材料力学七章
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材料力学第7章讲解
根据对材料的均匀、连续假设进一步推知，拉(压)杆横截面上的内力均匀分布，亦即横
衡方程： Fx 0
-FR + F2 F1 0
A
1 B 2C
FR=F2-F1=50-20=30kN
（2）计算各段轴力，研究AB段，假想
FR
1
2
F F N1
N2
F2
1-1截面将杆件分为两部分，取左端为研
A
究对象，画受力图，列方程：
1
2C
Fx 0 FN1-FR=0 FN1=FR=30kN
30kN
再研究BC段，假想2-2截面将杆件分为两部分， 取右端为研究对象，画受力图，列方程：
8
§7-2 轴向拉（压）时横截面上的内力
例题 试作此杆的轴力图。
40KN
55KN 25KN
20KN
解： 1、为求轴力方便，先求
出约束力 ∑Fx=0
-FR-F1+F2-F3+F4=0 FR=10KN
FR
取横截面1－1左边为分
A 600
B
C
300
500
D
E
400
1800 1 F1=40KN 2 F2=55KN3 F3=25KN 4 F4=20KN
截面法求内力 1）假想沿 m-m 横截面将杆切开，如图a。
2）杆件横截面 m-m 上的内力是一个分布的力系，其合力为 FN
3）由于外力的作用线沿杆的轴线，同二力平衡公理，FN的作用线 也必定沿杆的作用线。
4） FN 为杆件在横截面 m-m 上的轴力。取左半部分为研究对象图b。
Fx 0
FN F
FN F 0 图a F
§7-3 轴向拉（压）时横截面及斜截面上的应力 （1）轴向拉（压）时横截面上的应力
材料力学第七章应力状态和强度理论
2
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y
x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2
x
y
2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c
x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2
40
x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )
C
C
C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y
x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2
x
y
2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c
x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2
40
x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )
C
C
C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa
材料力学 第07章 应力状态分析与强度理论
2
sin2a t xy cos2a
18/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.3 主平面的方位及极值正应力 s x s y s x s y sa cos2a t xy sin2a 2 2 s x s y ds a 上式对a 求导 2 sin2a t xy cos2a da 2 s x s y 若a a0时，导数为 0 sin2a 0 t xy cos2a 0 0 2 2t xy tan2a 0 s x s y
7.2.5 应力圆
t
sx
tyx
sy
sx txy sy
D(sx,txy) 1. 确定点 D (s ,t ) x xy
O
D'(sy,tyx)
C
s
2. 确定点D' (sy,tyx) tyx= －txy 3. 连接DD'与s 轴交于点C 4. 以 C 为圆心，CD（CD'） 为半径画圆。
26/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆
sx sy sz
sxs1 100 MPas 2
0 MPas 3 120 MPa
11/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态 三个主应力中仅有一个主应力不为零 单向应力状态
s1
s1
F
A
F
12/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态
O
D'(sy,tyx)
C sx－ sx sy/2
s
27/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆 利用应力圆确定角a 斜截面上的正应力和切应力
sin2a t xy cos2a
18/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.3 主平面的方位及极值正应力 s x s y s x s y sa cos2a t xy sin2a 2 2 s x s y ds a 上式对a 求导 2 sin2a t xy cos2a da 2 s x s y 若a a0时，导数为 0 sin2a 0 t xy cos2a 0 0 2 2t xy tan2a 0 s x s y
7.2.5 应力圆
t
sx
tyx
sy
sx txy sy
D(sx,txy) 1. 确定点 D (s ,t ) x xy
O
D'(sy,tyx)
C
s
2. 确定点D' (sy,tyx) tyx= －txy 3. 连接DD'与s 轴交于点C 4. 以 C 为圆心，CD（CD'） 为半径画圆。
26/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆
sx sy sz
sxs1 100 MPas 2
0 MPas 3 120 MPa
11/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态 三个主应力中仅有一个主应力不为零 单向应力状态
s1
s1
F
A
F
12/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态
O
D'(sy,tyx)
C sx－ sx sy/2
s
27/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆 利用应力圆确定角a 斜截面上的正应力和切应力
材料力学第七章 应力状态
主平面的方位：
tan
2a0
2 xy x
y
主应力与主平面的对应关系： max 与切应力的交点同象限
例题：一点处的平面应力状态如图所示。
已知 x 60MPa， xy 30MPa, y 40MPa, a 30。
试求（1）a 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
x y cos 2a
2
x sin 2a
x
a
x y sin 2a
2
x cos 2a
300
10 30 2
10 30 cos 60020sin 600
2
2.32 MPa
300
10 30 sin 600 2
20cos 600
1.33 MPa
a
20 MPa
c
30 MPa
b
n1
y xy
a x
解：（1）a 斜面上的应力
y xy
a
x
2
y
x
2
y
cos 2a
xy
sin 2a
60 40 60 40 cos(60 ) 30sin(60 )
2
2
a x 9.02MPa
a
x
y
2
sin
2a
xy
cos
2a
60 40 sin(60 ) 30cos(60 ) 2
58.3MPa
2
1.33 MPa
300 600 x y 40 MPa
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ 的和为
一常数。
证明： a
x y
《材料力学》第七章课后习题参考答案
题目二
说明杆件在拉伸或压缩时，其 应力与应变的关系。
题目三
一矩形截面梁，长度为L，截面 积为A，弹性模量为E，泊松比 为v，求梁的临界截面转角。
题目四
一圆截面杆，直径为D，弹性模 量为E，泊松比为v，求杆的临 界截面转角。
答案
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
答案一
材料力学的研究对象是 固体，特别是金属和复 合材料等工程材料。其 基本假设包括连续性假 设、均匀性假设、各向 同性假设和小变形假设 。
解析四
圆截面杆的临界截面转角是指杆在受到扭矩作用 时发生弯曲变形的角度。通过弹性力学和材料力 学的知识，我们可以计算出这个角度的值。其中 ，D表示杆的直径，E表示杆的弹性模量，v表示 杆的泊松比。
03
习题三答案及解析
题目
• 题目：一矩形截面简支梁，其长度为L，截面高为h，宽度为b，且h/b=2，梁上作用的均布载荷q=100N/m，试求梁上最大 弯矩值Mmax。
解释了材料力学的基本假设，包括连续性假设、 均匀性假设、各向同性假设和线性弹性假设。这 些假设是材料力学中常用的基本概念，对于简化 复杂的实际问题、建立数学模型以及进行实验研 究具有重要的意义。
题目二解析
强调了材料力学在工程实践中的重要性，说明了 它为各种工程结构的设计、制造、使用和维护提 供了理论基础和实验依据，能够保证工程结构的 可靠性和安全性。这表明了材料力学在工程实践 中的实际应用价值。
题目四解析
解释了材料力学中的应力和应变概念，说明了应 力表示单位面积上的内力，应变表示材料在受力 过程中发生的变形程度。这些概念是材料力学中 的基本概念，对于理解和分析材料的力学行为具 有重要的意义。
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材料力学第07章应力状态与应变状态分析
以上由单元体公式
应力圆（原变换）
下面寻求： 由应力圆
单元体公式（逆变换）
只有这样，应力圆才能与公式等价
换句话，单元体与应力圆是否有一一对应关系？
为什么说有这种对应关系？
DE R sin[180o ( 2 20 )] R sin( 2 20 )
( R cos 20 ) sin 2 ( R cos 20 )cos 2
2
cos2
xy
sin 2
同理：
x
y
2
sin 2
xy
cos2
n
Ox
图2
二、极值应力
令:d
d
0
x
y
sin202 xycos200
由此得两个驻点：
01、（
01
2
）和两个极值：
tg20
2 xy x
y
y
mm
ax in
x
y ±（x
2
y
2
）2
2 xy
0 0极值正应力就是主应力 ！
y
O
x
七、主单元体、主平面、主应力：
y
y
主单元体(Principal bidy)：
x
各侧面上剪应力均为零的单元体。
z
z
2
3
主平面(Principal Plane)：
剪应力为零的截面。 x
主应力(Principal Stress ）：
主平面上的正应力。
1
主应力排列规定：按代数值大小，
1 2 3
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。
A
材料力学 第七章 应力状态和强度理论
y
2
2 xy
tan 2a0
2 xy x
y
max
1
2
3
主应力符号与规定： 1 2 3 （按代数值）
§7-3 空间应力状态
与任一截面相对应 的点，或位于应力 圆上，或位于由应 力圆所构成的阴影 区域内
max 1 min 3
max
1
3
2
最大切应力位于与 1 及 3 均成45的截面上
针转为正，顺时针转为负。
tg 2a 0
2 x x
y
在主值区间，2a0有两个解，与此对应的a0也有两个解，其中落
在剪应力箭头所指象限内的解为真解，另一解舍掉。
三、应力圆
由解析法知，任意斜截面的应力为
a
x y
2
a x
x
y
2
y cos2a
2
sin 2a x c
x s os2a
in
2a
广义胡克定律
1、基本变形时的胡克定律
1）轴向拉压胡克定律
x E x
横向变形
y
x
x
E
2）纯剪切胡克定律
G
y
x x
2、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法
2
2
1
1
3
3
1
1
E
2
E
3
E
1
1 E
1
2
3
同理
2
1 E
2
3
1
广义胡克定律
3
1 E
3
1
2
7-5, 7-6
§7-4 材料的破坏形式
⒈ 上述公式中各项均为代数量，应用公式解题时，首先应写清已 知条件。
材料力学性能第七章金属的磨损ppt课件
➢形态特征：小针状或痘状凹坑， 45 贝壳状
➢ 根据剥落裂纹起始位置及形态不同，分为：
➢ (1) 麻点剥落（点蚀）
➢ (2) 浅层剥落
➢
(3) 深层剥落（表面压碎）
46
2. 接触应力
➢ 两物体相互接触时，在表面上产生的局部压入应力称 为接触应力，也称为赫兹应力。
➢ 线接触（齿轮）与点接触（滚珠轴承）
上图为温度对胶合磨损的影响，可以看出， 当表面温度达到临界值(约80℃)时, 磨损量 和摩擦系数都急剧增加。
17
润滑油、润滑脂的影响
在润滑油、润滑脂中加人油性或极压添加剂能提高润 滑油膜吸附能力及油膜强度，能成倍地提高抗粘着磨 损能力。
油性添加剂是由极性非常强的分子组成，在常温条件 下，吸附在金属表面上形成边界润滑膜，防止金属表 面的直接接触，保持摩擦面的良好润滑状态。
磨损是一个复杂的系统工程
6
机件正常运行的磨损过程
（a）磨损量与 时间或行程关系曲线；
（b）磨损速率与 时间或行程关系曲线
7
3. 磨损的分类方法
粘着磨损 磨粒磨损
冲蚀磨损 疲劳磨损 微动磨损 腐蚀磨损
8
§7.2 磨损模型
一、粘着磨损 1. 磨损机理 ➢定义：在滑动摩擦条件下，当摩擦副相对滑动速 度较小（钢小于1m/s）时发生的， ➢原因：缺乏润滑油，摩擦副表面无氧化膜，且单 位法向载荷很大，σ接触＞σs又称咬合磨损
36
主轴转速 ： 60r/min ～ 12000r/min
主轴转速示值准确度： ± 2r/min
高温炉温度范围： 室温～ 800℃；
高温炉密封性能： 在连续充入氮气（纯度
99.9%以上）的条件下，炉内 氧气含量应能达到1%以下。 最大负荷：
➢ 根据剥落裂纹起始位置及形态不同，分为：
➢ (1) 麻点剥落（点蚀）
➢ (2) 浅层剥落
➢
(3) 深层剥落（表面压碎）
46
2. 接触应力
➢ 两物体相互接触时，在表面上产生的局部压入应力称 为接触应力，也称为赫兹应力。
➢ 线接触（齿轮）与点接触（滚珠轴承）
上图为温度对胶合磨损的影响，可以看出， 当表面温度达到临界值(约80℃)时, 磨损量 和摩擦系数都急剧增加。
17
润滑油、润滑脂的影响
在润滑油、润滑脂中加人油性或极压添加剂能提高润 滑油膜吸附能力及油膜强度，能成倍地提高抗粘着磨 损能力。
油性添加剂是由极性非常强的分子组成，在常温条件 下，吸附在金属表面上形成边界润滑膜，防止金属表 面的直接接触，保持摩擦面的良好润滑状态。
磨损是一个复杂的系统工程
6
机件正常运行的磨损过程
（a）磨损量与 时间或行程关系曲线；
（b）磨损速率与 时间或行程关系曲线
7
3. 磨损的分类方法
粘着磨损 磨粒磨损
冲蚀磨损 疲劳磨损 微动磨损 腐蚀磨损
8
§7.2 磨损模型
一、粘着磨损 1. 磨损机理 ➢定义：在滑动摩擦条件下，当摩擦副相对滑动速 度较小（钢小于1m/s）时发生的， ➢原因：缺乏润滑油，摩擦副表面无氧化膜，且单 位法向载荷很大，σ接触＞σs又称咬合磨损
36
主轴转速 ： 60r/min ～ 12000r/min
主轴转速示值准确度： ± 2r/min
高温炉温度范围： 室温～ 800℃；
高温炉密封性能： 在连续充入氮气（纯度
99.9%以上）的条件下，炉内 氧气含量应能达到1%以下。 最大负荷：
材料力学-第七章-强度理论
脆性断裂,最大拉应力准则
r1 = max= 1 [] 其次确定主应力
ma xx 2y 1 2 xy2 4x 2y 2.2 9 M 8 P
m inx 2y 1 2 xy2 4x 2y 3 .7M 2 P
1＝29.28MPa,2＝3.72MPa, 3＝0
r113M 0 Pa
根据常温静力拉伸和压缩试验,已建立起单向应力状态下的弹 性失效准则;
考虑安全系数后，其强度条件
根据薄壁圆筒扭转实验,可建立起纯剪应力状态下的弹性失 效准则;
考虑安全系数后，强度条件
建立常温静载复杂应力状态下的弹性失效准则: 强度理论的基本思想是:
确认引起材料失效存在共同的力学原因,提出关于这一 共同力学原因的假设;
像铸铁一类脆性材料均具有 bc bt 的性能，
可选择莫尔强度理论。
思考题:把经过冷却的钢质实心球体,放入沸腾的热油锅 中,将引起钢球的爆裂,试分析原因。
答:经过冷却的钢质实心球体,放入沸腾的热油锅中, 钢 球的外部因骤热而迅速膨胀,其内芯受拉且处于三向均 匀拉伸的应力状态因而发生脆性爆裂。
思考题: 水管在寒冬低温条件下,由于管内水结冰引起体 积膨胀,而导致水管爆裂。由作用反作用定律可知,水 管与冰块所受的压力相等,试问为什么冰不破裂,而水管 发生爆裂。
局限性:
1、未考虑 2 的影响，试验证实最大影响达15%。
2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象, 此准则也称特雷斯卡（Tresca）屈服准则
4. 畸变能密度理论（第四强度理论） 材料发生塑性屈服的主要因素是 畸变能密度;
无论处于什么应力状态,只要危险点处畸变能密度达到 与材料性质有关的某一极限值,材料就发生屈服。
具有屈服极限 s
铸铁拉伸破坏
r1 = max= 1 [] 其次确定主应力
ma xx 2y 1 2 xy2 4x 2y 2.2 9 M 8 P
m inx 2y 1 2 xy2 4x 2y 3 .7M 2 P
1＝29.28MPa,2＝3.72MPa, 3＝0
r113M 0 Pa
根据常温静力拉伸和压缩试验,已建立起单向应力状态下的弹 性失效准则;
考虑安全系数后，其强度条件
根据薄壁圆筒扭转实验,可建立起纯剪应力状态下的弹性失 效准则;
考虑安全系数后，强度条件
建立常温静载复杂应力状态下的弹性失效准则: 强度理论的基本思想是:
确认引起材料失效存在共同的力学原因,提出关于这一 共同力学原因的假设;
像铸铁一类脆性材料均具有 bc bt 的性能，
可选择莫尔强度理论。
思考题:把经过冷却的钢质实心球体,放入沸腾的热油锅 中,将引起钢球的爆裂,试分析原因。
答:经过冷却的钢质实心球体,放入沸腾的热油锅中, 钢 球的外部因骤热而迅速膨胀,其内芯受拉且处于三向均 匀拉伸的应力状态因而发生脆性爆裂。
思考题: 水管在寒冬低温条件下,由于管内水结冰引起体 积膨胀,而导致水管爆裂。由作用反作用定律可知,水 管与冰块所受的压力相等,试问为什么冰不破裂,而水管 发生爆裂。
局限性:
1、未考虑 2 的影响，试验证实最大影响达15%。
2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象, 此准则也称特雷斯卡（Tresca）屈服准则
4. 畸变能密度理论（第四强度理论） 材料发生塑性屈服的主要因素是 畸变能密度;
无论处于什么应力状态,只要危险点处畸变能密度达到 与材料性质有关的某一极限值,材料就发生屈服。
具有屈服极限 s
铸铁拉伸破坏
材料力学第七章课件
(Analysis of stress-state and strain-state)
根据材料在复杂应力状态下破坏时的一些现象与形式 ,进行
分析,提出破坏原因的假说.在这些假说的基础上,可利用材料 在单向应力状态时的试验结果 , 来建立材料在复杂应力状态 下的强度条件. 基本观点 构件受外力作用而发生破坏时，不论破坏的表面现象如何
(Analysis of stress-state and strain-state)
最大正应力
最大线应变
引起破坏 的某一共同 因素
最大切应力
形状改变 比能
(Analysis of stress-state and strain-state)
三、四个强度理论 (Four failure criteria)
§7-9 复杂应力状态的应变能密度
一、应变能密度的定义（2.9节）
物体在单位体积内所积蓄的应变能
二、应变能密度的计算公 式
1、单向应力状态下, 物体内所积蓄的应变能密度为
1 σ2 E 2 vε σε ε 2 2E 2
如应力和应变的关系是线性的，应变能和外力做功在数值上相等. 但它应该只决定于外力和变形的最终数值。而与加力的次序无关。 如用不同的加力次序可得到不同的应变能，那么按照一个存储能 量多的次序加力，而按照一个存储能量少的次序解除外力，完成
4、通常情况下，描述一点的应力状态需要九个应 力分量，如下图所示，考虑到切应力互等定理，
都分别相等。这样，原来的九个应力分量中独立 的就只有六个。这种普遍情可看作三组单向应力 和三组纯剪切的组合。对于各向同性材料，线应 变只与正应力有关，而与切应力无关。切应变只 与切应力有关，而与正应力无关。这样我们就可 以利用上面几个公式求出各应力分量各自对应的 应变。然后再进行叠加。
材料力学 第7章 扭转
Me
T Me
m
m Me
xn
2. 扭矩的符号规定
Me
T
T矢量的方向与截面外法线方 向相同时为正，反之为负。
n
x
T Me
7.2 扭矩和扭矩图
3. 扭矩图 (1) 定义：扭矩随杆轴线变化规律的图线称为扭矩图。 (2) 扭矩图的绘制步骤： ① 确定扭矩随截面位置的变化规律， ② 建立扭矩坐标系， ③ 画扭矩图。
7.2 扭矩和扭矩图
例7-1 已知一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 PA=36kW， 从动轮输出 PB=PC=11kW，PD=14kW，求指定截面的扭矩。
解： 1. 计算外力偶矩
MB
B
MA
9549
PA n
1146(N m)
MC
1
2n
C
A
1
2 MA
MD
3
D
3
M B MC 350N m
7.3 圆轴扭转时的应力分析和强度计算
钻杆
7.3 圆轴扭转时的应力分析和强度计算
传动轴
第七章 扭转
7.1 引言 7.2 扭矩和扭矩图 7.3 圆轴扭转时的应力分析和强度计算 7.4 圆轴扭转时的变形计算和刚度设计
7.4 圆轴扭转时的变形计算和刚度设计
一、圆轴扭转时的变形
dφ T dx GIP dφ T dx
WP
πD13 16
D1
3 16Tmax 3 16 1.5 106
π[ τ ]
π 60
50mm
D1
(2) 空心轴
τ max
Tmax WP
[τ]
WP
πD23 (1 16
α4 )
d2
D2
T Me
m
m Me
xn
2. 扭矩的符号规定
Me
T
T矢量的方向与截面外法线方 向相同时为正，反之为负。
n
x
T Me
7.2 扭矩和扭矩图
3. 扭矩图 (1) 定义：扭矩随杆轴线变化规律的图线称为扭矩图。 (2) 扭矩图的绘制步骤： ① 确定扭矩随截面位置的变化规律， ② 建立扭矩坐标系， ③ 画扭矩图。
7.2 扭矩和扭矩图
例7-1 已知一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 PA=36kW， 从动轮输出 PB=PC=11kW，PD=14kW，求指定截面的扭矩。
解： 1. 计算外力偶矩
MB
B
MA
9549
PA n
1146(N m)
MC
1
2n
C
A
1
2 MA
MD
3
D
3
M B MC 350N m
7.3 圆轴扭转时的应力分析和强度计算
钻杆
7.3 圆轴扭转时的应力分析和强度计算
传动轴
第七章 扭转
7.1 引言 7.2 扭矩和扭矩图 7.3 圆轴扭转时的应力分析和强度计算 7.4 圆轴扭转时的变形计算和刚度设计
7.4 圆轴扭转时的变形计算和刚度设计
一、圆轴扭转时的变形
dφ T dx GIP dφ T dx
WP
πD13 16
D1
3 16Tmax 3 16 1.5 106
π[ τ ]
π 60
50mm
D1
(2) 空心轴
τ max
Tmax WP
[τ]
WP
πD23 (1 16
α4 )
d2
D2
材料力学 第七章 弯曲变形
，
FA
3FP 4
(↑)
3FP
FP
FC
FP 4
(↑)
4
4
明德行远 交通天下
材料力学
（2）分段列梁的弯矩方程
AB段：
M1(x)
3 4
FP x
0x l 4
3
l
BC段：
M 2 ( x)
4
FP x
-
FP (x
-
) 4
l xl 4
（3）积分法求梁的挠曲线
挠曲线近似微分方程
EI
d 2w1 dx2
=
-
M1(x)
-
wC- wC
P
A （b）
图（b）： wA 0 A 0
或写成w C
左
wC右
光滑条件
C- C
或写成 C 左 C 右
明德行远 交通天下
材料力学
讨论： ①适用于小变形、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 ②可求解各种载荷作用下等截面或变截面梁上任意位置处的位移。 ③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、光滑连续条件）确定。 ④优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。
（2）
EIzw=EIz = -
q(x)dx3
1 2
C1x2
C2
x
C3
（3）
明德行远 交通天下
材料力学
例题7-1如图所示，受集中荷载的简支梁AC。已知EI、l、FP。试写出梁的挠 度方程和转角方程，并求截面A和C处的转角及B截面处的挠度。
明德行远 交通天下
y
FP
A
B
θA wB
l 4
EI
3l 4
C
θC
材料力学第七章知识点总结
研究应力状态的目的：找出一点处沿不同方向应力的变化
规律，确定出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建 立适当的强度条件。
材料力学
3、一点的应力状态的描述
研究一点的应力状态，可对一个 包围该点的微小正六面体——单 元体进行分析
在单元体各面上标上应力 各边边长 dx , dy , dz
——应力单元体
三、几个对应关系
点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面
上的正应力和切应力；
y
σy
n
τ
H (σα ,τα )
τ yxHτ xy来自αxσx
(σy ,Dτyx)
2α A (σx ,τxy)
c
σ
σx +σ y
2
转向对应——半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致； 二倍角对应——半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。
α =α0
=
−2⎢⎡σ x
⎣
−σ y
2
sin 2α0
+τ xy
cos
2α
0
⎤ ⎥
⎦
=0
=
−2τ α 0
τα0 = 0
tg
2α 0
=
− 2τ xy σx −σ y
可以确定出两个相互垂直的平面——主平面，分别为
最大正应力和最小正应力所在平面。
主平面的方位
(α0 ; α0′ = α0 ± 900 )
主应力的大小
材料力学
四、在应力圆上标出极值应力
τ
τ max
x
R
O σ min
2α12α0A(σx ,τxy)
c
σ
σ
max
(σy ,τyx) D
规律，确定出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建 立适当的强度条件。
材料力学
3、一点的应力状态的描述
研究一点的应力状态，可对一个 包围该点的微小正六面体——单 元体进行分析
在单元体各面上标上应力 各边边长 dx , dy , dz
——应力单元体
三、几个对应关系
点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面
上的正应力和切应力；
y
σy
n
τ
H (σα ,τα )
τ yxHτ xy来自αxσx
(σy ,Dτyx)
2α A (σx ,τxy)
c
σ
σx +σ y
2
转向对应——半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致； 二倍角对应——半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。
α =α0
=
−2⎢⎡σ x
⎣
−σ y
2
sin 2α0
+τ xy
cos
2α
0
⎤ ⎥
⎦
=0
=
−2τ α 0
τα0 = 0
tg
2α 0
=
− 2τ xy σx −σ y
可以确定出两个相互垂直的平面——主平面，分别为
最大正应力和最小正应力所在平面。
主平面的方位
(α0 ; α0′ = α0 ± 900 )
主应力的大小
材料力学
四、在应力圆上标出极值应力
τ
τ max
x
R
O σ min
2α12α0A(σx ,τxy)
c
σ
σ
max
(σy ,τyx) D
《材料力学》第七章
h
6
为什么要研究一点的应力状态?
1. 判断受力构件上哪一点、沿哪个方向的应力最大？哪个 点、哪个方向最危险？从而解决构件在复杂应力状态下的强 度计算提供条件，解决其强度问题。
2.解释变形构件的变形现象和破坏原因。
3.在弹性力学、塑性力学和断裂力学等学科的研究中都要广 泛用到应力状态理论。
要研究一点的应力状态，
σx
应力所在平面的法线方
向的方向，即其方向
σx
τxy
应力的方向
τxy
应力所在平面的法线方向
应力的符号规定为：
正应力以拉应力为正、压应力为负；切应力对单元体内
任意点的矩顺时针转向时为正；反之为负。
h
16
一、斜截面上的应力
设σx 、σy、τxy和τyx已知，取任意斜截面ef的方位角α>0， 用截面法求ef面上的正应力σα和切应力τα。
有正应力，又有切应力。
FN A
原始单元体
求出
h
任一单元体
coos 2
1 2
sin2
8
又如矩形截面悬臂梁，在梁上边缘A、B、C点处截 取单元体，其原始单元体如图：
My Iz
FSS* I zb
应该指出：
1.认为单元体各面上的应力
均匀分布；
m二原始单元体如在m点周围按图c的方式截取单元体使其和纸面垂直的四个侧面既丌不杆件轴线平行又丌不轴线垂直均为杆件的斜截面则四个侧面上既有正应力又有切应力
第七章 应力和应变分析 强度理论
h
1
基本要求: 1.熟悉应力状态的概念； 2.掌握用解析法和图解法计算二向应力状态下斜截面的应力、主 应力及最大最小切应力； 3.了解三向应力状态，会计算最大切应力； 4.了解广义胡克定律； 5.会应用四种强度理论进行复杂应力状态下构件的强度计算。
材料力学第七章
单向应力状态又称简单应力状态；平面和空间应 力状态又称复杂应力状态。
§7-2
平面应力状态分析
一、平面应力状态分析的解析法 1．平面应力状态图示(一般表现形式)：
sy sx sy txy sx sx tyx sx txy sy
tyx
平面应力状态一般表现为：单元体有一对侧面应力 为零，其它四个侧面的应力都平行于该侧面。 (也可能是单向应力状态，需具体计算分析)
用法线平行的轴表示面，如x面为法线平行于 x轴的面；
§7-1
一点的应力状态
二、研究应力状态的方法 2．单元体上的应力分量： 2)各面应力分量共有九个，独立分量有六个； 切应力互等定理：t yz t zy，t zx t xz，t xy t yx
s 11 s 12 s 13 s x t xy t xz 3)应力矩阵： s ij s 21 s 22 s 23 t yx s y t yz t t s s 31 s 32 s 33 zx zy z 3．截取单元体的方法、原则： 用三个坐标轴(笛卡尔或极坐标)在一点截取， 因其微小，统一看成微小长方体； 各个面上的应力已知或可求；
t' s x s y s 's " 2 t xy 2)极值切应力： t '' 2 2
3)极值切应力与主应力方位的关系： 1 —极值切应力平面与 tan 2a 0 主平面成45o tan 2a1
2
§7-2 一、平面应力状态分析的解析法 5．主应力迹线：
§7-2
平面应力状态分析
总
结
任一斜截面上的应力 s x s y s x s y cos 2a t xy sin 2a s a 2 2 s x s y t a sin 2a t xy cos 2a 2 主应力，主平面方位
§7-2
平面应力状态分析
一、平面应力状态分析的解析法 1．平面应力状态图示(一般表现形式)：
sy sx sy txy sx sx tyx sx txy sy
tyx
平面应力状态一般表现为：单元体有一对侧面应力 为零，其它四个侧面的应力都平行于该侧面。 (也可能是单向应力状态，需具体计算分析)
用法线平行的轴表示面，如x面为法线平行于 x轴的面；
§7-1
一点的应力状态
二、研究应力状态的方法 2．单元体上的应力分量： 2)各面应力分量共有九个，独立分量有六个； 切应力互等定理：t yz t zy，t zx t xz，t xy t yx
s 11 s 12 s 13 s x t xy t xz 3)应力矩阵： s ij s 21 s 22 s 23 t yx s y t yz t t s s 31 s 32 s 33 zx zy z 3．截取单元体的方法、原则： 用三个坐标轴(笛卡尔或极坐标)在一点截取， 因其微小，统一看成微小长方体； 各个面上的应力已知或可求；
t' s x s y s 's " 2 t xy 2)极值切应力： t '' 2 2
3)极值切应力与主应力方位的关系： 1 —极值切应力平面与 tan 2a 0 主平面成45o tan 2a1
2
§7-2 一、平面应力状态分析的解析法 5．主应力迹线：
§7-2
平面应力状态分析
总
结
任一斜截面上的应力 s x s y s x s y cos 2a t xy sin 2a s a 2 2 s x s y t a sin 2a t xy cos 2a 2 主应力，主平面方位
材料力学第7章
积分一次： Fb 2 EIw1 x C1 2l 积分二次： Fb 3 EIw1 x C1 x D1 6l
11
CB段（a x l）: 弯矩方程：
Fb M 2 x x F x a l
挠曲线近似微分方程：
Fb EIw2 x F x a l Fb 2 F 2 x x a C2 积分一次： EIw2 2l 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1 x 0
Fab l b , B 2 6lEI
Fab l a B = 6lEI
Fl 3 Fl 3 Fl 3 2 EI 6 EI 3EI
7
wmax w x l
例题7.2：图示弯曲刚度为EI的简支梁，受集度为q的均布 荷载作用，试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最 大挠度和最大转角。 解：由平衡方程得支座反力 ql FA FB 2 建立坐标系，得梁的弯矩方程为 1 1 2 M x qlx qx 2 2 梁挠曲线近似微分方程
1 3 C ql ， D 0 24
9
梁的转角方程
q w (4 x3 6lx 2 l 3 ) 24 EI
梁的挠曲线方程
(5)
qx w ( x3 2lx 2 l 3 ) 24 EI
最大转角
(6)
max
ql 3 A B 24 EI
2
最大挠度
M ( x) F l x
1
挠曲线近似微分方程
EIw M x F l x 2 两次积分，得 1 2 EIw Flx Fx C 2 1 1 3 2 EIw Flx Fx Cx D 2 6
材料力学 第七章 应力状态与强度理论
取三角形单元建立静力平衡方程
n 0
dA ( xdA cos ) sin ( xdA cos ) cos ( y dA sin ) cos ( y dA sin ) sin 0
t 0
dA ( xdA cos ) cos ( xdA cos ) sin ( y dA sin ) sin ( y dA sin ) cos 0
2 2
cos 2 x sin 2
2 x y 2 x y ( ) ( cos 2 x sin 2 )2
2
2
x y
sin 2 x cos 2
( 0) (
x y
2
2
sin 2 x cos 2 )
max x y x y 2 x 2 2 min
2
max
1 3
2
例7-2 试求例7-1中所示单元体的主应力和最大剪应力。
（1）求主应力的值
x 10MPa, y 30MPa, x 20MPa max x y x y 2 2 x min 2
复杂应力状态下（只就主应力状态说明） 有三个主应力
1 , 2 , 3
1
E
由 1引起的线段 1应变 1
由 2引起的线段 1应变 1
2
由 3引起的线段1应变 1
3
E
E
沿主应力1的方向的总应变为：
1 1 1 1
1 42.4 1 3 2 0 MPa 由 max 3 2.4 2
材料力学第七章 梁的变形
EIy1=－Fx13/9＋ 5Fa2x1/9 EIy2=－Fx23/9＋F(x2－a )3/6＋ 5Fa2x2/9
（0≤x1 ≤a）
（ a ≤x2 ≤3a ）
7. 求ymax , θmax
x 0,
max
A
5Fa2 9EI
（）
x 1.367a,
ymax
0.4838 Fa3 EI
21
F
A
C
在如图所示的座标系下，顺时针转为正，反之为负。
转角方程 θ = θ（x）
平行于轴线方向的线位移忽略
7
挠度与转角的关系：
θ θ’
y
x y
小变形
θ =θ ′
tgθ ′ ≈ θ ′ = y′
y dy
dx
x
8
§7-2 直梁挠曲线近似微分方程
一、挠曲线近似微分方程
纯弯曲 k 1 M
EIz
(x)
F C yCF
42
例题4
怎样用叠加法确定C 和 yC ?
q
A
B
C
yC
l
l
C
2
2
43
A
B
l 2
q
C
yC
l
C
2
A
l 2
A
l 2
q
B
l 2
q
B
l 2
A
q
l
B
l
2
2
44
简单静不定梁（超静定梁）
一、静定梁
F Fl
A
B
C
l
l
2
2
qa
A
B
C
a
a
45
材料力学-07-应力分析和强度理论
§7-2 平面应力状态 平面应力状态--解析法 平面应力状态 解析法： 解析法
1.斜截面上的应力 1.斜截面上的应力
y
σx
a
τ yx
τ xy
σx α
τa
n
τ xy
σa
dA
x
σy
n
τ yx
σy
t
t
∑F = 0
∑F =0
13
§7-2 平面应力状态 平面应力状态--解析法 平面应力状态 解析法： 解析法
tan 2α0 = − 2τ xy
σ x −σ y
由上式可以确定出两个相互垂直的平面， 由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别 为最大正应力和最小正应力所在平面。 为最大正应力和最小正应力所在平面。 所以，最大和最小正应力分别为： 所以，最大和最小正应力分别为：
σmax = σ x +σ y
2 1 + 2 − 1 2
单元体
单元体——构件内的点的代表物， 单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点的 ——构件内的点的代表物 无限小的几何体。 常用的是正六面体。 无限小的几何体。 常用的是正六面体。 单元体的性质—— 平行面上，应力均布； 单元体的性质——1) 平行面上，应力均布； —— 2) 平行面上，应力相等。 平行面上，应力相等。
2 2
σy
τ xy
α
60 − 40 60 + 40 = + cos(−60o ) + 30 sin(−60o ) 2 2
σx
= 9.02 MPa
τα =
σ x −σ y
2 60 + 40 = sin(−60o ) − 30 cos(−60o ) 2
材料力学第七章应力应变分析
x
y
2
x
2
y
cos 2
xy sin 2
x
y
2
sin 2
xy cos 2
1、最大正应力的方位
令
d d
2[
x
y sin 2
2
xy cos 2 ] 0
tg 2 0
2 xy x
y
0 0
90
0 和 0+90°确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应 力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面.
的方位.
m
m a
A
l
解： 把从A点处截取的单元体放大如图
x 70, y 0, xy 50
A
tan 20
2 xy x y
2 50 1.429
1
3
(70) 0
0
A
x
0
27.5 62.5
3
1
因为 x < y ，所以 0= 27.5° 与 min 对应
max min
x
2
y
(
x
2
y )2
三、应力状态的分类
1、空间应力状态
三个主应力1 、2 、3 均不等于零
2、平面应力状态
三个主应力1 、2 、3 中有两个不等于零
3、单向应力状态
三个主应力 1 、2 、3 中只有一个不等于零
2 3
2
1
1
1
1
1
3 2
2
1
例题 1 画出如图所示梁S截面的应力状态单元体.
F
5
S平面
4
3
l/2
2
l/2 1
任意一对平行平面上的应力相等
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第七章平面弯曲内力
1. 试求图示梁指定截面上的剪力和弯矩。
设q，a均为已知。
2. 试求图示梁指定截面上的剪力和弯矩。
设q，a均为已知。
3. 试求图示梁指定截面上的剪力和弯矩。
设q，a均为已知。
4. 试求图示梁指定截面上的剪力和弯矩。
设q，a均为已知。
M max。
设q，l均为已知。
M max。
设l，Me均为已知。
M max。
设l，F均为已知。
8. 试列出图示梁的剪力方程和弯矩方程，画剪力图和弯矩图，并求出F S
和
，max
M max。
设q，F,l均为已知。
9.试列出图示梁的剪力方程和弯矩方程，画剪力图和弯矩图，并求出F S
和
，max M max。
设q，l均为已知。
10. 试列出图示梁的剪力方程和弯矩方程，画剪力图和弯矩图，并求出F S
，max 和M max。
设q，l，F，M e均为已知。
11. 不列剪力方程和弯矩方程，画出图示各梁的剪力图和弯矩图，并求出F S
，max 和M max。
解：
（1）由静力平衡方程得：F A=F，M A= Fa，方向如图所示。
（2）利用M，F S，q之间的关系分段作剪力图和弯矩图。
（3）梁最大绝对值剪力在AB段内截面，大小为2F。
梁最大绝对值弯矩在C截面，大小为2Fa。
12. 不列剪力方程和弯矩方程，画出图示各梁的剪力图和弯矩图，并求出F S
，max 和M max。
解：
（1）由静力平衡方程得：
F A=3q l/8（↑），F B=q l/8（↑）。
（2）利用M，F S，q之间的关系分段作剪力图和弯矩图。
（3）梁的最大绝对值剪力在A右截面，大小为3q l/8。
梁的最大弯矩绝对值在距A端3l/8处截面，大小为9q l2/128。
13. 不列剪力方程和弯矩方程，画出图示各梁的剪力图和弯矩图，并求出F S
，max 和M max。
解：
（1）由静力平衡方程得：
F B=2qa，M B=qa2，方向如图所示。
（2）利用M，F S，q之间的关系分段作剪力图和弯矩图。
（3）梁的最大绝对值剪力在B左截面，大小为2qa。
梁的最大绝对值弯矩在距AC段内和B左截面，大小为qa2。
14. 不列剪力方程和弯矩方程，画出图示各梁的剪力图和弯矩图，并求出F S
，max 和M max。
解：
（1）由静力平衡方程得：
F A=qa/2（↓），F B= qa/2（↓）。
（2）利用M，F S，q之间的关系分段作剪力图和弯矩图。
（3）梁的最大绝对值剪力在AC和DB段内，大小为qa/2。
梁的最大弯矩绝对值在AB跨中间截面，大小为5qa2/8。
15. 不列剪力方程和弯矩方程，画出图示各梁的剪力图和弯矩图，并求出F S
，max 和M max。
解：
（1）由静力平衡方程得：
F A=9qa/4（↑），F B= 3qa/4（↑）。
（2）利用M，F S，q之间的关系分段作剪力图和弯矩图。
（3）梁最大绝对值剪力在A右截面，大小为5qa/4。
梁最大弯矩绝对值在A截面，大小为qa2/2。
16. 不列剪力方程和弯矩方程，画出图示各梁的剪力图和弯矩图，并求出F S
，max 和M max。
解：
（1）由静力平衡方程得：
F A=F（↑），F B= 3F（↑）。
（2）利用M，F S，q之间的关系分段作剪力图和弯矩图。
（3）梁最大绝对值剪力在DB段内截面，大小为3F。
梁最大弯矩绝对值在D截面，大小为3Fa。
17.不列剪力方程和弯矩方程，画出图示各梁的剪力图和弯矩图，并求出F S
，max 和M max。
解：
（1）由静力平衡方程得：
F A=4.5qa（↑），F B= 0.5qa（↑）。
（2）利用M，F S，q之间的关系分段作剪力图和弯矩图。
（3）梁最大绝对值剪力在A右截面，大小为3.5qa。
梁最大弯矩绝对值在A右截面，大小为3qa2。
18. 不列剪力方程和弯矩方程，画出图示各梁的剪力图和弯矩图，并求出F S
，max 和M max。
解：
（1）由静力平衡方程得：
F A=1.25qa（↑），F B=0.75qa（↑）。
（2）利用M，F S，q之间的关系分段作剪力图和弯矩图。
（3）梁最大绝对值剪力在CA段内截面，大小为qa。
梁最大弯矩绝对值在A右截面，大小为qa2。
19.已知梁的剪力图，试画梁的荷载图和弯矩图（设梁上无集中力偶作用）。
解：利用M，F S，q之间的关系推出荷载图和弯矩图如下。
20. 试判断图中的F S，M图是否有错，若有错并改正错误。
解：有错，改正如下图。
21. 试判断图中的F S，M图是否有错，若有错并改正错误。
解：有错，改正如下图。
22. 试判断图中的F S，M图是否有错，若有错并改正错误。
23. 试判断图中的F S，M图是否有错，若有错并改正错误。