离散数学PPT教学环与域

§9.2 环和域
本环节和讨论域具有二个二元运算的代数系统
一.环 1.环的定义 若代数系统<R,+,>具有如下性质: 1) <R,+>是个阿贝尔群 2) <R,>是个半群 3)乘法对加法+可分配,
即a,b,cR,a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca 下一页 称<R,+,>是一个环
-1
一.环
证:e e a b c
e eabc
e eabc
e eabc
a abce
a aecb
b ceab
b bcea
c ceab
c cbae
生成元为a
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由拉格朗日定理知：a，b，c的阶只能为2
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四.同态与同余关系
同1.同态余关与系 同余关系
定义:<A,>是一个代数系统,R是A上的等价关系,若<a,b>R, <c,d>R<ac , bd>R，称R是A上的同余关系，此同余关系将A 划分的等价类称为同余类
充分性:若k为质数,须证<Nk,+k,k>是个域 i)<Nk,+k>是个阿贝尔群 ii)证明<Nk-{0},k>是阿贝尔群
a)a,bNk-{0}akbNk-{0}Nk-{0}对k封闭 b) <Nk-{0},k>结合律满足 c) <Nk-{0},k>么元为1 d)aNk-{0}，证明a存在逆元 首先证明若b,cNk-{0},bc则akbakc （反证法:）若akb=akc,不妨设b>c则ab=nk+r,ac=mk+ra(b-c)=(n-m)k k为质数,不能被分解成两个数的乘积,故等式左边至少有一个数是k的倍数,而这 是不可能的，因此 ，ak1,,ak(k-1)此k-1个数均不相同,其中必有一个为1
证 : 由 群 同 态 , 半 群 同 态 知 识 知 : 是 <h(s),> 是 阿 贝 尔 群,<h(s),⊙>是半群
一.环
2.环环的的性质性质
设<A，+，>是个环,a,b,cA,[a+(-b)]简记a-b 1)环的加法么元必为环的乘法零元 即 a=a= 证:=a-a =a(+)-a=a+a-a=a+= a
类似可证=a
2)(-a)b=a(-b)=-(a b) 证:(-a)b+ab=((-a)+a)b=a=
(-a)b=-(ab)
<G,*>是循环群
二.拉格朗日定理阶关系
2.左陪集等价关系 ①定义:设<H,*>是群<G,*>的子群,则H的左陪 集集合是G的一个划分,由此划分导出的等价 关系称为H的左陪集等价关系,左陪集等价关 系记为 定理：aba-1 bH 证: abbaHb=a*h,hHa-1bH
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二.拉格朗日定理 例1.试证阶奇关数系阶群所有元素之积等于么元
2)构造映射f:aA,f(a)=[a] R ，再证f是一个同态
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x,yA,f(x*y)=[x*y] R=[x] R*’[y] R=f(x)* ’ f(y)
f是从AB的同态， 又[a] RB,aA有f(a)=[a] R
f是满同态
证毕
注：<B,*’>是<A,*’>的同态像,同态映射也称为规范映射
四.同态与同余关系
证:设<G,*>是一个群,e为么元,则 在G中不存在这样的元素a：a e，a=a-1 ∵若a=a-1 则a2=e <{a,e},*>是<G,*>的子群 ∵|{a,e}|=2 由拉格朗日定理:2整除|G|，矛盾 G={e,a1,a1-1,a2,a2-1,,an,an-1}，其中aiai-1 e*a*a1-1**an*an-1=e
例2.1)<I,+,>是整环
2)<N4,+4,4>不是整环
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域
二.域
1.域的定义
若代数系统<F,+,>具有 1)|F|>1，
2)<F,+>,<F-{0},>均是阿贝尔群，3)乘法对加法可 分配，则称它是域
2.域的举例
1)I为整数集，<I,+,>不是域，
2)<Q,+,>是一个域,其中Q为有理数集合
<R,+,>是一个域，其中R为实数集合
<C,+,>是一个域，其中C为复数集合
3)Nk={0,1,,k-1},<Nk,+k,k>是个域,当且仅当k是质数
例 证:必要性:（反证法）
设<Nk,+k,k>是个域,若k不是质数 i)k=1,则|N1|=1不是域 ii)k=ab,则akb=0,a,b是零因子,故<Nk,+k,k>不是域矛盾
例1：<I,+>，在I上定义R:<x,y>R|x|=|y|,
问R是<I,+>的同余关系否?
解:1)自反性：xI,|x|=|x|<x,x>R
2)对称性：x,yI，若<x,y>R则|x|=|y|<y,x>R
3)传递性：x,y,zI，若<x,y>R,<y,z>R|x|=|y|=|z|<x,z>R
R是一等价关系
则 ab=a，由可约律 b= 无零因子 <A,+,>是无零因子环
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整4.整环环Baidu Nhomakorabea
一.环
定义:
给 定 环 <R,+,>, 若 <R,> 是 可 交 换 的 , 称 <R,+,>为交换环
给 定 环 <R,+,>, 若 <R,> 含 么 元 , 称 <R,+,> 为含么环
给 定 环 <R,+,>, 若 <R,> 是 可 交 换 的 、 含 么元、无零因子,则称<R,+,>为整环
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例3.四阶群只有二个,一个是循环群,另一个 是Klein四元群
证:e e a b c
e eabc
e eabc
e eabc
a abce
a aecb
b bcea
b bcea
c ceab
c cbae
生成元为a
由拉格朗日定理知：
a，b，c的阶只能为2
例3例3.四阶群只有二个,一个是循环群,另一个 是Klein四元群
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环的同态三.环的同态
1.定义:
设 <R,+,><S,,⊙> 是 环 , 若 h:RS,a,bR 有 h(a+b)=h(a)h(b),h(ab)=h(a)⊙h(b),
称h是<R,+,>到<S,,⊙>的环同态
2.环的同态像是一个环
若<R,+,>是环,<S,, ⊙>是一个代数系统,存在同态映 射,则<h(s),,⊙>是一个环
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一.环
定理 例:<An , + , >是零因子环,An是nn方阵。 定理2.环<A,+,>是无零因子环,当且仅当<A,>满足可 约律 证:a,b,cA ,a0,b0 必要性:设<R,+,>无零因子,若ab=ac
ab-ac=,a(b-c)= 因为<R,+,>无零因子b-c=
b=c 充分性:设<A,>满足可约律,设aA a ，ab=
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一.环
3零) (-因a)(-子b)=环ab
证:(-a)(-b)=-a(-b)=ab
4) a(b-c)=ab-ac
证 :a(b-c)=a(b+(-c))=ab+a(-c)=ab+(-(ac))=abac
5) (b-c)a=ba-ca
3.零因子环
定义:<A,+,>是一个环,若a,bA,a0,b0,但ab=0 成立,称<A,+,>是零因子环,a,b称为零因子,无零因 下一页 子的环称为无零因子环
交换环
有限整环
环 下一页 无零因子环
域 含么环
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二.域
有4.有限限整整环环必必是域是域 证:设<A,+,>是有限整环 a,b,cA且c, 若ab，由无零因子推出的可约律,则acbc 因为A为有限集,由运算封闭性 设A -{} ={a1,,an} 则A -{} ={ca1,,can}=c(A -{} ) a,d有ad=e <A-{},>逆元存在 <A-{},>是阿贝尔群 因为有限整环满足分配律 <A,+,>是域
x1,y1,x2,y2I，若<x1,y1>R,<x2,y2>R， 但<x1+x2,y1+y2>R不一定成立 例<1,-1>R,<2,2>R但<1+2,-1+2>R
R不是同余关系
四.同态与同余关系
同余关系定理 2.同余关系可以诱导出一个同态映射
定理:设<A,*>,R是A上的同余关系,B={[a]|aA}是由R诱导的划分,则必
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§9.1 陪集和拉格朗日定理 一.陪集
1.陪集定义
设<H,*>是群<G,*>的子群, aH={a*h|h H}称为元素a 所确定的子群<H,*>的左陪集, a称为陪集的表示元素。
Ha={h * a |h H}称为元素a所确定的子群<H,*>的右陪 集, 例1.求出<N6,+6>关于子群<{0,3},+6>的所有左陪集,右陪集
存在同态映射f , 使<B,*’>是<A,*>的同态像
证:1)构造在B上运算*’
定义[a],[b]B,[a] R *’[b] R =[a*b] R 先证明此定义是合理的,即它确实是一个运算
若[a1] R =[a2] R ,[b1] R =[b2] R 则<a1,a2>R,<b1,b2>R 因为R是同余关系<a1*b1,a2*b2> R 即[a1*b1] R =[a2*b2] R *’确实是一个运算
解:令H={0,3},则左陪集:
右陪集:
0H={0,3}=3H
H0={0,3}=H3
1H={1,4}=4H
H1={1,4}=H4
下一页 2H={2,5}=5H
H2={2,5}=H5
从中可以看出：{0H,1H,2H}是G的一个划分
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一.陪集
2.左陪集性质(所得结论对右陪集也平行成立) ① 定 理 17. 设 <H,*> 是 <G,*> 的 子 群 ,a,bG 则 aH=bH或aH∩bH=Ф
同3.任余一关同态系映定射可理诱导2 一个同余关系
定理:设f是代数系统<A,*>到<B,*’>的同态,
定义A上的关系R:<a,b>Rf(a)=f(b),
现证R是A上的同余关系
证:1)易证R是一个等价关系
2)<a,b>R,<c,d>R
f(a)=f(b),f(c)=f(d)
则f(a*c)=f(a)*’f(c)=f(b)*’f(d)=f(b*d)
证:设faH∩bH h1，h2H，使f=a*h1=b*h2 a=b*h2*h1-1bH xaH则h3H,x=a*h3=b*h2*h1-1*h3bH aHbH，同理bHaH
aH=bH
一.陪集
②定理18.子群H的任意左陪集的大小(基数)相等 证:aG,a*h1,a*h2aH
h1h2 a*h1a*h2 |aH|=|H| H的任意陪集大小相同
例1 例1.1)<I,+,>是个环 2)<Nk,+k,k>是个环 证:①<Nk,+k>是个阿贝尔群,0是加法么元
②<Nk,k>是个半群 ③a,b,cNk ak(b+kc)=ak((b+c)mod k)
=(a(b+c))mod k
=(ab+ac)mod k
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=(ab)mod k+k(ac)mod k =(akb)+k(akc) 3)<An,+,>是个环,其中An表示实数集R上nn方阵 集合,零阵是环的加法么元,单位矩阵是环的乘法么元 4)实系数多项式对于多项式加法,乘法是个环
1.质数阶的群没有非平凡子群,(<{e},*>,<G,*>称为<G,*>的 平凡子群)
2.有限群<G,*>中的任何元素a的阶可整除|G|
证:若aG的阶是r,则{e,a a2, a3 , …,ar-1}是G的子群
3.质数阶的群,一定是循环群
证:设<G,*>为质数阶群
aG,ae
由推论2知:
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a的阶数可整除|G|,但是|G|为质数,所以a的阶数等于群的 阶数, {a,a2,,ar}=G
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所以 aNk-{0},bNk-{0} 使akb=1 ， aNk-{0}，a存在逆元
<Nk-{0},k>是阿贝尔群， <Nk,+k,k>是个域
证毕
注： <Nk,+k,k>称为模k整数域
环、整环、域的关系 例:<N5,+5,5>域中,2的乘法逆元为3,4的乘法逆元为4
3.环,整环,域的关系 整环
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二.拉格朗日定理
定理18.有限群<G,*>的任意子群<H,*>的阶数 可以除尽群的阶数 证:aGaaH
G=UaGaH 由定理17 ，H的左陪集集合是G的一个划分 又a,bG,|aH|=|bH|=|H| |G|/|H|是G的划分的块数,是个整数 |H|可整除|G|
性质 推论: 二.拉格朗日定理
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<a*c,b*d>R R是A上的同余关系
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四.同态与同余关系
推论 推论:设H=ker(f),x1,x2,y1,y2G
若x1H=y1H,x2H=y2H,则（x1*x2）H=（y1*y2）H 证明： 因为 x1H=y1H , x2H=y2H
h1,h2H , x1h1=y1h2 f(x1)=f(y1),f(x2)=f(y2) 由2知:<x1,y1>,<x2,y2>R， R是同余关系 <x1*x2,y1*y2>R f(x1*x2)=f(y1*y2) f(x1*x2)*’f((y1*y2)-1)=e’ (x1*x2)*(y1*y2)-1H （x1*x2）H=（y1*y2）H