习题课2. ppt

m! m k 于是 P (Y k ) e C m p k (1 p ) n k m k m! m m! e p k (1 p ) m k k! ( m k )! m k m!
( p ) k m k e (1 p ) m k k! m k o ( m k )!
( 3) 已知某天有 人购物，求该天恰有 ( m k )人 k m 进店的概率
m 解：（ ）P (Y m) Cn p m (1 p) nm，即Y ～ B( n, p) 1
（2）每天购物人数Y的可能值为 0,1, 2, , X ( X 为进 店人数)，由题意X ～ P ( ), Y ～B( n, p)
( 2)所求概率P P (T 8) 1 F (8) e 8
P[(T 16) (T 8)] ( 3)所求概率Q P (T 16T 8) P (T 8) P (T 16) 1 F (16) e 8 P (T 8) 1 F (8)
二、d.r.v.的概率分布
X P
x1 p1
x2 p2

xn pn

必须掌握的分布： 两点分布，二项分布，超几何分布，泊松分布，几何分布 1. 牢记分布列及其实际模型 2. 近似计算： 超几何分布 二项分布 泊松分布
三、c.r.v.的概率分布
X ~ f ( x ),
因此有
F ( x)
P (a X b) f ( x )dx ,
2. 公式法
X ~ f X ( x ),
y g( x ) 单调，且有反函数 x h( y ),
a yb else
Y g( X ) 的p.d.f.
f X [h( y)] h( y) fY ( y) 0
此公式可推广至g(x)逐段单调的情形。
例1：连续射击直到恰好命中两次目标为止，假设各次 射击命中目标的概率都等于p，试求射击次数X的概率分布。
又知 P ( X m )
m
e
( p) k (1 p ) ( p) k p e e e k 0,1, k! k! 可见，每天购物人数Y服从参数p的Poisson 分布。
（3）所求概率为条件概率
P ( X m ) P (Y k X m ) P ( X mY k ) P (Y k )
计算结果表明：P (T 16 T 8) P (T 8)，即在已
无故障工作8小时的条件下，再无故障工作8小时的条件概 率，等于无故障工作8小时的无条件概率，这种性质叫做 “无后效性”，也就是说，设备以前曾经无故障使用的时间，
不影响它以后使用寿命的统计规律。在连续型分布中只
有指数分布具有这种性质，这就决定了指数分布在排队论 及可靠性理论中的重要地位。
障的次数 N ( t )服从参数为 t的泊松分布 (1)求相继两次故障之间时 间间隔 T的概率分布； ( 2)求设备无故障工作8小时的概率； ( 3)求在设备已无故障工作 小时的情形下，再无故 8
障工作8小时的概率。
解： )求概率分布，由题目所 Biblioteka Baidu1 给的条件，求T的分布
函数。
当t 0时，由于T是非负的随机变量， 故有F ( t ) P (T t ) 0
则，P (Y k ) P ( X k Y k ) P ( X m Y k ) P ( X m) P (Y k X m)
m k m k

而当 X m时，Y ～ B( m, p)
k 因此 P (Y k X m ) Cm p k (1 p) mk
当t 0时，事件“ t”表示相邻两次故障的 T 时间间隔
不大于t，即在t长的时间内至少发生一 次故障，即N ( t ) 1, 反之，若N ( t ) 1，说明在t长的时间内发生了故障 ，即相邻
两次故障的时间间隔T t，因此有 F ( t ) P (T t ) P[ N ( t ) 1]
例2：向半径为r的圆内均匀投掷一随机点，假设点不可能 落到圆外，且落入圆内任何区域内的概率只与其面积有关并 与之成正比。试求 （1）随机点的落点到原点的距离R的分布函数F(x); （2）r.v. R的概率密度f(x).
1 例3：设r.v.X的绝对值不大于1， P ( X 1) , 8 1 P ( X 1) , 在 1 X 1 的条件下，X在任意区间 4
(a, b) [1,1] 取值的概率与b – a成正比，求X的分布函数。
例4：假设有8件独立工作的家用电器设备，启动时间是 随机的。每件每小时平均使用10分钟，而电力只能保证5件 同时使用，求用电超负荷的概率并求平均多少分钟出现一 次超负荷情况？
例5：假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故
习 题 课2
● 主要内容
一、r.v.及其概率分布
1. r.v. —— 样本点的函数
X X ( ),
2. 概率分布 —— r.v.的值域及其各个可能值或在其值域 内各部分取值的概率此二者的总称。 3. 分布函数：F ( x ) P ( X x ), x (, )
P (a X b) F (b) F (a ) P ( X a ) F (a ) F (a 0) P (a X b) F (b) F (a 0)
m
m!
e
m! p k (1 p ) m k k! ( m k )! ( p ) k p e k!
(m k )
e (1 p ) [ (1 p )]m k ( m k )!
例8：假设某设备开机后无故障工作的时间X服从参 数等于1/5的指数分布，设备定时开机，出现故障时自动 关机，而在无故障的情形下工作2小时便关机。试求该设 备每次开机无故障工作时间Y的分布函数。
a
b
f (t )dt ,
x
F ( x ) f ( x )
必须掌握的分布： 均匀分布，指数分布，正态分布，伽马分布 牢记分布的d.f. 及p.d.f. 四、r.v. 函数的分布（重点是c.r.v.) 1. 分布函数法： Y g( X ),
FY ( y ) P (Y y ) P ( g( x ) y ) 利用X的分布求此概率
例6：设事件A,B独立，事件C满足 AB C , A B C ,
证明：P( A) P(C ) P( AC )
例 7：设每天进入某商店的 人数X为服从参数 ( 0 ) 的Poisson 分布的随机变量，已知 在进店的顾客中，每人 购物的概率为p( 0 p 1)且各个顾客购物与否相 互独立。 (1)若某天有n人进店，求恰有m( 0 m n)人购物的概率； ( 2)求每天购物人数Y的概率分布；
( t ) k t 因为 P[ N ( t ) k ] e , k 0,1, 2, k!
所以当 t 0时，有 F ( t ) 1 P[ N ( t ) 1] 1 e t
1 e t 于是T的分布函数为F ( t ) 0
t0 t0
可见，T服从参数为的指数分布。