初值的 。 在ζ=0.05时， =1.366，A2=A1/1.366=0.73A1 亦即在每一个周期内振幅减小27%，振幅按几何 41 级数缩减，衰减是显著的。
x0 A1 cosn 0 A2 sinn 0 0 A1n sinn 0 A2n cosn 0 x
A1 x0 0 n A2 x
22
0 x0 , x
x (t ) x0 cos n t
n
0 x
sin n t
关于解的讨论——小阻尼振动系统
为了避免取指数值的不方便，常用对数减幅 来代替减幅系数，即 A1 2 T ln ln e nTd (2.4-22) A2 1 2 即对数缩减表示为唯一的变量ζ的函数。
n d
同样相对阻尼系数可以确定 为 2 (2） 2 当ζ <<1时
20
单自由度振动系统自由振动微分方程：
kx 0 m x
改写为标准方程：
x x 0
2 n
从数学上看，这是二阶常系数线性齐次常微分方程。
35
关于解的讨论——小阻尼振动系统
在t=0时有 x0 D1, 解得
x0 n x0 D2d
D2 x0 n x0
D1 x0 ,
d
经 D1与D2代入式(2.4-17)即得系统对于初始条件x0 0 的响应。 与x
另一方面使系统振动的振幅按几何级数衰减。 相邻两个振幅之比
A1 Ae nTd n (t1 T d ) e A2 Ae
n d
nt1
(2.4-21)
式中称为减幅系数。可见在一个周期内，振幅 T 1 e 减缩到初值的 。 在ζ=0.05时， =1.366，A2=A1/1.366=0.73A1 亦即在每一个周期内振幅减小27%，振幅按几何 41 级数缩减，衰减是显著的。
x0 A1 cosn 0 A2 sinn 0 0 A1n sinn 0 A2n cosn 0 x
A1 x0 0 n A2 x
22
0 x0 , x
x (t ) x0 cos n t
n
0 x
sin n t
关于解的讨论——小阻尼振动系统
为了避免取指数值的不方便，常用对数减幅 来代替减幅系数，即 A1 2 T ln ln e nTd (2.4-22) A2 1 2 即对数缩减表示为唯一的变量ζ的函数。
n d
同样相对阻尼系数可以确定 为 2 (2） 2 当ζ <<1时
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单自由度振动系统自由振动微分方程：
kx 0 m x
改写为标准方程：
x x 0
2 n
从数学上看，这是二阶常系数线性齐次常微分方程。
振动力学——单自由度系统振动
顺利求解刚（柔）度系数是自由振动分析的关键！
2. 2无阻尼自由振动
一、无阻尼自由振动 non damping free vibration
1、特点：
0 (1) 无能量耗散，振动一经开始永不休止： cy
(2) 无振动荷载： P(t ) 0
ky 0 2、运动方程及其解的形式： my
ys
yd
S(t)-弹簧张力
y
W-重力
I(t)-惯性力
y ys yd D(t)-阻尼力
P(t)-外激励力
d cy d kyd P(t ) my
2.1单自由度系统运动微分方程的建立
3、柔度法列位移方程
以弹簧为研究对象，分析它 与物块联结点处的位移。
S '(t ) S (t ) W D(t ) I (t ) P(t )
位置转过的角度 , J 为圆盘对
轴的转动惯量 , kt 为使轴产生
单位转角所需施加的扭矩 ( 即 轴的扭转刚度)。则
k q 0 Jq t
2.1单自由度系统运动微分方程的建立 例3 复摆——刚度法 设物体对悬挂点 O 的转动 惯量为 JO ，利用定轴转动 微分方程可得到用转角 f 表
n
16
2. 2无阻尼自由振动
一、无阻尼自由振动 non damping free vibration
3、微分方程中各常数由初始条件确定 进一步可确定式 y A sin(nt ) 中的A和
0 2 y 2 2 2 A A1 A2 y0 ( ) n tg 1 ( A2 ) arctan( y0n ) 0 A1 y
2. 2无阻尼自由振动 求固有频率ωn的几种常用方法
2. 2无阻尼自由振动
一、无阻尼自由振动 non damping free vibration
1、特点：
0 (1) 无能量耗散，振动一经开始永不休止： cy
(2) 无振动荷载： P(t ) 0
ky 0 2、运动方程及其解的形式： my
ys
yd
S(t)-弹簧张力
y
W-重力
I(t)-惯性力
y ys yd D(t)-阻尼力
P(t)-外激励力
d cy d kyd P(t ) my
2.1单自由度系统运动微分方程的建立
3、柔度法列位移方程
以弹簧为研究对象，分析它 与物块联结点处的位移。
S '(t ) S (t ) W D(t ) I (t ) P(t )
位置转过的角度 , J 为圆盘对
轴的转动惯量 , kt 为使轴产生
单位转角所需施加的扭矩 ( 即 轴的扭转刚度)。则
k q 0 Jq t
2.1单自由度系统运动微分方程的建立 例3 复摆——刚度法 设物体对悬挂点 O 的转动 惯量为 JO ，利用定轴转动 微分方程可得到用转角 f 表
n
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2. 2无阻尼自由振动
一、无阻尼自由振动 non damping free vibration
3、微分方程中各常数由初始条件确定 进一步可确定式 y A sin(nt ) 中的A和
0 2 y 2 2 2 A A1 A2 y0 ( ) n tg 1 ( A2 ) arctan( y0n ) 0 A1 y
2. 2无阻尼自由振动 求固有频率ωn的几种常用方法
《单自由度系的振动》课件
应用领域
主动控制技术广泛应用于航空航天、机械制造、土木工程等领域， 以减小或消除结构的振动。
优势与局限性
主动控制技术的优点在于能够快速响应并有效抑制振动，但需要外部 能源和复杂的控制系统，增加了系统的复杂性和成本。
被动控制技术
被动控制技术定义
被动控制技术是利用阻尼材料或结构来吸收或耗散振动能量的方 法。
弹性力学模型
描述弹性体的振动特性，适用于弹性体的振动。
振动分析的数值方法
有限元法
将系统离散化为有限个单元，求解每个单元的振动响应。
时域法
在时间域内直接求解系统的振动响应。
频域法
将系统振动问题转化为频率域内的问题，求解系统的振动特性。
04
单自由度系统的振动控 制
主动控制技术
主动控制技术定义
主动控制技术是一种通过向系统提供反向振动来抵消原始振动的方 法。
03
单自由度系统的振动分 析
振动分析的基本方法
解析法
通过数学公式推导，求解系统的振动特性。
实验法
通过实验测量系统的振动响应，分析其特性 。
数值法
利用数值计算方法，求解系统的振动响应。
振动分析的数学模型
线性模型
描述线性系统的振动特性，适用于小振幅振动。
非线性模型
描述非线性系统的振动特性，适用于大振幅振动 。
总结词
在机械系统中，振动控制是提高设备稳定性和延长使用寿命 的关键。
详细描述
机械系统中的许多设备，如发动机、压缩机、机床等，都容 易受到振动的影响。通过采用适当的控制策略，如主动或被 动隔振、阻尼减振等，可以有效减小振动对设备性能的影响 ，提高设备的稳定性和可靠性。
建筑结构中的振动控制
主动控制技术广泛应用于航空航天、机械制造、土木工程等领域， 以减小或消除结构的振动。
优势与局限性
主动控制技术的优点在于能够快速响应并有效抑制振动，但需要外部 能源和复杂的控制系统，增加了系统的复杂性和成本。
被动控制技术
被动控制技术定义
被动控制技术是利用阻尼材料或结构来吸收或耗散振动能量的方 法。
弹性力学模型
描述弹性体的振动特性，适用于弹性体的振动。
振动分析的数值方法
有限元法
将系统离散化为有限个单元，求解每个单元的振动响应。
时域法
在时间域内直接求解系统的振动响应。
频域法
将系统振动问题转化为频率域内的问题，求解系统的振动特性。
04
单自由度系统的振动控 制
主动控制技术
主动控制技术定义
主动控制技术是一种通过向系统提供反向振动来抵消原始振动的方 法。
03
单自由度系统的振动分 析
振动分析的基本方法
解析法
通过数学公式推导，求解系统的振动特性。
实验法
通过实验测量系统的振动响应，分析其特性 。
数值法
利用数值计算方法，求解系统的振动响应。
振动分析的数学模型
线性模型
描述线性系统的振动特性，适用于小振幅振动。
非线性模型
描述非线性系统的振动特性，适用于大振幅振动 。
总结词
在机械系统中，振动控制是提高设备稳定性和延长使用寿命 的关键。
详细描述
机械系统中的许多设备，如发动机、压缩机、机床等，都容 易受到振动的影响。通过采用适当的控制策略，如主动或被 动隔振、阻尼减振等，可以有效减小振动对设备性能的影响 ，提高设备的稳定性和可靠性。
建筑结构中的振动控制
2-1结构动力学(单自由度)
c 2 m
O
t
这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。
1, cr 2m
c 2m
c cr
阻尼比
（2）ξ> 1（强阻尼）情况
1,2 2 1 0
y t C1e1t C2e2t
t
y( t )
O
y (t ) e t C1 sinh 2 1 t C 2 cosh 2 1 t
g y st
y st m T 2 2 k g
频率只取决于体系的质量和刚度，而与外界因素 无关，是体系本身固有的属性，所以又称为固有频率
（natural frequency）。
（3）简谐自由振动的特性
y(t ) Asin( t )
(t ) A 2 sin(t ) y 加速度为： 惯性力为： FI (t ) m (t ) mA 2 sin(t ) y
特征根 一般解
2 2 2 0
1, 2 2 1
y(t ) C1e
1t
C2 e
2t
（1）ξ= 1（临界阻尼）情况
1,2
y C1 C2 t e t
y( t )
tan v
t
y y0 (1 t ) v0t e
d
阻尼对自振频率、周期的影响
,
d
Td T
在工程结构问题中，若0.01<ξ<0.1，可近似取:
d , Td T
y(t ) e t Asin ( d t )
阻尼对振幅的影响
yk Aetk Td e y k 1 Ae (tk Td )
O
t
这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。
1, cr 2m
c 2m
c cr
阻尼比
（2）ξ> 1（强阻尼）情况
1,2 2 1 0
y t C1e1t C2e2t
t
y( t )
O
y (t ) e t C1 sinh 2 1 t C 2 cosh 2 1 t
g y st
y st m T 2 2 k g
频率只取决于体系的质量和刚度，而与外界因素 无关，是体系本身固有的属性，所以又称为固有频率
（natural frequency）。
（3）简谐自由振动的特性
y(t ) Asin( t )
(t ) A 2 sin(t ) y 加速度为： 惯性力为： FI (t ) m (t ) mA 2 sin(t ) y
特征根 一般解
2 2 2 0
1, 2 2 1
y(t ) C1e
1t
C2 e
2t
（1）ξ= 1（临界阻尼）情况
1,2
y C1 C2 t e t
y( t )
tan v
t
y y0 (1 t ) v0t e
d
阻尼对自振频率、周期的影响
,
d
Td T
在工程结构问题中，若0.01<ξ<0.1，可近似取:
d , Td T
y(t ) e t Asin ( d t )
阻尼对振幅的影响
yk Aetk Td e y k 1 Ae (tk Td )
《理论力学 动力学》 第九讲 单自由度系统的无阻尼受迫振动
单自由度系统的受迫振动理论曾凡林哈尔滨工业大学理论力学教研组本讲主要内容1、单自由度系统的无阻尼受迫振动2、单自由度系统的有阻尼受迫振动1、单自由度系统的无阻尼受迫振动受迫振动在外加激振力作用下的振动称为受迫振动。
km简谐激振力是一种典型的周期变化的激振力。
简谐激振力随时间的变化关系可写成：)sin(j w +=t H F 其中：H 称为激振力的力幅，即激振力的最大值；ω是激振力的角频率；j 是激振力的初相角。
（1）振动微分方程m 取物块的平衡位置为坐标原点，x 轴向下为正。
物块的受力为恢复力F e 和激振力F 。
F e F方程两边同除以m ，并令, 得到：m k =20w H h m=)sin(d d 2022j w w +=+t h x tx ——无阻尼受迫振动微分方程的标准形式解可以写成：12xx x =+x 1 对应齐次方程的通解; x 2 对应的是特解。
齐次方程的通解可写为：)sin(01q w +=t A x 特解可写为：2sin()x b t w j =+将x 2 代入微分方程，得到:)sin()sin()sin(22j w j w w j w w +=+++-t h t b t b 解得：220ww -=hb 微分方程的全解为：)sin()sin(2200j w ww q w +-++=t ht A x 结果表明：无阻尼受迫振动是由两个谐振动合成的。
第一部分是频率为固有频率的自由振动；第二部分是频率为激振力频率的振动，称为受迫振动。
第一部分会逐渐衰减，而第二部分则是稳定的。
0sin()A t w q +220sin()ht w f w w+-1、单自由度系统的无阻尼受迫振动（2）受迫振动的振幅2220sin()hx t w j w w=+-系统的受迫振动为简谐振动，振动频率也等于激振力的频率，振幅大小与运动的初始条件无关，而与振动系统的固有频率ω0、激振力的频率ω、激振力的力幅H 相关。
单自由度系统的振动(上课用)
48
无阻尼自由振动的特点是： (1) 振动规律为简谐振动；
(2) 振幅A和初相位 取决于运动的初始条件(初位移和初速度)； (3)周期T 和固有频率 n 仅决定于系统本身的固有参数(m,k,I )。
k (t ) x(t ) 0 x m k (t ) x(t ) x(t ) x(t ) 0 x m 1 2 1 k 2 积分，有 x (t ) x (t ) C 2 2m 1 2 1 2 mx (t ) kx (t ) Cm
36
从能量守恒出发，讨论弹簧的等效质量问题
19
20
§4-1
单自由度系统无阻尼自由振动
一、自由振动的概念：
21
1、自由振动微分方程及其解
m(t ) kx(t ) 0 x m g k st 0 m(t ) k ( st x) x
2 2 n k / m, 则(t ) n x(t ) 0 x 2 r 2 n 0
r1 i n , r2 i n x(t ) A1 cos nt A2 sin n t x(t ) A1 n sin nt A2 n cos nt
2 2 (t ) A1n cos nt A2n sin n t x
22
正弦和余弦函数是周期函数
sin(nt 2 ) sin[n (t 2 / n )] sin nt cos(nt 2 ) cos[n (t 2 / n )] cosnt
这表明物体的运动是振动，周期为
2 / n
记初始条件为 (0) x0 , x(0) v0 , 得 x A1 x0 , A2 v0 / n x(t ) x0 cosnt v0 / n sin nt x(t ) A cos(nt ) A x (
无阻尼自由振动的特点是： (1) 振动规律为简谐振动；
(2) 振幅A和初相位 取决于运动的初始条件(初位移和初速度)； (3)周期T 和固有频率 n 仅决定于系统本身的固有参数(m,k,I )。
k (t ) x(t ) 0 x m k (t ) x(t ) x(t ) x(t ) 0 x m 1 2 1 k 2 积分，有 x (t ) x (t ) C 2 2m 1 2 1 2 mx (t ) kx (t ) Cm
36
从能量守恒出发，讨论弹簧的等效质量问题
19
20
§4-1
单自由度系统无阻尼自由振动
一、自由振动的概念：
21
1、自由振动微分方程及其解
m(t ) kx(t ) 0 x m g k st 0 m(t ) k ( st x) x
2 2 n k / m, 则(t ) n x(t ) 0 x 2 r 2 n 0
r1 i n , r2 i n x(t ) A1 cos nt A2 sin n t x(t ) A1 n sin nt A2 n cos nt
2 2 (t ) A1n cos nt A2n sin n t x
22
正弦和余弦函数是周期函数
sin(nt 2 ) sin[n (t 2 / n )] sin nt cos(nt 2 ) cos[n (t 2 / n )] cosnt
这表明物体的运动是振动，周期为
2 / n
记初始条件为 (0) x0 , x(0) v0 , 得 x A1 x0 , A2 v0 / n x(t ) x0 cosnt v0 / n sin nt x(t ) A cos(nt ) A x (
单自由度系统的振动
? mI (F ) ? (M ? m)gR ? F ?2R ? ?4kxR
由 dH I
dt
??
mI (F )
，
有
(
3 2
M
?
m) R?x??
? 4kxR
振动微分方程：
?x??
8k 3M ? 2m
x
?
0
固有频率：
?n?
8k 3M ? 2m
解2 ： 用机械能守恒定律 以x为广义坐标（取静平衡位置为 原点）
)
?
st
?
mg keq
?
mg(
1 k1
?
1 k2
)
?
keq
?
k1k2 k1 ? k2
串联
二、 求系统固有频率的方法
对于质量——弹簧这类系统，当振体静止平衡时，有：
mg ? k? st
? st ——弹簧在全部重力作用下的静变形
于是：
?n?
g
? st
无阻尼自由振动系统为保守系统，机械能守恒。
当振体运动到距静平衡位置最远时，速度为零，即系统 动能等于零，势能达到最大值（取系统的静平衡位置为零势 能点）。
振动沉拔桩机等
消耗能量，降低精度等。
3. 研究振动的目的：消除或减小有害的振动，充分利用振动
为人类服务。
4. 振动的分类：
单自由度系统的振动
按振动系统的自由度分类 多自由度系统的振动
弹性体的振动
按振动产生的原因分类： 自由振动： 无阻尼的自由振动 有阻尼的自由振动（衰减振动） 强迫振动： 无阻尼的强迫振动 有阻尼的强迫振动 自激振动
T
?
1 2
Mx?2 ?
1 2
单自由度系统振动
（弹簧质量系统的固有频率和自激振动、自由振动、受迫震动）一、实验目的通过单自由度振动系统的弹簧刚度，掌握固有频率n??与振动质量m和系统弹簧刚度k 之间的一个极为重要的关系mk??n??。
演示自激振动现象及其与自由振动和强迫振动的区别。
因为平时人们往往常遇见或能理解的自由振动和强迫振动的现象比较多，如单摆的振动、汽车的振动、电机由于转子不平衡引起的振动等等。
但自激振动的现象又很难被人们所认识，如比较典型的自激振动有钟表、电铃等。
前者的摆轮和后者的摆锤的振动容易被理解是强迫振动。
因此，我们把演示自激振动作为理论力学一个实验从反面让学生搞清自激振动和强迫振动的概念。
二、实验原理（一）单自由度线性系统的自由振动由一个质量块及弹簧的系统，在受到初干扰（初位移或初速度）后，仅在系统的恢复力作用下在其平衡位置附近所作的振动称为自由振动。
其运动微分方程为：0kxxm（无阻尼）其解为：sinntA 其中：2n2020??vxA，00narctanvx （二）单自由度线性系统的强迫振动在随时间周期性变化的外力作用下，系统作持续振动称为强迫振动，该外力称为干扰力。
其振动微分方程为thxxnxmsin22n（有阻尼）方程全解为：sinsin220BtnAext 强迫振动的振幅B可以表示为2020220041 nBB 式中：kHhB200?? 称为静力偏移，表示系统在干扰力的幅值H 的静力作用下的偏移。
（三）自激振动的基本特性：自激振动是一种比较特殊的现象。
它不同于强迫振动，因为其没有固定周期性交变的能量输入，而且自激振动的频率基本上取决于系统的固有特性。
它也不同于自由振动，因为它并不随时间增大而衰减，系统振动时，维持振动的能量不象自由振动时一次输入，而是象强迫振动那样持续地输入。
但这一能源并不象强迫振动时通过周期性的作用对系统输入能量，而是对系统产生一个持续的作用，这个非周期性作用只有通过系统本身的振动才能不断输入振动才能变为周期性的作用，也只用成为周期性作用后，能量才能不断输入振动?低常 佣 窒低车淖约ふ穸 Ｒ虼耍 肭科日穸 囊桓鲋匾 鹪谟谙低趁挥谐跏荚硕 筒换嵋 鹱约ふ穸 科日穸 虿蝗弧?三、实验项目：（一）.求单自由度系统的振动频率已知：高压输电模型的质量kgm138.0??，砝码规格分别为100克和200克。
《振动力学》2单自由度系统自由振动
单位：弧度/秒（rad/s）
则有 ： &x& + ω02 x = 0
通解 ： x(t) = c1 cos(ω0t) + c2 sin(ω0t) = Asin(ω0t + ϕ)
c1, c2： 任意常数，由初始条件决定
振幅 ： A = c12 + c22
初相位 ： ϕ = tg −1 c1
c2
4
单自由度系统自由振动
解法2：
平衡位置2
动能 T = 1 Iθ&2 = 1 ml2θ&2
最大位移位置，系统动 能为零，势能达到最大
ω0 = k / m
T +V = const
Tmax = Vmax
Tmax = 0
Vmax
=
1 2
kxm2 ax
m
k
最大位移位置
0
xmax
静平衡位置
x
x&max = ω0 xmax
x 是广义的 对于转动： θ&max = ω0θmax
x(t) = Asin(ω0t + ϕ) 30
无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 ω0 为频率的简谐振动，并且永无休止。
x
T = 2π / ω 0
初始条件的说明：
初始条件是外界能量输入的一 x0
A
种方式，有初始位移即输入了 弹性势能，有初始速度即输入 了动能。
ϕ0
ω0
t
9
单自由度系统自由振动
零初始条件下的自由振动：
x(t)
=
x0
&x& + ω02 x = 0
ω0 =
k m
单自由度系统振动
常见几种非粘性阻尼的等效阻尼 1．干摩擦阻尼
ce 4 Fc B We 8 aB B 2 3
ce 2．流体粘性阻尼
3．结构阻尼
ce
W
B 2
1.6 非谐周期激励的响应
对于工程中常见的线性系统，任何周期激励 函数均可按傅立叶级数理论展开为一系列简谐函 数之和
F (t ) a0 a1 cos 0 t a 2 cos 2 0 t b1 sin 0 t b2 sin 2 0 t 2 F (t ) A0
注意希腊字母 Ξ[ksi];ζ[zta]
通解为：x e t (c1 c2t )
c1 x0 , c2 V0 n x0
3.有阻尼受迫振动解
振动方程为 mx cx kx f ( x)
f ( x) F0 sin t 时，为谐迫振动。其解为
n t 2
相位
瞬态响应的振幅 频率比 稳态响应的振幅
x Ae sin( 1 nt ) B sin(t ) 2 x 1 tan 1 ( 0 n ) V0 n x0 2 (V0 n x0 ) 2 x0 2n (1 2 ) A 2 2 n (1 ) n n 2 F0 / k F0 B 2 2 2 2 2 2 2 (n ) (2n ) k (1 ) (2 )
注意希腊字母 ξ(ksi)
4.MATLAB数值仿真
MATLAB是Matrix Laboratory的缩写，是一种直译式 的语言，易学（相比C语言）
特点：强大的数值运算功能
丰富的工具箱 数学计算 数字信号处理 自动控制 动态分析 数据处理 2D与3D绘图功能
03第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
自振周期和频率
自振周期和频率
k 1 w2 m md
(2)利用机械能守恒 (2) 利用机械能守恒
注意到
W mg Dst Wd
w2
g g Wd D st
EI EI
m
l
=1
d 11
l
T (t ) U (t ) 常数
Tmax U max
U (t ) 1 2 1 ky (t ) kA2 sin 2 (wt ) 2 2
计算频率和周期的几种形式
w
k 1 g m md Wd
g D st
T 2
m D st 2 k g
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
频率和周期的计算方法
(1)利用计算公式 (1) 利用计算公式
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题 例.求图示体系的自振频率和周期.
单自由度体系对简谐荷载作用下的反应是结构动力学中的一个经典内容。 自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。 自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
1、 刚度法：研究作用于被隔离质量上的受力状 态，建立(动)平衡方程。 静平衡位置
2
cv kv 0 mv
特征方程：
2
c s sw2 0 m
当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为临界阻尼，记作cc。显然， 应有cc/2m=w，即：
cc 2m w
2
∵
c 0则：
s
c c w 2 2m 2m
这时，对应的s 值为 ：
自振周期和频率
k 1 w2 m md
(2)利用机械能守恒 (2) 利用机械能守恒
注意到
W mg Dst Wd
w2
g g Wd D st
EI EI
m
l
=1
d 11
l
T (t ) U (t ) 常数
Tmax U max
U (t ) 1 2 1 ky (t ) kA2 sin 2 (wt ) 2 2
计算频率和周期的几种形式
w
k 1 g m md Wd
g D st
T 2
m D st 2 k g
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
频率和周期的计算方法
(1)利用计算公式 (1) 利用计算公式
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题 例.求图示体系的自振频率和周期.
单自由度体系对简谐荷载作用下的反应是结构动力学中的一个经典内容。 自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。 自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
1、 刚度法：研究作用于被隔离质量上的受力状 态，建立(动)平衡方程。 静平衡位置
2
cv kv 0 mv
特征方程：
2
c s sw2 0 m
当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为临界阻尼，记作cc。显然， 应有cc/2m=w，即：
cc 2m w
2
∵
c 0则：
s
c c w 2 2m 2m
这时，对应的s 值为 ：
第1讲 单自由度振动
单位脉冲力对于单自由度系统脉冲响应函数为为减系数16单自由度系统频响函数曲线特征1粘性阻尼系统幅频曲线和相频曲线单自由度系统频响函数曲线特征幅频曲线和相频曲线1c点对应于小阻尼下可认为是峰值点2c点共振幅值点该点对应的频率为单自由度系统频响函数曲线特征幅频曲线和相频曲线3ab点称为半功率点所对应的频率为单自由度系统频响函数曲线特征幅频曲线和相频曲线相频曲线上ab半功率点c点对应的相位分别为频率代入表达式即可得到这3点对应的角度值
用 xi , xi m 表示两个相隔m个周期的振幅，可得
x x 1 d 1 ln i ln i 2m n xi m 2m xi m
1
1.4 简谐激振下单自由度体系的响应 F 2 (t ) 2 n x (t ) n 运动方程： x x(t ) 0 sin t
a
A k c
2 2
f (t ) F0 sin t
振源
x
m
1.4.6 用复数表示的稳态响应 激振力： F0 sin t → F0 e it t cx kx F0 e i；稳态响应： m x x Ae i (t ) 运动方程： 激振力、惯性力、弹性力、阻尼力矢量平衡关系：
1.4.5 主动隔振（力隔振）
图示系统运动方程
mx cx kx F0 sin t 设稳态解 x A sin(t ) 传到基础上的力为 cx kx c A sin(t ) kA sin(t )
f (t ) F0 sin t
振源
x
m
A F0 sin / c
得
绝对位移运动方程：m cx kx kxg cx g x
cx kx kB sin t cB cos t m x
用 xi , xi m 表示两个相隔m个周期的振幅，可得
x x 1 d 1 ln i ln i 2m n xi m 2m xi m
1
1.4 简谐激振下单自由度体系的响应 F 2 (t ) 2 n x (t ) n 运动方程： x x(t ) 0 sin t
a
A k c
2 2
f (t ) F0 sin t
振源
x
m
1.4.6 用复数表示的稳态响应 激振力： F0 sin t → F0 e it t cx kx F0 e i；稳态响应： m x x Ae i (t ) 运动方程： 激振力、惯性力、弹性力、阻尼力矢量平衡关系：
1.4.5 主动隔振（力隔振）
图示系统运动方程
mx cx kx F0 sin t 设稳态解 x A sin(t ) 传到基础上的力为 cx kx c A sin(t ) kA sin(t )
f (t ) F0 sin t
振源
x
m
A F0 sin / c
得
绝对位移运动方程：m cx kx kxg cx g x
cx kx kB sin t cB cos t m x
单自由度系统受迫振动__1
可见，形心O1的运动轨迹为一个圆
动挠度: f x 2 y 2 e1
es 2
(1 s 2 ) 2 ( 2s ) 2
主动隔振系数
＝
隔振后传到地基的力幅值 隔振前传到地基的力幅值
隔振前
m
隔振前机器传到地基的力：
隔振后
F0e
it
F0e
it
m c
F0eit
隔振后通过k、c传到地基上的力:
k
F1 F0
隔振系数:
1 (2s) 2 i[t (1 2 )] e (1 s 2 ) 2 (2s) 2
t
o1
x
l/2 o l/2
C
y
o1
x
x
质心运动定理：
d2 m 2 ( x e cost ) kx cx dt d2 m 2 ( y e sin t ) ky cy dt
右端项可看作激振力旋转矢量 m e 2 e it 在 x 和 y 方向上的投影，作用点C，方 向沿CO1
单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题
• 转子的临界转速
气轮机、发电机等高速旋转机械在开机或停机过程中经过某一 转速附近时，支撑系统经常会发生剧烈振动
临界转速 在数值上很接近转子横向振动的固有频率 以单盘转子为例 转轴质量不计 圆盘质量 m 圆盘质心 C 固定在转轴中部 形心 O1 偏心距 CO1＝e
1. 小阻尼情况下，通解为
x(t ) e
0t
(c1 cosd t c2 sin d t )
x(t ) A sin(t )
2. 假定为正弦激励，特解可设为 代入微分方程，得
则振动系统总响应为
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Vmax
1 2
k[(
A
st
)
2
st 2 ] mgA
k st mg
Vmax
1 kA2 2
Tm a x
1 2
mxm2 ax
1 2
mA2
2 n
由
Tm a x
Vm
得
ax
1 2
mA
2
2 n
1 2
k A2
n
k m
由Tmax=Vmax求n的方法称为能量法。
能量法是从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振 动系统的固有频率，用能量法来求更为简便。
综上所述，求系统固有频率的方法有：
1. 振动微分方程的标准形式
2. 静变形法：
qn2q 0
n
g
st
st ：集中质量在全部重力
作用下的静变形
3. 能量法： 由Tmax=Vmax , 求出 n
例1 图示系统。设轮子无侧向摆动， 且轮子与绳子间无滑动，不计绳子和弹 簧的质量，轮子是均质的，半径为R，质 量为M，重物质量 m ，试列出系统微幅 振动微分方程，求出其固有频率。
由 dHI
dt
mI (F )
，
有
(
3 2
M
m)Rx
4k xR
振动微分方程：
x
8k 3M
2m
x
0
固有频率：
n
8k 3M 2m
解2 ： 用机械能守恒定律 以x为广义坐标（取静平衡位置为 原点）
T 1 Mx2 1 MR2 3 M m)x2 22
图示质量——弹簧系统，以平衡位置为 坐标原点，则
mg F mx
F k(x st ) st — 振体静止平衡时弹簧的 变形：mg k st
mx mg F mg k(x st ) kx
令
2 n
k m
则：x
2 n
x
0
这就是质量——弹簧系统无阻尼自由振动的
微分方程。
对于其他类型，同理可得。如
(3)周期T 和固有频率ωn 仅决定于系统本身的固有参数(m,k,J)。 四、其它
1. 如果系统在振动方向上受到某个常力的作用，该常力 只影响静平衡点O的位置，而不影响系统的振动规律，如振动 频率、振幅和相位等。
2. 弹簧并联系
并
串
统和弹簧串联系
联
联
统的等效刚度
st
F1 k1
F2 k2
, mg F1 F2
实际中的振动往往很复杂，为了便于研究，需简化为力 学模型。
振 体
质量—弹 簧系统
运动过程中，使物体回到平衡位置的力称为恢复力
§12-1 单自由度系统无阻尼自由振动
只需用一个独立坐标就可确定振体的位置，这种系统 称为单自由度系统。物体受到初干扰后，仅在恢复力作用 下的振动称为无阻尼自由振动
一、振动的微分方程：
解：以 x 为广义坐标，静平衡位置为 坐标原点。
静平衡时： mI (F ) 0,
(M m)gR kst 2R 0
st
M m 2k
g
在任意位置x 时：
F
k ( st
2x)
M
2
m
g
2kx
应用动量矩定理x：
HI
mxR MxR
1 MR2 2
x R
( 3 M m)Rx 2
mI (F ) (M m)gR F 2R 4kxR
第十八章 单自由度系统的振动
振动是日常生活和工程实际中常见的现象。
例如：钟摆的往复摆动,汽车行驶时的颠簸，电动机、机 床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的振动等。
1. 振动-----系统在平衡位置附近作往复运动。
2. 振动的利弊： 利：振动给料机
弊：磨损，减少寿命，影响强度
振动筛
引起噪声，影响劳动条件
振动沉拔桩机等
消耗能量，降低精度等。
3. 研究振动的目的：消除或减小有害的振动，充分利用振动 为人类服务。
4. 振动的分类：
单自由度系统的振动
按振动系统的自由度分类 多自由度系统的振动
弹性体的振动
按振动产生的原因分类： 自由振动： 无阻尼的自由振动 有阻尼的自由振动（衰减振动） 强迫振动： 无阻尼的强迫振动 有阻尼的强迫振动 自激振动
mg k st
st ——弹簧在全部重力作用下的静变形
于是：
n
g
st
无阻尼自由振动系统为保守系统，机械能守恒。
当振体运动到距静平衡位置最远时，速度为零，即系统 动能等于零，势能达到最大值（取系统的静平衡位置为零势 能点）。
当振体运动到静平衡位置时，系统的势能为零，动能达
到最大值。
如：
设x Asin(nt )
对时间 t 求导，再消去 x，得
x
8k 3M 2m
x
0
n
8k 3M 2m
例2 鼓轮：质量M，对轮心回转半径，在水平面上只滚 不滑，大轮半径R，小轮半径 r ，弹簧刚度 k1 , k2 ，重物E质
mg (k1 k2 ) st
,
st
mg k1 k
2
keq k1 k2
并联
st st1 st2
mg mg mg( 1 1 )
k1 k2
k1 k2
st
mg keq
mg
(
1 k1
1 k2
)
k
e
q
k1k2 k1 k
2
串联
二、 求系统固有频率的方法
对于质量——弹簧这类系统，当振体静止平衡时，有：
T ——周期，每振动一次所经历的时间
T
2 n
f —— 频率，每秒钟振动的次数，单位：HZ ， f = 1 / T ωn—— 圆频率，振体在2秒内振动的次数。 ωn=2πf
ωn、f 都称为系统的固有频率或自然频率
无阻尼自由振动的特点： (1) 振动规律为简谐振动；
(2) 振幅A和初相位 取决于运动的初始条件(初位移和初速度)；
以平衡位置为计算势能的零位置，
并注意轮心位移x时，弹簧伸长2x
因平衡时
V
k 2
[(
st
2x)2
st2 ] (M
m)gx
2k st x (M m)gx
2kx2 2k st x (M m)gx
V 2kx2
由 T+V= const 有：
1( 3M m)x2 2kx2 const 22
单摆：
2
n
0
(
2 n
g
/l)
复摆：
2
n
0
(
2 n
mga /
J)
对于任何一个单自由度系统，以 q 为广义坐标（从平 衡位置开始量取 ），则自由振动的微分方程的标准形式：
解为：
qn2q 0 q Asin(nt )
q An cos(nt )
设 t = 0 时，q q0 , q q0 代入上两式得：
A
q02
q02
2 n
,
arctg
n q0
q0
或：
q C1cosn t C2 sinn t
C1，C2由初始条件决定为 C1 q0 , C2 q0 /n
q
q0
cos nt
q0
n
sin
nt
A——振体离开平衡位置的最大位移，称为振幅
n t + ——相位，决定振体在某瞬时 t 的位置
——初相位，决定振体运动的起始位置