极点与极线视角下的高考圆锥曲线试题

a2b2(b2 − y02) y02(b2 + a2k2)
+
b2x0
·
2ky0a2b2 y02(b2 + a2k2)
(b2
+
kx0y0
−
y02)
·
a2b2(b2 − y02) y02(b2 + a2k2)
=
2b2 b2 − y02 .
推论 3 圆 C : x2 + y2 = r2 在点 P (x0, y0) 处的切线与
于 N , O 为原点, −Q−M→ = λ−Q−→O, −Q−→N = µ−Q−→O, 则 1 + 1 为定 λµ
2b2 值 b2 − y02 .
证明 处的切线
x2 y2
椭圆 PQ
+ = 1(a
a2 b2 的方程为 ( b2 )
x0x a2
> +
b> y0y b2
0) 在点 P (x0, y0) = 1, 由 已 知 得
=
y0(x1 − x0)
y0
y0
λ
(b2
b2(x1 − x0) + kx0y0 − y02)x1
.
同理可得
1 µ
=
(b2
b2(x2 − x0) + kx0y0 − y02)x2
.
所以
1 λ
+
1 µ
=
2b2x1x2 − b2x0(x1 + x2) (b2 + kx0y0 − y02)x1x2
=
2b2
·
+
b2
)2
=
a2b2,
y0
整理得 y02(b2 + a2k2)x2 + 2ky0a2b2x + a2b2(b2 − y02) = 0.
所以 ∆ > 0, 且
x1
+ x2
=
−
2ky0a2b2 y02(b2 + a2k2)
,
x1
x2
=
a2b2(b2 y02(b2 +
− y02) a2k2)
.
又因为直线 P A, P B 均与 y 轴相交, 所以直线 P A, P B 的斜
述.
2019 年第 1 期 (上)
中学数学研究
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如图 1, 由几何定义可知: (1) 若连接 M N 交圆锥曲线于
点 A, B, 则 P A, P B 恰为圆锥曲线的切线; (2) 若点 P 与直
线 M N 为圆锥曲线的一对极点与极线, 记过极点 P 的两割
线 EF, GH 与圆锥曲线的交点形成的四边形为 EF HG, 则
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中学数学研究
2019 年第 1 期 (上)
极点与极线视角下的高考圆锥曲线试题
广东省东莞中学 (523005) 于 涛
摘要 文章简述了极点与极线的概念, 进行了概念的简 单解读, 在定义和三个基本性质的基础上, 证明了三个衍生 性质, 并按照文中定义和性质的呈现顺序, 将极点与极线的 知识应用于高考真题的求解, 体现了高考真题背景的深刻性 和统一性.
x0), 令 x (
以 M 0,
= 0, 解 得 y x1y02 − kx1x0y0
= x1y02
−
b2x0
) .
− kx1x0y0 − b2x0 , y0(x1 − x0)
−−→
−−→
由 QM = λQO,
所 得
y0(x1 − x0)
x1y02 − kx1x0y0 − b2x0 − b2
b2
1
= − · λ, 所 以
y1y2
=
2y02 − 2 ·
y02
−
y0
·
2p k
py0
k
+
py0 k
= 2.
推论 2
x2 y2 椭圆 a2 + b2 = 1(a > b > 0) 在点 P (x0, y0)
处的切线与 y 轴交于点 Q, 过点 Q 的直线 l 与椭圆 C 有两个
不同的交点 A, B, 且直线 P A 交 y 轴于 M , 直线 P B 交 y 轴
P (x0, y0) 处的切线与 y 轴交于点 Q, 过点 Q 的直线 l 与双曲
线 C 有两个不同的交点 A, B, 且直线 P A 交 y 轴于 M , 直线
PB
交
y
轴于
N,
O
为原点,
−−→ QM
=
λ−Q−→O,
−−→ QN
=
µ−Q−→O,
则
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2b2
λ + µ 为定值 b2 + y02 .
推论 3 及推论 4 可以类比推论 2 进行证明, 此处不再赘
1, P 是 不 在 圆 锥 曲 线 上 的 点,
过点 P 引两条割线依次交
圆 锥 曲 线 于 四 点 E, F, G, H,
连接 EH, F G 交于点 N, 连接
图1
EG, F H 交于点 M , 则直线 M N 为点 P 对应的极线. 特别
地, 若 P 是圆锥曲线上的点, 则过点 P 的切线即为极线. 同
x0y0 ̸= 0, 且 Q
0, y0
, 设 A(x1, y1), B(x2, y2), 直 线 l
b2
显 然 不 能 与 x 轴 垂 直, 设 其 方 程 为 y = kx + , 联 立

y = kx +
b2 ,
y0

x2 y2 a2 + b2 = 1,
y0
消去 y 得:
( b2x2+a2 kx
极线 M N 与两对角线 EH, F G 三线共点. 定 义 2 (代 数 定 义) 已 知 圆 锥 曲 线 Γ : Ax2 +
关键词 极点; 极线; 调和共轭; 性质; 圆锥曲线 近年来, 不少高考解析几何试题以极点、极线为背景, 堪 称出现频率最高的背景知识. 文 [1] 介绍了极点与极线的概 念及基本性质, 笔者进行了进一步研究, 证明了若干与圆锥 曲线极点、极线有关的性质, 与读者分享.
1. 极点与极线的定义
定 义 1 (几 何 定 义) 如 图
y 轴交于点 Q, 过点 Q 的直线 l 与圆 C 有两个不同的交点
A, B, 且直线 P A 交 y 轴于 M , 直线 P B 交 y 轴于 N , O 为
原点,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
−−→ QM
=
−−→ λQO,
−−→ QN
=
−−→ µQO,
则
1 λ
+
1 µ
为定值
2r2 r2 − y02 .
推论 4
x2 y2 双 曲 线 a2 − b2 = 1(a > 0, b > 0) 在 点
率均存在, 即 x1 ̸= x0, x2 ̸= x0. 因为
(
)
kP A
=
y1 − y0 x1 − x0
=
kx1
+
b2 y0
− y0 = kx1y0 + b2 − y02 ,
x1 − x0
y0(x1 − x0)
所 以 直 线 P A 的 方 程 为 y − y0
=
kx1y0 + b2 − y02 (x − y0(x1 − x0)
理, 直线 P N 为点 M 对应的极线, 直线 P M 为点 N 对应的
极线. M N P 称为自极三角形 (参见 [1]).
同理可得 1 = y0 + y2 . 所以 µ y0 − y2
1 + 1 = y0 + y1 + y0 + y2 λ µ y0 − y1 y0 − y2
=
y02
−
2y02 − 2y1y2 y0(y1 + y2) +