最短路径问题
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
如图，A、B两地在一条河 的两岸，现要在河上建一座 桥MN，桥造在何处才能使 从A到B的路径AMNB最短 ？（假设河的两岸是平行的 直线，桥要与河垂直）
你能把这个问题抽象成一 个数学问题吗？
抽象
可以把河的两岸看成两条平行线a和b， N为直线b上的一个动点，MN 垂直于直线b，交直线a于点M， 当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？
等腰三角形中相等的线段
复习巩固 下列图形是轴对称图形吗？如果是，找出它们的对称轴 .
复习巩固 画出下列轴对称图形的对称轴
复习巩固
如图，D，E 分别是AB，AC 的中点，CD⊥AB，垂足为 D，BE⊥AC，垂足为E .求证AC =AB .
复习巩固
如图所示的点A，B，C，D，E 中，哪两个点关于 x 轴对称？ 哪两个点关于y 轴对称？点C 和点E 关于x 轴对称吗？为什么 ？
如图，在直角三角形BCD中，若点M、N分别是线段BD、BC 上的两个动点，请在图上找到CM+MN最小时，M，N点的位 置提．示：试一试对称．
答案：作点C关于BD的对称点C ’ ，然后过C’作BC的垂线，交BD 于M，交BC于N．
总结
这节课我们学到了什么？ 将军饮马问题
条件特点 简称为：两定一动
直线同侧的两个定点和直线上一个动点
提示2：分别作A点关于OM， ON的对称点．
将军饮马问题的变式
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边 OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小 答．案：分别作点A关于OM ，ON的对称点A′，A″；连 接A′，A″，分别交OM， ON于点B、点C，则点B、 点C即为所求．
提示：这本质上是“两定一动 ” 求线段和最小的将军饮马问题 ．
练习 如图，一个旅游船从大桥AB的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然 后将游客送往河岸BC上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径 ． 提示1：先把问题抽象为数学问题．
提示2：这本质上是“两定一动” 求线段和最小的将军饮马问题．
造桥选址问题
一开始的时候我们就讨论过点A，B在直线异侧的情况， 你还记得是怎么做的吗？ 连接两点，交点就是所求 同侧的情况也能直连接两点吗？不行
探究
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点 ，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
能不能把点在同侧的问题转化 为点在异侧的问题呢？ 提示：将点B“移”到l 的另一侧 B′处，得满足直线l 上的任意一 点C，都保持CB 与CB′的长度相 等 你．想到怎么做了吗？
将军饮马问题的变式
如图，牧区内有一家牧民，点A处有一个马厩，点B处是他的家 ， 是草地的边沿， 是一条笔直的河流 . 每天，牧民要从马厩 牵出马来，先去草地上让马吃草，再到河边饮马，然后回到家B 处 . 请在图上画出牧民行走的最短路线 ( 保留作图痕迹 ) .
将军饮马问题的变式 如图，已知∠AOB，P是∠AOB内部的一个定点，点E、F分别 是OA、OB上的动点， （1）要使得△PEF的周长最小，试在图上确定点E、F的位 置 ; （2）若OP=4，要使得△PEF的周长为4，则∠AOB=_____°．
探究 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者， 名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百 思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地 ．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
A
B
l
将军饮马问题
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题” 你能将这个问题抽象为数学问题吗？
拓广探索
如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再 到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径 .
例题
某供电部门准备在输电干线上连接一个分支线路，分支点为 M ，同时向 A，B 两个居民小区送电 . （1） 如果居民小区 A，B 在主干线 l 的两旁，如图（1）所示 ，那么分支点 M 在什么地方时总线路最短？在图上标注位置， 并说明理由．
例题
某供电部门准备在输电干线上连接一个分支线路，分支点为 M
问题特点 求线段和最小
求解思路 利用轴对称，化折为直
求解原理 两点之间，线段最短
总结 条件特点
这节课我们还学到了什么？ 造桥选址问题
平行间的垂线段的端点到两侧定点的距离之和
问题特点 求线段和最小
求解思路 利用平移，转移线段
求解原理 两点之间，线段最短
美术字与轴对称
利用轴对称设计图案
利用轴对称设计图案
拓广探索
在纸上画五个点，使任意三个点组成的三角形都 是等腰三角形 . 这五个点应该怎样画？
拓广探索
如图，△ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 至 E，使CE =CD . 求证DB =DE .
拓广探索
如图，△ABC 是等腰三角形，AC =BC，△BDC 和△ACE 分别为等边三角形，AE 与BD 相较于F，连接CF 并延长 ，交AB 于点G . 求证：G 为AB 的中点 .
A
B
l
探究 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．
你能要自己的语言重新描述一下问题吗？
探究 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．
C
你能要自己的语言重新描述一下问题吗？ C是l上一个动点， 当点C在l的什么位置时，AC+BC最小？
探究 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
归纳总结 条件特点
造桥选址问题
平行间的垂线段的端点到两侧定点的距离之和
问题特点 求线段和最小
求解思路 利用平移，转移线段
求解原理 两点之间，线段最短
将军饮马问题的变式
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边 OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小 ． 提示1：利用轴对称，化折为直．
探究 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点 ，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
作法：
作点B 关于直线l 的对称点B ′；
B’
你能证明此时 AC+BC最短吗？
连接AB ′，与直线l 相交于点C 则点．C 即为所求．
证明 证明此时AC+CB 最短
证明：如图，在直线l 上任 取一点C ′（与点C 不重合） ，连接AC ′，BC ′，B ′C ′． 由轴对称的性质知， BC =B ′C，BC ′=B ′C ′． ∴AC +BC= AC +B ′C = AB ′，
分析
这又是求线段和最小的问题 ，你能想到什么呢？
能变成这种基 本类型就好了
AM，MN，NB这三条线段的长度都会变化吗？ 只有AM和NB会变，MN是不变的． 所以当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小．
思考
怎么把这个问题转化为基本类型呢？
将AM沿着垂直于河岸的方向 平移一个河宽的距离到A'N．
现在就变成基本类型了．
综合应用
如图，从图形Ι 到图形Ⅱ是进行了平移还是轴对称？如果 是轴对称，找出对称轴；如果是平移，是怎样平移？
综合应用
如图，AD是△ABC 的角平分线，DE，DF 分别是△ABD 和△ACD的高 . 求证：AD 垂直平分EF .
综合应用
如图，在等边三角形 ABC 的三边上，分别取点D，E，F ，使AD =BE =CF . 求证△DEF 是等边三角形 .
复习巩固
如图，在△ABC 中，∠ABC =50°，∠ACB =80°，延长 CB至D，使DB =BA，延长BC 至E，使CE =CA，连接 AD，AE .求∠D，∠E，∠DAE 的度数 .
复习巩固 如图，AD =BC，AC=BD，求证：△EAB 是等腰三角形 .
复习巩固
综合应用
试确定如图所示的正多边形的对称轴的条数，一般地 ，一个正n边形有多少条对称轴？
怎么确定取最小时的N点呢？
你能证明这个结论吗？
连接A’B，与直线b的交点就 是所求．
证明 证明：如图，在直线b上取一个不与N重合的点N’，作 M’N’⊥a于点M’，连接AM’,BN’，A’N’． 由平移的性质可知， AM’=A’N’，AM=A’N ∵A’N’+N’B＞A’B ∴AM’+N’B＞AM+NB ∴AM’+N’B＞AM+NB ∴AM’+M’N’+N’B＞AM+MN+NB
答案：（2）30°．
角内一点出发的折线
如图，点A是∠MON 内的一点，在射线OM 上作点 P，使 PA与点P 到射线ON 的距离之和最小 .
提示：试一试对称．
答案：作点A关于OM 的对
称点A’，然后过A’作ON
的垂线，交OM 于P，交ON
于Q．
A’Q最短的
原理是什么
？
垂线段最短
角内一点出发的折线
，同时向 A，B 两个居民小区送电 .
（2） 如果居民小区 A，B 在主干线 l 的同旁，如图（2） 所示
，那么分支点 M 在什么地方时总线路最短？在图上标注位置，
并说明理由 .
作A的对称
点可以吗
？
B’
练习
如图，P，Q是△ABC的边AB，AC上的两定点，在BC上求 作一点M，使△PMQ的周长最短．
最短路径问题
制作人：睿科知识云
知识回顾 如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近 ？你的理由是什么？
选第②条 两点之间，线段最短
两点在一条直线异侧 已知：如图，A，B在直线L的两侧，在l上求一点P ，使得PA+PB最小．
这是为什么呢？ 两点之间，线段最短
连接AB，线段AB与直线l的交点P ，就是所求．
AC ′+BC ′= AC ′+B ′C ′， ∵ AC ′+B ′C ′＞AB ′, ∴ AC ′+BC ′＞ AC +BC， 即AC+BC最短．
归纳总结
将军饮马ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题
条件特点 简称为：两定一动 直线同侧的两个定点和直线上一个动点 问题特点 求线段和最小 求解思路 利用轴对称，化折为直 求解原理 两点之间，线段最短
你能把这个问题抽象成一 个数学问题吗？
抽象
可以把河的两岸看成两条平行线a和b， N为直线b上的一个动点，MN 垂直于直线b，交直线a于点M， 当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？
等腰三角形中相等的线段
复习巩固 下列图形是轴对称图形吗？如果是，找出它们的对称轴 .
复习巩固 画出下列轴对称图形的对称轴
复习巩固
如图，D，E 分别是AB，AC 的中点，CD⊥AB，垂足为 D，BE⊥AC，垂足为E .求证AC =AB .
复习巩固
如图所示的点A，B，C，D，E 中，哪两个点关于 x 轴对称？ 哪两个点关于y 轴对称？点C 和点E 关于x 轴对称吗？为什么 ？
如图，在直角三角形BCD中，若点M、N分别是线段BD、BC 上的两个动点，请在图上找到CM+MN最小时，M，N点的位 置提．示：试一试对称．
答案：作点C关于BD的对称点C ’ ，然后过C’作BC的垂线，交BD 于M，交BC于N．
总结
这节课我们学到了什么？ 将军饮马问题
条件特点 简称为：两定一动
直线同侧的两个定点和直线上一个动点
提示2：分别作A点关于OM， ON的对称点．
将军饮马问题的变式
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边 OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小 答．案：分别作点A关于OM ，ON的对称点A′，A″；连 接A′，A″，分别交OM， ON于点B、点C，则点B、 点C即为所求．
提示：这本质上是“两定一动 ” 求线段和最小的将军饮马问题 ．
练习 如图，一个旅游船从大桥AB的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然 后将游客送往河岸BC上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径 ． 提示1：先把问题抽象为数学问题．
提示2：这本质上是“两定一动” 求线段和最小的将军饮马问题．
造桥选址问题
一开始的时候我们就讨论过点A，B在直线异侧的情况， 你还记得是怎么做的吗？ 连接两点，交点就是所求 同侧的情况也能直连接两点吗？不行
探究
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点 ，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
能不能把点在同侧的问题转化 为点在异侧的问题呢？ 提示：将点B“移”到l 的另一侧 B′处，得满足直线l 上的任意一 点C，都保持CB 与CB′的长度相 等 你．想到怎么做了吗？
将军饮马问题的变式
如图，牧区内有一家牧民，点A处有一个马厩，点B处是他的家 ， 是草地的边沿， 是一条笔直的河流 . 每天，牧民要从马厩 牵出马来，先去草地上让马吃草，再到河边饮马，然后回到家B 处 . 请在图上画出牧民行走的最短路线 ( 保留作图痕迹 ) .
将军饮马问题的变式 如图，已知∠AOB，P是∠AOB内部的一个定点，点E、F分别 是OA、OB上的动点， （1）要使得△PEF的周长最小，试在图上确定点E、F的位 置 ; （2）若OP=4，要使得△PEF的周长为4，则∠AOB=_____°．
探究 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者， 名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百 思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地 ．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
A
B
l
将军饮马问题
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题” 你能将这个问题抽象为数学问题吗？
拓广探索
如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再 到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径 .
例题
某供电部门准备在输电干线上连接一个分支线路，分支点为 M ，同时向 A，B 两个居民小区送电 . （1） 如果居民小区 A，B 在主干线 l 的两旁，如图（1）所示 ，那么分支点 M 在什么地方时总线路最短？在图上标注位置， 并说明理由．
例题
某供电部门准备在输电干线上连接一个分支线路，分支点为 M
问题特点 求线段和最小
求解思路 利用轴对称，化折为直
求解原理 两点之间，线段最短
总结 条件特点
这节课我们还学到了什么？ 造桥选址问题
平行间的垂线段的端点到两侧定点的距离之和
问题特点 求线段和最小
求解思路 利用平移，转移线段
求解原理 两点之间，线段最短
美术字与轴对称
利用轴对称设计图案
利用轴对称设计图案
拓广探索
在纸上画五个点，使任意三个点组成的三角形都 是等腰三角形 . 这五个点应该怎样画？
拓广探索
如图，△ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 至 E，使CE =CD . 求证DB =DE .
拓广探索
如图，△ABC 是等腰三角形，AC =BC，△BDC 和△ACE 分别为等边三角形，AE 与BD 相较于F，连接CF 并延长 ，交AB 于点G . 求证：G 为AB 的中点 .
A
B
l
探究 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．
你能要自己的语言重新描述一下问题吗？
探究 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．
C
你能要自己的语言重新描述一下问题吗？ C是l上一个动点， 当点C在l的什么位置时，AC+BC最小？
探究 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
归纳总结 条件特点
造桥选址问题
平行间的垂线段的端点到两侧定点的距离之和
问题特点 求线段和最小
求解思路 利用平移，转移线段
求解原理 两点之间，线段最短
将军饮马问题的变式
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边 OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小 ． 提示1：利用轴对称，化折为直．
探究 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点 ，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
作法：
作点B 关于直线l 的对称点B ′；
B’
你能证明此时 AC+BC最短吗？
连接AB ′，与直线l 相交于点C 则点．C 即为所求．
证明 证明此时AC+CB 最短
证明：如图，在直线l 上任 取一点C ′（与点C 不重合） ，连接AC ′，BC ′，B ′C ′． 由轴对称的性质知， BC =B ′C，BC ′=B ′C ′． ∴AC +BC= AC +B ′C = AB ′，
分析
这又是求线段和最小的问题 ，你能想到什么呢？
能变成这种基 本类型就好了
AM，MN，NB这三条线段的长度都会变化吗？ 只有AM和NB会变，MN是不变的． 所以当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小．
思考
怎么把这个问题转化为基本类型呢？
将AM沿着垂直于河岸的方向 平移一个河宽的距离到A'N．
现在就变成基本类型了．
综合应用
如图，从图形Ι 到图形Ⅱ是进行了平移还是轴对称？如果 是轴对称，找出对称轴；如果是平移，是怎样平移？
综合应用
如图，AD是△ABC 的角平分线，DE，DF 分别是△ABD 和△ACD的高 . 求证：AD 垂直平分EF .
综合应用
如图，在等边三角形 ABC 的三边上，分别取点D，E，F ，使AD =BE =CF . 求证△DEF 是等边三角形 .
复习巩固
如图，在△ABC 中，∠ABC =50°，∠ACB =80°，延长 CB至D，使DB =BA，延长BC 至E，使CE =CA，连接 AD，AE .求∠D，∠E，∠DAE 的度数 .
复习巩固 如图，AD =BC，AC=BD，求证：△EAB 是等腰三角形 .
复习巩固
综合应用
试确定如图所示的正多边形的对称轴的条数，一般地 ，一个正n边形有多少条对称轴？
怎么确定取最小时的N点呢？
你能证明这个结论吗？
连接A’B，与直线b的交点就 是所求．
证明 证明：如图，在直线b上取一个不与N重合的点N’，作 M’N’⊥a于点M’，连接AM’,BN’，A’N’． 由平移的性质可知， AM’=A’N’，AM=A’N ∵A’N’+N’B＞A’B ∴AM’+N’B＞AM+NB ∴AM’+N’B＞AM+NB ∴AM’+M’N’+N’B＞AM+MN+NB
答案：（2）30°．
角内一点出发的折线
如图，点A是∠MON 内的一点，在射线OM 上作点 P，使 PA与点P 到射线ON 的距离之和最小 .
提示：试一试对称．
答案：作点A关于OM 的对
称点A’，然后过A’作ON
的垂线，交OM 于P，交ON
于Q．
A’Q最短的
原理是什么
？
垂线段最短
角内一点出发的折线
，同时向 A，B 两个居民小区送电 .
（2） 如果居民小区 A，B 在主干线 l 的同旁，如图（2） 所示
，那么分支点 M 在什么地方时总线路最短？在图上标注位置，
并说明理由 .
作A的对称
点可以吗
？
B’
练习
如图，P，Q是△ABC的边AB，AC上的两定点，在BC上求 作一点M，使△PMQ的周长最短．
最短路径问题
制作人：睿科知识云
知识回顾 如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近 ？你的理由是什么？
选第②条 两点之间，线段最短
两点在一条直线异侧 已知：如图，A，B在直线L的两侧，在l上求一点P ，使得PA+PB最小．
这是为什么呢？ 两点之间，线段最短
连接AB，线段AB与直线l的交点P ，就是所求．
AC ′+BC ′= AC ′+B ′C ′， ∵ AC ′+B ′C ′＞AB ′, ∴ AC ′+BC ′＞ AC +BC， 即AC+BC最短．
归纳总结
将军饮马ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题
条件特点 简称为：两定一动 直线同侧的两个定点和直线上一个动点 问题特点 求线段和最小 求解思路 利用轴对称，化折为直 求解原理 两点之间，线段最短