递推公式求数列通项的八大常见形式

新课标高考由递推公式求数列通项的八大常见形式对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列称辅助数列法。

1.递推公式为％严戸耳+4 （其中P, q均为常数，吩
解法：把原递推公式转化为：g 7 = pg- f）
其中1-P ,再利用换元法转化为等比数列求解。

例1.已知数列但J中，码=h為+1 = 2巧+亠求叭。

2. 8 =也+朋皿型递推式
可构造为形如口”】+几申+凡3 = ^［叭+凡1（稈-1）+^』的等比数列。

3
r \ ^1 二_ 1 2&衬—1 —6料—3
例5.在数列I口』中， 2 ' ，求通项公式^*。

解：原递推式可化为2（叭+几严+几2）二碍_1+几103-1）+无，比较系数可得：几1=-6
2 丄
2，公比为2
3. 口乂+】=儿^严y（A、B、C为常数，下同）型递推式
类型4递推公式为％】=戸耳+0 （其中P , q均为常数，
）。

如_戸,玉+丄
J十1 - 」宀）。

无二9 ,上式即为2虬二如十仮｝是一个等比数列，首项俎二口1-6乳
"厂（卜+切-9
，故2为所求。

（1）可构造为形如^-1+ A • C*L =月（务
+1 CJ的等比数列。

（2）可构造为形如目9 7 9
b — g”
引入辅助数列（其中* / ），得:
再应用类型1的方法解决。

例1.已知数列⑺」中, ，求"*。

例2.已知数列中,
(P 、 4*2 =p W+l +q ^ 毗-庄如=P （4* 1- & a « ）•
｛ 4*1-空"讯｝是 G.P
特殊地如=?如勿耳（？+g=i ）型
分析：；p+gi
q 均为常数）（二阶递归） a + ^ = p ・G0 = -g 解出庄、
0因此
= 0-切如+吗二如-?（如-%
"卧厂磚報二-g®厂。

罷
备1-陽
•••仏+17｝是以幻5为首项，公比为一 g 的等比数列
例1、'1 = °，砌二1,陽=纭-厂纽4 S>3），求q
5 5 2
例 2： ai=1, a2= 3 4+2月心*1- ?如,求数列｛心｝的通项公式兔f 。

5.等差数列：广陽=d 由此推广成差型递推关系：陽=側
累加：陽=仏-和）+（S -也）+ •血2 5）+珂
二?"呵g ，于是只要/（©可以求和就行。

递推公式为叭+1二口#+/3）
解法：把原递推公式转化为口岸+1 -务二了®
（a 1 仅1 =亍，*^«+1 =斗+ i 丄 住
已知数列IF 满足, 料+幷，求叫。

6 .等比数列：％1血厂g 递推公式为G
碍 1 為 《
= ----- = ----- 住1 =「［童3）5
累乘： 也也坷 号
类型2递推公式为二/ g a + 0 = 2 3 2 妙=— 3解得: 2 "痢-4* 1 = 2 1-如）, 2
a 2-ai=
3 2 & = 1、P = 3 •M A -i =U> =（
4 A-1）+ （"脸1 -"止2 ） +— + （ a2-a 1）
=
2 _ +—+
3 +1=3-3^ .
2" 2" （特殊情形：⑴. Q 心 Z+q （差后等差数列）⑵陽+1=陽+y 利用累加法求解。

%｝满足 例1. 已知｛ （差后等比数列）） 例2. 已知｛ 例3. 已知｛ 陽*1 =陽+ 2,且= 1,求如 陽*1 =陽+ 2舟-3,且°1 =1,求%
｝满足务=广】+% （用-2）,且= 1，求"第
｝满足 例4.
—=/（片）
（1）把原递推公式转化为山*
，利用累乘法求解。

已知｛"小满足陽+1 =叫心H ° ,且= 1 ,求"讯 2 用
f 片[ 4] — F 口,41 = Q. .已知数列满足 了 璋+ 1 ，求0乂。

7.倒数变换法:
形如£也二叭*1 +血（C0为常数，且CH O0H O ）的递推公式，可令
"门如” 。

则可转化为 如二P 広冲型；
2耳
1 比+1 二 -------
例1 ：数列W 中，且珂二了，屯中2（3^ +1，求数列佃」的通项公式.
8对数变换法:
九= ig® -igG] = 1
如L =如朋=…）訥二（『畑〔23…）
’小心宀v"已转化为％7他型”，由累乘相
色=10 伸 10「…1（/厂=10丫
消法可得勺 例、已知数列仏｝满足術二1%二a *（科n
2），求兔|。

解法 例1.
已知｛"阳满足"凶产，且旬=2，求如
例2.
例3. = 10,— 1. U
J-^C« = 3,4,5-*）
递推式两边同取对数，得
ig 盘应一曆知"二一Og%.]-igtvJ
令b 广如-Iga 衣，则「
叽小。