§1.3 概率的公理化定义及概率的性质

则A,B,C中至少发生一个的概率是多少？ A,B,C都不发生的概率
是多少？
例2 生日问题
1）500个人中至少有一人的生日在7月1日的概率是多少？ 2）n个人中至少有两个人生日相同的概率是多少？
n p
10 0.12
15 0.25
20 0.41
23 0.51
50 0.97
55 0.99
从1-9这9个数字中有放回地抽取n个数字，求:这n个数字 的乘积能被10整除的概率.
6
6
P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( A B ) (5)
特别当A与B互不相容时，P( A B) P( A) P( B)
——加法公式
推广：设A1，A2， ，An F，则有：
P（ Ai P（Ai ） ）
i 1 i 1 n n
例3
例4 从一副扑克牌（52张）中任取10张，求下列事件的概率：
A1 : 至少有一张A。 A 2 : 至多有两张A
例5（配对问题）
在一个有n个人参加的晚会上，每个人带了一件礼物，假设每
个人带的礼物都不相同，晚会期间各人从放在一起的礼物中随
机地抽取一件，问 1）至少有一个人抽到自己的礼物的概率是多少？ 2）恰好有r 个人拿到自己礼物的概率是多少？
不减(增）的事件序列
n
{ An } 均成立:
n
lim P ( An ) P ( lim An )
( 8)
则称函数为下（上）连续的.
性质：若P是F上的非负、规范的集函数，则P具有可列可 加性的充要条件是 1) P是有限可加的； 2）P在F上是下连续的.
六、应用概率性质计算概率
例1
设P（A） P（B） P（C） 1 / 4， （AB） 0， （AC） P（BC） 1 / 16 P P

6 ( n 1)( n 2 )
例3 袋中有编号为1，2，3，4的4个球，现从袋中不 放回地取4次，每次取一个球，求没有一个球的号码数 与抽取顺序相同的概率。
解 设Ai 表示i 号球与抽取顺序相同. 利用公式
P Ai） P Ai） （ （
i 1 i 1 n n
1i <j n n 1
1 4
b
1 4
2 、一赌徒认为掷一颗骰子4次至少出现一次6点与掷 两颗骰子24次至少出现一次双6点的机会是相等的。 你认为如何？ 3、 一间宿舍内有6位同学，求他们之中至少有2人的 生日在同一月份的概率。（设每个人生日在每个月 份的概率相同.
1 ( ) , 6
4
5
1 (
35 36
)
24
1
A12 12

1 i〈j n n1
P（Ai A j ）

1 i〈j〈k N
P（Ai A j Ak）
1 （ ）
P（A1 An ）
6 （）
推论：
设Ai F（i 1， 2， ），则有 P（ Ai P（Ai ） ）
i 1 i 1 n n
7 （）
6 概率的连续性 定义： 对于 F上集合函数P，若对于F中的任一单调
i 1 i 1
2） 概率是定义在事件域上非负 规范可列可加的集合函数
三
概率空间
F—事件域 P—概率
设 --样本空间
称三元总体（ , F , ）为概率空间.
四
1
概率的性质
P ( ) 0
n n
………（1）
Ai A j (1 i j n)
2
P ( Ai ) P ( Ai )
（加法公式）
( F P)
三
概率模型
概率空间
例题分析
例1 同时掷两枚骰子，求事件A为出现的点数之和等于3
的概率。
解 （1）设
i 表示 出现的点数之和为i
{ 2 , 3 ,, 12 }
P ( A) 1 11
A { 3 }
错误解法
解 2）掷两枚骰子可能出现的点数为（1，1）（1，2）… （1，6） （2，1）（2，2）…（2，6）…（6，1）…（6，6）.
二
概率的公理化定义
（P.1）非负性： P( A) 0
1） 定义在事件域F上的集合函数P称为概率，如果满足：
（P.2）规范性： P ( ) 1
（P.3）可列可加性：若
Ai F , i 1,2, Ai A j ( i j ) , 则 P ( Ai ) P ( Ai )

P Ai Aj） （
1i <j <k N

P Ai A j Ak） （
1 （ ） P A1 An） （
6） （
例4 将长度为a 线段任意折成三段，试求此三段能构成三
角形的概率。
补充习题
1 a）设P（A） 0 4，P（B） 0 3，P（A B） 0 6， 求 P（AB ） b）P（A） a，P（B） 2a，P（C） 3a， P（AB） P（AC） P（BC） b 证明： a
所以
n=36
k=2
P ( A) 2 36 1 18
由古典概型概率计算公式： 例2
n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求 ①甲、乙两人坐在一起的概率。
②甲、乙、丙坐在一起的概率。
P ( A) ( n 2 ) ! n 2 ! n! 2 n 1
P(B)
( n 3) ! n 3 ! n!
§1.3
概率的公理化定义及概率的性质
一 事件域
1. -代数
1
o o
设事件集合F 满足：
2
o
F
若A F , 则 A F

3
若Ai F , i 1,2, , 则 Ai F
i 1
则称 F为-代数（域）
2. 事件域
若F由样本空间的一些子集构成一个域，则 称 它为事件域。 F中的元素称为事件。
习题课 概率定义及性质
一 随机事件及运算
1 随机试验 5 基本事件 1 定义 1） 古典概率 3）统计概率 2 概率的性质 2 样本点 6 必然事件 3 样本空间 4 随机事件 7 不可能事件
二 事件的概率及性质
P ( A)
f ( A)
k n
2） 几何概率
P ( A)
SA S
A
n
5） 概率的公理化定义
i 1 i 1
……..（2）
3 对任意事件A有, P ( A) 1 P ( A) (3)
4
若A B , 则 1
o
o
P ( A B )wk.baidu.com P ( A) P ( B )
( 4)
2 P ( A) P ( B )
A AB B
B AB
A
B
A


5
对任意两个事件A，B 有：