正态分布及3Sigma原1理

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二项分布的平均值和标准差
平均值 标准差 其中： x = np
σ =
npq
n − − − 样本大小
p − − − 总体的不合格率 q − − − 总体的合格率
当N≥10n，p≤0.1或np ≥4-5时，就可以用 正态分布代替二项分布进行近似计算。
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控制图原理
通常控制图是根据“3 σ”原理确定控制界限, 即: 中心线 ： CL=µ
上控制界限： UCL=µ+3σ 下控制界限： LCL=µ-3σ
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其他分布类型: 其他分布类型:
离散型变量所服从的分布
k 二项分布 P ( X = k ) = Cn p k q n − k , k = 0,1,2,..., n （计件值） 主要用于具有计件值特征的质量特性值 分布规律的研究. 泊松分布 λk e − λ P( X = k ) = , k = 0,1,2,..., k! （计点值） 主要用于计点值特征的质量特性值分布 规律的研究
正态分布及3Sigma原理 （工程师级之一）
课程目的： 掌握正态分布 极其相关知识 课程内容： 正态分布曲线、 参数及其特征
2012-3-28
正态分布: 正态分布:
x
F ( x) =
−∞
∫ f ( x)dx =
1 2π σ
x
−∞
∫e
( x−µ )2 − 2σ 2
dx
其中: µ------正态均值，描述质量特性 值分布的集中位置。
3σ原理推理过程 3σ原理推理过程
pL = P( X < u −3σ ) = Φ(−3) =1− Φ(3) =1− 0.99865 0.00135 1350ppm = =
pU = P( X < u + 3σ ) = 1 − Φ(3) = 1 − 0.99865 = 0.00135= 1350ppm
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泊松分布的平均值和标准差
平均值 : x = λ 标准差 : σ = λ 其中：λ = np
当 np≥5 时，泊松分布近似正态分布！ 正态分布！ 正态分布
0.3
概 率
0.2
λ=2.0
λ=5.0
0.1
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不合格品率的计算(实例 不合格品率的计算 实例1) 实例
1>设 x~ N(10,
22)
和 x~ N(2,
0.32), 概率
P(8<x<14)和P(1.7<x<2.6)各为多少?
14−10 8−10 ) = Φ(2) −Φ(−1) ) −Φ( P(8<x<14)= Φ( 2 2
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不合格品率的计算
LSL USL
Pl u 产品特性不合格品率
Pu
p = p L + pU
USL u − pU = P(X >USL =1−Φ( ) )
其中Pl为X低于下规范线的概率, Pu为X高于上规范线的概率
LSL−u pL = P(X < LSL =1−Φ( ) )
σ
σ
错了吧，应为
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µ
a> σ不同, u相同
最常见
u1 u2
a> σ不同, u不同
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标准正态分布
当µ=0，σ=1时正态分布称为标准正态分布
x
F(X ) =
−∞
∫
1 2π
e
x2 − 2
dx
研究实际问题比较方 便，可以借助标准正 态分布表
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不合格品率的计算
当规格限为M+/-3 σ时(3σ质量水平时), 3 正态分布中心距USL只有1.5 1.5σ, 1.5 而距LSL有4.5σ,两侧的不各格率分别为:
pU = P( X > u + 1.5σ ) = 1 − Φ(1.5) = 1 − 0.9332 = 0.0668 = 66800ppm pL = P( X < u − 4.5σ ) = Φ(−4.5) = 1 − Φ(4.5) = 0.0000034 = 3.4 ppm
µ
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+ 1σ + 2σ + 3σ + 4σ + 5σ + 6σ
为何6σ相当于3.4PPM? 为何6
考虑偏移1.5 考虑偏移 σ的正态分布 规格中心 分布中心
0ppm 3.4ppm 66800ppm 3.4ppm
1.5σ σ +/+/-3σ +/+/-6σ
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6σ原理推理过程 6σ原理推理过程
若随 机变 量X 服从 一个 数学 期望 为µ、 标准 方差 为σ2 的高 斯分 布，
σ------正态方差，描述质量特性值 σ-----x分布的分散程度。
µ
N（µ，σ2）
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x
σ不同(标准差 ) 不同(
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正态分布的特征
µ1 µ2
a> σ相同, u不同
若需计算分布的不合格品率, 则首先需要 利用分布的标准化变量, 即用正态变量减去自 己的均值后再除以自己的标准差 1>若x~ 2>若x~
x − 10 ),通过标准化变换 通过标准化变换u= N(10, 22),通过标准化变换u= 2 ~N(0,1) ),通过标准化变换 通过标准化变换u= x − 2 ~N(0,1) 通过标准化变换 N(2, 0.32 0 .3
解:经标准化变换后可得
=0.9773-(1-0.8413)=0.8185
2.6−2 1.7−2 P(1.7<x<2.6)=Φ( 0.3 ) −Φ( 2 ) =Φ(2) −Φ(−1)
=0.9773-(1-0.8413)=0.8185
Φ 为标准正态分布函数
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如何计算落在规格线外的不合格品率??? 如何计算落在规格线外的不合格品率
当规格限为M+/-6 σ时(6σ质量水平时), 6 正态分布中心距USL只有4.5 4.5σ, 4.5 而距LSL有7.5σ,这时下侧的不合格品率几乎为0, 而上侧的不各格率分别为:
pU = P( X > u + 4.5σ ) = 1 − Φ(4.5) = 3.4 ppm
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3σ原理 3σ原理
若质量特性值X服从正态分布,那么,在 ±3σ 范 围内包含了99.73% 的质量特性值。 正态分布中心与规格中心重合时u±3σ u±6σ的 ± ± 不合格率(未考虑偏移) 规格区域
0.001ppm 1350ppm
1350ppm 0.001ppm
±3σ ±6σ
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3σ 原理
未考虑偏移的正态分布
99.9999998% 99.99943% 99.9937% 99.73% 95.45% 68.27%
未考 虑偏 移+-3 标准 差可 达到 99.73 %
− 6σ − 5σ − 4σ − 3σ − 2σ − 1σ
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