2019中考数学压轴选择填空精讲精练1——二次函数的图像和性质问题
2019届中考数学复习 专项一 选择、填空题专项 一、二次函数的图像与性质课件
一、 二次函数的图像 与性质
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选择、填空题专项
中考解读:二次函数的图像与性质为陕西中考选择题必考题，题位为第10题，分 值为3分。主要考查的内容有(1)二次函数的图像与系数的关系；(2)二次函数的 增减性；(3)二次函数图像的平移、旋转变换等。
例1 已知点A(m,y1)，B(m+2,y2)，C(x0,y0)在二次函数y=ax2+4ax+c(a≠0) 的图像上，且点C为抛物线的顶点，若y2<y1≤y0，则m的取值范围为 (B )
A.m<-3
B.m>-3
C.m<-2
D.m>-2
【物线解开析口】向∵下点，C为对抛称物轴线为y直=a线x2+x=4ax+c4(=aa-≠20。)的∵顶y1点>y，2,∴且|ym2+<2y|1<≤|ym0,+∴4|该(开抛口 向下的抛物线上的点，到该抛物线对2称a 轴的距离越小，y值越大)，解
得m>-3。故选B。
2
4
2
选择、填空题专项
例2 (2018·陕西模拟)如图，二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)的图像的顶点为D，其
图像与x轴下列四
个结论正确的是( )
A.2a-b=0
D
B.a+b+c>0 C.c＞-3a
D.只有当a= 1 时，△ABD是等腰直角三角形
2
3
选择、填空题专项
【解析】∵二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像与x轴的交点A,B的横坐标分别为-1，
3，∴对称轴为直线x= 1=31，∴ =b1，∴2a+b=0，故A错误；由图像可 知，当x=1时，y＜0，∴a+b2+c＜0，故B错2a误；∵抛物线与x轴交于点A,B，∴方 程ax2+bx+c=0的两根为x1=-1,x2=3,∴ =c-3,∴c=-3a,故C错误；若△ABD是等腰直 角三角形，易得∠ADB=90°,则过点D作a DE⊥AB于E，则DE=AE=2,∴D(1,-2), 设抛物线解析式为y=a(x-1)2-2,把A(-1,0)代入，得a= 1 ,故D正确。
2019年中考数学专题3函数及其图像3.4二次函数(讲解部分)素材
3+
2
17
,-2 .
)
当
过 P 作 PEʅx 轴于点 E,交直线 BC 于点 F,如图 2,
x = -1, x = 2, 或 y = 28 y = -8, ʑ B 点的坐标为( -1,28) . 解得
24 < x <4 时,øPCO >øACO. 7 y = -12x +16, (3) 由 y = 4x 2 -16x +8,
开口方向 对称轴
②㊀ 开口向上㊀ ④㊀ 直线 x = -
③㊀ 开口向下㊀ b ㊀ 2a
b -4ac
2
决定 抛 物 线 与 x 轴 的交点个数
b 2 -4ac > 0 时, 与 x 轴有两个不同 b 2 -4ac <0 时,与 x 轴没有交点
顶点坐标
b 4ac - b 2 ⑤㊀ - , ㊀ 2a 4a
㊀ ㊀ 3. 二次函数 y = ax 2 +bx +c( aʂ0) 中系数 a㊁b㊁c 的作用
a 决定抛物线的开口方 向,| a | 决定开口大小 a >0,抛物线开口向上; a <0,抛物线开口向下 b = 0,对称轴为 y 轴;
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中考数学二次函数图像性质压轴题解读(Word版解析+答案)
中考压轴题揭秘二次函数的图象性质与应用问题【典例分析】【考点1】二次函数的图象与性质【例1】（2019·四川中考真题）二次函数2y x ax b =-+的图象如图所示，对称轴为直线2x =，下列结论不正确的是（ ）A ．4a =B ．当4b =-时，顶点的坐标为(2,8)-C ．当1x =-时，5b >-D ．当3x >时，y 随x 的增大而增大【变式1-1】（2019·重庆中考真题）抛物线2362y x x =-++的对称轴是（ ）A ．直线2x =B ．直线2x =-C ．直线1x =D ．直线1x =- 【变式1-2】（2019·浙江中考真题）已知抛物线224y x x c =-+与x 轴有两个不同的交点.(1)求c 的取值范围；(2)若抛物线224y x x c =-+经过点()2,A m 和点()3,B n ，试比较m 与n 的大小，并说明理由.【考点2】抛物线的平移与解析式的确定【例2-1】（2019·山东中考真题）将抛物线265y x x =-+向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）A ．2(4)6y x =--B ．2(1)3y x =--C ．2(2)2y x =--D ．2(4)2y x =--【例2-2】（2019·山西中考真题）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A ，B 两点，拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为( )A ．226675y x =B ．226675y x =-C ．2131350y x =D ．2131350y x =- 【变式2-1】（2019·西藏中考真题）把函数212y x =-的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数()21112y x =--+的图象（ ） A ．向左平移1个单位，再向下平移1个单位B ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位C ．向右平移1个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位【变式2-2】（2019·江苏中考真题）已知二次函数的图象经过点(2,2)P ，顶点为(0,0)O 将该图象向右平移，当它再次经过点P 时，所得抛物线的函数表达式为__．【变式2-3】（2019·浙江中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线(5)(3)y x x =+-经过变换后得到抛物线(3)(5)y x x =+-，则这个变换可以是（ ）A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向左平移8个单位D ．向右平移8个单位【变式2-4】（2019·四川中考真题）将抛物线23)2y x＝(﹣﹣向左平移_______个单位后经过点(22)A ，． 【考点3】二次函数的图象与字母系数的关系【例3】（2019·辽宁中考真题）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，现给出下列结论：①0abc >；②930a b c ++=；③248b ac a -<；④50a b c ++>．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式3-1】（2019·浙江中考真题）小飞研究二次函数y=-(x-m)2-m+1(m 为常数)性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上；②存在一个m 的值，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A(x 1,y 1)与点B(x 2,y 2)在函数图象上，若x 1<x 2，x 1+x 2>2m ，则y 1<y 2；④当-1<x<2时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围为m≥2其中错误结论的序号是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④【变式3-2】（2019·广西中考真题）已知抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴是直线1x =，其部分图象如图所示，下列说法中：①0abc <；②0a b c -+<；③30a c +=；④当13x -<<时，0y >，正确的是_____（填写序号）．【考点4】二次函数的应用【例4】（2019·辽宁中考真题）某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系如图所示．（1）根据图象直接写出y 与x 之间的函数关系式．（2）设这种商品月利润为W （元），求W 与x 之间的函数关系式．（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？【变式4-1】（2019·山东中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h (单位：m )与小球运动时间t (单位：s )之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是40m ；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度30h m =时， 1.5t s =．其中正确的是( )A ．①④B ．①②C ．②③④D ．②③【变式4-3】（2019·江苏中考真题）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD ，其中∠C ＝120°．若新建墙BC 与CD 总长为12m ，则该梯形储料场ABCD 的最大面积是（ ）A ．18m 2B ．1832C ．2432D 453m 2 【变式4-3】（2019·湖南中考真题）某政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店,A B 两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A 种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B 种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？（2）小亮调査发现，A 种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若B 种湘莲礼盒的售价和销量不变，当A 种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？ 【达标训练】1．（2019·广西中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线1x =，则下列结论中，错误的是（ ）A ．0ac <B ．240b ac ->C ．20a b -=D ．0a b c -+= 2．（2019·内蒙古中考真题）二次函数2y ax ＝与一次函数y ax a +＝在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2019·浙江中考真题）二次函数2(1)3y x =-+图象的顶点坐标是（ ）A ．(1,3)B ．(1,3)-C ．(1,3)-D ．(1,3)--4．（2019·黑龙江中考真题）将抛物线22y x =向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）.A ．22(2)3y x =++；B ．22(2)3y x =-+；C ．22(2)3y x =--；D ．22(2)3y x =+-.5．（2019·福建中考真题）若二次函数y =|a |x 2+bx+c 的图象经过A(m ,n )、B(0,y 1)、C(3－m ,n )、D(2, y 2)、E(2,y 3)，则y 1、y 2、y 3的大小关系是( ).A ．y 1< y 2< y 3B ．y 1 < y 3< y 2C ．y 3< y 2< y 1D ．y 2< y 3< y 16．（2019·辽宁中考真题）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，现给出下列结论：①0abc >；②930a b c ++=；③248b ac a -<；④50a b c ++>．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．（2019·四川中考真题）二次函数2y ax bx c ++＝的部分图象如图所示，有以下结论：①30a b ﹣＝；②240b ac ﹣＞；③520ab c +﹣＞；④430b c +＞，其中错误结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．（2019·广东中考真题）已知2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，则y ax b =+和c y x=的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．9．（2019·重庆中考真题）抛物线2362y x x =-++的对称轴是（ ）A ．直线2x =B ．直线2x =-C ．直线1x =D ．直线1x =-10．（2019·浙江中考真题）已知,a b 是非零实数，a b >，在同一平面直角坐标系中，二次函数21y ax bx =＋与一次函数2y ax b =＋的大致图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．（2019·四川中考真题）如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点()1,0A ，()5,0B ，下列说法正确的是（ ）A ．0c <B ．240b ac -<C ．0a b c -+<D ．图象的对称轴是直线3x =12．（2019·浙江中考真题）在平面直角坐标系中，已知a b ¹，设函数()()y x a x b =++的图像与x 轴有M 个交点，函数()()11y ax bx =++的图像与x 轴有N 个交点，则（ ）A ．1M N =-或1M N =+B ．1M N =-或2M N =+C ．M N =或1M N =+D ．M N =或1M N =-13．（2019·四川中考真题）已知二次函数(1)(1)37y x a x a a =---+-+(其中x 是自变量)的图象与x 轴没有公共点，且当1x <-时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的取值范围是( )A ．2a <B ．1a >-C ．12a -<≤D ．12a -≤<14．（2019·四川中考真题）已知抛物线21y x =-与y 轴交于点A ，与直线y kx =（k 为任意实数）相交于B ，C 两点，则下列结论不正确的是（ ）A ．存在实数k ，使得ABC ∆为等腰三角形B ．存在实数k ，使得ABC ∆的内角中有两角分别为30°和60°C ．任意实数k ，使得ABC ∆都为直角三角形D ．存在实数k ，使得ABC ∆为等边三角形15．（2019·江苏中考真题）如图是王阿姨晚饭后步行的路程s(单位：m)与时间t(单位：min)的函数图象，其中曲线段AB 是以B 为顶点的抛物线一部分.下列说法不正确的是( )A ．25min~50min ，王阿姨步行的路程为800mB ．线段CD 的函数解析式为324002550s t t =+≤≤（）C ．5min~20min ，王阿姨步行速度由慢到快D ．曲线段AB 的函数解析式为23201200520s t t =--+≤≤（）（）16．（2019·湖南中考真题）如图，在直角三角形ABC 中，90,C AC BC ∠=︒=，E 是AB 的中点，过点E 作AC 和BC 的垂线，垂足分别为点D 和点F ，四边形CDEF 沿着CA 方向匀速运动，点C 与点A 重合时停止运动，设运动时间为t ，运动过程中四边形CDEF 与ABC ∆的重叠部分面积为S ．则S 关于t 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．17．（2019·湖北中考真题）如图，若被击打的小球飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有的关系为2205h t t =-，则小球从飞出到落地所用的时间为_____s ．18．（2019·黑龙江中考真题）二次函数2(6)8y x =--+的最大值是__________．19．（2019·甘肃中考真题）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，若42M a b =+，N a b =﹣．则M 、N 的大小关系为M _____N ．(填“>”、“=”或“<”)20．（2019·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 落在坐标原点，点A 、点C 分别位于x 轴，y 轴的正半轴，G 为线段OA 上一点，将OCG ∆沿CG 翻折，O 点恰好落在对角线AC 上的点P 处，反比例函数12y x=经过点B ．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过(0,3)C 、G 、A 三点，则该二次函数的解析式为_______．（填一般式）21．（2019·湖北中考真题）二次函数2245y x x =--+的最大值是__________．22．（2019·浙江中考真题）某函数满足当自变量1x =时，函数值0y =；当自变量0x =时，函数值1y =，写出一个满足条件的函数表达式_____.23．（2019·山东中考真题）如图，直线1y x =+与抛物线245y x x =-+交于A ，B 两点，点P 是y 轴上的一个动点，当PAB ∆的周长最小时，PAB S ∆=_______．24．（2019·吉林中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线()28203y ax ax a =-+>与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点M ．P 为抛物线的顶点．若直线OP 交直线AM 于点B ，且M 为线段AB 的中点，则a 的值为_____．25．（2019·湖南中考真题）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M 、N 的坐标分别为(0,1),(0,1),-P 是二次函数214y x =的图象上在第一象限内的任意一点，PQ 垂直直线1y =-于点Q ，则四边形PMNQ 是广义菱形．其中正确的是_____．（填序号）26．（2019·四川中考真题）如图，点P 是双曲线C ：4y x =（0x >）上的一点，过点P 作x 轴的垂线交直线AB ：122y x =-于点Q ，连结OP ，OQ .当点P 在曲线C 上运动,且点P 在Q 的上方时，△POQ 面积的最大值是______.27．（2019·江苏中考真题）某个函数具有性质：当x >0时，y 随x 的增大而增大，这个函数的表达式可以是____（只要写出一个符合题意的答案即可）28．（2019·四川中考真题）在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y （米）与水平距离x （米）之间的关系为21251233y x x =-++，由此可知该生此次实心球训练的成绩为_______米．29．（2019·湖北中考真题）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x 元(x 为正整数)，每月的销售量为y 条．(1)直接写出y 与x 的函数关系式；(2)设该网店每月获得的利润为w 元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ (3)该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？30．（2019·湖北中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线2:21(0)C y ax x a =+-≠和直线l:y=kx+b ，点A(-3,-3)，B(1,-1)均在直线l 上．（1）若抛物线C 与直线l 有交点，求a 的取值范围；（2）当a=-1，二次函数221y ax x =+-的自变量x 满足m≤x≤m+2时，函数y 的最大值为-4，求m 的值； （3）若抛物线C 与线段AB 有两个不同的交点，请直接写出a 的取值范围．31．（2019·浙江中考真题）有一块形状如图的五边形余料ABCDE ，6AB AE ==，5BC =，90A B ∠=∠=︒，135C ∠=︒，90E ∠>︒.要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一边在AE 上，并使所截矩形的面积尽可能大.（1）若所截矩形材料的一条边是BC 或AE ，求矩形材料的面积；（2）能否截出比（1）中面积更大的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值，如果不能，请说明理由.32.（2019·浙江中考真题）已知函数2y x bx c =++（b ，c 为常数）的图象经过点()2,4-.（1）求b ，c 满足的关系式；（2）设该函数图象的顶点坐标是(),m n ，当b 的值变化时，求n 关于m 的函数解析式；（3）若该函数的图象不经过第三象限，当51x -≤≤时，函数的最大值与最小值之差为16，求b 的值．33．（2019·浙江中考真题）如图，已知二次函数23y x ax =++的图象经过点()2,3P -.（1）求a 的值和图象的顶点坐标。
2019年广东省数学中考专项复习二次函数的图像和性质有解答
二次函数的图象与性质专项练习广东省2019数学中考预计将在选择、填空题中考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求二次函数表达式。
很可能在解答题中考查二次函数与几何的综合.二次函数内容是整套中考试卷中考查的重点和难点，以此作为区分度较大的必选题材，与初中所学其他知识综合考查，能够掌握基本技能和方法，从容应对.一、选择题1.当y关于x的函数y=(m-2)x|m-3|+4x-5(m是常数)是二次函数时,m的值不可能为( )A.1B.2C.5D.1或52.对于二次函数y=-(x-1)2+2的图象与性质,下列说法正确的是( )A.对称轴是直线x=1,最小值是2B.对称轴是直线x=1,最大值是2C.对称轴是直线x=-1,最小值是2D.对称轴是直线x=-1,最大值是22则该二次函数图象的对称轴为( )A.y轴B.直线x=C.直线x=2D.直线x=4.(2018广西中考)将抛物线y=x2-6x+21向左平移2个单位后,得到新抛物线的解析式为( )A.y=(x-8)2+5B.y=(x-4)2+5C.y=(x-8)2+3D.y=(x-4)2+35.(2018青岛中考)已知一次函数y=x+c的图象如图,则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是( )6.(2018承德模拟)已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(1,m),B(3,m).若点M(-2,y1),N(-1,y2),K(8,y3)也在二次函数y=x2+bx+c的图象上,则下列结论正确的是( ) A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3C.y3<y1<y2D.y1<y3<y27.(2018河北模拟)如图,已知抛物线y=a(x-3)2+(a≠0)过点C(0,4),顶点为M,与x轴交于A,B两点,D为AB的中点,CE∥x轴,交抛物线于点E,下列结论中正确的是( )A.抛物线的对称轴是直线x=-3B.CD>ADC.四边形ADEC是菱形D.∠MCD=90°二、填空题8.(2018沧州新华模拟)当2≤x≤5时,二次函数y=-(x-1)2+2的最大值为.9.(2017保定模拟)函数y=x2+2x+1,当y=0时,x= ;当1<x<2时,y随x的增大而(填写“增大”或“减小”).10.(2017衡水模拟)若抛物线y=ax2+bx-1(a≠0)经过点(2,5),则代数式6a+3b+1的值为.11.(2018邯郸模拟)如果点A(0,2)和点B(4,2)都在二次函数y=x2+bx+c的图象上,那么此抛物线在直线的(填“左”或“右”)侧的部分是上升的.三、解答题12.如图所示,已知抛物线y=x2与点A(-5,0),B(3,0),请问在这条抛物线上是否存在点C,D,使得以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形.若存在,请你求出C,D点的坐标,并画出图形;若不存在,请说明理由.提升题组一、选择题1.二次函数y=a(x-4)2-4(a≠0)的图象在2<x<3这一段位于x轴的下方,在6<x<7这一段位于x轴的上方,则a的值为( )A.1B.-1C.2D.-22.(2018廊坊模拟)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则直线y=ax+不经过的象限是( )A.第一象限B.第二象限B.第三象限 D.第四象限C.3.(2018唐山古冶一模)如图,已知在平面直角坐标系xOy中,抛物线m:y=-2x2-2x的顶点为C,与x轴两个交点为P,O.现将抛物线m先向下平移再向右平移,使点C的对应点C'落在x 轴上,点P的对应点P'落在y轴上,则下列各点的坐标不正确的是( )A.C-,B.C'(1,0)C.P(-1,0)D.P',-二、填空题4.二次函数y=x2的图象如图,点O为坐标原点,点A在y轴的正半轴上,点B,C在二次函数y=2的图象上,四边形OBAC为菱形,且∠OBA=120°,则菱形OBAC的面积为.5.(2017河北模拟)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴为x=-1,且过点(-3,0).下列说法:①abc<0;②2a-b=0;③4a+2b+c<0;④若(-5,y1),,是抛物线上两点,则y1>y2.其中说法正确的是.6.（2017•葫芦岛）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，点P和点Q分别从点B和点C 出发，沿射线BC向右运动，且速度相同，过点Q作QH⊥BD，垂足为H，连接PH，设点P运动的距离为x（0＜x≤2），△BPH的面积为S，则能反映S与x之间的函数关系的图象大致为（）A. B.C. D.三、解答题6.(2018唐山模拟)如图,四边形ABCO为矩形,点A在x轴上,点C在y轴上,且点B的坐标为(-1,2),将此矩形绕点O 顺时针方向旋转90°得矩形DEFO,抛物线y=-x 2+bx+c 过B,E 两点. (1)求此抛物线的函数关系式.(2)将矩形ABCO 向左平移,并且使此矩形的中心在此抛物线上,求平移距离.(3)将矩形DEFO 向上平移距离d,并且使此抛物线的顶点在此矩形的边上,求d 的值.7.(2016广东省)如图，在直角坐标系中，直线()10y kx k =+≠与双曲线2y x=（x ＞0）相交于P （1，m ）.（1）求k 的值；（2）若点Q 与点P 关于y=x 成轴对称，则点 Q 的坐标为Q （ ）；（3）若过P 、Q 两点的抛物线与y 轴的交点为 N （0，53），求该抛物线的解析式，并求出抛物 线的对称轴方程.8．（2018广东省）如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y=ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线y=x+m过顶点C和点B．（1）求m的值；（2）求函数y=ax2+b（a≠0）的解析式；（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB=15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．精解精析一、选择题1.B2.B3.D ∵当x=1和x=2时的函数值都是-1,∴对称轴为直线x==.4.D5.A 观察函数图象可知:<0,c>0,∴二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴x=->0,与y轴的交点在y轴正半轴.故选A.6.B ∵二次函数的图象过点A(1,m),B(3,m),∴其对称轴为直线x==2.又∵a=1>0,∴当x<2时,y随x的增大而减小;当x>2时,y随x的增大而增大,∴点K关于二次函数图象的对称轴对称的点为(-4,y3),∵-4<-2<-1<2,∴y3>y1>y2.7.D由题意M,,C(0,4),D(3,0),∴OC=4,OD=3,∴CD=5,CM=-=,DM=,∴CD2+CM2=DM2,∴∠MCD=90°,故选D.二、填空题8.1 9.-1;增大10.答案10解析∵抛物线y=ax2+bx-1(a≠0)经过点(2,5),∴4a+2b-1=5,∴2a+b=3,∴6a+3b+1=3(2a+b)+1=3×3+1=10.11.答案x=2,右解析∵点A(0,2)和点B(4,2)都在二次函数y=x2+bx+c的图象上,∴,,解得,,∴该二次函数的表达式为y=x2-4x+2.∵y=x2-4x+2=(x-2)2-2,∴对称轴为直线x=2,∵a=1>0,∴抛物线在直线x=2的右侧的部分是上升.三、解答题12.解析存在.理由如下:∵AB=8,且AB=CD,AB∥CD.∴在抛物线上取点D,,则点C为,.若点C在抛物线y=x2上,则点C还可以表示为,().解方程=(),得a=-4,∴=(-)=6,a+8=-4+8=4.∴存在点C,D,使得以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形,且点C(4,6),点D(-4,6),画出的图形如图所示.一、选择题1.A 二次函数y=a(x-4)2-4(a≠0)的图象的顶点坐标为(4,-4).由于图象在2<x<3这一段位于x轴的下方,在6<x<7这一段位于x轴的上方,所以二次函数y=a(x-4)2-4(a≠0)的图象与x轴的交点坐标为(2,0),(6,0),把(2,0)代入y=a(x-4)2-4(a≠0),解得a=1.2.C 由图象可知抛物线开口向下,∴a<0.∵对称轴在y轴右侧,∴对称轴x=->0,∴b>0.∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上,∴c>0.∵b>0,c>0,∴>0,∴一次函数y=ax+的图象不经过第三象限.故选C.3.B ∵y=-2x2-2x=-2x(x+1)或y=-2+,∴P(-1,0),O(0,0),C-,.又∵将抛物线m先向下平移再向右平移,使点C的对应点C'落在x轴上,点P的对应点P'落在y轴上,∴该抛物线向下平移了个单位,向右平移了1个单位,∴C',,P',-.综上所述,选项B符合题意.故选B.二、填空题4.答案2解析连接CB交OA于 D.∵四边形ACOB是菱形,∴CD=BD,AD=OD,OA⊥BC.∵∠OBA=120°,∴∠OBD=60°,则∠BOD=30°.设B(x,x2),则tan∠BOD===,解得x=1,则BD=1,OD=,OA=2,BC=2,∴菱形面积为OA·BC=×2×2=2.5.答案①②④解析由题图知a>0,b>0,c<0,∴abc<0,故①正确;∵对称轴为直线x=-1,∴-=-1,∴2a-b=0,故②正确;根据抛物线的对称性得当x=2时,y>0,即4a+2b+c>0,故③错误;当x=-5时,y=y1;当x=时,y=y2,根据抛物线的对称性得y1>y2,故④正确.6.A三、解答题6.解析(1)根据题意,点E的坐标为(2,1).把点B,E代入抛物线y=-x2+bx+c,则-(-)-,-,解得,.∴此抛物线的表达式为y=-x 2+x+.(2)∵矩形ABCO 的中心坐标为 -, , ∴1=-x 2+ x+, 解得x=-或x=2.∴平移距离d=- - - =.(3)∵y=-x 2+ x+=- - +, ∴抛物线的顶点坐标为,. ∵E(2,1),∴EF=1.当抛物线的顶点在此矩形的DE 边上时, d=-1=;当抛物线的顶点在此矩形的OF 边上时, d= .综上所述,平移距离d=或d=. 7.解：（1）把P （1，m ）代入2y x=，得2m =， ∴P （1，2）把（1，2）代入1y kx =+，得1k =， （2）（2，1）（3）设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，得： 242153a b c a b c c ⎧⎪++=⎪++=⎨⎪⎪=⎩，解得23a =-，1b =，53c =∴22533y x x =-++， ∴对称轴方程为13223x =-=-.8.解：（1）将（0，﹣3）代入y=x+m ， 可得：m=﹣3；（2）将y=0代入y=x ﹣3得：x=3， 所以点B 的坐标为（3，0），将（0，﹣3）、（3，0）代入y=ax 2+b 中， 所以二次函数的解析式为：y=31x 2﹣3； （3）存在，分以下两种情况：①若M 在B 上方，设MC 交x 轴于点D ，则∠ODC=45°+15°=60°， ∴OD=OC •tan30°=3，设DC 为y=kx ﹣3，代入（3，0），可得：k=3， 所以M 1（33，6）；②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ，则∠OEC=45°﹣15°=30°， ∴OE=OC •tan60°=33，设EC 为y=kx ﹣3，代入（33，0）可得：k=33， 联立两个方程可得：， 解得：，所以M 2（3，﹣2），综上所述M 的坐标为（33，6）或（3，﹣2）．。
2019中考数学专题汇编全集 二次函数的图象与性质
二次函数的图象与性质1. 已知二次函数y ＝mx 2－3mx －4m (m ≠0)的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，且∠ACB ＝90°，则m 的值可能为( )A. 4B. －2C. －12D. 14C 【解析】如解图，令y ＝0，则mx 2－3mx －4m ＝0，解得x ＝4或x ＝－1，∵点A 在点B 的左侧，∴OA ＝1，OB ＝4，令x ＝0，则y ＝－4m ，∴OC ＝|－4m |，∵∠ACO ＋∠OCB ＝90°，∠CAO ＋∠ACO ＝90°，∴∠CAO ＝∠BCO ，又∵∠AOC ＝∠COB ＝90°，第1题解图∴△AOC ∽△COB ，∴OA OC ＝OC OB ，即OC 2＝OA ·OB ，即16m 2＝4，解得m ＝±12，∴m 的值可能为－12. 2. 若二次函数y ＝x 2＋3x －c 的图象与x 轴没有交点，则c 的值可能是( )A. 1B. 0C. －2D. －3D 【解析】∵二次函数y ＝x 2＋3x －c 的图象与x 轴没有交点，∴y ＝0时，x 2＋3x －c＝0的判别式b 2－4ac <0，即b 2－4ac ＝9＋4c <0，解得c <－94.观察选项，只有D 符合． 3. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，则下列结论中错误的是( )A. abc >0B. c >a ＋bC. 4a ＋2b ＋c <0D. 2a －b ＋c <0第3题图D 【解析】A.由图象可知a <0，b <0，c >0，abc >0，故A 正确；B.∵a <0，b <0，c >0，∴－a >0，－b >0，c －a －b >0，∴c >a ＋b ，故B 正确；C.由图象知，当x ＝2时，函数值小于0，即y ＝4a ＋2b ＋c <0，故C 正确；D.∵－b 2a＝ －1，∴2a －b ＝0，∵c >0，∴2a －b ＋c >0，故D 错误．4. 设点A (－1，y 1)、B (3，y 2)、C (5，y 3)是抛物线y ＝－2x 2＋x 上的三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系正确的是( )A. y 2>y 3>y 1B. y 1>y 2>y 3C. y 3>y 2>y 1D. y 1>y 3>y 2B 【解析】∵点A (－1，y 1)、B (3，y 2)、C (5，y 3)是抛物线y ＝－2x 2＋x 上的三点，∴y 1＝－2×1－1＝－3，y 2＝－2×9＋3＝－15，y 3＝－2×25＋5＝－45，∴y 1>y 2>y 3.5. 将抛物线y ＝x 2－2x ＋1沿x 轴向右平移2个单位，然后再沿y 轴向下平移3个单位后所得抛物线的顶点坐标是( )A. (1，－3)B. (－1，3)C. (3，－3)D. (－3，3)C 【解析】∵y ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，∴先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后抛物线的解析式为y ＝(x －3)2－3，∴顶点坐标为(3，－3)．6. 在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(3，3)，将抛物线y ＝－12x 2＋2x ＋3沿水平方向或竖直方向平移，使其经过点P ，则平移的最短距离为( )A. 1B. 32C. 5D. 3 A 【解析】将抛物线沿水平方向或竖直方向平移后过点P (3，3)，当沿水平方向平移时，纵坐标和P 点的纵坐标相同，把y ＝3代入得：3＝－12x 2＋2x ＋3，解得x 1＝0，x 2＝4，∴平移的最短距离为4－3＝1；当沿竖直方向平移时，横坐标和P 点的横坐标相同，把x ＝3代入得：y ＝－12×32＋2×3＋3＝92，∴平移的最短距离为92－3＝32，即平移的最短距离为1.7. 关于二次函数y ＝－x 2＋4x ＋n 2－4，下列说法正确的是( )A. 该二次函数有最大值n 2－4B. 该抛物线与x 轴有两个交点C. 该抛物线上有两个点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，若x 1<2<x 2，且x 1＋x 2>4，则y 1>y 2D. 当x >0时，y 随x 的增大而减小C 【解析】∵该二次函数的最大值是4ac －b 24a ＝－4（n 2－4）－16－4＝n 2，∴A 选项中的结论错误；令－x2＋4x＋n2－4＝0，则b2－4ac＝16＋4(n2－4)＝4n2≥0，∴当n＝0时，该抛物线与x轴只有一个交点，故B选项中的结论错误；∵该抛物线的对称轴为直线x＝2，且x1<2<x2，x1＋x2>4，∴x2－2>2－x1，又抛物线开口向下，∴y1>y2，∴C选项中的结论正确；∵该抛物线的对称轴为直线x＝2，且抛物线开口向下，∴当x>2时，y随x的增大而减小，∴D选项中的结论错误．故选C.8. 在平面直角坐标系中，点A(x1，y1)、B(x2，y2)是二次函数y＝x2＋2x－3的图象上的两点，其中－3≤x1<x2≤0，则下列结论正确的是()A. y1<y2B. y1>y2C. y的最小值是－3D. y的最小值是－4D【解析】y＝x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)，则该抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别是－3，1，又∵y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，∴顶点坐标为(－1，－4)，对称轴为x＝－1，A、B选项中，因为无法确定点A、B离对称轴x＝－1的远近，故无法判断y1与y2的大小，故选项错误；C、D选项中，∵二次函数图象的顶点坐标为(－1，－4)，∴y的最小值是－4，故D正确．9. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0) 、B(1，t)、C(0，－1)三点，若此抛物线的顶点在第四象限，则t的取值范围是()A. －2<t<0B. 0<t<2C. －2≤t<2D. 0<t≤2A【解析】∵抛物线经过A(－1，0)、B(1，t)、C(0，－1)三点，∴a－b＋c＝0，c＝－1，∴a－b＝1，b＝a－1，∴t＝a＋b＋c＝a＋a－1－1＝2a－2，∵抛物线过点(－1，0)、(0，－1)，且顶点在第四象限，∴a>0，－b2a＝－a－12a>0，∴0<a<1，∴－2<2a－2<0，∴－2<t<0.10. 已知抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于点A，B(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C，顶点为点D，连接AC，DC，则∠ACD的度数为()A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°C【解析】令y＝x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴点A的坐标为(3，0)，令x ＝0，得y＝－3，∴点C的坐标为(0，－3)，∴OA＝OC，∴∠OCA＝45°.由y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，得D(1，－4)，如解图，过点D作DE⊥y轴于点E，则DE＝1，CE＝EO－CO＝1，∴∠ECD＝∠EDC＝45°，∴∠ACD＝180°－∠OCA－∠ECD＝90°.第10题解图。
人教版九年级数学上册《二次函数的图象和性质》 压轴题【答案及解析】
二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质压轴题【答案及解析】一．选择题1．在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2+bx+b（a≠0）与一次函数y＝ax+b的图象可能是（）A．B．C ．D．2．一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B．C ．D ．3．点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等于（）A．B．4C．﹣D．﹣4．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（）A．点B坐标为（5，4）B．AB＝ADC．a＝﹣D．OC•OD＝165．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③3b﹣2c＜0；④am2+bm≥a+b（m为实数）．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y ＝﹣a（x﹣1）2+4a，若（m﹣1）a+b+c≤0，则m的最大值是（）A．﹣4B．0C．2D．67．如图，现要在抛物线y＝x（4﹣x）上找点P（a，b），针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若b＝5，则点P的个数为0；乙：若b＝4，则点P的个数为1；丙：若b＝3，则点P的个数为1．下列判断正确的是（）A．乙错，丙对B．甲和乙都错C．乙对，丙错D．甲错，丙对8．已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则（）A．y3＜y2＜y1B．y3＜y1＜y2C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y2 9．将抛物线C1：y＝x2﹣2x+3向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的解析式为（）A．y＝﹣x2﹣2B．y＝﹣x2+2C．y＝x2﹣2D．y＝x2+210．将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（）A．y＝2（x﹣6）2B．y＝2（x﹣6）2+4C．y＝2x2D．y＝2x2+4二．填空题11．如图，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O，AD∥x轴，以O为顶点且过A、D两点的抛物线与以O为顶点且过B、C两点的抛物线将正方形分割成几部分．则图中阴影部分的面积是．12．当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝．13．我们用符号[x]表示不大于x的最大整数．例如：[1.5]＝1，[﹣1.5]＝﹣2．那么：（1）当﹣1＜[x]≤2时，x的取值范围是；（2）当﹣1≤x＜2时，函数y＝x2﹣2a[x]+3的图象始终在函数y＝[x]+3的图象上方或图象上，则实数a的范围是．14．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为．15．如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是．三．解答题16．某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x…﹣3﹣﹣2﹣10123…y…3m﹣10﹣103…其中，m＝．（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．（4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴有个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|＝0有个实数根；②方程x2﹣2|x|＝2有个实数根；③关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个实数根时，a的取值范围是．17．在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2．（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．18．在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝x2+bx+a，y2＝ax2+bx+1（a，b是实数，a≠0）．（1）若函数y1的对称轴为直线x＝3，且函数y1的图象经过点（a，b），求函数y1的表达式．（2）若函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，求证：函数y2的图象经过点（，0）．（3）设函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，若m+n＝0，求m，n的值．19．已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．（1）求a，b的值．（2）若（5，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2＝12﹣y1，求m的值．20．在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．（1）判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；（2）求a，b的值；（3）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最大值．。
2019中考热点问题解读二次函数考点解析(共23张PPT)
A．①③ B．②③ C．②④
D．③④
规律： 对于抛物线y＝ax2＋bx＋c， ①抛物线开口方向决定a的正负，c是抛物线与y轴交点 的纵坐标，结合对称轴的位置确定b； ②结合一元二次方程的判别式，确定与x轴交点的个数； ③抛物线一定过(1，a＋b＋c)，(－1，a－b＋c)和(2， 4a＋2b＋c)；④数形结合看不等式成立与否．
6．[2018·德州，T25，14分] 如图1，在平面直角坐标系中，直 线y＝x－1与抛物线y＝－x2＋bx＋c交于A、B两点，其中A(m，0)、 B(4，n)，该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D.
(1)求m、n的值及该抛物线的解析式； (2)如图2，若点P为线段AD上的一动点(不与A、D重合)，分别以 AP、DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角 △DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标； (3)如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、 D、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直接写出点Q的 坐标；若不存在，请说明理由．
当⑦ x＝h 时，y最小＝k 当x＝h时，y最大＝k
(1)x<h时，y随x的增大 而⑧ 减小 ； (2)x>h时，y随x的增大 而⑨_增__大__
(1)x<h时，y随x的增大 而增大； (2)x>h时，y随x的增大 而减小
3．形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质
a>0
a<0
图象
开口方向 对称轴
12．[2018·威海]为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优 惠政策：提供10万元的无息创业贷款．小王利用这笔贷款，注册 了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种火爆的电子产品，并约 定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无息贷款．已知该产品的 成本为每件4元，员工每人每月的工资为4千元，该网店还需每月 支付其他费用1万元．该产品每月销售量y(万件)与销售单价x(元) 之间的函数关系如图所示． (1)求该网店每月利润w(万元)与销售单价x(元)之间的函数表达式； (2)小王自网店开业起，最快在第几个月可还清10万元的无息贷款？
2019中考数学压轴选择填空精讲精练1——二次函数的图像和性质问题
专题1 二次函数的图像和性质问题例题精讲例1：（江西模拟）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（-1，0），下列结论：①ab＜0，②b2＞4，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞-1时，y＞0．其中正确结论的个数是（）A、5个B、4个C、3个D、2个例2：（衡阳中考）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），顶点坐标（1，n）与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①3a+b＜0；②-1≤a≤-23；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（）例3：（鄂州中考）已知抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为P（x0，y0），点A（1，y A），B（0，y B），C（-1，y C）在该抛物线上，当y0≥0恒成立时，y Ay B−y C的最小值为（）A. 1B. 2C. 4D. 3例4：（青岛模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图像的一部分，与x 轴的正半轴交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①abc＜0；②2a+b=0；③a-b+c=0；④点（3，y1），（-2，y2）都在抛物线上，则有y1＞y2，⑤当-1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（）A．①②④B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤例5：（恩施中考）如图，在平面直角坐标系中2条直线为l1：y=-3x+3，l2：y=-3x+9，直线l1交x轴于点A，交y轴于点B，直线l2交x轴于点D，过点B作x轴的平行线交l2于点C，点A、E关于y轴对称，抛物线y=ax2+bx+c过E、B、C三点，下列判断中：①a-b+c=0；②2a+b+c=5；③抛物线关于直线x=1对称；④抛物线过点（b，c）；⑤S四边形ABC D=5，其中正确的个数有（）A．5B．4C．3D．2。
2019中考数学压轴选择填空精讲精练9——二次函数的实际应用问题(解析答案)
专题9 二次函数的实际应用问题例题精讲例1.定义符号min{a，b}的含义为：当a＞b时min{a，b}=b；当a＜b时min{a，b}=a．如：min{1，-3}=﹣3，min{﹣4，﹣2}=﹣4，则min{﹣x2+2，﹣x}的最大值是（）A. ﹣1B. ﹣2C. 1D. 0【答案】C【解析】【解答】联立解得，所以min{﹣x2+2，﹣x}的最大值是1故答案为：C例2.如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（）A. cm2B. cm2C. cm2D. cm2【答案】C【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC∵筝形ADOK≌筝形BEPF≌筝形AGQH∴AD=BE=BF=CG=CH=AK∵折叠后是一个三棱柱∴DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO都为矩形∴∠ADO=∠AKO=90°连结AO，在Rt△AOD和Rt△AOK中∴Rt△AOD≌Rt△AOK（HL）∴∠OAD=∠OAK=30°设OD=x，则AO=2x，由勾股定理就可以求出AD= x∴DE=6﹣2x∴纸盒侧面积=3x（6﹣2x）=﹣6x2+18x=﹣6（x﹣）2+∴当x= 时，纸盒侧面积最大为故答案为：C例3.图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线，桥拱与桥墩AC的交点C 恰好在水面，有AC⊥轴。
若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（）A. 米B. 米C. 米D. 米【答案】B【解析】【解答】根据题意，由AC⊥x轴，OA=10米，可知点C的横坐标为-10，然后把x=-10代入函数的解析式=- ，即C点为（-10，- ），因此可知桥面离水面的高度AC为m. 故答案为：B例4.一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y=- ，当水面离桥拱顶的高度OC是4m时，水面的宽度AB为________m．【答案】16【解析】【解答】解：根据题意B的纵坐标为-4把y=-4代入y=- x2得x=±8∴A（-8，-4），B（8，-4）∴AB=16m即水面宽度AB为16m故答案为：16例5.若关于x的方程x2+2mx+m2+3m-2=0有两个实数根x1、x2，则x1(x1+x2)+x22的最小值为________【答案】【解析】【解答】设关于的方程的两根是：、∴，∴=====∴当时，有最小值为：习题精炼1.如图为一座抛物线型的拱桥，AB、CD分别表示两个不同位置的水面宽度，O为拱桥顶部，水面AB宽为10米，AB距桥顶O的高度为12.5米，水面上升2.5米到达警戒水位CD位置时，水面宽为（）米．A. 5B. 2C. 4D. 82.图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A.y=﹣2x2B.y=2x2C.y=﹣x2D.y= x23.绍兴是著名的桥乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（）A. 4mB. 5mC. 6mD. 8m4.如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，花圃面积为80m2，设与墙垂直的一边长为xm （已标注在图中），则可以列出关于x的方程是（）A. x（26﹣2x）=80B. x（24﹣2x）=80C. （x﹣1）（26﹣2x）=80D. x（25﹣2x）=805.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD (围墙MN最长可利用25m)，现在已备足可以砌50m长的墙的材料，若设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．则AB长度为（）A. 10B. 15C. 10或15D. 12.56.如图所示是由截面为同一种矩形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高10cm，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低40cm，则每块墙砖的截面面积是（）A. 425cm2B. 525cm2C. 600cm2D. 800cm27.如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是（）A. 2mB. 3mC. 4mD. 5m8.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是( )A. 4米B. 3米C. 2米D. 1米9.某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直，如图)．若抛物线的最高点P离墙一米，离地面米，则水流落地点B离墙的距离OB是( )A. 2米B. 3米C. 4米D. 5米10.某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，则下列结论：（1）柱子OA的高度为3m；（2）喷出的水流距柱子1m处达到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是4m；（4）水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外.其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 411.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（）A. 50mB. 100mC. 160mD. 200m12.如图，庄子大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx，小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需（）A. 18秒B. 36秒C. 38秒D. 46秒13.一种包装盒的设计方法如图所示，四边形ABCD是边长为30cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四点重合于图中的点O，形成一个底面为正方形的长方体包装盒．设BE=CF=xcm，要使包装盒的侧面积最大，则x应取( )A. 12.5cmB. 10cmC. 7.5cmD. 5cm14. 如图1，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC 运动到点C 停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s，设P，Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系的图形如图2（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5cm；②当0＜t≤5时，；③直线NH的解析式为；④若△ABE与△QBP相似，则t=秒。
2019年黑龙江中考数学真题汇编——《二次函数》压轴题(学生版)(附答案)
2019年黑龙江中考数学真题汇编《二次函数》压轴题（学生版）1.【2019·黑龙江省·龙东地区】如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点3,0A （）、点1,0B -（），与y 轴交于点C ．（1）求拋物线的解析式；（2）过点()0,3D 作直线MN x ∥轴，点P 在直线NN 上且PAC DBC S S =△△，直接写出点P的坐标．2.【2019·黑龙江省·大庆市】如图,抛物线2y x bx c =++的对称轴为直线2x =,抛物线与x 轴交于点A 和点B ,与y 轴交于点C ,且点A 的坐标为()10-，. (1)求抛物线的函数表达式；(2)将抛物线2y x bx c =++图象x 轴下方部分沿x 轴向上翻折,保留抛物线在x 轴上的点和x 轴上方图象,得到的新图象与直线y t =恒有四个交点,从左到右四个交点依次记为D ,E ,F ,G .当以EF 为直径的圆过点()21Q ，时,求t 的值； (3)在抛物线2y x bx c =++上,当m x n ≤≤时,y 的取值范围是7m y ≤≤,请直接写出x 的取值范围.3.【2019·黑龙江省·绥化市】已知抛物线23y ax bx =++的对称轴为直线12x =,交x 轴于点A 、B ,交y 轴于点C ,且点A 坐标为20A -(,).直线0y mx m m =--（＞）与抛物线交于点P 、Q (点P 在点Q 的右边),交y 轴于点H .(1)求该抛物线的解析式；(2)若5n =-,且CPQ △的面积为3,求m 的值；(3)当1m ≠时,若3n m =-,直线AQ 交y 轴于点K .设PQK △的面积为S ,求S 与m 之间的函数解析式.4.【2019·黑龙江省·齐齐哈尔市】如图，抛物线2y x bx c ++＝与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，2OA ＝，6OC ＝，连接AC 和BC ．（1）求抛物线的解析式；（2）点D 在抛物线的对称轴上，当ACD △的周长最小时，点D 的坐为 ．（3）点E 是第四象限内抛物线上的动点，连接CE 和BE ．求BCE △面积的最大值及此时点E 的坐标；（4）若点M 是y 轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N ，使以点A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．5.【2019·黑龙江省·牡丹江市】如图，抛物线2y x bx c =++经过点(1,0)(30)A B -,，.请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）点2E m （,）在抛物线上，抛物线的对称轴与x 轴交于点H ，点F 是AE 中点，连接FH ，求线段FH 的长.注：抛物线20y ax bx c a =++≠（）的对称轴是2b x a =.6.【2019·黑龙江省·伊春市】如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()3,0A 、点()1,0B -，与y 轴交于点C 。
2019年全国中考数学真题分类 二次函数的图象和性质(印刷版)
第六章二次函数课标要求1. 理解二次函数与抛物线的数形关系．2. 会用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式．3. 会用待定系数法确定二次函数的解析式．4. 了解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系，会用图象法解一元二次方程和一元二次不等式．5. 熟悉抛物线的性质，并能利用抛物线的性质解决实际问题．1. 二次函数的图象和性质一、选择题1. (2019·衢州)二次函数y＝(x－1)2＋3图象的顶点坐标是()A. (1，3)B. (1，－3)C. (－1，3)D. (－1，－3)2. (2019·重庆)抛物线y＝－3x2＋6x＋2的对称轴是()A. 直线x＝2B. 直线x＝－2C. 直线x＝1D. 直线x＝－13. (2019·河南)已知抛物线y＝－x2＋bx＋4经过(－2，n)和(4，n)两点，则n 的值为()A. －2B. －4C. 2D. 44. (2019·兰州)已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝－(x＋1)2＋2上，则下列结论正确的是()A. 2>y1>y2B. 2>y2>y1C. y1>y2>2D. y2>y1>25. (2019·哈尔滨)将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线对应的函数解析式为()A. y＝2(x＋2)2＋3B. y＝2(x－2)2＋3C. y＝2(x－2)2－3D. y＝2(x＋2)2－36. (2019·西藏)要得到函数y＝－12(x－1)2＋1的图象，可以把函数y＝－12x2的图象()A. 向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度B. 向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度C. 向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度D. 向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度7. (2019·百色)要得到抛物线y＝x2＋6x＋7，可把抛物线y＝x2()A. 先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度B. 先向左平移6个单位长度，再向上平移7个单位长度C. 先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度D. 先回右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度8. (2019·雅安)在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝(x－2)2＋1，下列说法错误的是()A. y的最小值为1B. 图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x＝2C. 当x<2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小D. 它的图象可以由y＝x2的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到9. (2019·淄博)将二次函数y＝x2－4x＋a的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是()A. a>3B. a<3C. a>5D. a<510. (2019·河池)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，则下列结论中，错误的是()第10题A. ac<0B. b2－4ac>0C. 2a－b＝0D. a－b＋c＝011. (2019·成都)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(1，0)，B(5，0)，下列说法正确的是()第11题A. c<0B. b2－4ac<0C. a－b＋c<0D. 图象的对称轴是直线x＝312. (2019·沈阳)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论正确的是()第12题A. abc<0B. b2－4ac<0C. a－b＋c<0D. 2a＋b＝013. (2019·娄底)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc<0；②b2－4ac<0；③2a>b；④(a＋c)2<b2.其中正确的有()第13题A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个14. (2019·鄂州)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x ＝1. 下列结论：①abc<0；②3a＋c>0；③(a＋c)2－b2<0；④a＋b≤m(am ＋b)(m为实数)．其中结论正确的个数为()第14题A. 1B. 2C. 3D. 415. (2019·通辽)在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示．有下列结论：①abc<0；②c＋2a<0；③9a－3b＋c＝0；④a －b≥m(am＋b)(m为实数)；⑤4ac－b2<0.其中错误结论的个数是()第15题A. 1B. 2C. 3D. 416. (2019·葫芦岛)二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b的图象大致是()第16题A BC D17. (2019·呼和浩特)二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是()A BC D18. (2019·湖州)已知a，b是非零实数，|a|>|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2＋bx与一次函数y2＝ax＋b的大致图象不可能是()A BC D19. (2019·陕西)在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2＋(2m－1)x＋2m －4与y＝x2－(3m＋n)x＋n关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为()A. 57，－187 B. 5，－6C. －1，6D. 1，－220. (2019·贵阳)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－1，0)，点B(1，1)都在直线y＝12x＋12上，若抛物线y＝ax2－x＋1(a≠0)与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是()第20题A. a≤－2B. a<9 8C. 1≤a<98或a≤－2 D. －2≤a<9821. (2019·玉林)如图，抛物线C：y＝12(x－1)2－1，顶点为D，将C沿水平方向向右(或向左)平移m个单位长度，得到抛物线C1，顶点为D1，C与C1相交于点Q，若∠DQD1＝60°，则m的值为()第21题A. ±4 3B. ±2 3C. －2或2 3D. －4或4 322. (2019·宜宾)已知抛物线y＝x2－1与y轴交于点A，与直线y＝kx(k为任意实数)相交于B，C两点，则下列结论不正确的是()A. 存在实数k，使得△ABC为等腰三角形B. 存在实数k，使得△ABC的内角中有两角分别为30°和60°C. 任意实数k，使得△ABC都为直角三角形D. 存在实数k，使得△ABC为等边三角形23. (2019·福建)若二次函数y＝|a|x2＋bx＋c的图象经过不同的五点A(m，n)，B(0，y1)，C(3－m，n)，D(2，y2)，E(2，y3)，则y1，y2，y3的大小关系是()A. y1<y2<y3B. y1<y3<y2C. y3<y2<y1D. y2<y3<y124. (2019·资阳)如图是函数y＝x2－2x－3(0≤x≤4)的图象，直线l∥x轴且过点(0，m)，将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线l下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是()第24题A. m≥1B. m≤0C. 0≤m≤1D. m≥1或m≤025. (2019·岳阳)对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2＋2x＋c有两个相异的不动点x1，x2，且x1<1<x2，那么c的取值范围是()A. c<－3B. c<－2C. c<14 D. c<1二、填空题26. (2019·哈尔滨)二次函数y＝－(x－6)2＋8的最大值是________．27. (2019·荆州)二次函数y＝－2x2－4x＋5的最大值是________．28. (2019·白银)将二次函数y＝x2－4x＋5化成y＝a(x－h)2＋k的形式为____________．29. (2019·凉山州)将抛物线y＝(x－3)2－2向左平移________个单位长度后经过点A(2，2)．30. (2019·宜宾)将抛物线y＝2x2的图象，向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式为______________．31. (2019·广元)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点(－1，0)，(0，2)，且顶点在第一象限，设M＝4a＋2b＋c，则M的取值范围是__________．第31题32. (2019·天水)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，若M＝4a＋2b，N＝a－b.则M，N的大小关系为M________N(填“>”“<”或“＝”)．第32题33. (2019·荆门)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数)的顶点为P，且抛物线经过点A(－1，0)，B(m，0)，C(－2，n)(1<m<3，n<0)．下列结论：①abc>0；② 3a ＋c<0；③ a(m －1)＋2b>0；④ 当a ＝－1时，存在点P 使△PAB 为直角三角形．其中正确的为________(填序号)．34. (2019·镇江)已知抛物线y ＝ax 2＋4ax ＋4a ＋1(a ≠0)过点A(m ，3)，B(n ，3)两点，若线段AB 的长不大于4，则代数式a 2＋a ＋1的最小值是________．35. (2019·内江)若x ，y ，z 为实数，且⎩⎨⎧x ＋2y －z ＝4，x －y ＋2z ＝1，则代数式x 2－3y 2＋z 2的最大值是________．36. (2019·雅安)函数y ＝⎩⎨⎧－x 2＋2x （x>0），－x （x ≤0）的图象如图所示．若直线y ＝x ＋m 与该图象恰有三个不同的交点，则m 的取值范围为__________．第36题37. (2019·大庆)如图，抛物线y ＝14p x 2(p>0)，点F(0，p)，直线l ：y ＝－p ，已知抛物线上的点到点F 的距离与到直线l 的距离相等，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，垂足分别为A 1，B 1，连接A 1F ，B 1F ，A 1O ，B 1O.若A 1F ＝a ，B 1F ＝b ，则△A 1OB 1的面积为________(只用a ，b 表示)．第37题38. (2019·衡阳)在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2的图象如图所示．已知点A 的坐标为(1，1)，过点A 作AA 1∥x 轴交抛物线于点A 1，过点A 1作A 1A 2∥OA 交抛物线于点A 2，过点A 2作A 2A 3∥x 轴交抛物线于点A 3，过点A 3作A 3A 4∥OA 交抛物线于点A 4，…，依次进行下去，则点A 2 019的坐标为____________．第38题三、 解答题39. (2019·宁波)如图，二次函数y＝x2＋ax＋3的图象经过点P(－2，3)．(1) 求a的值和图象的顶点坐标．(2) 点Q(m，n)在该二次函数图象上．①当m＝2时，求n的值；②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．第39题40.(2019·永州)如图，抛物线经过两点A(－3，0)，B(0，3)，且其对称轴为直线x＝－1.(1) 求此抛物线对应的函数解析式；(2) 若P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A，B)，求△PAB面积的最大值，并求出此时点P的坐标．第40题41. (2019·安徽)一次函数y＝kx＋4与二次函数y＝ax2＋c的图象的一个交点坐标为(1，2)，另一个交点是该二次函数图象的顶点．(1) 求k，a，c的值；(2) 过点A(0，m)(0<m<4)且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2＋c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2＋BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值．42.(2019·台州)已知函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点(－2，4)．(1) 求b，c满足的关系式；(2) 设该函数图象的顶点坐标是(m，n)，当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；(3) 若该函数的图象不经过第三象限，当－5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．43.(2019·南通)已知二次函数y＝x2－4x＋3a＋2(a为常数)．(1) 请写出该二次函数的三条性质；(2) 在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在x ≤4的部分与一次函数y ＝2x －1的图象有两个交点，求a 的取值范围．44.(2019·北京)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx －1a 与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．(1) 求点B 的坐标(用含a 的式子表示)；(2) 求抛物线的对称轴；(3) 已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1a ，Q(2，2)．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合图象，求a 的取值范围．45.(2019·天门)在平面直角坐标系中，已知抛物线C ：y ＝ax 2＋2x －1(a ≠0)和直线l ：y ＝kx ＋b ，点A(－3，－3)，B(1，－1)均在直线l 上．(1) 若抛物线C 与直线l 有交点，求a 的取值范围；(2) 当a ＝－1，二次函数y ＝ax 2＋2x －1的自变量x 满足m ≤x ≤m ＋2时，函数y 的最大值为－4，求m 的值；(3) 若抛物线C 与线段AB 有两个不同的交点，请直接写出a 的取值范围．46.(2019·上海)如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2－2x ，其顶点为A.(1) 写出这条抛物线的开口方向、顶点A 的坐标，并说明它的变化情况；(2) 我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．① 试求抛物线y ＝x 2－2x 的“不动点”的坐标；② 平移抛物线y ＝x 2－2x ，使所得新抛物线的顶点B 是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x 轴交于点C ，且四边形OABC 是梯形，求新抛物线对应的函数解析式．第46题47.(2019·河北)如图，若b 是正数，直线l ：y ＝b 与y 轴交于点A ；直线a ：y ＝x －b 与y 轴交于点B ；抛物线L ：y ＝－x 2＋bx 的顶点为C ，且L 与x 轴的右交点为D.(1) 若AB ＝8，求b 的值，并求此时抛物线L 的对称轴与直线a 的交点坐标；(2) 当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；(3) 设x0≠0，点(x0，y1)，(x0，y2)，(x0，y3)分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点(x0，0)与点D间的距离；(4) 在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2 019和b＝2 019.5时“美点”的个数．第47题1. 二次函数的图象和性质一、 1. A 2. C 3. B 4. A 5. B 6. C 7. A 8. C 9. D10. C 11. D 12. D 13. A 14. C 15. A 16. D 17. D 18. D 19. D 20. C 21. A 22. D 23. D 24. C 25. B二、 26. 8 27. 7 28. y ＝(x －2)2＋1 29. 3 30. y ＝2(x ＋1)2－231. －6<M<6 32. < 33. ②③ 34. 74 35. 26 36. 0<m<1437. ab 438. (－1 010，1 0102) 三、 39. (1) 把点P(－2，3)代入y ＝x 2＋ax ＋3中，得3＝4－2a ＋3，解得a ＝2.∴ 二次函数的解析式为y ＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2.∴ 顶点坐标为(－1，2) (2) ① 当m ＝2时，n ＝(2＋1)2＋2＝11 ② ∵ 点Q 到y 轴的距离小于2，∴ |m|<2.∴ －2<m<2.∴ 结合图象可知，n 的取值范围为2≤n<1140. (1) ∵ 抛物线的对称轴是直线x ＝－1，且经过点A(－3，0)，∴ 由抛物线的对称性可知，抛物线还经过点(1，0)．设抛物线对应的函数解析式为y ＝a(x －1)(x ＋3)，把B(0，3)代入，得3＝－3a ，解得a ＝－1.∴ 抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2－2x ＋3 (2) 设直线AB 对应的函数解析式为y ＝kx ＋b ，∵点A(－3，0)，B(0，3)在直线y ＝kx ＋b 上，∴ ⎩⎨⎧－3k ＋b ＝0，b ＝3，解得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝3.∴ 直线AB 对应的函数解析式为y ＝x ＋3.过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，交直线AB 于点M ，设P(x ，－x 2－2x ＋3)，则M(x ，x ＋3)，∴ PM ＝－x 2－2x ＋3－(x ＋3)＝－x 2－3x.∴ S △PAB ＝12(－x 2－3x)×3＝－32(x ＋32)2＋278.当x ＝－32时，S △PAB 有最大值，为278，此时点P 的纵坐标为－⎝ ⎛⎭⎪⎫－322－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋3＝154，∴ △PAB 面积的最大值为278，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，154 41. (1) 根据题意，得二次函数y ＝ax 2＋c 的图象的顶点坐标为(0，c)．将点(0，c)，(1，2)代入一次函数的解析式，得⎩⎨⎧c ＝4，2＝k ＋4，解得⎩⎨⎧c ＝4，k ＝－2.将点(1，2)代入y ＝ax 2＋4，得2＝a ＋4，解得a ＝－2.∴ k 的值为－2，a 的值为－2，c 的值为4 (2) 由(1)可知，二次函数的解析式为y ＝－2x 2＋4.令y ＝m ，得2x 2＋m －4＝0，解得x ＝±4－m2.设B ，C 两点的坐标分别为(x 1，m)，(x 2，m)，则BC＝|x 1－x 2|＝24－m 2.∴ W ＝OA 2＋BC 2＝m 2＋4×4－m 2＝m 2－2m ＋8＝(m －1)2＋7.∵ 0<m<4，∴ 当m ＝1时，W 有最小值，为742. (1) 将点(－2，4)代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得4＝4－2b ＋c ，即－2b ＋c ＝0，∴ c ＝2b (2) 根据题意，得m ＝－b 2，n ＝4c －b 24.∴ b ＝－2m.又由(1)知，c＝2b ，∴ c ＝－4m.∴ n ＝4c －b 24＝－16m －4m 24＝－m 2－4m (3) 如图，由(2)的结论，画出函数y ＝x 2＋bx ＋c 和函数y ＝－x 2－4x 的图象．∵ 函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象不经过第三象限，∴ －4≤－b 2≤0.① 当－4≤－b 2≤－2，即4≤b ≤8时，如图①.当x ＝1时，函数取到最大值，为1＋3b ；当x ＝－b 2时，函数取到最小值，为8b －b 24.∴ 1＋3b －8b －b 24＝16，即b 2＋4b －60＝0，解得b 1＝6，b 2＝－10(不合题意，舍去)．② 当－2<－b 2≤0，即0≤b<4时，如图②.当x ＝－5时，函数取到最大值，为25－3b ；当x ＝－b 2时，函数取到最小值，为8b －b 24，∴ 25－3b －8b －b 24＝16，即b 2－20b ＋36＝0，解得b 1＝2，b 2＝18(不合题意，舍去)．综上所述，b 的值为2或6第42题43. (1) 答案不唯一，如① 图象开口向上；② 图象的对称轴为直线x ＝2；③ 当x ＞2时，y 随x 的增大而增大 (2) ∵ 二次函数的图象与一次函数y ＝2x －1的图象有两个交点，∴ x 2－4x ＋3a ＋2＝2x －1，即x 2－6x ＋3a ＋3＝0.∴ Δ＝36－4(3a ＋3)＝－12a ＋24＞0，解得a ＜2.∵ 二次函数的图象在x ≤4的部分与一次函数y ＝2x －1的图象有两个交点，∴ 二次函数y ＝x 2－6x ＋3a ＋3的图象与x 轴x ≤4的部分有两个交点．结合图象(图略)可知，当x ＝4时，x 2－6x ＋3a ＋3≥0.∴ 当x ＝4时，x 2－6x ＋3a ＋3＝3a －5≥0，解得a ≥53.∴ 当二次函数的图象在x ≤4的部分与一次函数y ＝2x －1的图象有两个交点时，a 的取值范围为53≤a ＜244. (1) 由题意，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，又∵ 将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，∴ B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－1a (2) ∵ 点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－1a 关于直线x ＝1对称，点A ，B 均在抛物线上，∴ 抛物线的对称轴为直线x ＝1 (3) ① 当a>0时，则－1a <0.结合图象(图略)可知，此时线段PQ 与抛物线没有交点．② 当a<0时，则－1a >0.结合图象(图略)可知，此时－1a ≤2，解得a ≤－12.综上所述，当a ≤－12时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点45. (1) 将点A(－3，－3)，B(1，－1)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧k ＋b ＝－1，－3k ＋b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝－32.∴ 直线l 对应的函数解析式为y ＝12x －32.联立y ＝ax 2＋2x －1与y ＝12x －32，得2ax 2＋3x ＋1＝0.∵ 抛物线C 与直线l 有交点，∴ Δ＝9－8a ≥0，解得a ≤98.又∵ a ≠0，∴ a 的取值范围为a ≤98且a ≠0 (2) 根据题意，得二次函数的解析式为y ＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2.∵ －1<0，∴ 二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x ＝1.∵ 当m ≤x ≤m ＋2时，y 有最大值－4，∴ 当y ＝－4时，有－(x －1)2＝－4，解得x ＝－1或x ＝3.① 当x<1时，y 随x 的增大而增大，∴ 当x ＝m ＋2＝－1时，y 有最大值－4，此时m ＝－3；② 当x>1时，y 随x 的增大而减小，∴ 当x ＝m ＝3时，y 有最大值－4.综上所述，m 的值为－3或3(3) 49≤a<98或a ≤－246. (1) 对于抛物线y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，其开口向上，顶点A 的坐标为(1，－1)；当x>1时，y 随x 的增大而增大；当x<1时，y 随x 的增大而减小(2) ① 设抛物线“不动点”坐标为(t ，t)，则t ＝t 2－2t.解得t ＝0或3.∴ “不动点”的坐标为(0，0)或(3，3) ② ∵ 新抛物线顶点B 为“不动点”，则设点B(m ，m)，∴ 新抛物线的对称轴为直线x ＝m ，与x 轴的交点C 的坐标为(m ，0)．∵ 四边形OABC 是梯形，∴ 直线x ＝m 在y 轴左侧．∵ BC 与OA 不平行，∴ OC ∥AB.又∵ 点A 的坐标为(1，－1)，点B 的坐标为(m ，m)，∴ m ＝－1.∴ 新抛物线是由抛物线y ＝x 2－2x 向左平移2个单位长度得到的．∴ 新抛物线对应的函数表达式为y ＝(x ＋1)2－147. (1) 当x ＝0时，y ＝x －b ＝－b ，∴ 点B 的坐标为(0，－b)．∵ AB ＝8，而点A 的坐标为(0，b)，∴ b －(－b)＝8.解得b ＝4.∴ 抛物线L 对应的函数解析式为y ＝－x 2＋4x.∴ 抛物线L 的对称轴为直线x ＝2.当x ＝2时，y ＝x －4＝－2.∴ 抛物线L 的对称轴与直线a 的交点坐标为(2，－2 ) (2) ∵ y ＝－x 2＋bx ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 22＋b 24，∴ 抛物线L 的顶点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，b 24.∵ 点C 在l 下方，∴ C 与l 的距离为b －b 24＝－14(b －2)2＋1≤1.∴ 点C 与l 距离的最大值为1 (3)由题意，得y 3＝y 1＋y 22，即y 1＋y 2＝2y 3，得b ＋x 0－b ＝2(－x 20＋bx 0)．解得x 0＝0或x 0＝b －12.但x 0≠0，取x 0＝b －12.对于L ，当y ＝0时，得0＝－x 2＋bx ，即0＝－x(x －b)．解得x 1＝0，x 2＝b.∵ b ＞0，∴ 右交点D 的坐标为(b ，0)．∴ 点(x 0，0)与点D 间的距离为b －⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12＝12 (4) ① 当b ＝2 019时，抛物线L 对应的函数解析式为y ＝－x 2＋2 019x ，直线a 对应的函数解析式为y ＝x －2 019.联立上述两个解析式，可得x 1＝－1，x 2＝2 019.∴ 可知每一个整数x 的值都对应的一个整数y 值，且－1和2 019之间(包括－1和－2 019)共有2 021个整数．∵ 另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，∴ 线段和抛物线上各有2 021个整数点．∴ 总计4 042个整数点．∵ 这两段图象交点有2个点重复，∴ 美点”的个数为4 042－2＝4 040；② 当b ＝2 019.5时，抛物线L 对应的函数解析式为y ＝－x 2＋2 019.5x ，直线a 对应的函数解析式为y ＝x －2 019.5.联立上述两个解析式，可得x 1＝－1，x 2＝2 019.5，∴ 当x 取整数时，在一次函数y ＝x －2 019.5上，y 取不到整数值．∴ 在该图象上“美点”的个数为0.∵ 在二次函数y ＝x 2＋2 019.5x 的图象上，当x 为偶数时，函数值y 可取整数，可知－1到2 019.5之间有1 010个偶数，∴ “美点”共有1 010个．综上所述，当b ＝2 019时，“美点”的个数为4 040；当b ＝2 019.5时，“美点”的个数为1 010。
2019全国中考数学真题分类汇编：二次函数概念、性质和图象
一、选择题1．（2019·温州）已知二次函数y=x 2-4x+2，关于该函数在-1≤x ≤3的取值范围内，下列说法正确的是（ ）A ．有最大值-1，有最小值-2B ．有最大值0，有最小值-1C ．有最大值7，有最小值-1D ．有最大值7，有最小值-2【答案】D【解析】∵二次函数y=x 2-4x+2=(x-2)2-2，∴该函数在-1≤x ≤3的取值范围内，当x=2时，y 有最小值-2；当x=-1时，y 有最大值7．故选D.2．（2019·绍兴 ）在平面直角坐标系中，抛物线)3)(5(-+=x x y 经过变换后得到抛物线)5)(3(-+=x x y ，则这个变换可以是 ( )A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位C.向左平移8个单位D.向右平移8个单位 【答案】B【解析】y ＝（x +5）（x ﹣3）＝（x +1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．y ＝（x +3）（x ﹣5）＝（x ﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．所以将抛物线y ＝（x +5）（x ﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y ＝（x +3）（x ﹣5），故选B ．3．（2019·嘉兴）小飞研究二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2﹣m +1（m 为常数）性质时如下结论： ①这个函数图象的顶点始终在直线y ＝﹣x +1上；②存在一个m 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形； ③点A （x 1，y 1）与点B （x 2，y 2）在函数图象上，若x 1＜x 2，x 1+x 2＞2m ，则y 1＜y 2； ④当﹣1＜x ＜2时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围为m ≥2． 其中错误结论的序号是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④【答案】C【解析】二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2﹣m +1（m 为常数）,①∵顶点坐标为（m，﹣m+1）且当x＝m时，y＝﹣m+1,∴这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上,故结论①正确；②假设存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形, 令y＝0，得﹣（x﹣m）2﹣m+1＝0，其中m≤1，解得：x＝m﹣，x＝m+，∵顶点坐标为（m，﹣m+1），且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形,∴|﹣m+1|＝|m﹣（m﹣）|,解得：m＝0或1,∴存在m＝0或1，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形,故结论②正确；③∵x1+x2＞2m,∴,∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）的对称轴为直线x＝m,∴点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离,∵x1＜x2，且﹣1＜0,∴y1＞y2,故结论③错误；④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，且﹣1＜0,∴m的取值范围为m≥2．故结论④正确．故选C．4．（2019·杭州）在平面直角坐标系中，已知a ≠b ，设函数y=（x+a ）（x+b ）的图象与x 轴有M 个交点，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x 轴有N 个交点，则（ ）A ．M=N-1或M=N+1B ．M=n-1或M=N+2C ．M=N 或M=N+1D ．M=N 或M=N-1【答案】A【解析】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x 轴的交点个数，若一次函数，则与x 轴只有一个交点，据此解答．∵y=（x+a ）（x+b ）=x 2+（a+b ）x+1，∴（a+b ）2-4ab=（a-b ）2＞0，∴函数y=（x+a ）（x+b ）的图象与x 轴有2个交点，∴M=2，∵函数y=（ax+1）（bx+1）=abx 2+（a+b ）x+1，∴当ab ≠0时，（a+b ）2-4ab=（a-b ）2＞0，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x 轴有2个交点，即N=2，此时M=N ；当ab=0时，不妨令a=0，∵a ≠b ，∴b ≠0，函数y=（ax+1）（bx+1）=bx+1为一次函数，与x 轴有一个交点，即N=1，此时M=N+1；综上可知，M=N 或M=N+1．故选C ．5．（2019·烟台）已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表：4x <时，0y >；④抛物线与x 轴的两个交点间的距离是4；⑤若1(,2)A x ，2(,3)B x 是抛物线上两点，则12x x <． 其中正确的个数是（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B【解题过程】先根据二次函数的部分对应值在坐标系中描点、连线，由图象可以看出抛物线开口向上，所以结论①正确，由图象（或表格）可以看出抛物线与x 轴的两个交点分别为（0,0），（4,0），所以抛物线的对称轴为直线2x =且抛物线与x 轴的两个交点间的距离为4，所以结论②和④正确，有抛物线的图象可以看出当04x <<时，0y <，所以结论③错误，由图象可以看出当抛物线上的点的纵坐标为2或3时，对于的点均有两个，若1(,2)A x ，2(,3)B x 是抛物线上两点，既有可能12x x <，也有可能12x x >，所以结论⑤错误．6．（2019·绍兴 ）在平面直角坐标系中，抛物线)3)(5(-+=x x y 经过变换后得到抛物线)5)(3(-+=x x y ，则这个变换可以是 ( )A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位C.向左平移8个单位D.向右平移8个单位 【答案】B【解析】y ＝（x +5）（x ﹣3）＝（x +1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．y ＝（x +3）（x ﹣5）＝（x ﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．所以将抛物线y ＝（x +5）（x ﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y ＝（x +3）（x ﹣5），故选B ．7．（2019·益阳）已知二次函数c bx ax y ++=2如图所示，下列结论:①ae ＜0，②b-2a ＜0，③ac b 42-＜0，④a-b+c ＜0，正确的是（ ）A. ①②B.①④C.②③D.②④第10题图【答案】A【解析】∵抛物线开口向下，且与y 的正半轴相交，∴a ＜0，c ＞0，∴ac ＜0，故①正确； ∵对称轴在-1至-2之间，∴122---＜＜ab，∴4a ＜b ＜2a ，∴b-2a ＜0，故②正确； ∵抛物线与x 轴有两个交点，∴△=ac b 42-＞0，∴③错误； ∵当x=-1时，y=a-b+c ＞0，∴④错误. ∴正确的说法是①②.故选A.8．（2019·娄底） 二次函数2y ax bx c =++的图象如图（5）所示，下列结论中正确的有（ ）① abc<0② 240b ac -<③ 2a b > ④ ()22a c b +< A ． 1个 B ． 2个C ．3个D ． 4个【答案】A【解析】解：①由抛物线的开口方向向下知a<0，对称轴在y 轴的左侧得a 、b 同号，抛物线与y 轴交于正半轴得c>0,所以abc>0 ；故结论①错误；②由抛物线与x 轴有两个交点得240b ac ->，故结论②错误；③由图象知对称轴12b x a =->-得12ba<；由a<0，结合不等式的性质三可得 b>2a,即2a<b ；故结论③错误；④由图象知：当x ＝1时，y<0即a+b+c<0；当x ＝－1时，y>0即a －b+c>0；∴()()0a b c a b c ++-+<，即()220a c b +-<；∴()22a c b +<．故结论④正确．故答案A 正确．9. （2019·济宁）将抛物线y ＝x 2－6x ＋5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）A ．y ＝(x －4)2－6B ．y ＝(x －1)2－3C ．y ＝(x －2)2－2D ．y ＝(x －4)2－2 【答案】D【解析】y ＝x 2－6x ＋5＝ (x －3) 2－4，把向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后， 得y ＝ (x －3－1) 2－4＋2，即y ＝(x －4)2－2．10、(2019·巴中)二次函数y ＝ax2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示,下列结论①b2>4ac,②abc<0,③2a+b －c>0, 2. ④a+b+c<0,其中正确的是( ) A.①④B.②④C.②③D.①②③④第10题图 【答案】A【解析】①:因为图象与x 轴有两个不同的交点,所以b 2－4ac>0,即b 2>4ac,故①正确;②:图象开口向下,故a<0,图象与y 轴交于正半轴,故c>0,因为对称轴为x ＝－1,所以12ba-=-,所以2a ＝b,故b<0,所以abc>0,②错误;③:a<0,b<0,c>0,所以2a+b －c<0,③错误;④当x ＝1时,y ＝a+b+c,由图可得,x ＝－3时,y<0,由对称性可知,当x ＝1时,y<0,即a+b+c<0,故④正确.综上所述,①④正确,故选A.11. （2019·达州）如图，边长都为4的正方形ABCD 和正三角形EFG 如图放置， AB 与EF 在一条直线上，点A 与点F 重合.现将△EFG 沿AB 方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F 与点B 重合时停止，在这个运动过程中正方形ABCD 和△EFG 重叠部分的面积S 与运动时t 的函数图像大致是( )【答案】C【思路分析】可分两种情况，第一种情况重合部分为三角形，第二种情况重合部分为四边形，分别求出对应的函数关系式即可.【解题过程】运动过程中，当顶点G 在正方形外部时，重合部分为三角形，设运动时间为t ，面积S 与t 的函数关系式为232t y =，函数图像为开口向上的二次函数，当顶点G 在正方形内部时，重合部分为四边形，设运动时间为t ，面积S 与t 的函数关系式为343423-2-+=t t y ，函数图像为开口向下的二次函数，故选C.12. （2019·凉山）二次函数y=ax2+bx+c 的部分图象如图所示，有以下结论：①3a –b=0；②b2-4ac ＞0；③5a-2b+c ＞0； ④4b+3c ＞0,其中错误结论的个数是（ ▲ ） A. 1B. 2C. 3D. 4xxx第12题图【答案】A【解析】根据对称轴232-=-a b 得b =3a ，故可得3a –b =0，所以结论①正确；由于抛物线与x 轴有两个不同的交点，所以b 2-4ac ＞0，结论②正确；根据结论①可知b =3a ，∴5a -2b +c =5a -6a +c =-a +c ，观察图像可知a ＜0,c ＞0，∴5a -2b +c =-a +c ＞0，结论③正确；根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x 轴的右交点在原点与（1，0）之间（不含这两点），所以当x =1时，y =a +b +c ＜0，∵a =b 31，∴b 34+c ＜0，∴4b +3c ＜0，所以结论④错误.故选 A.13. （2019·攀枝花）在同一坐标系中，二次函数y ＝ax2＋bx 与一次函数y ＝bx －a 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】据参数符号可排除A 、D 选项，联立两函数解析式所得方程无解，则两函数图象无交点，故选C ． 【知识点】二次函数的图象；一次函数的图象14.（2019·天津）二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：且当21-=x 时，与其对应的函数值y>0，有下列结论：（1）abc>0;(2)-2和3是关于x 的方程ax2+bx+c=t 的两个根；（3）0<m+n<320,其中，正确结论的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】C【解析】(1)因为当21-=x 时，与其对应的函数值y>0，由图表可知x=0时，y=-2，x=1时，y=-2,可以判断对称轴左侧y 随x 的增大而减小，图像开口向上，a>0;由图表可知x=0时，y=-2，x=1时，y=-2,可得对称轴为直线21=x ，所以b<0;x=0时，y=-2,所以c=-2<0,故abc>0（1）正确；（2）由于对称轴是直线21=x ，-2和3是关于对称轴对称的，所以（2）正确；（3）由对称轴是直线21=x 可得a+b=0,因为x=0时，y=-2，可知c=-2，当21-=x 时，与其对应的函数值y>0可得38>a ，当x=-1时，m=a-b-2=2a-2>310,因为-1和2关于对称轴对称，可得m=n ，所以m+n>320，故（3）错误，故选C.【知识点】二次函数图像的性质.15. （2019·衢州）二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（A ） A. （1.3） B.（1，-3） C.（-1.3） D.（-1.-3）【答案】A【解析】本题考查二次函数顶点坐标的确定，二次函数y =a （x -h ）2+k 的顶点坐标为（h ，k ），所以y =（x -1）2+3的顶点坐标是（1.3），故选A .16. （2019·重庆B 卷）物线y ＝263-2++x x 的对称轴是（ ）A.直线 2=xB.直线 2-=xC.直线 1=xD.直线 1-=x 【答案】Ｃ【解析】设二次函数的解析式是y=c bx ax ++2， 则二次函数的对称轴为直线y ＝263-2++x x 的对称轴是直线 1=x .故选Ｃ．17.（2019·自贡）一次函数y=ax+b 与反比例函数y=的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c 的大致图象是（ ）【答案】A.【解析】∵双曲线y=经过一、三象限，∴c ＞0.∴抛物线与y 轴交于正半轴.∵直线y =ax +b 经过第一、二和四象限， ∴a ＜0，b ＞0，即＜0.∴抛物线y =ax 2+bx +c 开口向下，对称轴在y 轴的右侧. 故选A.18.（2019·遂宁）二次函数y=x 2-ax+b 的图像如图所示，对称轴为直线x=2，下列结论不正确的是 ( )A. a=4B.当b= -4时，顶点的坐标为（2，-8）C.当x= -1 时，b> -5D.当x>3时，y 随x 的增大而增大 【答案】C【解析】选项A,由对称轴为直线x=2可得22a--=，∴a=4，正确；选项B,∵a=4,b= -4 ∴代入解析式可得，y=x 2-4x-4，当x=2时，y=-8,∴顶点的坐标为（2，-8），正确；选项C ，由图像可知，x=-1时，y=0，代入解析式得B=-5，∴错误；选项D 由图像可以看出当x>3时，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，正确，故选C.二、填空题1、（2019·遂宁）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 落在坐标原点，点A,点C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，G 为线段OA 上一点，将△OCG 沿CG 翻折，O 点恰好落在对角线AC 上的点P 处，反比例函数xy 12=经过点B ，二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像经过C （0,3），G 、A 三点，则该二次函数的解析式为（填一般式）【答案】3411212+-=x x y 【解析】∵矩形OABC ，C （0,3）∴B 点的纵坐标为3，∵反比例函数x y 12=经过点B ，∴B(4,3），A （4,0），∴OA=4，∵C （0,3），∴OC=3，∴Rt △ACO 中，AC=5.设G （m,0)则OG=m ∵翻折∴GP=OG=m,CP=CO=3,∴AP=2，AG=4-m,∴Rt △AGP 中，m 2+22=(4-m)2,∴m=23,∴G(23,0），∵A （4,0）C （0,3）G(23,0）∴解析式为3411212+-=x x y2．(2019·广元)如图,抛物线y ＝ax 2+bx+c(a ≠0)过点(－1,0),(0,2),且顶点在第一象限,设M ＝4a+2b+c,则M 的取值范围是________.第15题图 【答案】－6<M<6【解析】∵y ＝ax 2+bx+c 过点(－1,0),(0,2),∴c ＝2,a －b ＝－2,∴b ＝a+2,∵顶点在第一象限,∴2ba->0,∴a<0,b>0,a+2>0,a>－2,∴－2<a<0,M ＝4a+2b+c ＝4a+2(a+2)+2＝6a+6,∴－6<M<6.3．（2019·衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2的图象如图所示．已知点A 坐标为（1，1），过点A 作AA 1∥x 轴交抛物线于点A 1，过点A 1作A 1A 2∥OA 交抛物线于点A 2，过点A 2作A 2A 3∥x 轴交抛物线于点A 3，过点A 3作A 3A 4∥OA 交抛物线于点A 4…，依次进行下去，则点A 2019的坐标为 ．【答案】（－1010，10102）【解析】A （1，1），A 1（－1，1），A 2（2，4），A 3（－2，4），A 4（3，9），A 5（－3，9），…，A 2019（－1000，1000 2）．4．（2019·株洲）若二次函数2y ax bx =+的图像开口向下，则a 0（填“＝”或“＞”或“＜”）． 【答案】＜【解析】二次函数开口向下，则a<0。
数学中考 考点16 二次函数(知识精讲)-2019年中考数学必备之考点精讲与真题演练(解析版)
考点16 二次函数【知识梳理】知识点一、二次函数的定义一般地，如果2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数． 备注：如果2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b 、c 可分别为零，也可以同时都为零． a 的绝对值越大，抛物线的开口越小．知识点二、二次函数的图象与性质1．二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2y ax =；②2y ax k =+；③()2y a x h =-；④()2y a x h k =-+，其中2b h a =-，244ac b k a-=；⑤2y ax bx c =++．（以上式子a≠0）几种特殊的二次函数的图象特征如下：2．抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点．(1) a 的符号决定抛物线的开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；(2)平行于y 轴(或重合)的直线记作x=h ．特别地，y 轴记作直线x=0． 3．抛物线()20y ax bx c a =++≠中，a ，b ，c 的作用：(1) a 决定开口方向及开口大小；(2) b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置．由于抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2b x a=-， 故：①b=0时，对称轴为y 轴；② 0b a > (即a 、b 同号)时，对称轴在y 轴左侧；③ 0b a< (即a 、b 异号)时，对称轴在y 轴右侧．(3) c 的大小决定抛物线2y ax bx c =++与y 轴交点的位置．当x=0时，y=c ，∴抛物线2y ax bx c =++与y 轴有且只有一个交点(0，c)： ①c=0，抛物线经过原点； ②c>0，与y 轴交于正半轴；③c<0，与y 轴交于负半轴．4．用待定系数法求二次函数的解析式：(1)一般式：2y ax bx c =++（a≠0）．已知图象上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式． (2)顶点式：()2y a x h k =-+（a≠0）．已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式． (可以看成2y ax =的图象平移后所对应的函数．)(3)交点式：已知图象与x 轴的交点坐标x 1、x 2，通常选用交点式： ()()12y a x x x x =--（a≠0）．(由此得根与系数的关系：12b x x a +=-,12cx x a⋅=)．知识点三、二次函数与一元二次方程的关系函数2y ax bx c =++（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程20ax bx c ++=（a≠0），那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况．(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时240b ac ∆=-> ，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时240b ac ∆=-= ，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时240b ac ∆=-<，则方程没有实根． 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：知识点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题．在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义． 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题． 备注：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等．解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式．【例题精讲】1、(2018浙江宁波)如图，二次函数y ＝ax 2+bx 的图象开口向下，且经过第三象限的点P ．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y＝（a﹣b）x+b的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．2、（2018四川广安）抛物线y＝（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y＝x2平移而得到，下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度【答案】D【解析】解：抛物线y＝x2顶点为（0，0），抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），则抛物线y＝x2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的图象．故选：D．【点睛】本题考查二次函数图象平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平移方向．3、(2018湖北随州)如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C，对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D 点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）≤a+b；④a＜﹣1．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】A∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，而抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，∴当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以②正确；【点睛】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解．也考查了二次函数图象与系数的关系．4、已知函数y使y＝a成立的x的值恰好只有3个时，a的值为______．【答案】2【解析】解：函数y的图象如图：根据图象知道当y＝2时，对应成立的x值恰好有三个，∴a＝2．故答案：2．【点睛】此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．5、（2018甘肃兰州A）如图，抛物线y x2﹣7x与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1向左平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，若直线y x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A．m B．m C．m D．m【答案】Cx2﹣7x+5﹣2m＝0∵相切∴△＝49﹣20+8m＝0∴m如图∵若直线y x+m与C1、C2共有3个不同的交点，∴m故选：C．*网【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．6、（2018四川绵阳）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加________m．【答案】4 4解得：x＝±2，所以水面宽度增加到4米，比原先的宽度当然是增加了（44）米，故答案为：44．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．7、（2018辽宁抚顺）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？【答案】见解析【解析】解：（1）y＝300﹣10（x﹣44），即y＝﹣10x+740（44≤x≤52）；（2）根据题意得（x﹣40）（﹣10x+740）＝2400，解得x1＝50，x2＝64（舍去），答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；【点睛】本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决利润问题，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后利用二次函数的性质确定其最大值；在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．也考查了一元二次方程的应用．@网8、(2018湖北潜江)绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图，线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价y1（元）、生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系．（1）求该产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（2）直接写出生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？【答案】见解析【解析】解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1＝kx+b，∵经过点（0，168）与（180，60），∴，解得：，∴产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式为y1x+168（0≤x≤180）；②当50＜x＜130时，W＝x[（x+168）﹣（x+80）]（x﹣110）2+4840，∴当x＝110时，W的值最大，最大值为4840；③当130≤x≤180时，W＝x（x+168﹣54）（x﹣95）2+5415，∴当x＝130时，W的值最大，最大值为4680．因此当该产品产量为110kg时，获得的利润最大，最大值为4840元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型．。
2019年全国中考试题解析版分类汇编-二次函数图像与其性质
2019 年全国中考试题解析版分类汇编- 二次函数图像及其性质注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！【一】选择题1.〔 2017?江苏宿迁， 8，3〕二次函数 y=ax 2+bx+c〔 a≠ 0〕的图象如图，那么以下结论中正确的选项是〔〕A、 a＞ 0B、当 x＞ 1 时， y 随 x 的增大而增大C 、 c＜ 0 D 、 3 是方程ax2 +bx+c=0 的一个根考点：抛物线与x 轴的交点；二次函数图象与系数的关系。
专题：计算题。
分析：根据图象可得出a＜ 0， c＞ 0，对称轴 x=1，在对称轴的右侧， y 随 x 的增大而减小；根据抛物线的对称性另一个交点到x=1 的距离与﹣ 1 到 x=1 的距离相等，得出另一个根、解答：解：∵抛物线开口向下，∴a＜ 0，故 A 选项错误；∵抛物线与 y 轴的正半轴相交，∴c＞ 0，故 B 选项错误；∵对称轴 x=1，∴当 x＞ 1 时， y 随 x 的增大而减小；故 C选项错误；∵对称轴 x=1，∴另一个根为1+2=3，故 D 选项正确、应选 D、点评：此题考查了抛物线与x 轴的交点问题以及二次函数的图象与系数的关系，是基础知识要熟练掌握、2. 〔 2017 江苏无锡， 9，3 分〕以下二次函数中，图象以直线x=2 为对称轴、且经过点〔0，1〕的是〔〕A、 y=〔 x﹣ 2〕2+1 B 、 y=〔 x+2〕2+1C 、 y=〔 x﹣ 2〕2﹣3 D 、 y=〔 x+2〕2﹣ 3 考点：二次函数的性质。
专题：计算题。
分析：采用逐一排除的方法、先根据对称轴为直线x=2 排除 B、 D，再将点〔 0， 1〕代入A、C两个抛物线解析式检验即可、解答：解：∵抛物线对称轴为直线x=2，∴可排除 B、 D，将点〔 0， 1〕代入 A 中，得〔 x﹣ 2〕2+1=〔 0﹣ 2〕2 +1=5，错误，代入 C 中，得〔 x﹣ 2〕2﹣3=〔 0﹣ 2〕2﹣ 3=1，正确、应选 C、点评：此题考查了二次函数的性质、关键是根据对称轴，点的坐标与抛物线解析式的关系，逐一排除、23. 〔2017 江苏无锡， 10，3 分〕如图，抛物线 y=x +1 与双曲线 y= k的交点 A 的横坐标是1，x那么关于 x 的不等式 k +x 2+1＜ 0 的解集是〔〕xA 、 x ＞1B 、 x ＜﹣ 1C 、 0＜ x ＜ 1D 、﹣ 1＜ x ＜0考点：二次函数与不等式〔组〕 。
2019年中考数学真题分类汇编 二次函数图像性质 选择题20题(含答案)
2019年中考数学真题分类汇编二次函数图像性质选择题20题一、选择题：1、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=1，下列结论：①abc＜0②b＜c③3a+c=0④当y＞0时，﹣1＜x＜3。
其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2、如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）A.①②③B.①②④C.②③④D.③④⑤3、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0，②b﹣2a＜0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c ＜0，正确的是（）A.①②B.①④C.②③D.②④4、已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac=0；③a＞2；④ax2+bx+c=﹣2的根为x1=x2=﹣1；⑤若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2.其中正确的个数是（）A.2B.3C.4D.55、二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a﹣b=0；②b2﹣4ac＞0；③5a﹣2b+c＞0；④4b+3c＞0，其中错误结论的个数是（）A.1B.2C.3D.46、从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示.下列结论：①小球在空中经过的路程是40m；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度h=30m时，t=1.5s.其中正确的是（）A.①④B.①②C.②③④D.②③7、在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示：现给以下结论：①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c=0；④a﹣b≥m（am+b）（m为实数）；⑤4ac﹣b2＜0. 其中错误结论的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个8、如图所示，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，OA=OC ，对称轴为直线x=1.则下列结论：①abc ＜0；②a+21b+41c=0；③ac+b+1=0；④2+c 是关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个根.其中正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个9、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，直线x=1是它的对称轴。
2019中考数学二次函数压轴题专练
2019年中考数学分类汇编二次函数压轴题1、如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =a （x +1）2﹣3与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C （0，﹣），顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H ，过点H 的直线l 交抛物线于P ，Q 两点，点Q 在y 轴的右侧． （1）求a 的值及点A ，B 的坐标；（2）当直线l 将四边形ABCD 分为面积比为3：7的两部分时，求直线l 的函数表达式；（3）当点P 位于第二象限时，设PQ 的中点为M ，点N 在抛物线上，则以DP 为对角线的四边形DMPN 能否为菱形？若能，求出点N 的坐标；若不能，请说明理由．2、如图1，二次函数2y ax bx =+的图像过点A （-1，3），顶点B 的横坐标为1.（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P 在该二次函数的图像上，点Q 在x 轴上，若以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标； （3）如图3，一次函数y kx =（k ＞0）的图像与该二次函数的图像交于O 、C 两点，点T 为该二次函数图像上位于直线OC 下方的动点，过点T 作直线TM ⊥OC ，垂足为点M ，且M 在线段OC 上（不与O 、C 重合），过点T 作直线TN ∥y 轴交OC 于点N 。
若在点T 运动的过程中，2ON OM为常数，试确定k 的值。
二、与轴对称和等腰三角形性质有关的综合题3、如图，顶点为(3,1)A 的抛物线经过坐标原点O ，与x 轴交于点B ．xy图3NM OC Tx y图2（备用图）BAOxy13-1图1B AO（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）过B 作OA 的平行线交y 轴于点C ，交抛物线于点D ，求证：△OCD ≌△OAB ； （3）在x 轴上找一点P ，使得△PCD 的周长最小，求出P 点的坐标．4、如图，二次函数y ＝ax 2＋bx （a ≠0）的图象经过点A （1，4），对称轴是直线x ＝－ 32，线段AD 平行于x 轴，交抛物线于点D ．在y 轴上取一点C （0，2），直线AC 交抛物线于点B ，连结OA ，OB ，OD ，BD ． （1）求该二次函数的解析式；（2）设点F 是BD 的中点，点P 是线段DO 上的动点，将△BPF 沿边PF 翻折，得到△B ′PF ，使△B ′PF 与△DPF 重叠部分的面积是△BDP 的面积的 14，若点B ′在OD 上方，求线段PD 的长度;（3）在（2）的条件下，过B ′作B ′H ⊥PF 于H ，点Q 在OD 下方的抛物线上，连接AQ 与B ′H 交于点M ，点G 在线段AM 上，使∠HPN +∠DAQ =135°，延长PG 交AD 于N ．若AN + B ′M =52,求点Q 的坐标．x y A D C B O x yA D CB O x y A DC B OKO y x C B A 图2三、与图形的平移与旋转变换性质有关的综合题5、如图1，二次函数1x 2-x 21y 2+=的图象与一次函数y =kx +b (k ≠0)的图象交于A ，B 两点，点A 的坐标为（0,1），点B 在第一象限，点C 是二次函数图象的顶点，点M 是一次函数y =kx +b (k ≠0)的图象与x 轴的交点，过点B 作x 轴的垂线，垂足为N ，且S △AMO ︰S 四边形AONB =1︰48。
(2021年整理)2019年中考数学专题复习第十四讲二次函数的图象和性质(含详细参考答案)
2019年中考数学专题复习第十四讲二次函数的图象和性质(含详细参考答案) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019年中考数学专题复习第十四讲二次函数的图象和性质(含详细参考答案)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2019年中考数学专题复习第十四讲 二次函数的图象和性质【基础知识回顾】一、 二次函数的定义：一般地如果y= （a 、b 、c 是常数a≠0）那么y 叫做x 的二次函数.【名师提醒:1、二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的结构特征是：等号左边是函数，右边是 关 于 自 变 量x 的 二 次 式，x 的 最 高 次 数 是 ， 按 项、 项、 项依次排列 2、强调二次项系数a 0】 二、二次函数的图象和性质:1、二次函数y=kx 2+bx+c （a≠0)的图象是一条 ，其定点坐标为 对称轴是 。
2、在抛物y=ax 2+bx+c （a≠0）中：①、当a>0时，开口向 ，当x<—2b a时，y 随x 的增大而 ，当x 时,y 随x 的增大而增大,②、当a 〈0时，开口向 ，当x 〈-2ba 时，y 随x 增大而增大,当x 时,y 随x 增大而减小 【名师提醒：注意几个特殊形式的抛物线的特点1、y=ax 2 ,对称轴 顶点坐标2、y= ax 2 +k,对称轴 顶点坐标3、y=a （x —h ） 2对称轴 顶点坐标4、y=a （x-h) 2 +k 对称轴 顶点坐标 】 三、二次函数图象的平移【名师提醒：二次函数的平移本质可看作是顶点间的平移，因此要掌握整条抛物线的平移，只需抓住关键的顶点平移即可】四、二次函数y= ax2+bx+c的同象与字母系数之间的关系：a:开口方向向上则a 0,向下则a 0 ｜a|越大,开口越b：对称轴位置，与a联系一起，用左右判断，当b=0时，对称轴是c:与y轴的交点:交点在y轴正半轴上，则c 0，在y轴负半轴上则c 0，当c=0时,抛物线过点【名师提醒：在抛物线y= ax2+bx+c中，当x=1时，y= 当x=—1时y= ，经常根据对应的函数值判断a+b+c和a—b+c的符号】【重点考点例析】考点一：二次函数图象上点的坐标特点例1 （2018•湖州）已知抛物线y=ax2+bx-3(a≠0）经过点（-1，0）,（3，0)，求a，b的值．【思路分析】根据抛物线y=ax2+bx—3（a≠0）经过点（-1，0），(3，0),可以求得a、b的值，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx—3(a≠0）经过点(-1，0），（3，0),∴309330a ba b--+-⎧⎨⎩＝＝,【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h平移|k|个单位解得，12a b -⎧⎨⎩＝＝ ， 即a 的值是1，b 的值是—2．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．考点二：二次函数的图象和性质例2 （2018•德州）如图,函数y=ax 2-2x+1和y=ax-a （a 是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【思路分析】可先根据一次函数的图象判断a 的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．【解答】解：A 、由一次函数y=ax-a 的图象可得:a ＜0,此时二次函数y=ax 2—2x+1的图象应该开口向下，故选项错误;B 、由一次函数y=ax —a 的图象可得：a ＞0，此时二次函数y=ax 2-2x+1的图象应该开口向上,对称轴x=—22a-＞0，故选项正确; C 、由一次函数y=ax —a 的图象可得：a ＞0，此时二次函数y=ax 2-2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=-22a-＞0，和x 轴的正半轴相交,故选项错误； D 、由一次函数y=ax —a 的图象可得：a ＞0，此时二次函数y=ax 2—2x+1的图象应该开口向上，故选项错误．故选：B．【点评】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=ax-a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．例3 （2018•新疆)如图，已知抛物线y1=—x2+4x和直线y2=2x．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2，若y1≠y2，取y1和y2中较小值为M;若y1=y2，记M=y1=y2．①当x＞2时,M=y2;②当x＜0时，M随x的增大而增大；③使得M大于4的x的值不存在；④若M=2，则x=1．上述结论正确的是（填写所有正确结论的序号）．【思路分析】①观察函数图象，可知：当x＞2时，抛物线y1=-x2+4x在直线y2=2x的下方，进而可得出当x＞2时，M=y1，结论①错误；②观察函数图象，可知：当x＜0时，抛物线y1=-x2+4x在直线y2=2x的下方,进而可得出当x＜0时,M=y1，再利用二次函数的性质可得出M随x的增大而增大，结论②正确；③利用配方法可找出抛物线y1=—x2+4x的最大值，由此可得出：使得M大于4的x 的值不存在，结论③正确；考点三：抛物线的特征与a、b、c的关系例4 (2018•滨州)如图,若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）图象的对称轴为x=1，与y 轴交于点C，与x轴交于点A、点B（—1,0），则①二次函数的最大值为a+b+c;②a—b+c＜0;③b2-4ac＜0；④当y＞0时，—1＜x＜3，其中正确的个数是（）A．1 B．2C．3 D．4【思路分析】直接利用二次函数的开口方向以及图象与x轴的交点，进而分别分析得出答案．【解答】解：①∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）图象的对称轴为x=1，且开口向下，∴x=1时，y=a+b+c，即二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；②当x=—1时，a—b+c=0,故②错误；③图象与x轴有2个交点，故b2-4ac＞0,故③错误；④∵图象的对称轴为x=1，与x轴交于点A、点B（—1,0)，∴A（3，0），故当y＞0时,-1＜x＜3，故④正确．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A点坐标是解题关键．考点四：抛物线的平移例5 （2018•广安）抛物线y=（x-2）2—1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（)A．先向左平移2个单位长度,然后向上平移1个单位长度B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C．先向右平移2个单位长度,然后向上平移1个单位长度D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度【思路分析】抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．【解答】解：抛物线y=x2顶点为（0，0），抛物线y=（x-2）2-1的顶点为（2，-1）,则抛物线y=x2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x-2)2-1的图象．故选：D．【点评】本题考查二次函数图象平移问题,解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点,从而确定平移方向．考点五:二次函数的应用例6（2018•衢州)某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内?（3）经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．【思路分析】(1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8,0),求出a值，此题得解；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=1.8时x的值,由此即可得出结论；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=—15x2+bx+165,代入点（16，0)可求出b值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论．【解答】解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分)的函数表达式为y=a（x-3）2+5（a≠0），将（8，0）代入y=a（x—3）2+5，得：25a+5=0,解得：a=—15，∴水柱所在抛物线(第一象限部分）的函数表达式为y=-15（x-3）2+5（0＜x＜8)．（2）当y=1。
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专题1 二次函数的图像和性质问题例题精讲例1：（江西模拟）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（-1，0），下列结论：①ab＜0，②b2＞4，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞-1时，y＞0．其中正确结论的个数是（）A、5个B、4个C、3个D、2个例2：（衡阳中考）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），顶点坐标（1，n）与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①3a+b＜0；②-1≤a≤-；③对于任意实数m，a+b ≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（）例3：（鄂州中考）已知抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为P（x0，y0），点A（1，y A），B（0，y B），C（-1，y C）在该抛物线上，当y0≥0恒成立时，的最小值为（）A. 1B. 2C. 4D. 3例4：（青岛模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图像的一部分，与x 轴的正半轴交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①abc＜0；②2a+b=0；③a-b+c=0；④点（3，y1），（-2，y2）都在抛物线上，则有y1＞y2，⑤当-1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（）A．①②④B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤例5：（恩施中考）如图，在平面直角坐标系中2条直线为l1：y=-3x+3，l2：y=-3x+9，直线l1交x轴于点A，交y轴于点B，直线l2交x轴于点D，过点B作x轴的平行线交l2于点C，点A、E关于y轴对称，抛物线y=ax2+bx+c过E、B、C三点，下列判断中：=5，①a-b+c=0；②2a+b+c=5；③抛物线关于直线x=1对称；④抛物线过点（b，c）；⑤S四边形ABC D其中正确的个数有（）A．5B．4C．3D．2习题精炼1.已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a+b+c=0；③a﹣b+c＜0；④抛物线的顶点坐标为（2，b）；⑤当x＜2时，y随x增大而增大．其中结论正确的是（）A. ①②③B. ③④⑤C. ①②④D. ①④⑤2.如图：二次函数y=ax2+bx+c的图像所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2=2，正确的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.函数y=x2+bx+c与y=x的图像如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.已知抛物线 ( ＜＜0)与x轴最多有一个交点，现有以下结论：① ＜0；②该抛物线的对称轴在y轴左侧；③关于x的方程有实数根；④对于自变量x的任意一个取值，都有，其中正确的为( )A. ①②B. ①②④C. ①②③D. ①②③④5.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给下以下结论：①2a﹣b=0；②abc＞0；③4ac﹣b2＜0；④9a+3b+c＜0；⑤关于x的一元二次方程ax2+bx+c+3=0有两个相等实数根；⑥8a+c＜0．其中正确的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 56.如图所示，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（1，0），直线x=﹣0.5与此抛物线交于点C，与x轴交于点M，在直线上取点D，使MD=MC，连接AC、BC、AD、BD，某同学根据图象写出下列结论：①a﹣b=0；②当﹣2＜x＜1时，y＞0；③四边形ACBD是菱形；④9a﹣3b+c＞0你认为其中正确的是（）A. ②③④B. ①②④C. ①③④D. ①②③7.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c（a≠0）有一个根为﹣其中正确的结论个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8.如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1 ， x2，其中-2＜x1＜-1，0＜x2＜1，下列结论（1）4a-2b+c＜0；（2）2a-b＜0；（3）a-3b＞0；（4）b2+8a＜4ac；其中正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.二次函数（a≠0）图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③当m≠1时，a+b＞；④a-b+c＞0；⑤若，且，则．其中正确的有（）.A. ①②③B. ②④C. ②⑤D. ②③⑤10.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①3a+2b+c＜0；②3a+c＜b2-4ac；③方程2ax2+2bx+2c-5=0没有实数根；④m（am+b）+b＜a（m≠-1）．其中正确结论的个数是（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个11.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；、②3a+c＞0；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；⑤方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；其中结论正确的个数是（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个12.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，且OA＝OC，则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c ＝0（a≠0）有一个根为4+c，其中正确的结论个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个13.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②2a﹣b＜0；③b2＞（a+c）2；④点（﹣3，y1），（1，y2）都在抛物线上，则有y1＞y2．其中正确的结论有（）A.4个B.3个C.2个D.1个14.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（）A.①②③B.②③⑤C.②③④D.③④⑤15.如图，抛物线y1= (x+12)+1与y2=a(x-4)2-3交于点A(1，3)，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论:①a=；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x>1时，y1>y2.期中正确的结论的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个16.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B(﹣1，0)，则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c<0；③b2﹣4ac<0；④当y>0时，﹣1<x<3．其中正确的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 417.抛物线C1：y1=mx2﹣4mx+2n﹣1与平行于x轴的直线交于A、B两点，且A点坐标为（﹣1，2），请结合图象分析以下结论：①对称轴为直线x=2；②抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣1）；③m＞；④若抛物线C2：y2=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，则a的取值范围是≤a＜2；⑤不等式mx2﹣4mx+2n＞0的解作为函数C1的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其中正确结论的个数有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个18.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④﹣＜a＜﹣．其中正确结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个19.如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是 .对于下列说法：① ；② ；③ ；④ （为实数）；⑤当时，，其中正确的是（）A. ①②④B. ①②⑤C. ②③④D. ③④⑤20.如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标 ，与轴的一个交点 ，直线与抛物线交于，两点，下列结论：① ；② ；③方程有两个相等的实数根；④抛物线与轴的另一个交点是 ；⑤当时，有，其中正确的是（）A. ①②③B. ①③④C. ①③⑤D. ②④⑤答案解析部分一、单选题1.【答案】 C【解析】【解答】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（0，0），结论①正确；②∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，且抛物线过原点，∴﹣ =2，c=0，∴b=﹣4a，c=0，∴4a+b+c=0，结论②正确；③∵当x=﹣1和x=5时，y值相同，且均为正，∴a﹣b+c＞0，结论③错误；④当x=2时，y=ax2+bx+c=4a+2b+c=（4a+b+c）+b=b，∴抛物线的顶点坐标为（2，b），结论④正确；⑤观察函数图象可知：当x＜2时，y随x增大而减小，结论⑤错误．综上所述，正确的结论有：①②④．故答案为：C．2.【答案】 C【解析】【解答】解：由题意得：a＜0，c＞0，﹣ =1＞0，∴b＞0，即abc＜0，选项①错误；﹣b=2a，即2a+b=0，选项②正确；当x=1时，y=a+b+c为最大值，则当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即当m≠1时，a+b＞am2+bm，选项③正确；由图像知，当x=﹣1时，ax2+bx+c=a﹣b+c＜0，选项④错误；∵ax12+bx1=ax22+bx2，∴ax12﹣ax22+bx1﹣bx2=0，（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]=0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b=0，∴x1+x2=﹣ =﹣ =2，所以⑤正确．所以②③⑤正确，共3项，故选C．3.【答案】 B【解析】【解答】解：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4ac＜0；故①错误；当x=1时，y=1+b+c=1，故②错误；∵当x=3时，y=9+3b+c=3，∴3b+c+6=0；③正确；∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确．故选B4.【答案】 B【解析】【解答】①抛物线与x轴最多有一个交点，∴b2-4ac≤0，∴b2≤4ac，∵a<b<0，∴0≤4ac,∴c<0,所以①正确；②∵a<b<0∴＜0，所以②正确；③抛物线与x轴最多有一个交点，∴b2-4ac≤0，又∵a<0，∴关于x的方程ax2+bx+c-2=0中，△=b2-4a（c-2）=b2-4ac+8a＜0，所以③错误；④=,∵a>0,b>0,∴，则当x=时，有最小值所以≥，④正确；故选B.5.【答案】 C【解析】【解答】解：①抛物线的对称轴为x=﹣ =1，b=﹣2a，所以2a+b=0，故①错误；②抛物线开口向上，得：a＞0；抛物线的对称轴为x=﹣＞0故b＜0；抛物线交y轴于负半轴，得：c＜0；所以abc＞0；故②正确；③由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故③正确；④根据抛物线的对称轴方程可知：（﹣1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；当x=﹣1时，y＜0，所以当x=3时，也有y＜0，即9a+3b+c＜0；故④正确；⑤二次函数y=ax2+bx+c的最小值为﹣3，所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c+3=0有两个相等的实数根，故⑤正确；⑥由图知：当x=﹣2时y＞0，所以4a﹣2b+c＞0，因为b=﹣2a，所以4a+4a+c＞0，即8a+c＞0，故⑥错误；所以这结论正确的有②③④⑤4个．故选C．6.【答案】 D【解析】【解答】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（1，0），∴该抛物线的对称轴为x=﹣ =﹣0.5，∴a=b，a﹣b=0，①正确；②∵抛物线开口向下，且抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）、B（1，0），∴当﹣2＜x＜1时，y＞0，②正确；③∵点A、B关于x=0.5对称，∴AM=BM，又∵MC=MD，且CD⊥AB，∴四边形ACBD是菱形，③正确；④当x=﹣3时，y＜0，即y=9a﹣3b+c＜0，④错误．综上可知：正确的结论为①②③．故选D．7.【答案】 C【解析】【解答】解：由图象开口向下，可知a＜0，与y轴的交点在x轴的下方，可知c＜0，又对称轴方程为x=2，所以﹣＞0，所以b＞0，∴abc＞0，故①正确；由图象可知当x=3时，y＞0，∴9a+3b+c＞，故②错误；由图象可知OA＜1，∵OA=OC，∴OC＜1，即﹣c＜1，∴c＞﹣1，故③正确；假设方程的一个根为x=﹣，把x=﹣代入方程可得﹣ +c=0，整理可得ac﹣b+1=0，两边同时乘c可得ac2﹣bc+c=0，即方程有一个根为x=﹣c，由②可知﹣c=OA，而当x=OA是方程的根，∴x=﹣c是方程的根，即假设成立，故④正确；综上可知正确的结论有三个，故选C．8.【答案】 B【解析】【解答】解：（1)根据图象知，当x=-2时，y＜0，即4a-2b+c＜0；故本选项正确；（2)∵该函数图象的开口向下，∴a＜0；又对称轴-1＜x=-＜0，∴2a-b＜0，故本选项正确；（3)∵a＜0，-＜0，∴b＜0，则a-3b＜0．故本选项错误；（4)∵y=＞2，a＜0，∴4ac-b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故本选项错误．综上所述，正确的结论有2个；故选B．9.【答案】 D【解析】【解答】根据抛物线开口向下可得a＜0，根据对称轴为直线x=1，可得b=-2a，则b＞0，与y轴的交点在x轴的上方，则c＞0，所以abc＜0，故①错误；由b=-2a得2a+b=0，故②正确；因为x=1时，函数值最大，所以a+b+c＞ +c，即a+b＞（m≠1），故③正确；因为抛物线与x轴的交点到对称轴的距离大于1，所以抛物线与x轴的交点一个在（2，0）与（3，0）之间，一个在（0，0）与（-1，0）之间，所以当x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0，故④错误；当时，则，所以x= 与x= 时的函数值相等，所以 -1=1- ，即，故⑤正确，综上正确的结论有②③⑤.故答案为：D.10.【答案】 B【解析】【解答】解：由图象可知，当x=1时，y<0，即a+b+c<0，a＜0，b＜0∵对称轴x=∴b=2a<0，∴a+2a+c<0，即3a+c<0，∴3a+b+c<0，故①正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，∴3a+c<0<b2−4ac，故②正确；∵2ax2+2bx+2c−5=0，∴ax2+bx+c=，结合图象可知：抛物线y=ax2+bx+c与直线y=的交点无法判断，故③错误；∵当x=m(m≠−1)时，y=am2+bm+c，且当x=−1时，函数y取得最大值，∴a−b+c>am2+bm+c，∴m(am+b)+b<a，故④正确；综上，正确结论有①②④共4个，故答案为：B11.【答案】 B【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2，所以①正确；∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，所以②错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向下，∴当x＞1时，y随x增大而减小，所以③错误．∵抛物线的对称轴为直线x＝1，而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，所以⑤正确；∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④正确；故答案为：B．12.【答案】 C【解析】【解答】解：由抛物线的开口可知：a＜0，由抛物线与y轴的交点可知：c＜0，由抛物线的对称轴可知：﹣＞0，∴b＞0，∴abc＞0，故①正确；令x＝3，y＞0，∴9a+3b+c＞0，故②错误∵OA＝OC＜1，∴c＞﹣1，故③正确；观察图象可知关于x的方程ax2+bx+c（a≠0）＝0的两根：一个根在0与1之间，一个根在3与4之间，由OC＝OA，则OB＝4+c，即关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根为4+c，故④正确；故答案为：C13.【答案】 B【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵﹣＜0，∴b＞0，∵抛物线交y轴于负半轴，∴c＜0，∴abc＜0，故①正确，∵﹣＞﹣1，a＞0，∴b＜2a，∴2a﹣b＞0，故②错误，∵x=1时，y＞0，∴a+b+c＞0，∴a+c＞﹣b，∵x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∴（a+c）2﹣b2=（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，∴b2＞（a+c）2，故③正确，∵点（﹣3，y1），（1，y2）都在抛物线上，观察图象可知y1＞y2，故④正确．故答案为：B．14.【答案】 B【解析】【解答】解: ①∵对称轴在y轴的右侧，∴ab＜0，由图象可知：c＞0，∴abc＜0，故①不正确；②当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，∴b﹣a＞c，故②正确；③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c＞0，故③正确；④∵x=﹣ =1，∴b=﹣2a，∵a﹣b+c＜0，∴a+2a+c＜0，3a＜﹣c，故④不正确；⑤当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，而当x=m时，y=am2+bm+c，所以a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故⑤正确．故②③⑤正确．故答案为：B．15.【答案】B【解析】【解答】解：①，将点A（1，3）代入y2=a(x-4)2-3得3=a(1-4)2-3，解之：a=，故①正确；②，∵E是抛物线y2=a(x-4)2-3的顶点，∴E（4，-3），∴C（7，3），∴AC=|1-7|=6，AE=∴AC≠AE，故②错误；③当y=3时，则3=(x+1)2+1解之：x1=1，x2=-3，x=-3时，y=3∴B（-3，3），D（-1，1），则AB=4，AD=BD=∴AD2+BD2=AB2，∴△ABD是等腰直角三角形，故③正确；④(x-4)2-3=(x+1)2+1，解之：x1=1，x2=37，∴当37＞x＞1时，y1>y2，故④错误.故答案为：16.【答案】B【解析】【解答】解：图像的顶点坐标横坐标是x=1,将X=1代入二次函数y=ax2+bx+c得：y=a+b+c,又∵图像开口向下，∴当x=1时函数有最大值y=a+b+c,故①是正确的；把X=-1代入二次函数y=ax2+bx+c得：y=a-b+c=0，∴②是错误的；图像与x轴有两个交点，故b2﹣4ac＞0，③是错误的；∵图象的对称轴为x=1，与x轴交于点A、点B(﹣1，0)，∴A（3,0），∴﹣1<x<3时，y＞0，④是正确的，综上所述即可得出答案①④是正确的，故答案为B。