求解积分因子的方法整理

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典型方程的积分因子的解法

中图分类号：６２Ｇ４．０文献标识码：Ａ文章编号：６４９２（０２０ — １３０１７－３４２１）７０７ — ２
通过《常微分方程》这门课的教学实践，我们知道大部分教材在讲述初等积分法这一章时，先讲述变量分离方程。其次再讲述齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程和恰当方程的求解，最后讲述了如果不是恰当方程，给出了求几种积分因子的方法（见文献参『，，１。为此先回顾恰当方程和积分因子的有关结１２３）
珠港》中用“ ｆｈｓｏ ” ｔｅｗｒ表示精英。看过《０ｔｄ叫我第一名＞ＦｏｔｆｈＩｓ）ｒｎｏｔＣａ）后会更加深刻体会 “‘ ｅａｅ（ｅｓｉｗｒｆ
ｇｎａｔｋｔｅａ，ｅｎｅａｅｗｌ” 身教重于ｏｎｌｈｌｗｅｄｔｗｌｔａ（ａｔｋｏｋｈｋ
．ห้องสมุดไป่ตู้
恰当方程的充要条件是Ｍ＝ｙ，Ｎ并且｝（，）＋ｆＮｉｘＹｄ［一ｘ
＾
一
ｌｘｙｄ］Ｃ，）＝就是恰当方程的通解，Ｃ为任Ｍ（ｘ其中
Ｉｙ
意常数。定理１］［．如果函数Ｍ（，）Ｎｘｙ和（，）２ｘＹ，（，）ｘＹ都是连续可微的，（，）则ｘｙ为上述方程的一个积分因＝的充耍条件是（－ＮＭＭｙＮ）一。此等式是一个以＝为未知函数的一阶线性偏微分方程，要求出是很困难的，但在某些特殊情形下，以利用定理１求出可．２
言传）的意义。要选择演员是本土人的英文原版电影或
电视剧，比如《友记》《老、绝望的主妇》《、成长的烦恼》等，把台词下载后，一句一句地看，到不认识的单词，遇马上查一下并放人生词本，这样看完以后还可以复习，而且至少看三遍。第一遍主要是看情节，以欣赏为主；第二遍则以学习为主，些生词，查记一些表达方式；第三遍，把字幕关掉，单纯靠听来理解。此外，中央电视台的《动感英语》目对习得电影中的俚语也很有帮助。节英文歌曲不仅能提供鲜活的英语资料，而且能提高学生的英语学习兴趣。例如ＳａｏｓｎＴｅＳｎｅｓｎｈｕ＞Ｉ＞中的

2.2-线性微分方程(积分因子法)

s
x Q(s)ex P(t)dt ds
x0
(3)
二伯努利(Bernoulli )方程
形如 dy p(x) y Q(x) yn n 0,1是常数 dx
的方程,称为伯努利方程. 这里P(x), Q(x)为x的连续函数。
解法: 10 引入变量变换 z y1n ,方程变为
dz (1 n)P(x)z (1 n)Q(x) dx 20 求以上线性方程的通解
§2.2 线性微分方程与积分因子法
一阶线性微分方程的一般形式为
a(x) dy b(x) y c(x) dx
在a(x) 0的区间上可写成 dy P(x) y Q(x) (1)L L 标准形式 dx
这里假设P(x), Q(x)在考虑的区间上是 x的连续函数若Q(x) 0,则(1)变为
dy P(x) y 0 (2)L L 齐次线性方程 dx
若Q(x) 0,则(1)称为非齐次线性方程。
一一阶线性微分方程的解法-----积分因子法
dy P(x) y Q(x) (1) dx
求解思想：方程两边乘一个函数，使得左边变成一个函数的导数
y e p(x)dx ( Q(x)e p(x)dxdx c)
(3)
注: (i) 求(1)的通解可直接用公式(3) (ii) 课本用的是常数变易法，方程整理的形式不同
解: 原方程不是未知函数 y的线性方程，但将它改写为
dx 2x y2
dy y
即
dx 2 x ，
故其通解为 x e p( y)dy ( Q( y)e p( y)dydy c)
e
2 y
dy
(
(
y)e
2 y
dy
dy
c)

积分因子的存在条件及求法

3第14卷第3期邯郸师专学报 2004年9月 Vol. 14 No.3 Journal of Handan Teachers College Sept. 2004积分因子的存在条件及求法阎淑芳(邢台学院数学系找积分因子是解一阶常微分方程的一种重要方法积分因子常微分方程中图分类号A 文章编号M(xy)dy=0(1)其求解方法是根据类型确定求解方法所谓全微分方程就是方程(1)的左端恰为某个函数的全微分当此条件不满足时方程(1)就不是全微分方程(x 使方程(1)的两端乘以ｙ）后所得的方程ｙ）Ｍ（ｘ（ｘｙ）ｄｙ＝０（２）为全微分方程(x1 积分因子存在的条件微分方程ｙ）Ｍ（ｘ（ｘｙ）ｄｙ＝０为全微分方程的充要条件是xy x N y x y y x M y x ∂∂=∂∂)],(),([)],(),([µµ既 x y x y x N x y x N y x x y x y x M y y x M y x ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂),(),(),(),(),(),(),(),(µµµµ另记ｙ）＝Ｍ（ｘＮ（ｘ上式整理即为ｙ）为方程(1)的积分因子的充要条件是ｙ）为方程(3)的解1Ò»°ãÇé¿öÏÂ±È½ÏÀ§ÄÑ收稿日期阎淑芳(1964女邢台学院数学系副教授.4 2004年邯郸师专学报第3期　必要性若方程(1)存在只与x有关的积分因子则0=∂∂yµ代入(3)得　)(11xNy M N ∂∂−∂∂=∂∂χµµ (4) 左端只依赖于x 而与y 无关既)()(1x xN y M N Φ=∂∂−∂∂ÂÔ(x[y)]为方程(1)的积分因子的充要条件是分式)],([)/()(y x y M x N x N y M ωωωΦ=∂∂−∂∂∂∂−∂∂且ｙ）＝)],([)()(y x f f e d ωωωω=≡Φ∫(这里)],([y x ωΦ为ｙ）的复合函数)(x(y))为方程(1)的积分因子52004年阎淑芳即 ωωωµµd yM x N x Ny M d ∂∂−∂∂∂∂−∂∂=视的自变量(xËùÒÔÓÒ±ßµÄ·ÖÊ½Ò²Èç´Ë(x所以)(ωµµΦ=d 可得 )],([)(),()(y x f f ey x d ωωµωω=≡=Φ∫ 充分性证明略时),(y x µ为x+y 的函数),(y x µ时由定理3可以推出定理13 分组求积分因子定理4 设0µ为M(x,y)dx+N(x,y)dy=0之积分因子则对任意单元可微函数)(U Φ证明依题设(x62004年邯郸师专学报第3期½«·½³Ì(1)写成(dy N dx M 11+)+(dy N dx M 22+)=0 (或更多项)已知各括号内已求得积分因子),())(,(1111y x dU dy N dx M y x =+µ ),())(,(2222y x dU dy N dx M y x =+µ由定理4的结论其中21ΦΦ及是任意可微单元函数使成立等式111U Φµ=y x ,µ=ρ(x,y)=)(22U Φµ即为原始方程的积分因子后一组有积分因子21y和通积分x=C ÁíÓÐÌØ½âx=0积分因子的存在条件及求法作者：阎淑芳作者单位：邢台学院,数学系,河北,邢台,054001刊名：邯郸师专学报英文刊名：JOURNAL OF HANDAN TEACHERS COLLEGE年，卷(期)：2004，14(3)被引用次数：1次1.期刊论文段志霞.卫艳荣全微分方程与积分因子法-宿州教育学院学报2009,12(1)给出了全微分方程通过积分可以求出它的通解,并提供了采用积分因子法把一阶微分方程转化为全微分方程来求解的一种方法.2.期刊论文徐安农.段复建全微分方程与积分因子法-桂林电子工业学院学报2002,22(2)在常微分方程理论的形成过程中,求解一阶微分方程曾出现过许多方法,如分离变量法、变量替换法、常数变易法以及积分因子法等等.其中尤以积分因子法出现的最晚,而作用也最大.在教学中注意积分因子法在求解一阶微分方程中的重要作用是必要的.3.期刊论文吴绪权.Wu Xuquan积分因子的一种求法-中国水运（理论版）2006,4(9)从非全微分方程通过分离变量法变为全微分方程的过程入手,给出了一种求积分因子的方法.4.期刊论文汤光宋.徐丰几类有关全微分方程问题的求解公式-邵阳学院学报2003,2(2)利用全微分方程的条件,给出一类微分方程的积分因子及通解公式,得出几类全微分方程中未知函数所满足的微分方程,获得未知函数及全微分方程的通解.5.期刊论文温启军.张丽静.WEN Qi-jun.ZHANG Li-jing关于积分因子的讨论-长春大学学报（自然科学版）2006,16(5)采用积分因子方法将一阶微分方程转化为全微分方程是求解微分方程一个重要手段,讨论了积分因子存在的充要条件及确定若干特殊类型积分因子的准则;通过实例来说明准则的应用方法.6.期刊论文刘许成.LIU Xu-cheng变量分离型积分因子存在定理及应用-大学数学2006,22(4)给出了变量分离型积分因子μ(x,y)=p(x)q(y)的定义,得到了微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0存在变量分离型积分因子μ(x,y)=p(x)q(y)的充要条件和计算积分因子的公式.7.期刊论文申小琳.Shen Xiaolin变量分离型积分因子存在性及其应用-延安职业技术学院学报2009,23(3)由变量分离型积分因子u(x,y)=p(x)q(y)的定义,得到了微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0存在变量分离因子u(x,y)=p(x)q(y)的充要条件和计算积分因子的公式,然后应用到一些微分方程的求解中.8.期刊论文张奕河.郭文川.ZHANG Yi-he.GUO Wen-chuan关于一阶常微分方程的积分因子求解问题-四川理工学院学报（自然科学版）2009,22(6)一阶微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0不是全微分方程时,寻找它的积分因子成为求解方程的关键,但又是比较棘手的问题.针对这一情况,本文通过对方程的积分因子存在的充要条件定理的证明,利用定理结论求解积分因子,进而求出其通解,是一种行之有效又直观方便的方法,从而达到化难为易的目的,而且定理结论具有一般性,可以进行推广,使求积分因子时不再盲目,变得有规可循.9.期刊论文郭文秀.GUO Wen-xiu利用积分因子巧解微分方程-武汉职业技术学院学报2002,1(3)求微分方程的通解常用到积分因子,求积分因子无固定法则可循.本文力图通过对全微分方程解法的探索,提出求积分因子的常用方法,以便顺利地求微分方程的通解.10.期刊论文赵凯宏.李晓飞.ZHAO Kai-hong.LI Xiao-fei常微分方程求积分因子的一个定理及其应用-玉溪师范学院学报2004,20(12)将积分因子满足的偏微分方程改写成其特征方程,从而与常微分方程组的首次积分相联系.利用"可积组合法"来求积分因子,从而使所求常微分方程化成全微分方程.1.李刚升浅谈积分因子与偏微分方程[期刊论文]-科技信息(学术版) 2008(2)本文链接：/Periodical_hdszxb200403001.aspx授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：54451d1d-2ce5-4c75-b8ef-9dcf011bf3b6下载时间：2010年8月11日。

积分因子法

积分因子法积分因子法是一种在数学中常用的计算方法，可以帮助我们求解一定形式的积分。

它的原理比较简单，基本思想是将被积函数分解成不同的因子，然后再对每个因子进行积分计算。

在本文中，我们将详细介绍积分因子法的原理和具体应用。

首先，我们来看一下积分因子法的基本原理。

假设我们要求解的积分为∫f(x)dx，其中f(x)是一个函数。

我们可以将f(x)写成若干个因子的形式，例如f(x) = g(x)h(x)。

接下来，我们的目标是对g(x)和h(x)分别进行积分。

如果我们能够找到一个函数G(x)，使得G'(x) = g(x)，那么根据积分的基本性质，我们就可以将g(x)的积分表示为∫g(x)dx = ∫G'(x)dx = G(x) + C1，其中C1是常数。

同样地，如果我们能够找到一个函数H(x)，使得H'(x) = h(x)，那么h(x)的积分可以表示为∫h(x)dx = ∫H'(x)dx = H(x) + C2，其中C2是常数。

现在，我们可以将原积分∫f(x)dx分解成∫g(x)h(x)dx = ∫g(x)dx * ∫h(x)dx = (G(x) + C1)(H(x) + C2)。

该式可以进一步简化为G(x)H(x) + C3，其中C3 = C1H(x) + C2G(x) + C1C2。

从上述求解过程中，我们可以看出，积分因子法的关键是找到合适的积分因子g(x)和h(x)，使得我们可以求得其积分G(x)和H(x)。

这可能需要一些技巧和经验，有时候需要进行一些变换和配凑。

下面，我们将通过几个具体的例子来展示积分因子法的应用。

例1：计算∫(x^2 + x + 1)dx。

我们可以将被积函数f(x)分解为三个因子，即f(x) =x^2 + x + 1 = x^2 + (2x + 1/2) + (3/4)。

接下来，我们对每个因子进行积分计算。

对于g(x) = x^2，我们可以找到一个函数G(x)，使得G'(x) = g(x)，即G(x) = (1/3)x^3。

一阶微分方程积分因子的探讨

一阶微分方程积分因子的探讨一阶微分方程是常见的数学问题，其中积分因子是一种常用的解法之一。

积分因子是指一个函数，可以乘到微分方程的两边，使其变成可积的形式。

本文将讨论一阶微分方程中积分因子的概念、求法以及应用。

一、积分因子的概念对于一阶微分方程dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)是已知函数，如果存在一个函数μ(x)，使得μ(x)dy/dx + μ(x)P(x)y = μ(x)Q(x)成立，则称μ(x)为该微分方程的积分因子。

二、积分因子的求法求解积分因子的方法有许多种，以下介绍两种常用的方法。

1.利用P(x)的特殊形式求积分因子当P(x)具有一定的特殊形式时，可以通过变形求得积分因子。

例如，当P(x)是一个常数时，我们可以将μ(x)设为e^(kx)，其中k 为待定常数，代入μ(x)dy/dx + μ(x)P(x)y = μ(x)Q(x)中化简，得到：e^(kx)dy/dx + ke^(kx)y = e^(kx)Q(x)将该式两边同时乘以e^(kx)，得到：e^(2kx)dy/dx + ke^(kx)dy/dx = e^(kx)Q(x)e^(kx) 对于左边的式子，我们可以发现它是一个乘积的求导形式，因此可以利用乘积法则进行求导，得到：d/dx(e^(kx)y) = e^(kx)Q(x)e^(kx)将该式两边同时积分，得到：e^(kx)y = ∫e^(kx)Q(x)e^(kx)dx + C因此，积分因子μ(x) = e^(kx) = e^(∫P(x)dx)。

2.利用常数变易法求积分因子常数变易法是一种常用的求解积分因子的方法。

具体步骤如下：（1）将微分方程写成dy/dx + P(x)y = Q(x)的形式。

（2）设积分因子为μ(x)，则将μ(x)dy/dx + μ(x)P(x)y = μ(x)Q(x)两边同时积分，得到：μ(x)y = ∫μ(x)Q(x)dx + C其中C为常数。

一类典型微分方程积分因子的求法

）Ｐ＋ｘＱ— Ｃ，＂ｆ）一２Ｃ
例求方程
２Ｐ一，（，＝２ｚ再由ｘＰ＋ＹＱ＝，）Ｚ’ ）ｚｘＰ，＇（两边关于戈求导可得Ｐ＝厂（一ｍＰ — ｘ）ｘ
ＹＱ， “ 于是
积分因子，并求其通解．
ＰｌｎｍｉｓｗｔｐｉａｏｓｔｏｙｏａｈＡｐｌｔｎｏＮｕｍｅｃｌＡｎｙｉ．ＪＩｓ．ｌｉｃｉｉｒａａ８８．ｎｔｌ
［］ＪＣｕｈｒＴｅＮｍｒａＡａｓｆｒｉｒＤｆｒｎａ１．．Ｂｔｅ，ｈｕｅｃｎｌｉｏＯｄａｉｅｔｌｃｉｌｙｓｎｙｅｉ
文章编号：０８—１０（０１０１０４２２１）２—０７ｏ２４一２
一
类典型微分方程积分因子的求法①
沈浮，王金山，王鹏
（放军炮兵学院数学教研室。安徽合肥２０３）解３０１
摘
一
要：讨论了一阶微分方程有形如＝（
＝ｙ
若方程Ｐ＋ｄｘ２Ｃ；ｙ＝ｏ）一 ’ 一 … ｙｙ — Ｊ—ｕ）Ｐ）＝（
满足ｙＰ一Ｑ＝，）和（
＝
＋ｙ的函数．定理２若方程（）满足条件：Ｐ＋ｒＱ＝１ｎ
推论２若方程（）满足条件＂＋ｙＱ：１－ＰＸ｜ｋ非零常数）和（ｊ为｝（ｋ＋ｃＰ）＝Ｃ＋则方程（）Ｑ，１有积分因子
，一ｙＶ一

微分方程的积分因子求解法

常微分方程的积分因子求解法内容摘要：本文给出了几类特殊形式的积分因子的求解方法，并推广到较一般的形式。

关键词：全微分方程，积分因子。

一、基本知识定义1.1 对于形如0),(),(=+dy y x N dx y x M （1.1）的微分方程，如果方程的左端恰是x ，y 的一个可微函数),(y x U 的全微分，即d ),(y x U = dy y x N dx y x M ),(),(+,则称（1。

1）为全微分方程.易知，上述全微分方程的通解为 ),(y x U =C , （C 为任意常数）.定理1。

1 （全微分方程的判别法)设),(y x M ，),(y x N 在x ,y 平面上的单连通区域G 内具有连续的一阶偏导数，则(1.1）是全微分方程的充要条件为xy x N y y x M ∂∂=∂∂),(),( （1。

2) 证明见参考文献[1].定义1。

2 对于微分方程(1。

1）,如果存在可微函数),(y x μ，使得方程),(y x μ0),(),(),(=+dy y x N y x dx y x M μ （1.3）是全微分方程，则称),(y x μ为微分方程(1。

1）的积分因子。

定理1。

2 可微函数),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为x y x y x N ∂∂),(ln ),(μ-y y x y x M ∂∂),(ln ),(μ=xy x N y y x M ∂∂-∂∂),(),( （1。

4）证明：由定理1。

1得，),(y x μ为微分方程(1。

1）的积分因子的充要条件为xy x N y x y y x M y x ∂∂=∂∂)),(),(()),(),((μμ，展开即得： x y x y x N ∂∂),(),(μ—y y x y x M ∂∂),(),(μ=),(),(),(y x x y x N y y x M μ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂。

上式整理即得（1。

求解积分因子的方法整理

求解积分因子的方法整理积分因子是用于求解微分方程中的一种工具。

它是通过对微分方程进行一定的变换，使得变换后的微分方程可以方便地进行求解。

本文将介绍一些常用的求解积分因子的方法。

1. 修补法修补法是一种常用的求解一阶非线性微分方程积分因子的方法。

例如，考虑形如 y' + P(x)y = Q(x) 的微分方程。

我们可以将其变形成：y' + P(x)y - Q(x) = 0然后，我们找一个函数 f(x) 使得 f(x)[y' + P(x)y - Q(x)] 是一个完全微分方程，即：f(x)[y' + P(x)y - Q(x)] = \frac{d}{dx} [f(x)y]然后，我们令其等于 0，即可得到：这个方程的通解为：f(x)y = C，其中 C 为常数。

因此，我们可以将积分因子 f(x) 确定为：f(x) = e^{\int P(x)dx}2. 常数变易法然后，我们令其积分因子为 f(x)，即：考虑求出 f(x) 应满足的条件。

由于积分因子 f(x) 是一个乘积，因此其导数应该可以表示成一个和式，即：其中 A 和 B 是常数。

解这个常微分方程可以得到：其中 C 是常数。

因此，我们就得到了积分因子 f(x)。

3. 两类微分方程的积分因子对于形如 y' + P(x)y = Q(x) 和 y' - P(x)y = Q(x) 的微分方程，它们的积分因子分别为：其中，P(x) 和 Q(x) 是已知的函数。

对于形如 y'''+P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=S(x) 的三阶及以上的线性微分方程，我们可以通过求其特征方程来确定其积分因子。

特别地，当其特征根为实根时，其积分因子可以表示为：当其特征根为复根时，其积分因子可以表示为：f(x) = e^{\alpha x}[\cos(\beta x) + \alpha^{-1} \sin(\beta x)]其中，\alpha 和 \beta 是特征根的实部和虚部。

寻找积分因子的几种方法

寻找积分因子的几种方法
1、直接分析法：直接分析法是指运用特定技术工具对积分因子进行直接分析、求解的方法，在科学研究和企业决策分析中，其中最常用的分析方法就是统计学分析方法，如回归分析等。

2、回归分析法：回归分析法是一种统计分析方法，能够分析变量之间关系，求解影响变量的数量和重要程度。

其中积分因子常用的回归分析方法主要包括：多项式回归分析、截尾回归分析、微分回归分析以及多因素回归分析等。

3、实证法：实证法是一种引入经验数据进行研究的方法，其中积分因子主要可以利用通过调查、实验、抽样和模型仿真等方法获得的数据来分析。

4、模糊评价法：模糊评价法是一种以主观因素权重作为积分因子的评价方法，该方法利用专家主观意见作为因素重要程度的指标，以计算所得出的综合评价值作为积分因子的结果。

5、混合评价法：混合评价法是在数量分析研究和模糊评价研究中十分有用的一种方法，它可以利用模糊评价的客观性和可衡量性，并与主观评价相结合，更具准确性地进行积分因子的确定。

积分因子的求法及简单应用

积分因子的求法及简单应用数学科学学院摘要：积分因子是常微分方程中一个很基本但却又非常重要的概念，本文在介绍了恰当微分方程与积分因子的概念以及相关定理的基础上，归纳总结了求解微分方程积分因子的几种方法，并利用积分因子理论证明了初等数学体系中的对数公式与指数公式，提供了一种新的解决中学数学问题的途径,体现了积分因子的简单应用价值。

关键词：恰当微分方程;积分因子；对数公式；指数公式1. 恰当微分方程的概念及判定1.1 恰当微分方程的概念我们可以将一阶方程(),dyf x y dx =写成微分形式(),0f x y dx dy -=或把x,y 平等看待，写成下面具有对称形式的一阶微分方程()(),,0M x y dx N x y dy += ⑴这里假设M(x,y ），N(x ，y ）在某矩形域内是x ，y 的连续函数，且具有连续的一阶偏导数,如果方程⑴的左端恰好是某个二元函数u （x,y ）的全微分. 即()()(),,,u uM x y dx N x y dy du x y dx dy x y ∂∂+==+∂∂则称方程⑴为恰当微分方程。

[]11.2 恰当微分方程的判定定理1[]2 假设函数M （x,y)和N （x,y ）在某矩形域内是x ，y 的连续函数且具有连续的一阶偏导数，则方程⑴是恰当微分方程的充分必要条件是在此区域内恒有M Nyx ∂∂=∂∂. 利用定理1我们就可以判定出一个微分方程是否是恰当微分方程。

2. 积分因子如果对于方程⑴在某矩形域内M Nyx ∂∂≠∂∂，此时方程⑴就称为非恰当微分方程。

对于非恰当微分方程,如果存在某个连续可微的函数u(x ，y ）≠0，使得()()()(),,,,0u x y M x y dx u x y N x y dy +=为恰当微分方程，则称u(x,y)为方程⑴的1个积分因子.注[]1 可以证明,只要方程有解存在，则必有积分因子存在，并且不是唯一的。

定理2[]2 函数u （x,y ）是方程⑴的积分因子的充要条件是u u M N NM u x y y x ⎛⎫∂∂∂∂-=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭3. 积分因子求法举例3.1 观察法对于一些简单的微分方程，用观察法就可以得出积分因子如：⑴ 0ydx xdy +=有积分因子1xy⑵ 0ydx xdy -=有积分因子21x -，21y ，1xy ，221x y +,221x y -例1 找出微分方程()()110xy ydx xy xdy ++-=的一个积分因子。

伯努利方程的积分因子

伯努利方程的积分因子伯努利方程是微分方程中非常重要的一种形式，而积分因子则是解这种方程的关键。

本文将介绍伯努利方程的概念、推导过程以及求解积分因子的方法。

一、伯努利方程的概念伯努利方程是指形如 y' + p(x)y = f(x)y^n 的微分方程，其中 p(x) 和 f(x) 是已知的函数，且n ≠ 0 或 1。

这种方程不便于直接求解，但我们可以通过引入适当的积分因子将其变为可解的形式。

二、推导伯努利方程的积分因子设积分因子为μ(x)，则将原方程乘以μ(x) 后得：μ(x)y' + μ(x)p(x)y = μ(x)f(x)y^n将左侧看作(μ(x)y)'的形式，则有：(μ(x)y)' = μ(x)y' + μ'(x)y将其代入前面的式子中，可得：μ'(x)y = μ(x)f(x)y^n两边同时除以y^{n+1}，得：(1/y)^(n+1)μ'(x) = f(x)μ(x)将其移项并求积分，得：μ(x) = e^{∫ p(x) dx / y^n}这就是伯努利方程的积分因子的通用表达式。

三、求解伯努利方程的积分因子首先判断伯努利方程是否有常数项，如果没有，则有 f(x) = 0，这时积分因子为：μ(x) = e^{∫ p(x) dx}如果有常数项，设其为 c，则将方程转化为：y' + p(x)y = f(x)y^n + cy^n对于其前两项，可以按照上面的方法得到积分因子：μ_1(x) = e^{∫ p(x) dx}对于后两项，将其视为一个整体，设 g(x) = f(x) + cy^n，则方程转化为：y' + p(x)y = g(x)y^n按照上面的方法，可以得到积分因子：μ_2(x) = e^{∫ p(x) dx / y^n}将μ_1(x) 和μ_2(x) 相乘，则积分因子为：μ(x) = μ_1(x) μ_2(x) = e^{∫ p(x) dx} e^{∫ p(x) dx / y^n}通过这种方法，我们就可以求解伯努利方程的积分因子，从而将其转化为可解的形式。

积分因子的分组求法

积分因子的分组求法
积分因子是解决常微分方程中非齐次线性方程的有力工具，但对于一些复杂的方程，求解积分因子可能会较为困难。

此时，我们可以尝试使用分组求法来求解积分因子。

具体来说，我们可以将方程中的项分为多个组，每个组中包含同一种类型的项。

然后，我们可以分别对每个组求积分因子，最后将所有的积分因子乘起来得到整个方程的积分因子。

例如，对于如下的非齐次线性方程：
$$y'' + 2xy' - 3y = 2x^2 e^x$$
我们可以将方程中的项分为两组：
$$y'' - 3y = 0$$
和
$$2xy' = 2x^2 e^x$$
对于第一组，我们可以直接使用常数变易法求出其积分因子为$e^{-sqrt{3}x}$。

对于第二组，我们可以使用变量分离法求出其积分因子为 $x^2$。

因此，整个方程的积分因子为：
$$e^{-sqrt{3}x} cdot x^2 = x^2 e^{-sqrt{3}x}$$ 通过分组求法，我们成功地求解了该方程的积分因子。

- 1 -。

关于一阶常微分方程积分因子的求法

关于一阶常微分方程积分因子的求法摘要目前关于一阶常微分方程积分因子的求解方法介绍比较零散，一般的教科书中大都局限在一些简单的情况，如公式法一般只给出含有x或y的一元函数的积分因子的情形，很少涉及到二元的情况，对积分因子的求法并没有一个系统全面的总结，故积分因子的求法有广阔的研究空间.一阶常微分方程灵活多变，有多种不同的方程类型，因而可针对不同类型的方程，研究与其适应的求解方法. 本课题将根据积分因子的定义及性质，通过不同的分类方法，在原有求积分因子方法的基础上，对多种求法进行加深和扩充，系统地总结出一些较为规律的求解方法：观察法、公式法和分组法，给出这些方法的使用条件，并对方法的可行性进行证明，结合具体问题进行分析讨论，通过对这三种方法的研究，解决了某些一阶常微分方程的求解问题.关键词一阶，积分因子，全微分方程，观察，公式，分组，通解The Solution about First Order DifferentialEquation of Intergral FactorABSTRACTAt present about first order differential equations solving method of integral factor is introduced, the comparison scattered in general mostly confined to a textbook, such as some simple formula general give only contain x or y unary function of integral factor of the situation, rarely involve the condition of dual integral factor of sapce and no system, so overall summary of integral factor of sapce has broad research space. A flexible and order ordinary differential equations, and there are many different types of the equation, thus the equation of different types, with the solving method to study. This topic will be based on the definition and properties of integral factor, through different classification method andway of integrating factors in original for the foundation, on the various sapce for deepening and expanded, systematically summarizes some relatively regular solution: observation, formula and grouping law, given these methods using conditions, and feasibility of the method is proved that combined with concrete problems are discussed, based on the three methods to study and resolve some of the first order differential equation problem solving.KEYWORDS first-order,Integral factor, observation,formula,grouping,general solution.目录1 引言 (1)2 几种变系数齐次线性方程的求解方法 (1)2.1 降阶法 (1)2.2 常系数化法 (8)2.3 幂级数法 (17)2.4 恰当方程法 (20)3 结束语 (23)4 致谢语 (23)参考文献 (24)1 引言常微分方程是数学科学联系实际的主要桥梁之一。

【免费下载】有关一阶线性微分方程积分因子的解法

有关一阶线性微分方程积分因子的解法摘要：当一阶线性微分方程不是恰当微分方程或不存在只含有一个未知数的积分因子时，微分方程的积分因子不易求得. 本文给出了三种特殊形式的积分因子并证明了这三种积分因子存在的充分必要条件.关键词：偏导数；偏微分方程；线性微分方程；积分因子一引言对于一阶微分方程，(1)0),(),(=+dy y x Q dx y x P 若存在连续可微的函数，使得，则方程 (1)0),(≠y x u 0),(),(),(),(=+dy y x Q y x u dx y x P y x u 为一阶恰当微分方程，即存在函数，使),(y x v ,(2)),(),(),(),(),(y x dv dy y x Q y x u dx y x P y x u =+且称非零函数为方程(1)的积分因子．),(y x u 若找到方程(1)的积分因子，就设法求得式(2)的一个原函数，从而是),(y x v c y x v =),(方程(1)的通解．引理1 设,,在单连通区域内连续且有连续一阶偏导数，且),(y x P ),(y x Q ),(y x u G ,则函数为（1）的积分因子的充分必要条件是0),(≠y x u ),(y x u，(3)u x Q y P y u P x u Q⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂-∂∂式（3）是一个以为未知数函数的一阶线性偏微分方程，通常情况下，要想通过具),(y x u 体求解方程(3)而求得积分因子是比较困难的．但某些特殊情况下，不难求得(3)的),(y x u 一个特解，而作为积分因子．文献[1]给出了结论，方程(1)有只与有关的积分因),(y x u x 子的充分必要条件是，这里仅为的函数.方程⎰=dxx e x u )()(ϕ)(1x Q x Q y P ϕ=⎪⎭⎫∂∂- ⎝⎛∂∂-)(x ϕx(1)有只与有关的积分因子的充分必要条件是y ⎰=dyy e y u )()(ϕ,)()(1y P x Q y P ϕ=-⎪⎭⎫∂∂- ⎝⎛∂∂-这里仅为的函数.)(y ϕy 当微分方程不存在只与或有关的积分因子，用此方法无法求解.本文给出 3 种只x y 依赖,形式的积分因子存在的充分必要条件，这有助于积分因)(,b a b a y x y x +))()((y g x f u 子的求解.二一阶微分方程积分因子的解法定理1 方程（1）有一个只依赖形式的积分因子的充分必要条件是b a y x , (4))()(11b a b a y x f ybP x aQ x Q y P y x =-⎪⎭⎫∂∂- ⎝⎛∂∂-此时是方程 (1) 的一个积分因子,（是的一个原函数）.)(),(ba y xF e y x u =)(t F )(t f 证明必要性，设是方程（1）的一个积分因子，则)(),(b a y x F ey x u =,.))((1)(b a b a y x F y ax y x f e xub a -=∂∂))((1)(a b b a y x F x by y x f e y u b a -=∂∂代入式 ,可得u x Q y P y u P x u Q⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂-∂∂= ))(())((1)(1)(---b abay x F b aba y x F ybx y x f Peybx y x f Qeb a b a )(b a y x F e x Q y P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂消去,并化简可得)(ba y xF e ,即(4)式成立..)()(11b a b a y x f ybP x aQ x Q y P y x =-⎪⎭⎫∂∂- ⎝⎛∂∂-充分性，若式（4）成立，则，整理得01)(=⎪⎪⎭⎫∂∂- ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛y P x Q y x y bP xaQ y x f b a b a ,则有0)(=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛y P x Q y bP xaQ y x f y x b a b a. (5)0)()(11=⎪⎪⎭⎫∂∂- ⎝⎛∂∂---y P x Q P y bx y x f Q y ax y x f b a b a b a b a 设是的一个原函数,式（5）两边同乘以,则式)(t F )(t f )(),(ba y xF e y x u =u x Q y P y u P x u Q⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂-∂∂成立.即是方程（1）的一个积分因子. 证毕)(),(b a y x F ey x u =定理2 方程（1）有一个只依赖形式的积分因子的充分必要条件)(b a y x + . (6))()(111ba b a y x f P by Q ax xQ y P +=-⎪⎭⎫∂∂- ⎝⎛∂∂---此时是方程（1）的一个积分因子（是的一个原函数）.)(),(b a y x F ey x u +=)(t F )(t f 证明必要性，设是方程(1)的一个积分因子，则)(),(b ay xF e y x u +=,.1)()(-++=∂∂a b a y x F ax y x f e xub a 1)()(-++=∂∂b b a y x F by y x f e y u b a 代入式,可得u x Q y P y u P x u Q⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂-∂∂)(1)(1)()()(b a b ab ay x F b b a y xF a b a y xF ex Q y P by y x f Pe ax y x f Qe +-+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+-+消去,整理可得)(b ay xF e +,即(6)式成立..)()(111ba b a y x f P by Q ax xQ y P +=-⎪⎭⎫∂∂- ⎝⎛∂∂---充分性，若(6)式成立，则整理可得下式. (7)xQy P Pby Qax y x f b a b a ∂∂-∂∂=-+--))((11设是的一个原函数,式(7)两边乘以，则(3)式成立.即)(t F )(t f )(),(b ay xF e y x u +=是方程(1)的一个积分因子.证毕.)(),(b ay xF e y x u +=定理3 若方程(1)中,在内连续且有连续偏导数,，且满足),(y x P ),(y x Q D y P ∂∂xQ∂∂,. 则方程(1)存在形如积分因子的充要条件是 xQy P ∂∂≠∂∂D y x ∈),())()((y g x f u，(8)))()((y g x f yg Pfx f Qg xQy P Φ=∂∂-∂∂∂∂-∂∂并且积分因子由下式确定),(y x u ,.(9)dzz e y x u ⎰=Φ)(),()()(y g x f z =(9)中由(8)给出.)(z Φ证明必要性，设,是方程(1)的积分因子，,)(),(z y x u ϕ=)()(y g x f z =xQy P ∂∂=∂∂ϕϕ.D y x ∈),(即得，从而整理得ϕϕϕϕxNQ y g x f z y P P x f y g z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂+∂∂∂∂)()(,yg Pfx f Qg x Qy P z x Q y P y g Pf x f Qg z ∂∂-∂∂∂∂-∂∂= ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫∂∂-∂∂= ⎝⎛⎪⎪⎭⎫∂∂-∂∂∂∂ϕϕϕϕ1取，则有ϕϕ)()(z z '=Φ，，可得(8).)(z yg Pfx f Qg xQy P Φ=∂∂-∂∂∂∂-∂∂)()(y g x f z =充分性，若,,)(z yg Pfx f Qg xQy P Φ=∂∂-∂∂∂∂-∂∂)()(y g x f z =令,.则⎰=Φdzz e y x u )(),()()(y g x f z = =∂∂+∂∂=∂∂y P u P y u y uP )(+∂∂Φ⎰ΦP y zz e dz z )()(yP e dz z ∂∂⎰Φ)(,⎢⎣⎡⎥⎦⎤∂∂+∂∂Φ⎰=Φy P fP y g z e dzz )()(,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂Φ⎰=∂∂Φx Q gQ x f z e x uQ dz z )()()(所以 .从而(9)为积分因子.0)()()()(=⎢⎢⎣⎡ ⎝⎛ ⎝⎛⎥⎦⎤⎪⎭⎫∂∂-∂∂+⎪⎭⎫∂∂-∂∂Φ⎰=∂∂-∂∂Φx Q y P x f Qg y g Pf z e x uQ y uP dz z 三应用举例例1 解方程. （10）dx xy ydy x xdy ydx 22-=+解方程（10）可化为，此时,0)()(22=-++dy y x x dx xy y 2),(xy y y x P +=，则,，y x x y x Q 2),(-=xy y P 21+=∂∂xy xQ 21-=∂∂所以不存在只与或有关的积分因子．由于x y ，)1()1(14)(11xy b xy a y x xy y bP x aQ x Q y P y x b a ba +--=-⎪⎭⎫∂∂- ⎝⎛∂∂-取,,则有.3=a 3=b )(64(133331y x f y x y bP x aQ x Q y P y x ba =-=-⎪⎭⎫∂∂- ⎝⎛∂∂-则根据定理1，方程（10）有只依赖于形式的积分因子.于是方程（10）有积分因子33y x .33),(y x y x u =例2 求解方程. （11）ydx xdy dx y x 22)33(22-=+解方程（11）可化为令,,02)233(22=-++xdy dx y y x y y x y x P 233),(22++=,x y x Q 2),(-=则,，所以不存在只与或有关的积分因子．由26+=∂∂y y P 2-=∂∂xQx y ，)233(21)46()(221111y y x by ax y P by Q ax x Q y P b a b a +++-+=-⎪⎭⎫∂∂- ⎝⎛∂∂----取，，则有2=a 2=b.)(1)(2222111y x f y x P by Q ax x Q y P b a +=+-=-⎪⎭⎫∂∂- ⎝⎛∂∂---根据定理2,方程（11）有只依赖于形式的积分因子.设，求得原函数22y x +1)(--=t t f .于是方程（11）有积分因子，进而可求得其通解为Int t f -=)(122)(),(-+=y x y x u .c xy x =+-1arctan 例3 求解方程. (12)0)3()6(322=+-++dy xy x dx y yx 解 ,,则226y yx P +=xy x Q +-=33,,可得y x y P 262+=∂∂y x xQ +-=∂∂29.x y xQ y P --=∂∂-∂∂215取,.则有x x f =)(2)(y y g =xy y yx y xy x y x dydg Pfdx df Qg xQ y P 2)6()3(1522232+-+-+=-∂∂-∂∂ yx 21-=从而由定理知方程有积分因子 .yx y x u 21),(-=文章虽给出了一些以特殊积分因子解线性微分方程的方法，但是在学习中依然存在许多其它特殊的积分因子用以上方法难以解决，还需要继续探索．参考文献：[1] 石瑞青，闫晓红，郭红建，等．常微分方程全程导学及习题全解[M]．北京：中国时代经济出版社，2009．[2] 赵临龙．常微分方程研究新论[M]．西安：西安地图出版社，2000．[3] 刘许成.复合型积分因子的存在定理及应用[j].阜阳师范学院学报.2003,20(6)39-41[4] 高正辉.一阶微分方程三类积分因子的计算[J].衡阳师范学院学报(自然科学版),2002(3)[5] 东北师范大学数学系.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,1982.35-48Method of Solution Integrating Factor of Linear First-order DifferentialEquationAbstract: As for linear first-order differential equation and it will not exist if it has only one unknown number of integrating factor. So the differential equation will be difficult to solve. This thesis gives three particular forms of integrating factors which proves the sufficient and necessary condition of existence.Keywords:Partial derivative, Partial differential equation, linear differential equation, integrating factor。

微分方程积分因子的求法

微分方程积分因子的求法罗伟东【摘要】利用积分因子，可以对一个一阶微分方程的求解进行统一处理。

因此，如何求解积分因子就成为解一阶微分方程的一个重点了。

但对于一个具体的方程，如何求出它的积分因子呢，一般的方法是解一个一阶偏微分方程，不过那是比较不容易的。

但是，对于某些特殊的情况，却可以简单地得出积分因子。

通过查找我们发现，在大多数《常微分方程》的教材中都只给出了只与x 或y 有关的积分因子的求法，但这是不够的。

所以我们在这里来讨论一下关于求解()x y αβμ和()m n ax by μ+这两类积分因子的充要条件及部分例题，由此我们就可以得到形式相近的积分因子。

如：通过x y μ=+，可以得到x y μ=-的积分因子。

如此举一反三，力求使得求积分因子的问题变的简便易行。

同时，还对积分因子的求法进行了推广，总结出几类方程积分因子的求法。

【关键字】微分方程，积分因子，求解方法【目录】引言 (1)目录 (2)一、()x y αβμ和()m n ax by μ+两类积分因子§ 1、与()x y αβμ有关的积分因子 (3)§ 2、与()m n ax by μ+有关的积分因子 (4)二、微分方程积分因子求法的推广§ 1、满足条件()P Q P Qf x y x y∂∂-=-∂∂的积分因子求法 (7)§ 2、方程1123422(3)36330m m m m x mx y xy dx y x y x y dy +-⎡⎤⎡⎤++++++=⎣⎦⎣⎦积分因子 (10)§ 3、方程13()30m m m x m x y x dx x dy -⎡⎤+++=⎣⎦积分因子 (12)§ 4、方程1(4)4450m m m m x mx y y dx x x y dy -⎡⎤⎡⎤++++++=⎣⎦⎣⎦积分因子 (13)参考文献 (15)一、()x y αβμ和()m n axby μ+两类积分因子引言：微分方程是表达自然规律的一种自然的数学语言。

1.5 全微分方程及积分因子

哈尔滨工程大学
1. ydx ( y 2 x )dy 0 2. xy 3dx ( x 2 y 2 1)dy 0
高等数学
[例4] 解方程 ydx ( y x )dy 0
2
哈尔滨工程大学
1 2 [解] ( 2 ) [ ydx xdy y dy] 0 y 2 2 y y
1) 方程M ( x , y )dx N ( x , y ) 0存在仅与x有关的积分因子 ( x , y ) ( x )的充要条件为
高等数学
1 M N ( ) N y x
仅与x有关,这时该方程的积分因子为
1 M N ( x ) dx ) ( x) e , 这里 ( x ) ( N y x
积分因子的确定
高等数学
( x , y )是方程M ( x , y )dx N ( x , y ) 0的积分因子的
充要条件是 : ( x , y ) M ( x , y ) ( x , y ) N ( x , y ) y x
即
哈尔滨工程大学
M N N M ( ) x y y x
2）微分方程M ( x , y )dx N ( x , y ) 0有一个仅依赖
哈尔滨工程大学
于y的积分因子的充要条件是
1 M N ( ) M y x
仅与y有关,这时该方程的积分因子为
高等数学
( y ) dy ( y) e ,
1 M N 这里 ( y ) ( ). M y x
高等数学
1 2 (2xydx x dy ) de d ( y ) 0 2 1 2 2 d(x y y ex ) 0 2 1 2 2 x 所以 x y y e c 2

常微分方程积分因子法-推荐下载

( x）
1 x2
x 2 y 2 x 2 y 2 xy
是两组的公共的积分因子，从而是方程 (5.8) 的积分因子.
为了使这种分组求积分因子的方法一般化，给出下面的有关积分因子的一个性质定理.
定理 6 若 (x, y) 是方程 (5.1) 的一个积分因子，使得
(x, y)P(x, y)dx (x, y)Q(x, y)dy d(x, y)
y
d (ln x ) ydx xdy .
y
xy
x2 y2
11 1 1 于是 x 2 , y 2 , x 2 y 2 , xy 等都是这个微分方程的积分因子.由此再来看上面的例 1，将 (5.8) 式的左端分
成两组：
(3x3dx 2x2 ydy) ( ydx xdy) 0 .
11 其中第二组由上述讨论知，有积分因子 , ,
§5 积分因子法本节再来讨论§1 剩下的没有解决的第三个问题.即当方程
P(x, y)dx Q(x, y)dy 0
不满足条件 P Q 时，有什么办法能把它变为恰当方程呢？由一阶微分的形式不变性，易见变量代 y x
换发在这里是无能为力的.但在§2 对变量分离方程
X (x)Y1 ( y)dx X1 (x)Y ( y)dy 0 ，
成为恰当方程，亦即
(x, y)P(x, y)dx (x, y)Q(x, y)dy 0
(P) (Q)
y
满足这一条件的 (x, y) 称为方程 (5.1) 的一个积分因子.
由条件 (5.3) ，可以看出 (x, y) 应满足方程
x
P Q (Q P )
y x x y
(5.4) 是一阶线性偏微分方程.对于一般的一次连续可微函数 P(x, y),Q(x, y) ，虽然可证 (5.4) 的解

（整理）几种特殊类型积分因子的求法

（整理）⼏种特殊类型积分因⼦的求法运⽤积分因⼦⽅法求解⼏种特殊类型微分⽅程⽅⼩，数学与计算机科学学院摘要:针对满⾜某些条件的微分⽅程,着重研究如何直接地、有效地求出其积分因⼦的⽅法,从⽽⽅便快捷地求出其通解.引⾔：⽅程取形式0y ),(),(=+d y x N dx y x M 时的求解问题教材中主要介绍了五种类型的初等解法，实际上作为基础的还是恰当微分⽅程，其他类型均可借助积分因⼦化为这种类型，掌握⼀些特殊类型的积分因⼦求法及部分特殊结构微分⽅程的积分因⼦的求法，从⽽⼤提⾼解微分⽅程的效率和可操作性.⼀.⼏种特殊类型结构的微分⽅程0y ),(),(=+d y x N dx y x M 的积分因⼦的求法1．常见⼀阶微分⽅程⼏种运⽤积分因⼦转化成恰当微分⽅程 1.1可分离变量⽅程)()(y x f dxdyφ=很容易求得积分因⼦为)(1y ?µ=例求0)1()(=--++-dy y x xy dx x xy 的积分因⼦解：变形为0)1)(1()1(=+-+-dy y x dx y x积分因⼦为)1)(1(1)()(1),(12--==y x y q x p y x µ⽅程两边乘以上积分因⼦得：0111=-++-dy y y dx x x 两边积分得原⽅程的通解为C y x y x =--++2)1)(1ln(1．2 线性微分⽅程设),(y x f 及yf连续，试证⽅程0),(=-dx y x f dy 为线性微分⽅程它有仅依赖于x 的积分因⼦.证明：设⽅程0),(=-dx y x f dy 是线性微分⽅程.即存在)(),(x h x g 使得)()(),(x h x yg y x f +=)(,1),()(),(M x g x g N x Ny M N x h x yg y x f -=-=??-=--=-= 所以，⽅程具有积分因⼦=-dxx g e )(µ这即证明了⽅程有仅依赖于x 的积分因⼦.例2 :解⽅程: 0)cos sin ()sin cos (=++-dy x x x y dx x y x y 解: ∵x x x y N x x x y M cos sin ,sin cos +=-= y M yMx N =??-??于是积分因⼦为:y ydy e e u =?=∴通解为:C x x y x x e y =-+)sin sin cos (.1.3 伯努利微分⽅程⽅程的积分因⼦是))((y ?=---dx x p n neµ证明：设伯努利⽅程为n y x q y x p dx dy)()(+=，)1,0(≠n改写为,0)()(=--dx y x q ydx x p dy n乘以得ny - 0)()(y 1=----dx x q dx y x p dy n n即,0)()1()()1()(11=------dx x q n dx y x p n y d n n再乘以?)()1(得--dxx p n e )()1(,0)()1(])()1()([)()1(11=-?-------dx x q n edx y x p n y d dxx p n n n即.0])()1([][)()1()(1(1=?--??-----dx e x q n d ey d dx x p n dx s p nn这是全微分⽅程，因此所求积分因⼦是))((y ?=---dx x p n n eµ例求2y sinx)(cosx -=+y dxdy的积分因⼦及通解解：积分因⼦x dxx p n e y e y y x ---=?=2)(),(µ原⽅程两边同乘以xey --2，并化为对称式为dx e x x dx e y dy e y x x x -----=+)sin (cos 12凑微分为：)sin ()(1x e d y e d x x ---=-两边同时求积分得：C y e x e x x =+---1sin证明由于,),(),(,),(),(yN xM y x N y x N yN xM y x M y x M +=+=µµ则有2)()()()(yN xM yN y N y N x M yN xM y M y M +++??-+??=??µ2)(yN xM y NyM MN y M yN +--=,同理，2)()(yN xM x MxN MN x N xM xN +--=??µ，由于⽅程是齐次的，我们不妨设),(),(y x N y x M 和是m 次齐次函数，则有N m y y Nx x M m y y M x x M ?=+?=+N 与由上⾯两个式⼦可推出xMxN x xM y N yM y M yN -=+N ，从⽽得到xN y M ??=??)例 02)3(22=+-x y d xdy x y解此为齐次⽅程，故有积分因⼦)(1)32(1)(123232y x y y x y y x Qy Px -=-+=+=µ乘以积分因⼦，原⽅程化为0)]()3[()](2[232222=--+-dy y x y x y dx x y x这是⼀个全微分⽅程，它的通解为C dx y y dx x y xy xln 00213222=--+-??C y x y y =+--ln )ln(ln 222其中C 为常数2、具有特殊结构的⼀阶微分⽅程0y ),(),(=+d y x N dx y x M 的积分因⼦的求法 2.1⽅程0)()()()(=+y Q x P dx y N x M 有积分因⼦:)()(1x P y N =µ显然,直接验证可得µ=)()(1x P y N为上式的积分因⼦.若)()()()())(y P x Qf x Q y P ?-=??-??，则?=+dyy dx x f e )()(?µ是⽅程的积分因⼦)(3()1)(6(222yxy y x xy x -+--+-==)2()1(yP x Q --- 故有积分因⼦2211xy edyy dx x ==---µ 于是原⽅程化为0)6)()13(2=+-+dy y x dx y x即0])()1[(6)3(2=-+-dy y x dx y dy dx x这是⼀个全微分⽅程，积分得出通解为C y x y x =+-6ln 3或cy x y x y =+-26ln 32.2 设函数)(),(u g u f 连续、可微且,则⽅程0)()(=+dy xy xg dx xy yf 有积分因⼦: )]()([1xy g xy f xy -证明:令µ=xy ,则原⽅程可化为0)()]()([=+-µµµd g dx xg u f u (1)(1)式两边同乘以)]()([1()([)(=--du g f g x dx µµµµ 显然(2) 为恰当⽅程,故(1) 有积分因⼦)]()([1µµµg f -,,因⽽原⽅程有积分因⼦)]()([(1xy g xy f xy -,但对于⼀个较复杂的⽅程,往往不容易直接求得它的积分因⼦.例 0)(12332=-+-dy y x y x dx y x 解原⽅程化为0)1()1(2222=-++dy y x x dx y x y因为 02)1()1(2222≠=--+y x y x ,故有积分因⼦xyy x y x xy 21)]}1()1[({12222=--+=µ乘上xy21=µ得 021********=-++dy x ydy x dx x dx xy 即0)(2)(222=-++ydyx dx ydy x dx xy ⼆．针对满⾜某些条件的微分⽅程，运⽤积分因⼦⽅法求出通解.但是如果把它的左端分成⼏组,⽐如分成两组:0)()(2211=+++dy N dx M dy N dx M (3)后,可分别求得各组的积分因⼦21µµ和,也就是如果有21,µµ 使+11M µ111µµd dy N = +22M µ222µµd dy N =于是借助于21,µµ常可求得0=+NdY Mdx 的积分因⼦.为了说明这⼀点,先注意下⼀事实.如果µ是0=+NdY Mdx 的⼀个积分因⼦,且+M µµµd Ndy =,则)(µµφ也是0=+NdY Mdx 的积分因⼦.此处)(µφ是µ的任⼀连续函数. 事实上µµ?µµµφµµφµµφd Ndy Mdx Ndy dx )())(()(M=+=+）（其中Ф表⽰φ的⼀个原函数.据此知,对于任意的函数)(µφ及)(11µφµ、)(22µ?µ 都分别是(3) 的第⼀组和第⼆组的积分因⼦.函数?φ,有着⼴泛选择的可能性.是0=+NdY Mdx 的积分因⼦.例:解⽅程: 0)1()3(32=+++dy yx dx x x y解:原⽅程改写为0)3()(32=+++dy yx x dy dx x y 显然y x y xy x 32211,,,====µµµµ为使),()(3y x y xy x ?φ=只须取2)(µµφ=,µµ?=)( 于是求得原⽅程的⼀个积分因⼦: 233)()(y x y x y xy x ===?φµ⽽以之乘⽅程的两端,便得0)()36232522=+++dy y x y x dx y x y x于是dx y x y x y x x)3(),(25032+=?µ=)0(2)(3)(233=+c y x xy 取∴通解为:c 2)(3)(233=+y x xy结论1：设),(y x u 是⽅程0y ),(),(=+d y x N dx y x M 的积分因⼦，从⽽求得可微⽅程),(y x U 使)(Ndy Mdx dU +=µ时)(),(1U y x µ?µ=.),(1y x µ也是⽅程的积分因⼦，其中）（t ?是t 的可微函数.结论2：设),(1y x u ，),(2y x u 是⽅程0y ),(),(=+d y x N dx y x M 的两个积分因⼦，且≠211=µµ（任意常数）是⽅程的通解. 结论3：假设当⽅程0y ),(),(=+d y x N dx y x M 为齐次⽅程时，且为恰当⽅程，则它的通解可表⽰为c d y x yN dx y x xM =+y ),(),(（c 为任意常数）. 参考⽂献（顶格、宋体、⼩四号加粗）：[1] 刘⼴珠.⾼中⽣考试焦虑成因分析[J].陕西师⼤学报（哲社版），1995，24（1）：161-164.（参考⽂献序号在⽂中采⽤右上标注的⽅式，⽤数字加⽅括号表⽰，如[1]，[2]，…，序号应连续。

有关积分因子的求法

更适合于课堂教学，给学生以启示和指导．
的微分方程，常用到的积分因子有
１１
。一－ ’ Ｚ
１
一 ’
１
１观察法
一
一 ’
类似地加以推广，若遇形如
一面
‘
般而言，积分因子的难度与求解非恰当方求
第１５卷第３期
２１０２年５月
高等数学研究
ＳＴＵＤＩＳＩＣ０ＬＥＮＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ
Ｖｏ．５Ｎｏ３１１，．
Ｍａｙ．２０１２
有关积分因子的求法
岳宗敏
（西科技大学理学院，陕西西安７０２）陕１０１
的一个积分因子．
解原方程可写为
ｚ。ｘ＋Ｙ。ｘ — ｘｄｄｄｙ。一０，
的微分方程，常用到的积分因子有
ｌ
（）一ｚ一ｚ，
，
Ｘ２－ｄ来，专，或中Ｃ８，。说以，，２ｙ７７乘２３．，１
的任一个，可使其变为全微分，考虑到还有另一都但项ｚｄｘ只与ｚ有关，只需要选取故１作为所给方程
的积分因子即可．
收稿日期：ＯＯ１ — １修改日期：０２０ — ５２ｌ一０１；２１—４０．
基金项目：西科技大学理学院教改项目资助陕作者简介：宗敏（９１）女，西西安人，士，师，岳１８－，陕硕讲主要从事微