晶面和晶向(课程教案)

2 2 22
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金刚石的晶胞：(0,0,0)
(1/4,1/4,1/4)(3/4,3/4,1/4) ( 1 , 0 , 1 )( 1 , 1 , 0 )( 0 , 1 , 1 )
(1/4,3/4,3/4)(3/4,1/4,3/4) 2 2 2 2
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也可以将原子的位置投影到结构晶胞的底面上，以数字 标明它所在位置的高度。
关系，某一晶面(hkl)与指数相同的晶向[hkl]恰好垂直。在 其他晶系中，这一关系不一定存在。
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在六方晶系中，为了能充分体现六方晶系的六 重轴对称性，常常用四个坐标指数表示晶面，被称 为密勒布喇菲指数(hkil)。此时所选取的是由四个 晶轴a1、a2、a3、c 所组成的坐标系统。h、k、i、 l 四个指数中，只有三个是独立的，其中h＋k＝－ i；h＋k＋i＝0。
第四章 晶向、晶面等概念
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4.1 原子坐标
在空间三维坐标系中， 一个点A用一组坐标(x,y,z)表示， 一条直线用直线方程 ax+by+cz=0来表示。
原子在晶胞中的位置可用 原子坐标 表示。
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什么是原子坐标？
原子坐标是以单位晶格长度为坐标，以数字表 示某一原子中心处在晶格中的位置的一种表示方 法，原点一般选在晶胞顶点上。
晶体取向有关的性质经常牵涉到 的问题 以立方晶系为例，
如果组成一个左手系，那就是负的。
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4.4 .1 倒易点阵的矢量分析
如果晶体点阵中的三个晶轴矢量是 a、b、c ，相应的倒易点 阵矢量是 a∗、b∗、c∗，、 晶胞的三个棱长是a、b、c(正格子)，倒易点 阵中对应的参数是 a∗、b∗、c∗(倒格子)。
那么有 a∗ ⋅b=a∗ ⋅c = b∗ ⋅a = b∗ ⋅c = c∗ ⋅a = c∗ ⋅b = 0 (决定倒易矢量的方向)
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轮序置换三矢量混合积的三个因子，其积不变；对调两个 相邻的因子，要改变乘积的符号。
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A×B ⋅C = B×C ⋅ A= C×A ⋅B = − B×A ⋅C = − C×B ⋅ A= − A×C ⋅B
⎡ ⎣
A⋅B⋅C
⎤ ⎦
=
⎡ ⎣
B⋅C⋅
A⎤⎦
=
⎡⎣C⋅
(2) 如果倒易点阵中的Phkl点和原点O间的距离OP＝Hhkl，则 Hhkl＝1/dhkl, 式中dhkl是(hkl)晶面族的晶面间距。
图4.4.1 正点阵与倒易点阵的转化图示
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由上述方法变换得到的倒易点阵结点集合起来具有点阵性质。
图示一个普通单斜 晶系的四个晶胞的ac 晶面，b轴垂直于纸 面，o点是正格子和 倒格子的公共原 点。
在晶体中晶面指数最低的晶面总是具有最大的晶面间距。
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推导晶面距离公式
H= 1 dhkl
( ) H 2 =
1 dhkl
2
H ⋅ H = H 2 ⋅ cos 00 =H 2
( ) ( ) ∴ 1 ( ) d 2 hkl
=H2 = H ⋅H =
ha∗ + kb∗ + lc∗
⋅
ha∗ + kb∗ + lc∗
( ) ( ) ( ) = h2a∗2 + k 2b∗2 + l2c∗2 + 2hk a∗ ⋅b∗ + 2hl a∗ ⋅ c∗ + 2kl b∗ ⋅ c∗
将各个晶系晶体点阵常数与倒易点阵常数的关系带入
公式，即可求晶面间距。 在立方晶系中
a = b = c, α = β = γ = 900
a∗ = b∗ = c∗ = 1 , V = a3 a
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六方晶系中的晶面与晶向
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(110)(110)(110)(110) 晶面
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[113][131][311]⎡⎣113⎤⎦ 晶向
(113)(131)(311)(113) 晶面
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4.4 倒易点阵
研究倒易点阵的目的： (1)更清楚地了解x射线在晶体衍射中的几何概念； (2)更清楚、更容易理解晶面的存在及其坡度、晶面
倒易点阵的空间称倒易空间。 已知晶体点阵求解未知倒易点阵 已知倒易点阵求解未知晶体点阵
4.4.1 倒易点阵的几何分析 倒格子中的每一个结点和原来晶体点阵中各个
相应的晶面有倒易关系
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对应关系：如果两个点阵(即晶体点阵和倒易点阵)有一个 共同的原点
(1) 晶体点阵中的(hkl)晶面在倒易点阵中用一点Phkl来表示， Phkl点和原点O间的连线垂直于晶体点阵中的(hkl)晶面；
∴d
=
a
⋅n=
a⋅
H
=
⎛ a ⋅⎜⎝
ha∗ + k b∗
+lc∗
⎞ ⎟⎠
=
1
hkl h h H h
H
H
∴H = 1 d hkl
以上证得的关系式与本节对倒易点阵的几何关系的规 定是一致的。
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4.5 晶面间距、晶面夹角及晶带 4.5.1 晶面间距 什么是晶面间距？
凡是一组平行晶面中最相邻的两个晶面间的距离。 (hkl)晶面, dhkl最相邻的晶面间距。
(110),(101),(011),(110),(101),(011),(110),(101),(011),(110),(101),(011)
{111} 包含 (111),(111),(111),(111),(111),(111),(111),(111) 共八个晶面
110 表示一个晶面； (110)表示一组平行晶面； {110}表示由对称性联系起来的一组空间等同晶面。
个坐标，一般选取结点； 3)相乘或相除同一整数，化为最简整数比，即为晶向
指数；用 [μνω ] 表示
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1,1,1 ⎯1⎯2→[463]→[μνω ]
324
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由于对称性的关系，也有若干个晶向常常是等同的。 它们构成一个晶向族，用<uvw>来表示这一系列的晶向。 例如：对于立方晶系
<100> 包含 [100],[010],[100],[010],[001],[001] 共六个晶向；
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立方晶系中六个等同的{100}晶面、十二个等同的{110}晶 面、八个等同的{111}晶面。
(第四次实习内容)
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4.3 晶向及晶向指数
什么是晶向？ 在晶体中任何一条穿过许多质点的直 线方向称为晶向。
确定晶向指数的三个步骤： 1)先做一条平行于该晶向的直线，并使其通过晶胞原
点； 2)在这条直线上任取一点，求其在 x、y、z轴上的三
m,n, p
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求证：倒易矢量 H = ha∗ + kb∗ +lc∗ (其中的h、k、l均为整数 ) 垂直于晶体点阵中的(h k l)平面同时和 dhkl 有倒易关系
证明： (1)若ABC平面为晶面族(hkl)中的一个平面，则得出：
OA= a h
OB= b k

OC = c l
∵OA+ AB＝a + AB=OB= b
(0,0,0)表示处于顶点上的原子 ( 1 , 1 , 1 ) 表示处于体心上的原子
222
简单立方格子的原子坐标 (0,0,0)
3
体心立方格子：(0,0,0)
(1 , 1 , 1) 222
4
面心立方格子：(0,0,0)( 1 , 0 , 1 )( 1 , 1 , 0 )( 0 , 1 , 1 )
a∗a=b∗b=c∗c=1
(决定倒易矢量的大小，长短)
a∗= 1 a cos a⋅a∗
b∗= 1 b cosb⋅b∗
c∗= 1 c cos c⋅c∗
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倒易矢量的另外一种定义
a∗= b×c ab×c
b∗= c×a ab×c
c∗= a×b ab×c
a
⋅b×c
=
a
⋅ε
⎡⎢⎣(b
)(
c
)
sin
a 1
⎤ ⎥⎦
h
k
∴AB= b − a kh
H
⋅
AB
=
⎛ ⎜ ⎝
ha∗
+
kb∗
+l
c∗
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⋅⎜⎜⎝
b k
−
a h
⎞ ⎟⎟⎠
=1−1=
0
∴H ⊥ AB H ⊥ AC
H ⊥(hkl )即H ⊥ ABC平面
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(2)设 n 是沿H方向的单位矢量
∵ON是OA在H方向上的投影
∴ON＝d = a⋅n hkl h
但n= H H
2)如果晶面与某一晶轴的负方向相交,则相应的指
数上加以负号，如（110）、（121） ，{h k l } 表示一个
晶面族，晶面族内的各个晶面彼此等同，这是由 于晶体结构上对称性决定的。
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{100} 包含 (100),(010),(100),(010),(001),(001)共六个晶面
{110} 包含共十二个晶面
=
a
⋅
cos
a2
⋅
⎡⎢⎣(
b
)(
c
)
sin
a1⎤⎥⎦
=
OP
∗
⎡⎣OBCD的面积⎤⎦
＝单位平行六面体的体积＝体积V
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a∗ = b×c = A = 1 = 1 V A⋅OP OP d 100
同理有
b∗= 1 d 010
c∗= 1 d 001
在任何晶轴正交的晶体点阵(正交、四方、立方)中， 三个晶轴方向与晶胞的三个棱方向是一致的，那么有
( ) ( ) ( ) a∗ ⋅b∗ = b∗ ⋅c∗ = c∗ ⋅ a∗ = 0
其它晶系作为了解，一般不常用。