人教版 九年级数学 实际问题与一元二次方程讲义 (含解析)
21.3 实际问题与一元二次方程 课件 人教版数学九年级上册
例4 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件， 每件盈利 45 元 . 为了扩大销售、增加盈利、 尽快减少 库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如 果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出 4件 . 若 商场平均每天盈利 2100元，每件衬衫应降价多少元？ 请完成下列问题：
感悟新知
(1)求2023 年7 月~9 月该国产品牌新能源汽车
知1－练
销售量的月平均增长率.
解：设月平均增长率为x,
根据题意，得16(1＋x)2=19.36.
解得x1=0.1=10%,x2=－2.1(不合题意，舍去). 答：该国产品牌新能源汽车销售量的月平均增
长率为10%.
感悟新知
知1－练
(2)假设该国产品牌新能源汽车销售量的月平均 增长率保持不变，试通过计算说明2023 年7 月~10 月该国产品牌新能源汽车销售总量能否 达到75 万辆.
课堂小结
审 设 列 解 检 答
建模 步骤
实际问题与一 元二次方程
传播问题
一元二 建模 增长(降低)率问题
次方程 的应用 类型
图形面积问题
商品销售利润问题
感悟新知
知1－练
解：假设保持相同的月平均增长率，那么2023 年10 月新能源汽车的销售量为：19.36×(1＋10%)=21.29 6(万辆). 四个月销售总量为：16＋17.6＋19.36＋ 21.29 6=74.256(万辆).∵ 74.256<75, ∴新能源汽车销售总量不能达到75 万辆. 答：2023 年7 月~10 月该国产品牌新能源汽车销售 总量不能达到75 万辆.
知1－练
解：(1)设每轮传染中平均一人传染了 x 人 .
由题意得 1＋x＋x(1＋x) =64,
人教版九年级数学上册《21-3 实际问题与一元二次方程(第3课时)》教学课件PPT初三优秀公开课
原方程没有实数根，从而知用35m的篱笆按图示方式不
能围成面积为160m²的鸡场.
巩固练习
如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为
12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方
便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩
形 猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？
解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m， 则平行于住房墙的一边长(25-2x+1)m.
解：设剪去的小正方形的边长为xcm，则纸盒的长为（19-2x） ， 宽为（15-2x）cm，依题意得（19-2x）（15-2x）=77 . 整理得：x²-17x+52=0. 解方程，得：（x-13）（x-4）=0. 解得：x1=4，x2=13（舍去）. 因此剪去的小正方形的边长应为3cm.
素养目标
解：设四周垂下的宽度为x尺时，则台布的长为（2x+6）尺，宽为（2x+3）尺，依题意得： （6+ 2 x ）（ 3 + 2x ）= 2 ×6× 3.
整 理 方 程 得 ：2x ²+ 9 x- 9 = 0.
解得：x1≈0.84 ，x2≈- 5.3（不合题意，舍去）. 因此：台布的长为：2×0.84 +6≈7.7（尺）.
探究新知
小路所占面积是矩形 面积的四分之一
2x
30-4x
2x
3x
剩余面积是矩形面积 的四分之三
30-4x
4x
20-6x 20㎝
20-6x
3x
6x
30㎝
解:设横、竖小路的宽度分别为3x、 2x，
于是可列方程
(30-4x)(20-6x)= 3 ×20×30. 4
人教版数学九年级上册实际问题与一元二次方程 课件
路面积等于540米2.
解法一: 如图，设道路的
(2)
宽为x米，
则横向的路面面积为 32x 米2 ，
纵向的路面面积为 20x 米2 .
？ 所列的方程是不是 3 2 2 0 (3 2 x 2 0 x ) 5 4 0
注意：横向、纵向路面的重叠部分的面积是x2米2
图中的道路面积不是 32x20x米2. 9
x1
3,
x2
4（ 1 不合题意，舍去） 2
答:小路的宽度为3米.
14
人教版数学九级上册实际问题与一元 二次方 程 课件
再往下的计算、格式书写与解法1相同。 相等关系是：草坪长×草坪宽=540米2 12
人教版数学九级上册实际问题与一元 二次方 程 课件
人教版数学九级上册实际问题与一元 二次方 程 课件
练习
： 1.如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑
同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂 直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验 地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?
人教版数学九级上册实际问题与一元 二次方 程 课件
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如图，设路宽为x米，
横向路面 32x米2 ，
纵向路面面积为 20x米.2
(2)
草坪矩形的长（横向为（32-x)米，
草坪矩形的宽（纵向）(20-x)米.
即 32x20x540.
化简得：x2 5 2 x 1 0 0 0 ,x 1 5 0 ,x2 2
2．正方形的面积公式是什么呢？ 长方形的面积公式又是什么？
3．梯形的面积公式是什么？ 4．菱形的面积公式是什么？ 5．平行四边形的面积公式是什么？ 6．圆的面积公式是什么？
数学人教版九年级上册人教版九年级数学21.3实际问题与一元二次方程.3实际问题与一元二次方程课件
（1）请你根据上表中所给数据表述出每件售价提高的数量（元）与日销 售量减少的数量（件）之间的关系。
（2)在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划每件 商品定价为多少元时，每日盈利可达到1600元？
3．(数字问题)两个连续奇数的积是 323，求这两个数． 解法一：设较小奇数为 x，则另一个为 x＋2， 依题意，得 x(x＋2)＝323. 整理后，得 x2＋2x－323＝0. 解得 x1＝17，x2＝－19.
生活有关一元二次方程的利润问题
例1：百佳超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖 500个，已知该商品要涨价1元，其销售量就要减少10个，为了 赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？
分析：设商品单价为（50+x)元,则每个商品得利润[（50+x) —40]元， 因为每涨价1元，其销售会减少10，则每个涨价x元，其销售量会减少 10 x个，故销售量为（500 —10 x）个，根据每件商品的利润×件数 =8000，则应用（500 —10 x）· [（50+x) —40]=8000
当 2x＝－18 时，2x－1＝－18－1＝－19，
2x＋1＝－18＋1＝－17. 答：两个奇数分别为 17，19 或者－19，－17.
择其善者而为之，择其不善而改之！
品单价每降低 1 元，其销售量可增加 10 件．
(1)求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？
(2)若商场经营该商品一天要获利润 2160 元，则每件商品 应降价多少元？
解：(1)100×(100－80)＝2000(元)． 答：原来一天可获利润 2000 元． (2)设每件商品应降价 x 元，由题意，得 (100－80－x)(100＋10x)＝2160，
人教版九年级数学上册《实际问题与一元二次方程》讲解课件
第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时 传播问题与一元二次方程
传播问题与一元二次方
合作探究： 问题1： 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了 流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
分析： 设每轮传染中平均一个人传染了x个人
列表如下： 传染源人数 第1轮传染后的人数 第2轮传染后的人数
长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，
设每个枝干长出x个小分支，根据题意可列方程为（ B ）
A.1+x+x(1+x)=73 B.1+x+x2=73
C.1+x2 =73
D.(1+x)用题时，要注意应用题的内 在数量关系，选择适当的条件列代数式，选择剩下的一 个关系列方程.
2.在解出方程后要注意检验结果是否符合题意或实 际情况，要把不符合实际情况的方程的根舍去.
例题 1.某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染， 经过两轮感染后就会有 100 台电脑被感染．请你用学过的知识 分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不 到有效控制，4 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 7000 台？
2.中秋将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980
张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名
学生，那么所列方程为（ D ）
A. x2=1980
B. x(x+1)=1980
C. x(x-1)=1980
D. x(x-1)=1980
3.有一根月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又
第一轮传染后的 人数
(1+x)
第二轮传染后的 人数
人教版九年级上册数学 21.3 实际问题与一元二次方程 课件
4.三个连续偶数，已知最大数与最小数的
平方和比中间一个数的平方大332，求这三 个连续偶数.
1.偶数个连续偶数（或奇数），一般可设中间两个为 (x1)和(x 1). 2.奇数个连续偶数（或奇数，自然数），一般可设中 间一个为x.如三个连续偶数，可设中间一个偶数为x， 则其余两个偶数分别为(x2)和(x+2)又如三个连续自 然数，可设中间一个自然数为x，则其余两个自然数 分别为(x1)和(x 1).
解这个方程得：x1 x2 4
CQ
B
答：当AP 4cm时，四边形面积为16cm2
小结 拓展
回味无穷
• 列方程解应用题的一般步骤是: • 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系? • 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位; • 3.列:列代数式,列方程; • 4.解:解所列的方程; • 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; • 6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活. • 列方程解应用题的关键是: • 找出相等关系. • 关于两次平均增长(降低)率问题的一般关系: • a(1±x)2=A(其中a表示基数,x表表示增长(或降低)率,A表示新数)
数字与方程
实际问题与一元二次方程 （三）
1. 两个数的差等于4,积等于45,求这两个数.
2. 一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而 它的个位数字的平方恰好等于这个两位数.求这 个两位数.
3.有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是5. 把这个两位数的十位数字与个位数字互换后得到 另一个两位数,两个两位数的积为736.求原来的 两位数.
则 x(18 x) 81
化简得，x2 18x 81 0 (x9)2 0 x1 x2 9
实际问题与一元二次方程(第1课时传播问题)九年级数学上册(人教版)
人教版数学九年级上册
第21.3实际问题与一元二次方程 （第1课时传播问题）
学习目标
人教版数学九年级上册
1.会分析实际问题（传播问题）中的数量关系并会列一元二次 方程. 2.正确分析问题（传播问题）中的数量关系. 3.会找出实际问题（传播问题）中的相等关系并建模解决问题. 4.了解一元二次方程在实际问题中的应用价值.
拓展训练
人教版数学九年级上册
1.某种病毒传播速度非常快，如果最初有两个人感染这种病毒， 经两轮传播后，就有五十个人被感染，求每轮传播中平均一个 人会传染给几个人？若病毒得不到有效控制，三轮传播后将有 多少人被感染？ 解：设每轮传播中平均一个人会传染给x个人，
根据题意列方程： 2+2x+x(2+2x)=50， 整理得：2(1+x)2=50， 解得：x1=4，x2=-6.（不合题意，舍去）， ∴50×(1+4)=250（人）. 答：每轮传播中平均一个人会传染给4个人，若病毒得 不到有效控制，三轮传播后将有250人被感染.
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 1+x+x(1+x)=121
解方程，得x1=10，x2=-12(不合题意，舍去) 答:平均一个人传染了10个人.
思考 如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？
121+121×10=1331(人)
典例精析
人教版数学九年级上册
例1 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又 长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91， 每个支干长出多少个小分支？
第2轮传染后患病人数_[_1_+_x_+_(_1_+_x_)_x_]人. 规律发现
初中数学人教新课标版九年级上《实际问题与一元二次方程》ppt课件
年预计经营总收入为多少万元？ 1、两个连续整数的积是210，则这两个数是
。
有一个两位数，它的两个数字之和是8，把这个两位数的数字交换位置后所得的数乘以原来的数就得到1855，求原来的两位数。
分析：运用基本关系式：基数(1+平均 增长率)n=实际数。先要求出(或表示) 基数： 600÷40%.
解：设2001年预计经营总收入为kg增 加到万kg，问：平均每年增产百分之几？
分析：如果把每年的增长率 看作是x（注意百分号已包含在x之 中)，则第一年的产量为50(1+x)万 kg；而第二年是在第一年基础上 增长的，增长率还是x，因此，第 二年的产量为50(1+x)(1+x) ，即 50(1+x)2万kg。
解：设平均每年的增长率为x，根据题意，得 50(1+x)2
答：池底的边长为4cm。
的40%，该公司预计2002年经营总收入要 有一个两位数，它的两个数字之和是8，把这个两位数的数字交换位置后所得的数乘以原来的数就得到1855，求原来的两位数。
1、如下图，某林场修建一条断面为等腰梯形的渠道，断面面积为米2，上口宽比渠深多2米，渠底宽比渠深多米。 同一元一次方程、二元一次方程（组）等一样，一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型，针对各种实际问
元，每年经营总收入的年增长率为 x,
根据题意，得
600 4% 0(1x)22160
600 4% 0(1x)22160
1、如下图，某林场修建一条断面为等腰梯形的渠道，断面面积为米2，上口宽比渠深多2米，渠底宽比渠深多米。
解方程，得 1x1.2 [10(8-x) +x][10x+(8-x)]=1855
整理得： x2- 8x+15=0 解得 x1= - 8，x2= 4
数学人教版九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程
21
封面的长宽之比是9∶7，中央的矩形的长宽之比也应是 9∶的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如 果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一， 上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边 衬的宽度（结果保留小数点后一位） ？ 设中央的矩形的长和宽分别是 ． 9a cm和 7a cm，由此得上、下边 衬与左、右边衬的宽度之比是 9a 27
回顾前面几节课的学习内容，你能总结一下建立一元二 次方程模型解决实际问题的基本步骤吗？需要注意哪些问 题？ 1.列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应 用题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答. 2.这里要特别注意:在列一元二次方程解应用题时，由于所 得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题 的要求.
63 3 y 4
方程的哪个根合乎实际意义？为什么？ 6 3 3 y 4 54 27 3 42 213 9y ≈1.8 cm，7y ≈1.4 cm． 4 4
上 下边衬的宽均为1.8cm,左 右边衬的宽均为1.4cm
2．动脑思考，解决问题
9 x· 7 x 27 21 4
解法二：设正中央的矩形两边分别为 9x cm，7x cm， 依题意得 3
3 （ 27 - 2x ） （21 - 2x ） 2721 4
利用未知数表示边长，通过面 积之间的等量关系建立方程解决问 题．
27
21
2．动脑思考，解决问题
问题2 要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，
正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使 四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下 边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度 （结果保留小数点后一位） ？ 分析(1)怎么理解“应如何设计边衬的宽度”这句
人教版九年级数学上册《实际问题与一元二次方程》一元二次方程PPT精品课件
当堂小练
3. 一个数字和为10的两位数,把个位与十位数字对 调后得到一个两位数,这两个两位数之积是2296, 则这个两位数是多少？
解：设这个数十位上数字为x,则个位数字为(10-x), 原数为10x+(10-x)=9x+10. 对调后得到的数为10(10-x)+x=100-9x. 依题意(9x+10)(100-9x)=2296. 解得 x1=8, x2=2. 当x=8时，这个两位数是82；当x=2时，这个两位数是28.
∴每千克核桃应降价6元. 此时,售价为60-6=54(元) ， 54 ×100%=90%.
60
答: 该店应按原售价的九折出售.
课堂小结
增长率问题 平 均 变 化 率 问 题 降低率问题
a(1+x)2=b，其中 a 为增长前的量，x 为 增长率，2 为增长次数，b 为增长后的量.
a(1-x)2=b，其中 a 为降低前的量，x 为降低率，2 为降低次数，b 为降低 后的量.注意 1 与 x 位置不可调换.
第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时
学习目标
1.会分析实际问题中的数量关系并会列一元二次方程.
（重点）
2.正确分析问题中的数量关系.
（难点）
3.会找出实际问题中的相等关系并建模解决问题.
新课导入
知识回顾
1.解一元二次方程有哪些方法？
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
A．560(1＋x)2＝315
B．560(1－x)2＝315
C．560(1－2x)2＝315
D．560(1－x2)＝315
新课讲解
2 某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份的利 润是25万元，若利润平均每月的增长率为x，则依题意 列方程为( D ) A．25(1＋x)2＝82.75 B．25＋50x＝82.75 C．25＋25(1＋x)2＝82.75 D．25[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝82.75
人教版九年级数学上册 (实际问题与一元二次方程)一元二次方程教学课件(第1课时)
知识点框架
【例5】春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：
如果人数不超过25人，人 均旅游费用为1000元．
如果人数超过25人，每增加1人， 人均旅游费用降低20元，但人均 旅游费用不得低于700元．
某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元．请问该单位这 次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
下节课见！
实际问题和一元二次方程
第2课时
01
教学目标
目录
02 03
知识点框架
课堂练习
04
作业布置
01 教学目标
教学目标
• 会列出一元二次方程解应用题； • 学会用列一元二次方程的方法解决增长率问题和销售利润问题； • 通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能
力．
02 知识点框架
每两队之间赛一场为单循环，可列方程为x（x+1）÷2=a.
每两队之间赛两场为双循环，可列方程为x（x+1）=a.
注：每两队/人/物之间有过两次交流，则为双循环；每两队/人/物之间有过一次交流，则为 单循环。
【例3】九年级（3）班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图 书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了240本图书，如果设全组共有x名同学，依题意， 可列出的方程是（ ）
知识点框架
【题型一】增长率问题 如果设平均每次增长(或下降)的百分数为x，则原来的量a, 经过两次增长(或下降)到b，可列 方程为a(1+x)²=b(或)b(1-x)²=a.
【例1】随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2018年约为20万人次， 2020年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（ ） A．20（1+2x）=28.8 B．28.8（1+x)2=20 C．20（1+x)2=28.8 D．20+20（1+x）+20（1+x)2=28.8
实际问题与一元二次方程 (第1课时)人教数学九年级上册PPT课件
21.3 实际问题与一元二次方程 （第1课时）
素养目标
2.通过列方程解应用题体会一元二次方程在 实际生活中的应用，提高数学应用意识．
1.能根据实际问题中的数量关系，正确 列出一元二次方程.
探究新知 知识点
列一元二次方程解决实际问题
有一人患了流感，经过两轮传染后共有121 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几 个人？
(1+x)n
经过n轮传染后共有 (1+x)n 人患流感.
探究新知
素养考点 1 列一元二次方程解传播问题
例1 某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同
样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长
出多少小分支?
小
解:设每个支干长出x个小分
分 支
…… ……
小 分
……
小 分
支
支
小
分 支
A.x2=1980 C. x(x-1)=1980
B. x(x+1)=1980 D.x(x-1)=1980
课堂检测
2.有一根月季，它的基主础干巩长出固若题干数目的枝干，每个 枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分 支的总数是73，设每个枝干长出x个小分支，根据题 意可列方程为（ B ）
A.1+x+x(1+x)=73 C.1+x2 =73
x1=10, x2=-12(舍). 注意:一x+元1二=±次1方1程一的定解要进行检验 有可能x有不1=更符1简0合,单题x的2意=方-，1法2所解(舍)
答:平均一个人传染了___1_0以__舍_去_个这. 个人方.程吗？
探究新知 【想一想】如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人
人教版九年级上册数学 第二十一章 21. 3 实际问题与一元二次方程(1)课件
同步练习： 【教材P22页第4题】某种植物的主干长出若干
数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分 支，主干、枝干和小分支的总数是91，每个枝 干长出多少小分支？
（注意分析本题与前面例题的不同之处）
解：设枝干长出x支小分支，则主干与枝干之和 为（x+1）支；第二轮时，主干就不再分支了！ 故第二轮结束时，共有(x2+x+1)支。依题意，得：
1、列方程解实际问题的关键是找出题目中的
等量关系。
2、列一元二次方程解实际问题的一般步骤：
（1）审 题
，
（2）设 __未__知_,数
（3）列 方程
，
（4）解_方__程__
（5）验—检验方程的解是否符合题意，将不
符合题意的解舍去.
（6）答
。
解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台 电脑，则
第一轮后共有(1+x)台电脑被感染，
第二轮后共有x(1+x)台电脑被感染。
列方程，得 化简，得
1+x+x(1+x)=81 x2+2x-80=0
解方程，得
x1=8， x2=-10（舍去）
答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑。
三、研学教材
3、某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被 感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染. 请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电 脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制,3 轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台？
答：初三有4个班。
4.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式 （每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，
则参赛球队的个数是（ C ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
人教版数学九年级上册21.3.1实际问题与一元二次方程 课件(共18张PPT)
答：平均每月降价20％.
11
4.某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营 业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共 950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求 这个增长率．
分析：设这个增长率为x，由一月份的营业额 就可列出用x表示的二、三月份的营业额，又由 三个月的总营业额列出等量关系．
5
探究2
两年前生产 1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨 乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步, 现在生产 1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙 种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均
下降率较大?
分析:甲种药品成本的年平均下降额为 (5000-3000)÷2=1000(元)
乙种药品成本的年平均下降额为 (6000-3600)÷2=1200(元)
乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平均
下降额(元)不等同于年平均下降率(百分数) 6
解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后
甲种药品成本为5000(1-x)元,两年后甲种药品成本 为 5000(1-x)2 元,依题意得
A.500(1+2x)=720
B.500(1+x)2=720
C.500(1+x2)=720
D.720(1+x)2=500
2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明
两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在
实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程
为
.
10
3. 商店里某种商品在两个月里降价两次，现在该商品 每件的价格比两个月前下降了36％，问平均每月降 价百分之几？
复习导入
1.解一元二次方程有哪些方法？ 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。
人教版九年级数学上册《实际问题与一元二次方程》课件
由题意得：130xx28yy3302000
x 200
y
150
答：甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子
新知探究
(2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员 从第3天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组 平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天 完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率 后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？
本课小结
1.会应用工程公式：工作量=工作效率×工作时间 2.熟练运用列方程解应用题的一般步骤列方程 3.通过用一元二次方程解决行程问题，体会数学知识 应用的价值.
当ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ检测
1．某景点的门票价格为220元，日接待游客5000人．当门票价 格每提高10元，日游客数减少50人．若想每天的门票收入达到
138万元，问门票价格需提高多少元？设门票价格提高x元，则
新知探究
1．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总 长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天 各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥 梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为 10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万． (1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的 6
解：设提高效率后，甲组平均每天比原计划平均每天多加 工100a袋粽子 由题意得：2×(200+150)+(200+100a)(8-a)+150(6-a)=3200+500
解得a1=2，a2=2.5（舍） ∴200+100×2=400（袋） 答：提高工作效率后，甲组平均每天能加工400袋粽子．
21.3 实际问题与一元二次方程 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
21.3 实际问题与一元二次方程
难点名称：列一元二次方程解决病毒传播问题
1
目录
CONTENTS
导入
知识讲解
课堂练习
小结
2
导入
知识回顾
列方程解应用题的一般步骤？
第一步：设未知数(单位名称); 第二步：列出方程；
第三步：解这个方程，求出未知数的值；
第四步：检(1)值是否符合实际意义,
在第二轮传染中，传染源有 x+1人，这些人中每一个人又传染了 x 人， 那么第二轮传染了x(x+1)人，第二轮传染后，共有 1+x+x(1+x) 人患流感.
知识讲解
(4)根据等量关系列方程并求解
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮
传染后有x+1人患了流感，第二轮传染后有x(1+x)人患了流感.
(2)值是否使所列方程左右相等;
第五步：答题完整（单位名称）。
有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染 中平均一个人传染了几个人？
（1）本题中有哪些数量关系？ （2）如何理解“两轮传染”？ （3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？
设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么患流感的这个人在第一轮 传染中传染了 x 人；第一轮传染后，共有 x+1人患了流感；
•列一元二次方程解应用题的步骤与 列一元一次方程解应用题的步骤类似，
即审、设、列、解、检、答．
注意:在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个， 所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求。
感谢聆听！
解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑。
人教版讲义九年级第二十一章一元二次方程实际问题与一元二次方程
人教版讲义九年级第二十一章一元二次方程实际问题与一元二次方程探求点1 数字效果情形激疑一个两位数如何表示？三位数呢？你能失掉什么规律呢？知识详解个位数为a，十位数为b，那么这两位数表示为10b+a.留意：a，b必需都是正整数，a可为0.典例剖析例一：一个两位数、十位数字与个位数字之和是6.把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是1008.求这个两位数。
解析：设个位数字为x，十位数字为y.那么这个两位数表示为10y+x.答案：依据题意可知，[10(6−x)+x][10x+(6−x )]=1008.解得x1=2.x2=4.所以，当x=2时.6-x=4;当x=4时，6-x=2.故这个两位数是42或24.类题打破1一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9.假设把十位上的数字与个位上的数字对调，失掉的两位数比原来的两位数小27.求原来的两位数.答案：设原两位数个位上的数字为x，那么十位上的数字为(x2-9).∴10(x2-9)+x-10x-(x2-9)=27.解得x1=4.x2=-3(不契合题意，舍去)∴x2-9=7.∴原两位数为74.点拨：等量关系为:原来的两位数-新两位数=27，把相关数值代入计算可得各位上的数字，依据两位数的表示方法求得两位数即可.探求点2(高频考点)增长率效果情形激疑你知道关于增长率的公式吗?知识解说=100%增长率=增长数量原数量增长数量原数量说明增长率、成功率、成活率、发芽率等等都是此类效果，典例剖析例2 某商场于第一年年终投入50万元停止商品运营，以后每年年终将当年取得的利润与当年年终投人的资金相加所得的总资金作为下一年年终投入的资金继续停止运营.(1)假设第一年的年获利率为 P,那么第一年年终的总资金是多少万元?×100%)(用代数式来表示)(注:年获利率= 年利润年初投入资金(2)假设第二年的年获利率多10个百分点(即第年的年获利率是第一年的年获利率10%的和),第二年年终的总资金为66万元.求第一年的年获利率.解析：要剖析出外部的数量关系，合理应用公式.答案：(1)第一年年终总资金=50(1+P)万元，(2)50(1+ P)(1+P+10%)=66，整理得:P2+2.1P-0.22=0,解得P=10%.或P=-2.2(不合题意，舍去).类题打破 2某种商品的进价为a元，商店将价钱提高20%销售经过一段时间，又以九折的价钱促销，这时这种商品的价钱是A.a元B.0.9a元C.1.12a元D.1.08a元答案 D点拨第一次定价为1.2a,再打九折，变为1.2×0.9a=1.08a.类题打破 3某商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额比九月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起增强管理，改善运营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额到达193. 6万元，求这两个月的平均增长率。
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第3讲实际问题与一元二次方程知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初三，基础偏上B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们重点学习根与系数的关系以及一元二次方程在实际问题中的应用，能够熟练使用根与系数的关系进行代数式的求解，对常见的一元二次方程的应用有一定的了解，本节课的难点在于实际问题中的一元二次方程的构造，是中学阶段关于应用题部分常考的一个知识点，希望同学们认真学习，为后面的二次函数的学习奠定良好的基础。
知识梳理讲解用时：25分钟根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△=b2﹣4ac）判断方程的根的情况，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：△当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；△当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；△当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立。
课堂精讲精练【例题1】已知x1，x2是关于x的方程x2+nx+n-3=0的两个实数根，且x1+x2=﹣2，则x1x2=。
【答案】﹣1【解析】本题主要考查了根与系数的关系，△x1，x2是关于x的方程x2+nx+n﹣3=0的两个实数根，且x1+x2=﹣2，△﹣n=﹣2，即n=2，△x1x2=n﹣3=2﹣3=﹣1．讲解用时：2分钟解题思路：利用根与系数的关系求出n的值，再利用利用根与系数的关系求出两根之积即可。
教学建议：熟练运用根与系数的关系。
难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：潜江模拟年份：2018 【练习1】设x1、x2是方程x2-x-2017=0的两实数根，则x12+x1x2+x2-2=。
【答案】﹣1【解析】本题主要考查了根与系数的关系，△x1、x2是方程x2﹣x﹣2017=0的两实数根，△x12﹣x1﹣2017=0，x1+x2=1，x1•x2=﹣2017，△x12=x1+2017，△x12+x1x2+x2﹣2=x1+2017+x1x2+x2﹣2=x1+x2+x1x2+2015=1﹣2017+2015=﹣1．讲解用时：5分钟解题思路：根据一元二次方程的解的定义得到：x 12=x 1+2017，结合根与系数的关系得出与系数的关系得出x 1+x 2=a b ，x 1•x 2=ac ，代入求出即可。
教学建议：利用根与系数的关系代入相关数值。
难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：成都模拟 年份：2018【例题2】已知某工厂计划经过两年的时间，把某种产品从现在的年产量100万台提高到121万台，那么每年平均增长的百分数是 %，按此年平均增长率，预计第4年该工厂的年产量应为 万台。
【答案】10、146.41【解析】本题考查利用一元二次方程处理增长率问题，设年平均增长率为x ，依题意列得100（1+x ）2=121，解方程得x 1=0.1=10%，x 2=﹣2.1（舍去），所以第4年该工厂的年产量应为121（1+10%）2=146.41万台.讲解用时：5分钟解题思路：根据提高后的产量=提高前的产量（1+增长率），设年平均增长率为x ，则第一年的常量是100（1+x ），第二年的产量是100（1+x ）2，即可列方程求得增长率，然后再求第4年该工厂的年产量。
教学建议：找到等量关系准确的列出方程。
难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：南开区模拟 年份：2018【练习2】某种品牌手机经过4，5月份连续两次降价，每部售价由5000降到3600元，且5月份降价的百分率是4月份降价的百分率的2倍，设4月份降价的百分率为x ，根据题意可列方程： （不解方程）。
【答案】5000（1﹣x ）（1﹣2x ）=3600【解析】本题考查利用一元二次方程处理增长率问题，设4月份降价的百分率为x ，则5月份降价的百分率为2x ，根据题意，得：5000（1﹣x ）（1﹣2x ）=3600。
讲解用时：3分钟解题思路：设4月份降价的百分率为x ，则5月份降价的百分率为2x ，根据某件商品原价5000元，经过两次降价后，售价为3600元，可列方程。
教学建议：若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b 。
难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：苍南县一模 年份：2018【例题3】一个三位数，百位上的数字比十位数字大1，个位数字比十位数字小1，且个位数字和十位数字的平方和比百位数字大2，求这个三位数。
【答案】321【解析】本题考查利用一元二次方程处理数字问题，设这个三位数十位为x ，则百位为1x +，个位为1x -，依题意可得()()22112x x x -+-+=，整理得22320x x --=，解得112x =-（舍），22x =，则百位与个位分别为3和1， 即这个三位数为321．讲解用时：5分钟解题思路：通过设未知数分别表示出每位数字，再根据题意列出等式求解即可。
教学建议：设未知数分别表示出每位数字。
难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：临洮县期末 年份：2017秋 【练习3】有一个两位数，十位数字比个位数字大3，而此两位数比这两个数字之积的2倍多5，求这个两位数。
【答案】85【解析】本题考查利用一元二次方程处理数字问题，设这个两位数个位为x ，则十位为3x +，依题意可得：()()103235x x x x ++-+=⎡⎤⎣⎦，整理得225250x x --=，解得：152x =-（舍），25x =，即得这个两位数为85． 讲解用时：3分钟解题思路：通过设未知数分别表示出每位数字，再根据题意列出等式求解即可。
教学建议：设未知数分别表示出每位数字。
难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：汶上县二模 年份：2018 【例题4】如图，是一个长为30m ，宽为20m 的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为532m 2，那么小道进出口的宽度应为 米。
【答案】1【解析】本题考查了利用一元二次方程处理几何面积问题，设小道进出口的宽度为x 米，依题意得（30﹣2x ）（20﹣x ）=532，整理，得x 2﹣35x+34=0，解得，x 1=1，x 2=34，△34＞30（不合题意，舍去），△x=1．讲解用时：5分钟解题思路：设小道进出口的宽度为x 米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可。
教学建议：表示出剩余的空地的长和宽是解决本题的关键。
难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：定陶县期末 年份：2017秋【练习4】如图，某小区有一块长为30m ，宽为24m 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m 2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为 m 。
【答案】2【解析】本题考查了利用一元二次方程处理几何面积问题，设人行通道的宽度为x 米，将两块矩形绿地合在一起长为（30﹣3x ）m ，宽为（24﹣2x ）m ，由已知得：（30﹣3x ）•（24﹣2x ）=480，整理得：x 2﹣22x+40=0，解得：x 1=2，x 2=20，当x=20时，30﹣3x=﹣30，24﹣2x=﹣16，不符合题意舍去，即x=2． 讲解用时：5分钟解题思路：设人行通道的宽度为x 米，将两块矩形绿地合在一起长为（30﹣3x ）m ，宽为（24﹣2x ）m ，根据矩形绿地的面积为480m 2，即可列出关于x 的一元二次方程，解方程即可得出x 的值。
教学建议：注意实际问题需要验根。
难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：平阳县期末 年份：2017秋【例题5】一次会议上，每两个参加会议的人都互相握手一次，有人统计一共是握了66次手，则这次会议到会人数是 人。
【答案】12【解析】此题考查了利用一元二次方程处理循环（如握手、球赛）问题， 设参加会议有x 人，依题意得：21x （x ﹣1）=66， 整理得：x 2﹣x ﹣132=0，解得x 1=12，x 2=﹣11，（舍去）．讲解用时：5分钟解题思路：设参加会议有x 人，每个人都与其他（x ﹣1）人握手，共握手次数为21x （x ﹣1），根据题意列方程。
教学建议：注意计算握手次数时，每两个人之间产生一次握手现象，故共握手次数为21x （x ﹣1），而x 个人互赠明信片时，每两个人之间有两张明信片，故明信片共有x （x ﹣1）张。
难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：和平区期末 年份：2017秋【练习5】甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗，经过两天传染后共有9人患了甲型H1N1流感，每天传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感？【答案】2、2187【解析】本题考查了利用一元二次方程处理传播问题，设每天传染中平均一个人传染了x个人，1+x+x（x+1）=9，解得x=2或x=﹣4（舍去），∴每天传染中平均一个人传染了2个人，9+18=27，27+27×2=81，81+81×2=243，243+243×2=729，729+729×2=2187．故5天后共有2187人得病.讲解用时：8分钟解题思路：设每天传染中平均一个人传染了x个人，根据某地因1人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗，经过两天传染后共有9人患了甲型H1N1流感，可列方程求解，然后再求出5天后的患甲型H1N1流感的人数。
教学建议：注意传播问题与握手问题的区别。
难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：潮南区一模年份：2018 【例题6】已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2=0，（1）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）设x2+mx+m﹣2=0的两个实数根为x1，x2，若y=x12+x22+4x1x2，求出y与m的函数关系式。
【答案】（1）证明：△△=m2-4（m-2）=（m-2）2+4＞0，△无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根。
（2）y=m2+2m-4【解析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，（1）证明：△△=m 2-4（m -2）=（m -2）2+4＞0，△无论m 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．（2）解：设x 2+mx+m ﹣2=0的两个实数根为x 1、x 2，△x 1+x 2=﹣m ，x 1x 2=m ﹣2，△y=x 12+x 22+4x 1x 2=（x 1+x 2）2+2x 1x 2=（﹣m ）2+2（m ﹣2）=m 2+2m -4． 讲解用时：8分钟解题思路：（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=（m ﹣2）2+4＞0，进而即可证出：无论m 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）根据根与系数的关系可得出x 1+x 2=﹣m 、x 1x 2=m ﹣2，将其代入y=x 12+x 22+4x 1x 2=（x 1+x 2）2+2x 1x 2中即可找出y 与m 的函数关系式。