§57晶体中电子能态密度
固体物理-第5章-晶体中电子能带理论-5.9
Ⅰ.ΔZ的确定
在k空间作
E
k
E
和
E
k
E
E
两等能面，等能面间状态数ΔZ
V
在 k 空间，状态分布密度 2 3
Z
V
2
V 3
等能面E和E E之间
V
2
3
dsdk
dk----两等能面间的垂直距离; ds----k空间等值面上的面积元。
第五章 晶体中电子能带理论§5.9 等能面 能态密度
Ⅱ.关于ΔE
（1）电子热容是由费米面附近电子激发所引起；
（2）接触电势差是费米面附近的电子流动产生的；
（3）讨论金属电导问题时,认为电流是由于费米面附近 能态占据状况的变化所引起等。
第五章 晶体中电子能带理论§5.9 等能面 能态密度
问题1:等能面?能态密度？
一、等能面
K空间，电子的能量等于定值的曲面
对自由电子，能量：Ek
2
k
2
，等能面：同心球面.
2m
二、能态密度
能态密度N(E)定义：
若能量在E~E+E 之间的能态数目Z，则 N (E) lim Z E0 E
或N (E) dZ dE
第五章 晶体中电子能带理论§5.9 等能面 能态密度
N(E) 第五章 晶体中电子能带理论§5.9 等能面 能态密度
问题2: 费米面？
当T＝0时，k空间中占有电子和不占有电子区域的分界面。
或k空间中能量为EF的等能面。
ky
费米球
费米面
EF
2 2m
kF 2
kx
kF
自由电子的费米面
第五章 晶体中电子能带理论§5.9 等能面 能态密度
费米能级EF
固体物理：能态密度和费米面
电子组态：1s22s22p63s1
分析：由1s22s22p6组态能级扩展的五个能带正好被十个
电子所填满（即满带），剩下一个3s带，只被一个3s电子 填充到一半（即半满带）。这时若将钠晶体置于一外电场 中，这个3s带中的电子将在外电场作用下，获得加速，跃 入能量较高的空的能态位置上去。从而在布里渊区中建立 一个沿电场方向不对称的电子占据态分布，导致沿外场方 向出现电流。
例二
第四章 能带理论
例二、若已知
E(k )
2 2
k
2 x
m1
k
2 y
m2
k
2 z
m3
解：等能面方程：Ek E,即
，求g(E)。
k
2 x
k
2 y
k
2 z
1
2m1E 2m2 E 2m3E
2
2
2
令a 2
2m1E 2
,b2
2m2 E 2
,c2
2m3E 2
,则
等
能
面
方
程
可
化
为k
2 x
a2
k
2 y
b2
k
2 z
R (k )
E0
6J1;
X点[
k
a
,0,0
]是一个鞍点——布区侧面中心。
E X (k ) E0 2J1;
东北师范大学物理学院
能带理论基本概念
二、费米面
第四章 能带理论
设固体中含有N个电子，它们的基态是按泡利原理由
低由到电高子填，充则能其量能尽量可表能示低为的：NE个k电子态2k，2 若把电子看成自 2m
能带理论基本概念
固体物理学：4-7 能态密度和费密面
—— 每个能带 可容纳2N个电子
—— 成键态的4个能带刚 好可以容纳 8N 电子
—— 成键态的4个能带刚好可以容纳8N电子 每个原胞有两个原子 —— 共8个电子
—— 晶体中8N个电子全部填充成键态的4个能带形成满带
即不满带，或说最下面的一个空带
价带 —— 导带以下的第一个满带
禁带 —— 两个能带之间不允许存在的能级宽度
导体、半导体和绝缘体的能带
导带
空带 禁带
空带 禁带
导体
金属有导带 电阻率10-6
绝缘体
绝缘体禁带宽 (约10eV) 电阻率102～108
半导体
半导体禁带窄 禁带宽度0.2～3.5eV
四、实例
n＝2的能级
—— 原子的量子态数为8，电子填充数为8个
—— 晶体中相应的能带2s___1个、2p___3个，共4个能带 —— 每个能带所容许的量子态2N ____ 8N个量子态
可以填充8N个电子
二价碱土金属 —— 最外层2个s态电子 —— ns态所对应的能带可以填充2N电子
—— 2N个电子刚好填充满和s相应的能带
从B点开始能态密度由零迅速增大，书p217图4-39b
能带不重叠
第二布里渊区能态密度 —— 能量E越过第一布里渊区边界A点
从B点开始能态密度由零迅速增大。书p217图4-39a
能带重叠
例3： 紧束缚模型的电子能态密度 已知简单立方格子的s带的能量为：
k=0附近
等能面为球面 随着E的增大，等能面与近自由电子的情况类似
—— ns态所对应的能带可以填充2N电子 —— N个自由电子，只填充了半个能带而形成导带
《固体物理学》概念和习题 答案
《固体物理学》概念和习题固体物理基本概念和思考题：1.给出原胞的定义。
答：最小平行单元。
2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。
答：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。
3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。
4. 请描述七大晶系的基本对称性。
5. 请给出密勒指数的定义。
6. 典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。
7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。
8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。
9. 给出布里渊区的定义。
10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？11. 写出晶体衍射的结构因子。
12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。
13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。
14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。
15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。
（晶体含N个原胞，每个原胞含p个原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式？）16. 给出声子的定义。
17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。
18. 在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。
19. 简述晶体热膨胀的原因。
20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。
21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式）？22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。
23. 写出金属的电导率公式。
24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。
25. 简述能隙的起因。
26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。
27. 请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。
28. 给出空穴概念。
29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万（Langevin）方程。
电子态密度与固体能带理论
电子态密度与固体能带理论在研究固体材料的性质时，电子态密度和固体能带理论是两个重要的概念。
它们在理解和解释材料的导电性、磁性、光学性质等方面起着关键作用。
一、电子态密度电子态密度指的是单位体积内能带中能量范围的电子态数。
在固体中，能量的分布是离散的，由一系列能带组成。
每个能带可以容纳一定数目的电子态。
电子态密度可以通过积分能带的能量分布函数得到。
在自由电子气模型中，能带理论认为固体中的电子行为可以类比于自由电子气体。
根据玻尔兹曼统计分布，我们可以得到电子的能量分布情况。
对于一维情况下的自由电子气体，电子态密度与能量成正比。
而在三维情况下，由于动量的离散化,电子态密度与能量平方根成正比。
这种能量依赖关系在实际材料中也具有一定的适用性。
电子态密度的变化对材料的性质有明显的影响。
当能带带宽较窄时，电子态密度会随着能级变化较大，导致材料的导电性较差。
而当能带带宽变大时，电子态密度增加，导电性也会相应提高。
二、固体能带理论固体能带理论是研究固体中电子行为的重要工具。
它是基于定量量子力学计算的理论框架。
能带理论认为固体中电子的运动受到周期势场的影响，而且这种势场周期性重复。
在周期性势场中，电子的运动可以用一组平面波来描述，这些平面波都服从薛定谔方程。
能带理论将材料中电子的能级分布成一个个能带，每个能带中包含着一系列电子能级。
能带理论通过计算固体中的能级分布情况，得到能带图谱，从而揭示材料的性质。
在能带理论中，准确计算能带图谱并不容易。
因此，通常采用近似方法来获得代表性的能带图像。
最简单的近似方法是累积轨道近似。
此外，还有密度泛函理论、紧束缚模型、半经典近似等方法。
能带理论解释了固体的导电性、绝缘性和半导体特性等现象。
通过分析能带图谱，我们可以得到带隙的信息，即导带和价带之间的能量差。
当带隙较小时，材料表现出半导体特性；当带隙为零时，材料呈现导电性；当带隙较大时，材料则显示出绝缘性。
电子态密度和固体能带理论是理解和解释固体材料性质的重要工具。
分子晶体能带 与态密度
分子晶体能带与态密度1. 引言1.1 分子晶体能带简介分子晶体能带是描述固体中电子能级分布的理论模型，它反映了晶体中电子的能量和运动状态。
分子晶体能带结构是固体中电子布居的情况，它决定了导电性、光学性能等物理特性。
在固体中，电子的运动是受限制的，不能像在真空中那样自由运动，而是在晶格中运动。
晶体结构的周期性会导致电子能级的离散化，形成能带结构。
电子能带分为价带和导带，价带内填满电子的能级称为价带，填不满的为导带。
空穴带是指空缺的电子所形成的能级。
由于分子晶体能带结构对于材料的物性有着决定性的影响，因此人们可以通过调控能带结构来实现对材料性能的调节，从而实现材料的性能优化和应用拓展。
态密度是描述固体中电子的密度分布情况的物理量，它是单位能量范围内的电子数目占该能量范围的体积的比例。
态密度与电子能带结构密切相关，可以帮助我们理解和分析固体材料的导电性、光学性能等基本性质。
通过对态密度的研究，可以深入探究材料的电子行为和性质，为材料设计和开发提供重要的理论依据。
【分子晶体能带简介】的内容至此结束。
1.2 态密度简介态密度是材料科学中一个重要的概念，它指的是单位能量范围内的态数目。
在固体物理中，态密度描述了材料中电子或其他粒子能量分布的情况。
态密度是描述材料的电子结构、热容和导电性等性质的重要参数。
在材料的能带结构中，态密度可以帮助我们理解电子在材料中的分布情况。
具体来说，态密度可以反映出材料中存在的能级数量，以及这些能级分布的密度。
通过对态密度的研究，我们可以了解材料中的空穴带和导带结构，以及电子在这些能带中的行为。
态密度的概念不仅在理论研究中起着重要作用，在实际材料设计和性能优化中也非常重要。
通过调控材料的态密度，我们可以调整材料的导电性、光学性能等特性，从而实现对材料性能的控制和优化。
深入理解态密度对于材料科学和工程领域的发展具有重要意义。
2. 正文2.1 分子晶体能带结构分子晶体能带结构是指具有晶体结构的材料中，电子的能量能够排布在不同的能级上形成能带结构。
§5-7晶体中电子的能态密度
§5-7 晶体中电子的能态密度5．7．1 带底附近的能态密度在本章第一节中，我们已经得到自由电子的态密度N （E ），321222()4m N E V E π⎛⎫= ⎪⎝⎭h ……………………………………………………………………………（5-7-1） 而且N(E)~E 的关系曲线已由图5-7-1给出。
晶体中电子受到周期性势场的作用，其能量E(k )与波矢的关系不再是抛物线性质，因此式（5-7-1）不再适用于晶体中电子。
下面以紧束缚理论的简立方结构晶格的s 态电子状态为例，分析晶体中电子态密度的知识。
由前面的紧束缚理论，我们已经得到简立方结构晶格的s 能带的E(k )形式为：()()012cos cos cos s x y z E J J k a k a k a ε=--++k …………………………………………………（5-7-2）其中能量极小植在Γ点k =(0, 0, 0)处，其能量为()016s E J J ε=--k ，所以在Γ点附近的能量，可以通过将()E k 展开为在k =0处的泰勒级数而得到，以2cos 12x x =-+L ，取前两项代入，可以得到：()()()22222222011123()2s x y z s x y z E J J a k k k E J a k k k ε⎛⎫=---++=Γ-++ ⎪⎝⎭k …………………（5-7-3）在第五节，我们已经根据有效质量的定义，算得简立方晶格s 带Γ点处的有效质量为一个标量，221*02m a J =>h ……………………………………………………………………………………………（5-7-4） 代入后，可得到()22*()2s k E E m =Γ+h k …………………………………………………………………………………（5-7-5）式（5-7-5）表明：在能带底k =0附近，等能面是球面，如果以()()s E E -Γk 及*m 分别代替自由电子的能量E 及质量m ，就可得到晶体中电子在能带底附近的能态密度函数：*312222()4()[()()]s m N E V E E π=-Γhk ……………………………………………………………（5-7-6）5．7．2 带顶附近的能态密度能带顶在(,,)a a a πππ=k 的R 点处，容易知道，其能量为()016s E J J ε=-+k 。
电子态密度与能量的关系
电子态密度与能量的关系电子态密度是指单位能量范围内的状态数，是与电子能带结构密切相关的一个物理量.为了计算电子的比热和晶体的输运性质，必须用较精确的方法计算出晶体的电子态密度.大多数教材中对该部分的处理通常采用简化模型，并不能反映一般情况下态密度的计算思路.本文从电子态密度的公式出发，详细说明了二维石墨烯和三维面心立方晶格态密度的计算步骤，并且对其中细节给出了基于数值计算的详细解释.The electronic density of states is the number of states in the unit energy range.It is a physical quantity closely related to electronic energy band structure.In order to calculate the specific heat of electrons and the transport properties of crystals,a more accurate method must be used to calculate the electronic density of states.The processing of this in general textbooks usually adopts simplified models,which does not reflect the calculation ideas of states density in general.In this article,two-dimensional graphene and three-dimensional face-centered cubic lattice are explained in detail based on the formula of electronic density of states.The calculation steps of the density and a detailed explanation based on numerical calculation are given.。
《固体物理基础教程》课件第4章
布洛赫(Bloch)定理揭示了固体中电子运动的一个普遍 适用的规律，在固体物理学发展中具有里程碑式的意义，是 半导体物理发展的理论基础。而这一重大理论是年仅23岁的 布洛赫于1928年在其博士论文《金属的电导理论》中提出的。 下面我们就跟踪布洛赫的研究历程，来分析Bloch定理的提
在上面的讨论中，不难发现这样的问题，那就是根据泡 利不相容原理，每个能级上最多只能容纳自旋方向相反的两 个电子。因此，当大量原子组成晶体时，共有化运动不可能 使一个能级上拥有很多电子，而只能是能级分裂，形成能带， 即在一个相对较窄的能量范围内，具有很多个相同的能级， 相邻能级间的能量差很小，可以认为是连续分布的。这种能 级分裂形成能带的过程，可以理解为相同能级间排斥作用的 结果。于是，晶体中由于外层电子能量高，相互作用强，因 而能级分裂严重，展开形成的能带较宽，而内层电子能量低， 相互作用弱，能级分裂后形成的能带较窄，能级分裂形成能 带的过程如图4.5所示。
对于某些晶体，能级分裂成能带时没有发生交叠，于是， 孤立原子中有多少个能级，对应晶体中就有多少个能带，而 且每个能带中的能级数可由晶体中每个原子提供的对应能级 数直接确定。比如由N个锂原子(Li1s22s1)组成的Li晶体中， 1s能级分裂形成的1s能带中总共有N个1s能级，每个原子提 供两个1s电子，总共2N个1s电子正好填满1s能带。而2s能带 中总共有N个2s能级，晶体中总共N个2s电子(价电子)，只能 填充N/2个能级，因此锂晶体的导带(2s能带)为半满带，如 图4.6
第4章 能带理论
4.1 晶体中电子的共有化运动 4.2 布洛赫定理 4.3 近自由电子近似 4.4 紧束缚近似 4.5 三维实际晶体的能带 4.6 能态密度和费米能级 4.7 晶体中电子在外力作用下的运动
2.晶体中电子的能态密度
晶体中电子的能态密度5．7．1 带底附近的能态密度在本章第一节中，我们已经得到自由电子的态密度N （E ），321222()4m N E V E π⎛⎫= ⎪⎝⎭……………………………………………………………………………（5-7-1）而且N(E)~E 的关系曲线已由图5-7-1给出。
晶体中电子受到周期性势场的作用，其能量E(k )与波矢的关系不再是抛物线性质，因此式（5-7-1）不再适用于晶体中电子。
下面以紧束缚理论的简立方结构晶格的s 态电子状态为例，分析晶体中电子态密度的知识。
由前面的紧束缚理论，我们已经得到简立方结构晶格的s 能带的E(k )形式为：()()012cos cos cos s x y z E J J k a k a k a ε=−−++k …………………………………………………（5-7-2）其中能量极小植在Γ点k =(0, 0, 0)处，其能量为()016s E J J ε=−−k ，所以在Γ点附近的能量，可以通过将()E k 展开为在k =0处的泰勒级数而得到，以2cos 12x x =−+，取前两项代入，可以得到：()()()22222222011123()2s x y z s x y z E J J a k k k E J a k k k ε⎛⎫=−−−++=Γ−++ ⎪⎝⎭k …………………（5-7-3）在第五节，我们已经根据有效质量的定义，算得简立方晶格s 带Γ点处的有效质量为一个标量，221*02m a J =>……………………………………………………………………………………………（5-7-4）代入后，可得到()22*()2s k E E m =Γ+k …………………………………………………………………………………（5-7-5）式（5-7-5）表明：在能带底k =0附近，等能面是球面，如果以()()s E E −Γk 及*m 分别代替自由电子的能量E 及质量m ，就可得到晶体中电子在能带底附近的能态密度函数：*312222()4()[()()]s m N E V E E π=−Γk ……………………………………………………………（5-7-6）5．7．2 带顶附近的能态密度能带顶在(,,)a a a πππ=k 的R 点处，容易知道，其能量为()016s E J J ε=−+k 。
固体物理(第12课)能态密度ppt幻灯片
0
0
N
N
N
25C 23C
E
o F
E
o F
5/2 3/2
3 5
E
o F
上式表明,即使在绝对零度,电子的平均动能也不为0, 这不同于经典理论.
经典理论:电子的平均动能等于3kBT/2,当T趋于0K时,
平均动能为0.
量子理论：电子必须遵守泡利不相容原理.因此,即使 在绝对零度,不可能所有的电子都填在最低的能量状态. 计算结果表明,即使在T=0K,电子的速度也高达 108cm/s.
)E
EF
f
E
dE
1 2
g( E F
)E
EF
2
f E
dE
I0 g(EF ) I1 g(EF ) I2 g(EF )
类似于函数，故可 扩展到-~+
I
0
I
1
-卡门周期性边界条件。 驻波一定要求格波在边界处为0，相比之下，波恩-卡门 周期性边界条件是一种行波，比驻波的要求更加宽松。
补充：倒易格点与晶格及电子波函数的关系
晶格常数为a
的简立方
a
晶格常数b为2π/a
的倒易格点。
b对应面间距。
最大的 k，对应波
b V
b1 b2 a1 b 3(
I
2
ny
J
2
nz
K
L
L
L
L Na1 L Na2 L Na3
k空间 波矢空间 倒易点阵
b3 N3
b2 N2
b1 电子具有的波长 N1 k L L L 2 nx ny nz
能带和态密度
能带和态密度引言能带和态密度是固体物理学中的重要概念，它们对于理解物质的电子结构和导电性质具有重要意义。
能带理论是固体物理学中最基本的理论之一，它描述了电子在晶体中的运动方式和能量分布。
态密度则是描述在一定能量范围内，单位体积内存在的电子态数目。
本文将深入探讨能带和态密度的概念、性质以及在固体物理学研究中的应用。
一、能带1.1 能带结构在晶体中，原子之间存在相互作用力，导致了电子在晶格中运动时受到周期性势场的束缚。
根据量子力学原理，电子具有波粒二象性，在晶格势场下形成了波动性质。
根据布洛赫定理，在周期势场下，波函数可以表示为平面波与周期函数之积。
通过对波函数解析形式进行数学推导，可以得到离散化的能量分布。
根据离散化得到的能量分布图谱，在一维情况下可以将其表示为离散化点之间相连的线段，称为能带。
能带的形状和特征取决于晶体的结构和原子之间的相互作用。
晶体中存在多个能带，其中价带和导带是最为重要的两个能带。
价带是电子在晶体中受束缚状态下的能量分布，而导带则是电子在晶体中具有较高能量状态下的分布。
两者之间存在禁闭区域，称为禁闭区。
1.2 能带理论为了更好地理解电子在固体中运动和分布规律，科学家提出了多种模型和理论。
其中最著名且广泛应用于固体物理学研究中的是紧束缚模型和自由电子模型。
紧束缚模型假设原子之间存在较强相互作用力，电子主要局域在原子附近运动。
该模型通过考虑原子轨道之间的重叠以及相互作用力来描述电子在晶格中运动。
该模型更适用于描述局域化电子行为以及强关联效应。
自由电子模型则假设固体中的电子可以自由地运动，并且不受到其他粒子或者势场限制。
该模型通过简化数学形式，将电子视为自由粒子，从而得到了一维、二维和三维情况下的能带结构。
自由电子模型适用于描述弱关联电子行为以及导体、半导体等材料的电子结构。
二、态密度2.1 态密度的概念态密度是描述在一定能量范围内，单位体积内存在的电子态数目。
在固体物理学中，态密度是研究材料中电子行为和导电性质的重要物理量。
5.8 能态密度和费米面
5.8 能态密度和费米面：一. 能态密度二. 费米面见黄昆书4.7节与孤立原子中的本征能态形成一系列的分立能级不同，固体中电子的能级是非常密集的，形成准连续的分布，和孤立原子那样去标注每个能级是没有意义的，为了概括晶体中电子能级的状况，我们引入“能态密度”的概念，这个函数在讨论晶体电子的各种过程时特别在输运现象的分析中是非常重要的。
费米面是固体物理中最重要的概念之一。
在自由电子论中费米面的重要性在于：只有费米面附近的电子才能参与热跃迁或输运过程，决定着晶体的各种物理性质。
这里费米面的含义不变，只是晶体势场的影响使费米面的形状变得复杂，从而对性质的影响变得复杂罢了，自由电子气模型受周期场的微弱影响，近自由电子的等能面偏离自由电子的球形。
并受到布里渊区界面影响和自由电子态密度相比近自由电子的能态密度发生了明显变化。
E A原因是明显的：在4.2节已经指出，周期场的微扰使布里渊区附近界面内的能量下降，而等能面的凸出正意味着达到同样的能量E ，需要更大的k 值，当能量E 超过边界上A 点的能量E A ，一直到E 接近于在顶角C 点的能量E C （即达到第一能带的顶点）时，等能面将不再是完整的闭合面，而成为分割在各个顶角附近的曲面。
由此我们给出对近自由电子能态密度的估计：在能量没有接近E A 时，N (E)和自由电子的结果相差不多，随着能量的增加，等能面一个比一个更加强烈地向外突出，态密度也超过自由电子，在E A 处达到极大值，之后，等能面开始残破，面积开始下降，态密度下降，直到E C 时为零。
所以近自由电子近似下的N (E)如图所示。
BCC LiFermi surface[100][010]Fermi surface is distortedfrom a spherenear the zone boundary.A cusp is caused by interactionN (E )N (E )E B E BE CE C EE 。
高二物理竞赛电子状态密度课件
V
2 3
S
2mds 2 k
V
2 3
2m 2k
S
ds
V
2 3
2m 2k
4k
2 CE1/
2
C
2V
22
2m 2
3/ 2
gn E
E
16
dk q
dt h
空状态得到的加速度：
a d(k) q
dt
mn
在价带顶，电子有效质量：
mn <0
7
定义空穴有效质量：
m m
p
n
得到：
a
d(k)
dt
q
m p
8
导体、绝缘体、半导体能带图
绝缘体 导带 禁带
半导体 导带 禁带
价价带带
价价带带
导体 半满带
禁带 满带
绝缘体禁带宽度比半导体大得多；金属具有半满带；半导体禁带宽度较小，
kz
En k En k const2
ky
ds dk
En k const1
kx
Vk
S
dsdk
S
ds
En k kE nk
kE nk
Enk
i
Enk
j
Enk
k
k x
k y
k z
13
3、等能面 En k~ En k Enk 之间电子状态（量子态）数：
n
V
23
S
ds
En k kE nk
考虑每个量子态可以容纳自旋相反的两个电子：
k 状态
2
对不满带，外电场使电子状态在 k 空间平移，形成不对称分布，
沿电场方向运动的电子数目与反电场方向运动的电子数目不等， 形成电流。所以，不满带电子导电，将不满带称为导带。
能态密度和费米面
，求g(E)。
例三、简立方晶格的s带对应的能态密度N(E)。
6
例一、自由电子能态密度Ｎ(E)
2 k 解：自由电子的能量本征值： E k 2m
2
2 2 k k E 2m
2mE 自由电子等能面为球面，其半径为： k
2V ds 2V 4k 2 V 2m N E 3 3 2 2 2 2 k E 2 2 k 2 2m
VA +++ + + A VB --B VA VB
+ + + + -
+ + + +
-
A
B
功函数：WA，WB；
27
0 EF
WA
WB EF 接触电势差： VA-VB=(WB-WA)/q -eVB
EF
WA
-eVA
WB
EF
28
例：自由电子费米能级EF
V 2m N E 2 2 2
2V dsdk 3 dZ 2 2V ds N E dE dk k E 2 3 k E
5
关于能态密度的计算
公式：
dZ 2V ds N E dE 2 3 k E
例一、自由电子能态密度Ｎ(E)。
2 2 2 2 kx ky k z 例二、若已知 E ( k ) 2 m1 m 2 m3
ds
dk
2V Z V等 能 面E和E E之 间 3 2 2V dsdk 3 2
kx
(1)dk表示两等能面之间的垂直距离; (2)ds表示面积元。
4
Ⅱ.关于ΔE
固体物理学：能态密度计算
能态密度孤立原子中，能级分裂，每个能级能填两个不同状态的电子；而晶体中，能级准连续分布形成能带（能级间隔10-21eV）。
电子能级非常密集，标明每个能级没有意义但能级的密集程度可以直接反映有多少电子存在这一能量区域。
如何表示这种情况下到底密集到什么程度？为了能够在表达固体中，每个能带中的各能级是非常密集的, 形成准连续分布，不可能标明每个能级及其状态数，引人“能态密度”的概念。
能态密度的定义能量在E〜E+AE的状态数宜能态密度：N（E）= iim茶N(E) = %clE物理意义：二：能带与态密度的关系由于Ejk)是k的函数，所以在k空间En(k)二常数表示一个等能面。
又由于能态(波矢k的代表点)在k空间是均匀分布的，密度为V/(2K)3,所以，E n (k)与氐(k) +AE n (k)两等能面之间的状态数目为V△Z =--- 7 • A W(2,)3AVk 为 En(k)与 En(k)+AEn(k)等能面之间在k空间的体积.AK = dsdkdk表示两个等能面间的垂直距离dS为面积元因为 dk\^k E\ = AEV k En(k)是En(k)的梯度，|V k En(k)|表示沿等能面法线方向能量的变化率.△E V将次=〒7声代入8 = (2/)3 考虑电子的自旋时 V f dS的能态密度 帅)四 能带密度岬)=寿丁晶状态密度与晶格振动 的模式密度是相类似。
例题：求自由电子的能态密度。
空间等能面 为球面，其半径clE在球面上v/=r ，v/ = dk 解1: 自由电子的能量: Pi 2k 2 2m trkm 在球面上为一常数。
将k=^^~代入得到:n 自由电子的能态密度为:2V ?/77 -- V 能态密度：BE )F dS。
高二物理竞赛能态密度和费米面课件
在近自由电子情况下，周期场的影响主要表现在布 里渊区边界附近，而离布里渊区边界较远处，周期场对 电子运动的影响很小。
以简单立方晶体为例，考察第一布里渊区中等能面 的一个二维截面。
在布里渊区边界面的内侧：
对自由电子：EP(0)=EQ(0)
考虑周期场的影响：EQ(0) > EQ ，EP(0)EP
M M’
E0–6J1 E0–2J1 E0 E0+2J1 E0+6J1 E(Γ) E(X) E(M) E(R)
二、费米面
讨论近自由电子的费米面结构: 对金属：EＦ０>>KBT，在T>0时，只有费米面附近 的少量电子受到热激发。
费米半径的相对变化： kF kF
kBT T kBTF TF
在室温下： kF kF
❖ 按照近自由电子作必要的修正。
b. 修正的依据
❖ 电子的能量只在布里渊区边界附近偏离自由电子能 量，周期场的影响使等能面在布里渊区边界面附近发 生畸变，形成向外突出的凸包；
❖ 等能面几乎总是与布里渊区边界面垂直相交； ❖ 费米面所包围的总体积仅依赖于电子浓度，而不取决
于电子与晶格相互作用的细节； ❖ 周期场的影响使费米面上的尖锐角圆滑化。
当ECⅠ< EBⅡ时：有能隙（禁带） 当ECⅠ> EBⅡ时：出现能带重叠
E
EBⅡ ECⅠ
E ECⅠ EBⅡ
N(E)
N(E)
3. 紧束缚近似的能态密度
以简单立方晶格s带为例:
Es k E0 2J1 cos kxa cos kya cos kza
E0 s J0
在k=0，即能带底附近，等能 面近似为球面，随着E的增大， 等能面明显偏离球面。
ky kx
态密度
• 4） 对于自旋极化的体系，不能带分析类似，也应该将 majority spin和minority spin分别画出，若费米能级不 majority的DOS相交而处于minority的DOS的能隙之中， 可以说明该体系的自旋极化。 • 5）考虑LDOS，如果相邻原子的LDOS在同一个能量 上同时出现了尖峰，则我们将其称之为杂化峰（ hybridized peak），这个概念直观地向我们展示了相邻原 子之间的作用强弱。 • 由于金属的能带有可能穿越fermi能级，从而引起总 能计算时的丌连续变化。为了避免这种情况，需要引入分 数的占据态smearing。
因为原子轨道主要是以能量的高低去划分的所以态密度图能反应出电子在各个轨道的分布情况反映出原子不原子之间的相互作用情况并且还可以揭示化学键的信息
态密度
• 态密度表示单位能量范围内所允许的电子数，也就是说电 子在某一能量范围的分布情况。因为原子轨道主要是以能 量的高低去划分的，所以态密度图能反应出电子在各个轨 道的分布情况，反映出原子不原子之间的相互作用情况， 并且还可以揭示化学键的信息。态密度有分波态密度 (PDOS)和总态密度(TDoS)两种形式。
• Mulliken布居分析是指分析原子、分子以及晶体中电子在 原子核外分布的1种数据方法，通过原子布居数可以分析 价键特性，轨道杂化以及化学变化中电子转移等情况。 Mulliken布居包括重叠布居(Overlap Populations)和原子 布居(Atomic Populations)两部分。重叠布居是表征键的共 价性强弱的参数，原子布 • 居中的Mulliken电荷是表征原子离子性的参数。
• 态密度可以作为能带结构的一个可视化结果。很多分析和 能带的分析结果可以一一对应，很多术语也和能带分析相 通。但是因为它更直观，因此在结果讨论中用得比能带分 析更广泛一些。简要总结分析要点如下： • 1） 在整个能量区间之内分布较为平均、没有局域尖峰的 DOS，对应的是类sp带（此陈述有待考证—博主加）， 表明电子的非局域化性质很强。相反，对于一般的过渡金 属而言，d轨道的DOS一般是一个很大的尖峰，说明d电 子相对比较局域，相应的能带也性：若费米能级处于DOS值 为零的区间中，说明该体系是半导体戒绝缘体；若有分波 DOS跨过费米能级，则该体系是金属。此外，可以画出分 波（PDOS）和局域（LDOS）两种态密度，更加细致的 研究在各点处的分波成键情况。
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§5-7 晶体中电子的能态密度
5．7．1 带底附近的能态密度
在本章第一节中，我们已经得到自由电子的态密度N （E ）， 321222()4m N E V E π⎛⎫= ⎪⎝⎭
h ……………………………………………………………………………（5-7-1）
而且N(E)~E 的关系曲线已由图5-7-1给出。
晶体中电子受到周期
性势场的作用，其能量E(k )与波矢的关系不再是抛物线性质，因
此式（5-7-1）不再适用于晶体中电子。
下面以紧束缚理论的简立
方结构晶格的s 态电子状态为例，分析晶体中电子态密度的知识。
由前面的紧束缚理论，我们已经得到简立方结构晶格的s 能
带的E(k )形式为： ()()012cos cos cos s x y z E J J k a k a k a ε=--++k …………………………………………………（5-7-2） 其中能量极小植在Γ点k =(0, 0, 0)处，其能量为()016s E J J ε=--k ，所以在Γ点附近的能量，可以通过将()E k 展开为在k =0处的泰勒级数而得到，以2
cos 12x x =-+L ，取前两项代入，可以得到： ()()()22222222011123()2s x y z s x y z E J J a k k k E J a k k k ε⎛⎫=---++=Γ-++ ⎪⎝⎭
k …………………（5-7-3） 在第五节，我们已经根据有效质量的定义，算得简立方晶格s 带Γ点处的有效质量为一个标量，
2
21
*02m a J =>h ……………………………………………………………………………………………（5-7-4） 代入后，可得到
()22
*
()2s k E E m =Γ+h k …………………………………………………………………………………（5-7-5） 式（5-7-5）表明：在能带底k =0附近，等能面是球面，如果以()()s E E -Γk 及*
m 分别代替自由电子的能量E 及质量m ，就可得到晶体中电子在能带底附近的能态密度函数：
*312222()4()[()()]s m N E V E E π=-Γh k ……………………………………………………………（5-7-6）
5．7．2 带顶附近的能态密度
能带顶在(,,)a a a πππ=k 的R 点处，容易知道，其能量为()016s E J J ε=-+k 。
以R 点附近的
图5-7-1 自由电子能态密度
波矢(,,)x y z k k k a a a πππ=±+∆±+∆±+∆k 代入E(k )表达式中，就得到在能量极大值附近的能量表达式：
()012[cos()cos()cos()]s x y z E J J k a k a k a επππ=--±+∆+±+∆+±+∆k ………………（5-7-7） 再利用(cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-，就可得到：
01()2(cos cos cos )s x y z E J J k a k a k a ε=-+∆+∆+∆k …………………………………………（5-7-8） 将式中余弦函数展开为2
cos 12x x =-+L 后，上式变成： 2222011()2[3()]2
s x y z E J J a k k k ε=-+-∆+∆+∆k ()()()2222*()[]2s x y z E R k k k m
=-∆+∆+∆h …………………………………………………（5-7-9） 或写成
()()()2222*()()[]2s x y z E R E k k k m
-=-∆+∆+∆h k ………………………………………………（5-7-10） 式中2
*
212m a J =h ，i k ∆是波矢k 与能带顶R 的波矢之差。
所以，若以R 点为原点建立坐标系,,x y z k k k 轴，则i k ∆的意义就与i k 的意义是一样的。
因此，式（5-7-10）表示能量极大值附近的等能面是一些以R 点为球心的球面。
这样，我们就得到能带极大值附近的态密度函数：
*312222()4()[()()]s m N E V E R E π=-h
k …………………………………………………………（5-7-11） 虽然，式（5-7-10）和式（5-7-11）是从一个特例出发得到的，但却具有普遍意义。
也就是说，当能带极值处的有效质量是各向同性的，等能面是球面时，式（5-7-10）和（5-7-11）均适用。
5．7．3 非极值点处能态密度
当能量远离极值点时，晶体电子的等能面不再是球面。
图
5-7-2给出在0z k =截面上的简立方晶格电子等能面示意图。
从图看出，从原点（Γ点，是能带底）向外，等能面基本上保持为
球面的原因在于周期性场的作用，使晶体电子能量下降，为得到
与自由电子相同的能量E ，晶体电子的波矢k 就必然要大。
当能
量超过边界上的A 点的能量A E 时，等能面将不再是完整的闭合
面。
在顶角C 点（能量极大值处）附近，等能面是被分割在顶角附近的球面，到达C 点时，等能面缩成几个顶角点。
在能量接近A E 时，等能面向外突出，所以，这些等能面之
图5-7-2 紧束缚近似等能面 A C。