连续函数的运算 闭区间上连续函数的性质

第六讲

Ⅰ 授课题目：

§1.9连续函数的运算与初等函数的连续性

§1.10闭区间上连续函数的性质

Ⅱ 教学目的与要求：

1明确初等函数连续性的结论；会利用初等函数连续性求函数的极限。 2掌握闭区间上连续函数的性质

Ⅲ 教学重点与难点：

重点：会利用初等函数求函数的极限及介质定理

难点：介值定理的应用

Ⅳ 讲授内容：

§1.9连续函数的运算与初等函数的连续性

一、连续函数的和、差、积、商的连续性

定理1 若)(x f 和)(X g 在点0X 连续，则它们的和（差）g f ±，积f g ⋅及商g f （当连续时）都在点0)(00x g x ≠

二、反函数与复合函数的连续性

定理2 如果函数)(x f y =在区间x I 上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的

反函数)(1y f x -=也在对应的区间{}x x I x x f y y I ∈==),(|上单调增加（或单调减

少）且连续。如sin y x =与arcsin y x =

定理3 设函数⎣⎦)(x g f y =由函数)(u f y =与函数)(x g u =复合而成，,00

)(g f d x U ⋅⊂

若0)(lim 0u x g x x =→，而函数)(u f y =在0u u =连续，则[])()(lim )(lim 000u f u f x g f u u x x ==→→ 例3 求93lim

23--→x x x 解 932--=x x y 可看作由u y =与9

32--=x x u 复合而成，因为6193lim 23=--→x x x ，而函数u y =在点6

1=u 连续，所以 9

3lim 23--→x x x =93lim 23--→x x x =6661= 定理4 设函数⎣⎦)(x g f y =由函数)(u f y =与函数)(x g u =复合而成，,00

)(g f d x U ⋅⊂若函数)(x g u =在0x x =连续，且00)(u x g =，而函数)(u f y =在0u u =连续，则复合函数⎣⎦)(x g f y =在0x x =也连续。

三、初等函数的连续性：

结论1 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的

结论2 一切初等函数在其定义域内都是连续的

例2 求x

x x 11lim 20-+→ 解 020)

11()11)(11(lim 11lim 222020==++++-+=-+→→x x x x x x x x 例3 求x

x a x )1(log lim 0+→ 解 a

e x x x a x a x a x ln 1log )1(log lim )1(log lim 100==+=+→→ §1.10 闭区间上连续函数的性质

一、有界性与最大最小值定理（最值定理）

定理1：在闭区间上连续的函数在该区间上有解且一定能取得它的最大值和最小值

二、零点定理与介值定理

定理2（零点定理）：设函数)(x f 在闭区间[]b a f , 上连续，且)(a f 与)(b f 异号（即

0)()(

，那么在开区间),(b a 内至少有一点δ使0)(=δf 定理3（介值定理）：设函数在闭区间],[b a 上连续，且这区间的端点取不同的函数值

注：以上两个定理有两个共同性质，第一，所论区间为闭区间；第二，所论函数在此闭区间上连续，二者缺一不可。例：验证方程之必有一根。与在2

1045x x =A a f =)(及B b f =)(，那么，对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间),(b a 内至少有一点ξ，使得)()(b a c f <<=ξξ

注：闭区间上的连续函数满足最大（小）值定理、介值定理、零点定理，这些性质常可用于证明某些等式和不等式；判定某些方程的根的存在性和根的范围等。 例4 证明：03323=+--x x x 在区间)4,2(),2,0(),0,2(-内分别恰有一个根。

例5 证明：0152=+-x x 至少有一个正根。

例6 证明方程531x x -=至少有一个根介于1,2之间。

例7 证明方程sin ,(0,0)x a x b a b =+>>至少有一个不超过a b +的正根。

证明：设()sin f x x a x b =--，显然()f x 在[0,]a b +上连续，且(0)0f b =-< ()sin()[1sin()]0f a b a b a a b b a a b +=+-+-=-+≥，若()0f a b +=，则a b +即是所求正根，若()0f a b +>，由零点存在定理知，至少有存在一个(0,)a b ξ∈+，使()0f ξ=

Ⅴ 小结与提问

小结：一切初等函数在其各自定义与内连续。闭区间上连续函数的性质很重要，要弄清定理的条件与结论以积极和解释.

提问:

1. 如何判定)(x f 在0x 处的连续性？

2. 如何判断函数的间断点？ Ⅵ 课外作业：P 73 1，2