勾股定理及其应用

第五次课勾股定理及其应用

本章知识要点

A. 勾股定理及其逆定理。

B. 验证、证明勾股定理及其依据（面积法）。

C. 勾股数组、基本勾股数组及勾股数的推算公式。

D. 勾股定理及其逆定理的应用。

E. 感受“方程”思想、“数形结合”思想、“化归与转化”思想等数学思想。

内容/概念表示方法/举例

勾股定理直角三角形两直角边的平方和

等于斜边的平方

如果用a，b表示直角三角形

的两直角边，c表示斜边，

那么2

2

2c

b

a=

+

勾股定理的逆定理如果一个三角形的三边满足：两

短边的平方和等于最长边的平

方，那么这个三角形是直角三角

形

用c

b

a,

,（c为最长边）表示

三角形的三边，如果

2

2

2c

b

a=

+，那么这个三角形

是直角三角形

勾股数满足2

2

2c

b

a=

+的三个正整数，

称为一组勾股数

常见的勾股数有：3,4,5；

5,12,13；6,8,10；7,24,25；

8,15,17等

基本勾股数组满足2

2

2c

b

a=

+且c

b

a,

,互质的

三个正整数，称为一组基本勾股

数组

常见的基本勾股数组有：

3,4,5；5,12,13；7,24,25；

8,15,17等

重点知识勾股定理的验证

验证方法验证过程

（美）伽菲尔德总统拼图如右图，直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，所以()()2

2

1

2

1

2

2

1

c

ab

b

a

b

a+

⨯

=

+

•

+，即

2

2

2c

b

a=

+

赵爽弦图如右图，用四个全等的直角三角形可得到一个以()a

b-为边长的小正方形和一个边长为c的大正方形，因为大正方形的边长为c，所以面积为2c，又因为大正方形被分割成了四个全等的直角边长分别为b

a,的直角三角形和一个边长为()a

b-的正方形，所以其面积为

()2

2

1

4a

b

ab-

+

⨯所以()2

2

2

1

4a

b

ab

c-

+

⨯

=，从而2

2

2b

a

c+

=.

刘徽：青朱出入图如右图，通过拼图，以c为边长的正方形面积等于分别以b

a,为边长的两个正方形的面积之和

名师提示用拼图法验证勾股定理的思路：①图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，那么面积就不会改变；②根据同一种图形面积的不同表示方法（简称面积法）列出等式，推导勾股定理

重点知识确定几何体上的最短路线

描述示意图

几何体的侧面展开图长

方

体

将长方体相邻

侧面展开，转

化成一个长方

形

圆

柱

圆柱的侧面展

开图是一个长

方形

2

2

2B

B

A

B

AB'

+

'

=

名师提示(1)对于长方体相邻两个面的展开图，一定要注意打开的是哪一个侧面，比较三种打开方式的路径长度，得到最短路径.

(2)勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，是数形结合的一个典范

(3)直角三角形的判别条件可以应用到实际生活中，也就是把一些实际问题转化为数学问题来解决。

例1 两个全等的长方形如图1-1-1放置，可验证勾股定理.连接AC,C A '，C C '，设AB=a ，BC=b ，AC=c ，请利用四边形D C BC ''的面积验证勾股定理222c b a =+.

例2 (1)在下列数组①3，4，5；②4，5，6；③5，12，13；④6，8，10；⑤7，40，41；⑥8，15，17；⑦10，24，26 中，勾股数组有：______________；基本勾股数组有_____________。

(2)已知ABC ∆中，o B 90=∠，C B A ∠∠∠,,的对应边分别是c b a ,,，且12,5==b a ，则=2c

(3)已知一直角三角形中有两边长分别为3和4，第三边的平方为

例3已知，如图1-1-2，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90°，求四边形ABCD 的面积

例4 如图1-1-4，已知在△ABC 中，AB=10，BC=21，AC=17，求BC 边上的高AD

的长.

例5 （1）已知Rt△ABC的两直角边AC=5，BC=12，D是BC上一点．当AD是∠A 的平分线时，求CD的长？

（2）如图1-1-5，一张长为8cm,宽为4cm的矩形纸片ABCD沿EF折叠，点C恰好落在点A上，求AE的长。

（3）如图1-1-6,将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F点处,已知AB=3,BC=4,求图中阴影部分的面积.

．