分形的量化——分数维

1. 欧氏几何的长度、面积、体积等测度对分形刻划无效

——如何研究分形？

维数是几何学和空间理论的基本概念。欧氏几何研究的规则图形，长度、面积、体积是它们最合适的特征量，但对海岸线这类不规则的分形，维数才能很好地刻划它们的复杂程度，因而维数才是最好的量化表征。Mandelbrot提出了一个分形维数的概念。

2. 维数观念的历史回顾

（1）传统的欧氏维数

欧氏几何学、欧氏空间（即日常接触的普通空间）的维数概念

点---0维；

线---1维；

面---2维；

体---3维。

在欧氏几何学中，要确定空间一个点的位置，需要3个坐标，即要用三个实数（X、Y、Z）来表示立体图形中的一个点，坐标数目与空间维数相一致，立体图形的维数为3。要确定平面一个点的位置，需要2个坐标，坐标数目与平面维数相一致，平面图形的维数为2。相应地，直线的维数为1，点的维数为0。这种维数概念和人们的经验相一致，被称为经验维数或欧氏维数，或经典维数，用字母d表示。它的值为整数。

（2）传统维数观念的危机（1890年）

（3）维数研究的重要成果——拓扑维数

这是数学的一个重要分支——拓扑学中的维数概念。拓扑学也称为橡皮几何学，它研究几何图形在一对一的双方连续变换下不变的性质。比如画在橡皮膜上的两条相交曲线，对橡皮膜施以拉伸或挤压等形变，但不破裂或折叠时，它们“相交”始终是不变的，几何图形的这种性质称为拓扑性质。画在橡皮膜上的三角形，经过拉伸或挤压可以变为一个圆，从拓扑学的观点看，三角形和圆有相同的拓扑维数。对于任何一

个海岛的海岸线，经过某些形变总可以变为一个圆，因而海岸线与圆具有相同的拓扑维数Dt=1。在欧氏几何中，圆作为一种曲线，它的经典维数d=1。可以论证对一个几何图形，恒有Dt=d。拓扑维数Dt的值也为整数。

（4）豪斯多夫连续空间理论和分数维数（1914年）

分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。

分形是与欧氏几何图形截然不同的另一类图形，它的维数一般是分数，所以分形的维数被称为分数维。由于分形又分为规则分形、不规则分形等许多种类，所以为了测出各类不同分形的维数往往必须使用不同的方法，因而得出多种不同名称的维数。在这些维数中，最重要的是豪斯多夫维数。它之所以重要，是因为它不仅适用于分形，也适用于欧氏几何图形。只不过当它用于欧氏几何图形时，值为整数，而用于分形时，值一般为分数。

3. 分数维数的合理性

（1）直观几何的启示

一条直线段是一维的，由四条这样的直线段组成的正方形是二维的。六个这样的正方形组成的正方体是三维的。直线的长度数值，正方形的面积数值和立方体的体积数值都和我们测量的单位有关。测量的单位也往往是我们所能分辨的最小单位。假设我们的分辨能力增加了一倍，因此我们把直线段长度单位减小到原单位的一半，直线段长度的计量值就变为原来的两倍，正方形面积就变为原来的四倍，体积则变为原来的八倍。我们有下式:

log4/log2=2 log8/log2=3

这里的二和三不是巧合，这是另一种维数的定义:测度维的概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。

（2）豪斯多夫维数的基本思想

分维的概念我们可以从两方面建立起来：

一方面，我们首先画一个线段、正方形和立方体，它们的边长都是1。将它们的边长二等分，此时，原图的线度缩小为原来的1/2，而将原图等分为若干个相似的图形。其线段、正方形、立方体分别被等分为2^1、2^2和2^3个相似的子图形，其中的指数1、2、3，正好等于与图形相应的经验维数。

一般说来，如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组成，有：

a^D=b,?D=logb/loga

的关系成立，则指数D称为相似性维数，D可以是整数，也可以是分数。

另一方面，当我们画一根直线，如果我们用0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它，其结果是0，因为直线中不包含平面。那么，用怎样的尺度来量它才会得到有限值哪？看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直线的维数为1（大于0、小于2）。与此类似，如果我们画一个Koch曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是0（此曲线中不包含平面），

那么只有找一个与Koch曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于1、小于2，那么只能是小数（即分数）了，所以存在分维其实，Koch曲线的维数是1.2618……。

如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组成，有：a^D=b

D即维数D=logb/loga

分数维是衡量分形的基本参数之一。

（3）对单位直线段n等分，每段长为r ，有n × r 1 = 1

对单位正方形n等分，小正方形边长为r，有n × r 2 = 1

对单位正方体n等分，小正方体边长为r，有n × r 3 = 1

三个等式中r 的幂次实际上是该几何体能得到定常度量的空间维数，一般地n × r d s = 1

ds = -ℓn n / I n r, ds称为相似维数

4. 分数维的计算

（1）对科赫曲线：n = 4 n，每段长(1/3 ) n

ds = - ℓn 4 n /ℓn(1/3 ) n = ℓn 4 /ℓn3 ≈1.2618

（2）对谢尔宾斯基垫片：n = 3 n，每边长( 1/2 ) n

ds = - ℓn 3 n / ℓn（1/2）n = ℓn 3 /ℓn2 ≈1.5850

（3）对康托尔三分集：n = 2 n，每段长(1/3 ) n

ds = - ℓn 2 n / ℓn（1/3）n = ℓn 2 / ℓn3 ≈0.6309

（4）对门杰海绵：n = 20 n，小正方体每边长(1/3 ) n

ds = - ℓn 20 n / ℓn (1/3 ) n = ℓn 20 / ℓn3 ≈2.7268