第二章 综合练习题

¢(b)
-
S
¢(b
)]
-
S
¢¢(a
)
[
f
¢(a
)
-
S
¢(a
)]
-
b
òa
S
¢¢¢(
x)
[
f
¢(
x)
-
S
¢(
x)
]
dx
å ò = S¢¢(b)[ f ¢(b) - S¢(b)] - S¢¢(a)[ f ¢(a) - S¢(a)] - n-1 S¢¢¢( xk + xk+1 )g xk+1 [ f ¢(x) - S¢(x)]dx
+ +
7.5)(0 7.5)(8
+ 18) + 18)
´
0
+
(0 (-7.5
-
8)(0 +18) 8)(-7.5 +18)
´1
+
(0 (-18
8)(0 + 7.5 - 3) - 8)(-18 + 7.5)
´
2
» 0.445
于是得 f(x)在[0，2]内零点 x* = f -1(0) » L2(0) » 0.445 值得注意的是，只有所给函数（或函数表）在[a,b]上严格单调情况下，才能使用 反插值方法，否则可能得出错误结果。
10
2
­1/4
­1/8
N 3 ( x) =­2+(x­1)+1/2(x­1)(x­3)­1/8(x­1)(x­3)(x­5) (2)二次 lagrange 插值多项式为
( x - 3)( x - 7)
( x - 3)( x - 5)
L2 ( x) = 6 ´
-4
+ 10 ´
8
\ f (4) » L2 (4) = 13 / 4
陈以平编写
(2) xi 1.5 2.5 4.5 5.5
f (xi ) 3.44 13.5 93.45 170.4
一阶均差 二阶均差 三阶均差
10.06 39.975 76.95
9.9717 12.325
0.588
(3)选取 2.5，4.5，5.5 为插值节点，构造二次牛顿插值多项式为 N2 (x) = 3.44 + 10.06(x - 2.5) + 9.9717 * (x - 2.5)(x - 4.5)
又 f (x) = e-x , f ¢¢¢(x) = -e-x , M 3 = max | f ¢¢¢(x) |= 1 xÎ[0,1]
故截断误差
|
R2 (x)
|=|
e-x
-
P2 ( x)
|£
1 3!
|
x(x
-
0.5)( x
- 1)
|。
16.已知
x 1.5
2.5
4.5
5.5
(1) (2) (3) 解:(1)
N2 ( X ) = 1 + 2(x -1) + (x -1)(x - 2) = x2 - x + 1
故
f (1.8) » N2 (1.8) = (1.8)2 -1.8 +1 = 2.44
2
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陈以平编写
12.已知的函数表
x
0
1
2
y
8
­7.5
­18
求在[0，2]内的零点近似值。
似值。
解：
应选三个节点，使误差 |
R2 (x)
|£
M3 3!
| w3 ( x)
| 尽量小，即应使 | w3(x)
| 尽量小，
最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点{0.5,0.6,0.7} 最好，实际计算
结果 sin 0.63891 » 0.596274 ，且
sin 0.63891- 0.596274
1
2
三阶均差
3
6
2
4
5
­1
­1
5
4
­1
0
14
1 P3 (x) = N 3 (x) = 2 + 2(x - 1) - (x - 1)(x - 3) + 4 (x - 1)(x - 3)(x - 4)
f (2) » P3 (2) = 5.5
15.取节点 x0 = 0, x1 = 0.5, x2 = 1 ,求函数 f (x) = e-x 在区间[0,1]上的二次插值多项
答案:B
6.通过四个互异节点的插值多项式 P(x)，只要满足( ), 则 P(x)是不超过一次多
项式．
(A) 初始值 y0=0
(B) 所有一阶均差为 0
(C) 所有二阶均差为 0
(D) 所有三阶均差为 0
答案:C
n
å 7.已知插值基函数 lk (x), k = 0,1,L, n ，证明 ：当 m < n 时， lk (x)xkm = xm k =0
b
f ¢¢(x)S¢¢(x)dx
a
a
a
ò ò ò = b[ f ¢¢(x)]2 dx - b[S¢¢(x)]2 dx - 2 b S¢¢(x)[ f ¢¢(x) - S¢¢(x)]dx
a
a
a
从而有
ò ò b[ f ¢¢(x)]2 dx - b[S¢¢(x)]2 dx
a
a
=
b
òa
[
f
¢¢(
x)
-
S
¢¢(
f (x0 ) +
(x - x0 )(x - x2 )(x - x3 ) ( x1 - x0 )(x1 - x2 )(x1 - x3 )
f (x1 )
+ (x - x0 )(x - x1 )(x - x3 ) (x2 - x0 )( x2 - x1 )(x2 - x3 )
f
(x2 ) +
(x - x0 )(x - x1)(x - x2 ) (x3 - x0 )( x3 - x1 )(x3 - x2 )
解：
L2
(
x)
=
2
´
(
(x -1
-
1)(x - 2) 1)(-1- 2)
+
3
´
(x (1
+ +
1)(x - 2) 1)(1- 2)
-
4
´
(x (2
+ +
1)( x 1)(2
- 1) - 1)
= 2 (x -1)(x - 2) - 3 ( x + 1)(x - 2) - 4 (x + 1)(x - 1)
式 P2 (x) ,并估计误差。
解：
P2
(x)
=
e-0
´
(x (0
-
0.5)( x 0.5)(0
- 1) - 1)
+
e -0.5
´
(x (0.5
-
0)(x -1) 0)(0.5 -1)
+ e-1 ´ (x - 0)(x - 0.5) (1 - 0)(1 - 0.5)
= 2( x - 0.5)( x -1) - 4e-0.5x( x -1) + 2e-1x( x - 0.5)
f
(x3 )
43
27
= - 150 (x - x1 )(x - x2 )(x - x3 ) + 120 (x - x0 )(x - x2 )(x - x3 ) +
=
-
1869 120
(x
-
x0
)( x
-
x1 )(x
-
x3 )
+
213 15
(x
-
x0 )(x
-
x1 )(x
-
x2
)
4
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f(x) 3.44
13.50 93.45 170.4
试建立相应的三次拉格朗日插值多项式；
构造均差表；
适当选取三个节点建立二次牛顿插值多项式计算 f(4.0)的值。
å L3 (x)
=
3 i =0
li (x) f (xi )
= (x - x1)(x - x2 )(x - x3 ) (x0 - x1 )(x0 - x2 )(x0 - x3 )
解 因为 yi 关于 x 严格单调减少，用反插值法求 f(x) 零点的近似值比较简单，
具体作法如下：
先作反函数表
x
8
­7.5
­18
y
0
1
2
将节点 x0=8,x1=­7.5，x2=­18 及对应函数值 y0=0,y1=1,y2=2 代入二次拉格朗 日插值多项式（2.2），再令 x=0,得
L2
(0)
=
(0 (8
-
4)(x - 5) 4)(3 - 5)
3
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+ 5 (x -1)(x - 3)(x - 5) + 4 (x -1)(x - 3)(x - 4) (4 - 1)(4 - 3)(4 - 5) (5 -1)(5 - 3)(5 - 4)
差商表为
xi
yi
一阶均差 二阶均差
A.3 答案:B
B. ­3
C. 5
D.0
， f ( x) 的二 ).
3.对 f (x) = x3 + x + 1,差商 f [0,1,2,3] = (
), f [0,1,2,3,4] = (
)；
答案: f [0,1,2,3] = 1, f [0,1,2,3,4] = 0
4.已知多项式 P(x)，过点(0,0),(2,8),(4,64),(11,1331),(15,3375),它的 3 阶均差为常数 1，一阶，二阶均差均不为 0，那么 P(x)是( ) (A)二次多项式 (B)不超过二次的多项式 (C) 3 次多项式 (D) 四次多项式
£ 1 (0.63891 - 0.5)(0.63891 - 9 - 0.6)(0.63891 - 0.7) 3!
£ 0.55032 ´10-4
11.已知函数 f (x) 数值表为
x
123
y 用抛物插值法求近似值 f (1.8) 。
137
解 作差商表： x
y 一阶差商 二阶差商
1
1
2
3
2
3
7
4
1
代入牛顿插值多项式得：
3
2
3
f
(1.5)
»
L2 (1.5)
=
1 24
»
0.04167
10.已知 sin x 区间[0.4，0.8]的函数表
xi
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
yi 0.38942
0.47943
0.56464
0.64422 0.71736
如用二次插值求 sin 0.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近
证明：令 f (x) = xm ，
则有
å x m
n
= lk (x)xkm
k =0
+
f (n+1) (x ) w (x) (n + 1)!
n
å 因为 m < n, 则f (n+1) (x ) = 0 ，所以
lk
(
x)
x
m k
=
xm 。
k =0
8.设
是 n+1 个互异的插值节点，
值基函数，证明：
是拉格朗日插
得到 N2 (4.0) = 3.44 + 10.06(4.0 - 2.5) + 9.9717 * (4.0 - 2.5)(4.0 - 4.5) = 26
17. 若 f (x) Î C 2 [a,b], S(x) 是三次样条函数，证明：
ò ò (1) b[ f ¢¢(x)]2 dx - b[S¢¢(x)]2 dx
答案:C
5. 已 知 y=f(x) 的 均 差 f (x0 , x2 , x1 ) = 5 , f (x4 , x0 , x2 ) = 9 , f (x4 , x3 , x2 ) = 14 ,
f (x0 , x3 , x2 ) = 8 .那么 f(x4,x2,x0)=( ) (A) 5 (B) 9 (C)14 (D) 8
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第二章 综合练习题
1.设 f (0) = 0, f (1) = 16, f (2) = 46 ,则 l1(x) =
次牛顿插值多项式为
。
答案: l1(x) = -x(x - 2) ， N2 ( x) = 16x + 7x(x -1)
2. 设 f (x) = -3x99 + 5x - 7 ，均差 f [1, 2, 22 , 23,L, 299 ] = (
证明 Pn(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+…+ynln(x)＝
1
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当 f(x)º1 时,1＝ 由于
,故有
9.已知 f (­1)=2，f (1)=3，f (2)=­4，求拉格朗日插值多项式 L2 (x) 及 f (1.5)的近似 值，取五位小数。
13.给定数据表
x
1
3
5
7
f(x)
­2
0
6
10
（1）试建立相应的三次 Newton 均差插值多项式；
（2）试分别取 3，5，7 三点构造二次 Lagrange 插值多项式，计算 f(4)的近似值。
(保留小数点后三位数)。
解:（1） xi
f (xi )
一阶均差
二阶均差
三阶均差
1
­2
3
0
1
5
6
3
1/2
7
x)]2
dx
+
b
2òa
S
¢¢(
x)
[
f
¢¢(
x)
-
S
¢¢ (
x) ]
dx
(2)
b
òa
S
¢¢(
x)
[
f
¢¢(
x)
-
S
¢¢ (
x
)]
dx
=
b
òa
S
¢¢(
x)d
[
f
¢(
x)
-
S
¢(
x)]
=
S
¢¢(
x)
[
fFra Baidu bibliotek
¢(
x)
-
S
¢(
x)
]
b a
-
b
òa
[
f
¢(
x
)
-
S
¢(
x)]
d
[
S
¢¢ (
x )]
=
S
¢¢(b)
[
f
a
a
ò ò = b[ f ¢¢(x) - S¢¢(x)]2 dx + 2 b S¢¢(x)[ f ¢¢(x) - S¢¢(x)]2 dx
a
a
(2) 若 f (xi ) = S (xi )(i = 0,1,L, n) ，式中 xi 为插值节点，且 a = x0 < x1 < L < xn = b ，则
14.已知
xi
1
3
4
5
f (xi ) 2
6
5
4
分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求 f (x) 的三次插值多项式 P3 (x) ，并求 f (2)
的近似值（保留四位小数）.
解:
L3
(x)
=
2
(x - 3)(x - 4)(x - 5) (1 - 3)(1 - 4)(1 - 5)
+
6
(x (3
- 1)( x - 1)(3
b
òa
S
¢¢(
x)
[
f
¢¢(
x)
-
S
¢¢ (
x) ]
dx
= S¢¢(b)[ f ¢(b) - S¢(b)] - S¢¢(a)[ f ¢(a) - S¢(a)]
证明：
ò(1) b[ f ¢¢(x) - S¢¢(x)]2 dx a
ò ò ò =
b [ f ¢¢(x)]2 dx +
b[S¢¢(x)]2 dx - 2