分形的量化——分数维
分形的量化——分数维
1. 欧氏几何的长度、面积、体积等测度对分形刻划无效——如何研究分形？维数是几何学和空间理论的基本概念。
欧氏几何研究的规则图形，长度、面积、体积是它们最合适的特征量，但对海岸线这类不规则的分形，维数才能很好地刻划它们的复杂程度，因而维数才是最好的量化表征。
Mandelbrot提出了一个分形维数的概念。
2. 维数观念的历史回顾（1）传统的欧氏维数欧氏几何学、欧氏空间（即日常接触的普通空间）的维数概念点---0维；线---1维；面---2维；体---3维。
在欧氏几何学中，要确定空间一个点的位置，需要3个坐标，即要用三个实数（X、Y、Z）来表示立体图形中的一个点，坐标数目与空间维数相一致，立体图形的维数为3。
要确定平面一个点的位置，需要2个坐标，坐标数目与平面维数相一致，平面图形的维数为2。
相应地，直线的维数为1，点的维数为0。
这种维数概念和人们的经验相一致，被称为经验维数或欧氏维数，或经典维数，用字母d表示。
它的值为整数。
（2）传统维数观念的危机（1890年）（3）维数研究的重要成果——拓扑维数这是数学的一个重要分支——拓扑学中的维数概念。
拓扑学也称为橡皮几何学，它研究几何图形在一对一的双方连续变换下不变的性质。
比如画在橡皮膜上的两条相交曲线，对橡皮膜施以拉伸或挤压等形变，但不破裂或折叠时，它们“相交”始终是不变的，几何图形的这种性质称为拓扑性质。
画在橡皮膜上的三角形，经过拉伸或挤压可以变为一个圆，从拓扑学的观点看，三角形和圆有相同的拓扑维数。
对于任何一个海岛的海岸线，经过某些形变总可以变为一个圆，因而海岸线与圆具有相同的拓扑维数Dt=1。
在欧氏几何中，圆作为一种曲线，它的经典维数d=1。
可以论证对一个几何图形，恒有Dt=d。
拓扑维数Dt的值也为整数。
（4）豪斯多夫连续空间理论和分数维数（1914年）分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。
为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。
分形维数算法
分形维数算法．分形维数算法分形包括规则分形和无规则分形两种。
规则分形是指可以由简单的迭代或者是按一定规律所生成的分形，如Cantor集，Koch曲线，Sierpinski海绵等。
这些分形图形具有严格的自相似性。
无规则分形是指不光滑的，随机生成的分形，如蜿蜒曲折的海岸线，变换无穷的布朗运动轨迹等。
这类曲线的自相似性是近似的或统计意义上的，这种自相似性只存于标度不变区域。
对于规则分形，其自相似性、标度不变性理论上是无限的（观测尺度可以趋于无限小）。
不管我们怎样缩小（或放大）尺度（标度）去观察图形，其组成部分和原来的图形没有区别，也就是说它具有无限的膨胀和收缩对称性。
因些对于这类分形，其计算方法比较简单，可以用缩小测量尺度的或者不断放大图形而得到。
分形维数D=lnN(λ)/ln(1/λ) （2-20）如Cantor集，分数维D=ln2/ln3=0.631；Koch曲线分数维D=ln4/ln3=1.262;Sierpinski海绵分数维D=ln20/ln3=2.777。
对于不规则分形，它只具有统计意义下的自相似性。
不规则分形种类繁多，它可以是离散的点集、粗糙曲线、多枝权的二维图形、粗糙曲面、以至三维的[26]。
点集和多枝权的三维图形，下面介绍一些常用的测定方法（1）尺码法用某个选定尺码沿曲线以分规方式测量，保持尺码分规两端的落点始终在曲线上。
不断改变尺码λ，得到一系列长度N（λ），λ越小、N越大。
如果作lnN～lnλ图后得到斜率为负的直线，这表明存在如下的幂函数关系-D（2-21） N～λ上式也就是Mandelbrot在《分形：形状、机遇与维数》专著中引用的Richardson公式。
Richardson是根据挪威、澳大利亚、南非、德国、不列颠西部、葡萄牙的海岸线丈量结果得出此公式的，使用的测量长度单位一般在1公里到4公里之间。
海岸线绝对长度L被表示为：1-D（2-22）L=Nλ～λ他得到挪威东南部海岸线的分维D≈1.52，而不列颠西部海岸线的分维D≈[27]。
[转载]分形---自相似性
![[转载]分形---自相似性](https://img.taocdn.com/s3/m/e588f34e3a3567ec102de2bd960590c69ec3d885.png)
[转载]分形---⾃相似性原⽂地址：分形---⾃相似性作者：凯分形, 简单的讲就是指系统具有“⾃相似性”和“分数维度”。
所谓⾃相似性即是指物体的（内禀）形似,不论采⽤什么样⼤⼩的测量“尺度”，物体的形状不变。
如树⽊不管⼤⼩形状长得都差不多, 即使有些树⽊从来也没见过, 也会认得它是树⽊；不管树枝的⼤⼩如何，其形状都具有⼀定的相似性。
所谓分形的分数维, 是相对于欧⽒⼏何中的直线、平⾯、⽴⽅⽽⾔的, 它们分别对应整数⼀、⼆、三维，当然分数维度“空间”不同于⼈们已经习惯的整数维度空间，其固有的逻辑关系不同于整数维空间中的逻辑关系。
说起来⼀般⼈可能不相信，科学家发现海岸线的长度是不可能（准确）测量的，对⼀个⾜够⼤的海岸线⽆论采⽤多么⼩的标尺去测量其长度发现该海岸长度不趋于⼀个确定值！⽤数学语⾔来描述即是海岸线长度与测量标尺不是⼀维空间的正⽐关系，⽽是指数关系，其分形维是1.52；有理由相信海岸线的形状与这个分数维有内在关系。
⾃相似性⼜揭⽰了⼀种新的对称性，即画⾯的局部与更⼤范围的局部的对称，或说局部与整体的对称。
这种对称不同于欧⼏⾥德⼏何的对称，⽽是⼤⼩⽐例的对称，即系统中的每⼀元素都反映和含有整个系统的性质和信息。
⽆论放⼤多少倍，图象的复杂性依然丝毫不会减少。
但是，注意观察上图，我们会发现：每次放⼤的图形却并不和原来的图形完全相似。
这告诉我们：其实，分形并不要求具有完全的⾃相似特性。
分形能够保持⾃然物体⽆限细致的特性，所以，⽆论你怎么放⼤，最终，还是可以看见清晰的细节。
周期性是⾃然界发展变化的基本规律之⼀，经济发展周期性表现为描述经济发展的数量指标“时好时坏”波浪式变化, 并不是简单的重复；总体上讲⼈类社会的经济发展是波浪式前进的, 历史是不会逆转的。
随机波动曲线具有“⾃相似性”。
价格波动曲线的分形，与海岸线同类, 都具有1.618（左右）的分形维特性，其分形形态不可能象科赫曲线⼀样表现为精确的⼏何图形，随机性是这种曲线⾛势的基本特征；曲线⾃相似性的意义是突出随机过程中的关联效应。
混沌与分形（二）：分形的奇迹——分数维的曲线
混沌与分形（二）：分形的奇迹——分数维的曲线混沌的秘密，不可思议地隐藏在分形的世界里。
分形（fractal），该术语最早是由美国数学家曼德勃罗（Mandelbrot）于1973年提出。
曼德勃罗（1924-2010）（图片来源网络）在其名著《大自然的分形几何学》中，曼德勃罗开创了分形几何学。
分形几何以及与其相关的非线性理论，很快就显示出强大的生命力，其影响迅速遍及科学和社会的每个角落。
许多学科中的难题，因为分形的介入而焕然一新。
如梦初醒的科学家才发现，原来分形的身影已经在世界上默默存在了数亿年，从地球诞生始就向大自然昭示其深邃的奥秘。
植物的分形（图片来源：网络）生活中常见的花菜、雷雨过后的闪电、凛冬漫天飞舞的雪花、贝壳身上的螺旋图案，小至各种植物的结构及形态，遍布人体全身纵横交错的血管，大到天空中聚散不定的白云、连绵起伏的群山，它们都或多或少表现出分形的特征。
乍看起来杂乱无章的分形，原来是大自然的基本存在形式，无处不在，随处可见。
分形如此广泛地分布在自然界中，却又与千百年来的智者擦肩而过。
它的发现，正式揭开了大自然最迷人和动人的奥义之一。
早在两千多年前的古希腊时代，人们最杰出的成就来自数论与几何，特别是欧几里得几何的建立，更使得几何学成为最严格和易于把握的公理化体系。
几何研究的对象是图形。
为了研究不同的几何对象，人们倾向于把它们进行归类。
从点、线、面到立体，人们的思维逐渐扩展开来。
渐渐地，人们意识到区别几何图形的重要分水岭：维度。
直线和曲线是一维的图形，平面则是二维的图形，立体则属于三维的空间。
一切都是那么的直观，历史在平静地流淌。
直到有一天，一件匪夷所思的事打破了人们对维度的信念。
1890年，意大利数学家皮亚诺（Piano）构造了一种奇怪的曲线，该曲线自身并不相交，但是它却能通过一个正方形内部所有的点。
换句话说，这条曲线就是正方形本身，进而应该拥有和正方形一样的面积！这个怪异的结论让当时的数学家大吃一惊，更让数学界感到深切的不安：如此一来，我们拿什么来区分曲线和平面？这条曲线究竟是一维，还是二维？经典的几何在它面前束手无策。
第十一章 分形结构和分数维
dB
lim
0
ln N ( ,F ln(1/ )
)
,
称为计盒维数。
数值计算和实验中广泛采用
一些无规分形的维数 （1）海岸线和边界线(Ruler)
20世纪20年代，英国科学家 L.F.Richardson 研究海岸线的长
度时，总结了许多人的研究结果，发现不同长度的标尺 测r得的长度
不同。N (r) 海岸线和分界线实质上是分形，它们十分曲折，取一大段放大后仍然 是曲折的，与科克曲线比较，属于无规分形
分形“无定形，无形状可言”！因此用简单的欧式几何是无法描述其 性质的。
3
分形几何的创始人
Benoit Mandelbrot
Oxford的Newton博物馆 4
博学多才的大师
1924年出生于波兰华沙; 1936年移居法国巴黎; 1948年在美国加州帕萨迪纳获航空学硕士学位; 1952年在巴黎大学获数学博士学位; 曾经是普林斯顿,日内瓦,巴黎的访问教授,哈佛大学”数学实践讲 座”教授,IBM公司的研究员.
二、分形及分维
定义：具有某种自相似性结构的集合称为分形。 Fractal一词是B.B.Mandelbrot 1975年提出的。
Koch曲线
Sierpinski 地毯
分形三要素
• 形状 • 维数（随尺度变化的一个有限、定量描述） • 随机性（随机产生、动力学）
维数 (1) 相似维
N (1/ 4) 41
分形(Fractals)
内容提要
• 分形的例子 • 分形的定义及分维 • 产生分形的数学模型 • 产生分形的物理模型
芒德罗布(B.Mandelbrot):为什么几何学常常被说为‘冷酷无情’和 ‘枯燥无味’的？原因在于它无力描写云彩、山岭、海岸线或树木 的形状。云彩不是球体、山岭不是锥体、海岸线不是圆周、树皮并 不光滑、闪电更不是沿直线传播的……。
分形维数的物理意义
分形维数的物理意义分形维数是分形几何学中一个非常重要的概念，它描述了分形物体的空间结构。
通过分形维数，我们可以更加深刻的理解分形物体的性质和特征，从而对自然界中的各种物体和现象进行更加精细的分析和研究。
下面，就让我们一起来探讨一下分形维数的物理意义吧。
一、分形维数是什么？分形维数是指用一个具有固定长度的测量单位来测量分形几何体的维数。
具体来说，比如我们用线段来测量曲线形状，这个曲线的维数就是1；用面积来测量圆的形状，这个圆的维数就是2。
但对于分形对象来说，这种简单的测量方式就行不通了，因为它们的形状十分复杂，具有不连续性和自相似性。
因此，我们需要寻找一种更加精细的测量方式来描述它们的结构和维数。
二、为什么需要分形维数？分形物体的特点在于它们具有尺度不变性和自相似性。
也就是说，无论在任何尺度下，这个物体的形态都是相似的，但又具有不同级别的“粗糙度”，这种形态和粗糙度特征的描述就需要分形维数来进行。
比如说，我们可以用分形维数来描述分形曲线的分形程度，或者用分形维数来描述海岸线的分形程度。
这些都是自然界中非常常见的分形物体，而分形维数的使用能够让我们更加准确地对其进行研究和分析。
三、分形维数的物理意义1、描述物体的内部结构使用分形维数可以描述物体的内部结构，因为它可以揭示物体在不同尺度下的自相似性和重复性。
比如说，使用分形维数可以研究骨骼和肺部的微观结构和特征，这些都可以被用于医学图像识别和疾病诊断中。
2、了解物体的生长和演化分形维数可以用于研究物体的生长和演化，因为在生物学和生态学领域中，许多生物体和环境现象都具有分形特征。
比如说，植物的生长和发展，森林的生态结构，乃至于一些社会现象都具有分形特征。
使用分形维数可以让我们更加准确地描述和研究这些现象。
3、研究物体的表面形态分形维数可以用于描述物体的表面形态，在材料科学和工程学中有着广泛的应用。
通过分形维数的测量和分析，可以得到材料表面的粗糙度参数和表面结构参数等信息，从而更好地理解和控制材料的表面性能和结构特征。
分形几何中的分形维数和分形几何的应用
分形几何是一种研究具有自相似性质的几何形状的数学分支，而分形维数是用来描述这些分形形状的维度的概念。
分形几何的应用涵盖很多领域，比如自然科学、工程技术、金融等。
在这篇文章中，我们将探讨分形维数以及分形几何的应用。
首先，我们来了解一下分形维数的概念。
在传统的几何学中，维度是用来描述几何图形的尺寸的性质。
比如，平面图形的维度是2，立体图形的维度是3。
但是分形几何中的图形具有自相似性质，即图形的一部分与整体具有相似的形状，因此无法用传统的整数维度来描述。
为了解决这个问题，引入了分形维数的概念。
分形维数是一种用来描述具有自相似性质的图形的尺寸的数学工具。
具体来说，分形维数分为Hausdorff维数和盒维数两种。
Hausdorff维数是一种用来描述图形的粗糙度的维度，而盒维数是一种用来描述图形的分形特性的维度。
通过计算分形维数，我们可以量化和比较不同的分形形状，进而深入研究它们的数学性质和物理特性。
分形几何的应用非常广泛。
在自然科学领域，分形几何可以用来描述和研究自然界中的复杂结构，比如云雾、河流、树木等。
通过分析和计算它们的分形维数，我们可以揭示它们的自相似性质和分形特征，进而深入理解自然界的复杂性。
在工程技术领域，分形几何可以应用于图像处理、信号处理、网络设计等方面。
例如，分形压缩算法可以利用图像的自相似性压缩图像数据，从而实现图像的高效传输和存储。
此外，分形天线设计可以通过利用分形几何的自相似性，实现较宽带、较小体积的天线性能。
在金融领域，分形几何可以应用于股票价格的预测和分析。
通过分析股票价格的分形结构和分形维数，可以揭示市场的复杂性和非线性特性，进而辅助制定投资策略和风险管理。
除此之外，分形几何还可以应用于人工智能、生物学、城市规划等领域。
例如，分形模型可以用来生成逼真的自然景观和虚拟世界。
另外，分形几何的概念也可以用来研究生物系统的形态和发育过程。
在城市规划中，分形几何可以用来研究城市的空间分布和交通网络的优化。
分形机遇和维数
分形是一类几何结构，其特点是具有自相似性，即某一部分的形状和整体的形状相似。
分形维数是一种用于度量分形复杂性的概念，而分形机遇则涉及到在分形结构中发现和利用的可能性。
1. 分形维数：•常见的维数：♦Euclidean（欧几里得）维数：大多数几何形状的维数，如直线的维数为1、平面的维数为2。
♦分数维数：分形通常有分数维数，表示分形的复杂性。
分数维数可以是非整数，反映了分形的自相似性和尺度不变性。
•计算分形维数：♦盒计数法（Box Counting）：通过在不同尺度下覆盖分形结构，计算所需的盒子数量，然后通过一些数学方法计算维数。
♦Hausdorff 维数：通过测量集合中点与点之间的最大距离，来定义分形的维数。
2. 分形机遇：•数据挖掘和分析：在分形结构中，可能存在未知的、有趣的模式和规律，可以通过数据挖掘方法发现。
分形机遇涉及到对这些模式的利用，可能带来新的见解和应用。
•图像处理和压缩：分形图像压缩算法利用分形结构的自相似性，将图像表示为一系列相似的子结构，实现高效的压缩。
•金融市场：分形机遇也可用于金融市场的分析，发现市场中的自相似模式，用于预测趋势或行为。
3. 分形维数与机遇的关系：•维数的解释：分形维数是度量分形复杂性的工具，较高的分形维数通常表示较复杂的结构。
这可能意味着在分形结构中存在更多的机遇和规律待发现。
•机遇的利用：分形机遇涉及到对分形结构的深入理解，以便更好地利用其中的模式和规律，无论是用于科学研究、数据分析还是应用开发。
总体而言，分形维数与分形机遇之间存在密切关系。
通过对分形结构的维数进行测量和理解，我们可以更好地把握分形中潜在的机遇，并利用这些机遇进行更深入的研究和应用。
统计自相似和分数维度
统计自相似和分数维度00分维概念的提出对于欧几里得几何所描述的整形来说，可以由长度、面积、体积来测度。
但用这种办法对分形的层层细节做出测定是不可能的。
曼德尔布罗特放弃了这些测定而转向了维数概念。
分形的主要几何特征是关于它的结构的不规则性和复杂性，主要特征量应该是关于它的不规则性和复杂性程度的度量，这可用“维数”来表征。
维数是几何形体的一种重要性质，有其丰富的内涵。
整形几何学描述的都是有整数维的对象：点是零维的，线是一维的，面是二维的，体是三维的。
这种几何对象即使做拉伸、压缩、折叠、扭曲等变换，它们的维数也是不变的；这种维数称为“拓扑维”，记为d。
例如当把一张地图卷成筒，它仍然是一个二维信息载体；一根绳子团成团，仍然是一维结构。
但曼德尔布罗特认为，在分形世界里，维数却不一定是整数的。
特别是由于分形几何对象更为不规则，更为粗糙，更为破碎，所以它的分数维（简称“分维”，记为D）不小于它的拓扑维，即D≥d。
维数和测量有密切关系。
如为了测一平面图形的面积，就要用一个边长为l、面积为l2的标准面元去覆盖它，所得的数目就是所测的面积。
如果用长度l去测面积，就会得到无穷大；而如果用l3去测这块面积，结果就是零。
这就表明，用n维的标准体ln去测量一个几何对象，只当n与拓扑维数d一致时，才能得出有限的数值。
如果n＜d，就会得到无穷大；如果n＞d，则结果为零。
分数维也是按照这个要求来定义的。
由于分形的复杂性有多种不同类型，所以可以提出不同定义的分维概念，从不同的角度表示分形的不规则性。
通常用的是“容量维”。
简单地说，分维所表示的不规整程度，相当于一个物体占领空间的本领。
一条光滑的一维直线，完全不能占领空间；但是“科赫曲线”却有无穷的长度，比光滑的直线有更多的折皱，拥挤在一个有限的面积里，的确占领了空间，它已不同于一条直线，但又小于一个平面。
所以它大于一维，又小于二维，它的容量维为1.2618，这看来是理所当然的。
海岸线的分维数通常在1.15到1.25之间。
分数维的原理及应用
分数维的原理及应用1. 什么是分数维？分数维（Fractal Dimension）是描述几何形状复杂程度的一种度量。
在数学上，分数维是通过计算几何形状的维数，来描述其分形特性的一个指标。
2. 分数维的原理分数维的原理源自于分形几何学。
分形几何学研究的是那些具有自相似性质的几何形状。
而自相似性质指的是一个几何形状的一部分在缩小或放大的过程中，与整体的形状相似。
将一个几何形状分解成无数个自相似的子集，每个子集都与整体形状相似但大小不同。
对于一个具有自相似性的形状，我们可以使用尺度变换来测量它的分数维。
分数维通过计算尺度变换的指数来反映几何形状的复杂度。
分数维越大，表示几何形状越复杂；分数维越小，表示几何形状越简单。
常见的几何图形如直线、平面和立体的分数维分别为1、2和3。
3. 分数维的应用3.1 地理学领域分数维在地理学领域有广泛的应用。
地球的地形具有分形特性，分数维可以用来描述地球表面的曲线、海岸线的错综复杂程度等。
通过计算海岸线的分数维，我们可以量化海岸线的不规则程度。
分数维可以帮助地理学家研究地理形态的演化过程，探索地理现象背后的规律性。
3.2 经济学领域分数维在经济学领域也有应用。
经济数据中的一些模式具有分形特性，通过计算数据序列的分数维可以揭示经济数据背后的复杂性。
分数维可以用来描述股市的波动性，揭示金融市场的自相似性。
通过分数维的计算，我们可以更好地理解市场的风险和波动。
3.3 图像处理分数维在图像处理领域也有广泛的应用。
分数维可以用来衡量图像的复杂程度，对图像进行分析和分类。
通过计算图像的分数维，我们可以判断图像的纹理复杂程度，进而用于图像的压缩和识别等应用。
4. 总结分数维作为一种描述几何形状复杂程度的度量指标，具有广泛的应用。
它在地理学、经济学和图像处理等领域都有重要的应用价值。
通过计算分数维，我们可以深入研究复杂的自然现象和人类活动，揭示背后的规律性。
分数维的应用将有助于我们更好地理解世界的复杂性，并提供切实可行的解决方案。
分形与分数维
2915.6 分形与分数维教学要求要求了解简单分形图形与朴素的分数维概念,并从中欣赏数学的美.知识点1.几个常见的分形图2.分数维数的概念5.6.1. 几个常见的分形图在近代数学的发展长河中, 与混沌密切相关的一门新的几何学诞生和发展起来了, 这就是分数维几何学. 1982年, 美国科学家曼德布罗特(B. Mandelbrot)出版了“自然界的分数维几何”一书, 从此, 分形或分数维就成了科学家们的一个热门话题.我们熟悉经典的维数概念, 知道点、直线、平面、立体分别是0 , 1 , 2 , 3 维的. 如果把时间变量添入我们生活的空间, 那么就出现了4维空间. 更一般地, 具有n 个自由度的对象, 就是n 维的. 这些维数都是非负整数. 但是在自然界又充满着许多人们熟悉的但又十分变幻莫测的现象, 它们涉及的几何图形无法用整数维数去解释. 比如天上多变的云彩, 地上河网水系,复杂形状的海岸线, 人体内的血管分布等等. 因此, 不要以为分数维概念是数学家头脑中凭空产生的, 它也是在人类生产实践、科学实验与艺术实践的推动下出现的.从数学本身来说, 经典的欧几里德几何研究圆规与直尺画的图形. 自牛顿~莱布尼兹创建微积分以来, 微分几何学研究光滑的即可微分的图形. 这些图形都具有特征长度, 如圆的半径, 正方形的边长, 可微曲线的弧长等等. 但是许多复杂的图形没有这样的特征长度, 但又有着明显的自相似或扩展对称性结构. 例如从集合论奠基者康托(Cantor)命名的康托集, 你将会看到, 它的长度为0, 但这个集合的点又与1维的实数集一样多. 你说它是0维呢, 还是1维呢? 无法解释. 只有分数维的理论才能给以科学的说明.我们不打算也不可能介绍纯理论的分数维概念, 只是从若干常见的分形图形初步了解分形或分数维几何的基本思想, 而且从中也将获得有趣的艺术欣赏, 体会数学的美感, 还可了解计算机对于艺术的强大功能.实验5.6.1 经典康托集.在区间 [ 0, 1 ]上, 截去中间的1 / 3,即开区间 32,31,得两个闭区间 ∪ 1,3231,0,其总长度为2/3; 在留下的两段中, 再截去它们各自中间的 1 / 3, 即两个开区间 ∪ 38,3732,31,得四个闭区间∪ ∪ ∪ 39,3837,3633,3231,0,其总长度为(2/3) 2; 如此继续, 一般地, 在第n 步, 截去2n -1开区间−− n n n n n n n 313 , 323 , , 38 , 37 , 32,31n L ,得2n 个闭区间, 其总长度为(2/3) n .当∞→n 时, 最后所留下的极限集称为康托集, 记作F . 简单地说, F 是从[0 , 1]减去无穷多个开区间得到的. 显然F 的长度等于032lim =∞→n n .另一方面,可以作出F 与实数集之间的一一对应来,也就是说, F 与实数集有同样多的点. 现在要问, F 的维数是多少? 是0, 还是1? 你再把康托292 集的构造过程用图表示出来.实验5.6.2 Weierstrass 函数.德国数学家K. Weierstrass ( 1815 ~ 1897 ) 在1872年发现了一个处处连续而又处处不可微的函数. 我们通常作函数的图象, 即使是分段连续的, 各段上也是光滑的, 即可微的. Weierstrass 函数的发现, 在数学史上具有重大意义, 它使人们确信, 直观的结论, 必须用严格的数学逻辑来论证, 直观只是为理性思维提供启迪, 当然这种启迪是十分必要的. 目前Weierstrass 函数常用的一种形式是())cos(1)()2(x b b x w kk k d −=∑+∞−∞=− , b > 1 , 1< d < 2 . (5.6.1) 对b = 1.5 , d = 1.2 , 1.5 , 1.8, 请你作出w (x )的图象.注意, (5.6.1)是极限函数, 作图时可取有限和. 例如可按下述程序作图:f [b_ , d_ ] := Sum [ b^( (d-2) k ) ( 1-Cos [b^k * x] ) , {k, -100, 100} ]f1 [x_ ] := f [ 1.5 , 1.8 ] ;Plot [ N [ f1 [ x ] ] , { x, 0, 1 } ]将得到图 5.24. 然后取定一组参数 ( b , d ) , 对同样的和, 但对不同的区间作图, 比如]1,0[∈x , [0, 0.2 ], [0, 0.04]. 你将看到这些图形的相似性, 后者是从前者截取的一部分, 这正是Weierstrass 函数图象的自相似性.图5.24实验5.6.3 Koch 雪花曲线Weierstrass 函数的构造过于复杂, 数学家们沿着这个方向继续深入的研究,V on Koch 于1904年用简单的初等方法构造出一种同样是处处连续又处处不可微的曲线, 封闭起来形状像雪花, 称为Koch ( 雪花 ) 曲线. 其构造过程如下:取定一条线段E 0 (不妨设为单位长), 以中间的 1/3 线段A 为边作正三角形,然后截去A , 得到由四条长1/3 的线段组成的折线E 1, 再对E 1的每一线段施行同样的手术, 得到折线E 2, 如此继续 ( 即用E 1代替E 0 ), 直至无穷. 则极限曲线k k E lim E ∞→=就是Koch 曲线. 用Mathematica 形成Koch 曲线 ( E k )的程序是:Clear[LSystem]LSystem[atom_,rules_,angle_,k_:3] :=Module[{g ={},x0,x1,y0,y1,a =0,ps ={},str,i},293 {x0,y0}={x1,y1}={0,0};str =atom;Do[str =StringReplace[str,rules],{k}];For[i =1,i<=StringLength[str],i++,c =StringTake[str,{i}];Switch[c,"F",(* Line one step forward *){x1,y1}={x0,y0}+{Cos[a],Sin[a]};AppendTo[g,Line[{{x0,y0},{x1,y1}}]];{x0,y0}={x1,y1},"f",(* Move one step forward *) {x0,y0}={x1,y1}={x0,y0}+{Cos[a],Sin[a]},"B",(* Line one step backward *){x1,y1}={x0,y0}-{Cos[a],Sin[a]}; AppendTo[g,Line[{x0,y0},{x1,y1}]];{x0,y0}={x1,y1}, "b",(* Move one step backward *){x0,y0}={x1,y1}-{x0,y0}-{Cos[a],Sin[a]},"T",(*Turn angle CCW *) a=a+angle, "t",(*Turn angle CW *)a =a-angle, "[",(* Save current state *)AppendTo[ps,{x1,y1,a}],"]",(* Restore saved state *) {x0,y0,a}={x1,y1,a}=Last[ps]; ps=Drop[ps,-1] ] ];Return[Graphics[g]]]Show[LSystem["F",{"F"->"FTFttFTF"},Pi/3]]例如 k = 1 , 2 , 3 , 4 时, 我们分别得到图5.25 ~ 5.28.图 5.25 : E 1 图5.26 : E 2图5.27 : E 3 图 5.28 : E 4294你能否从一个正三角形或正方形的边界封闭折线出发，运用E 1代替E 0的步骤， 作出Koch 曲线来？我们已经看到，产生Koch 曲线这种分形图形的决定性因素是图 5.25中的图形E 1. 因此我们把E 1称为这种分形的生成元. 如果采用生成元F 1( 见图5.29 ) , 则产生康托集.F 0F 1图5.29实验5.6.4 Minkowski 香肠若取生成元为图图5.30的M 1 , 则产生的分形图形称为Minkowski 香肠.图5.30 : M 1用Mathematica 作M k ，只要将前面作Koch 曲线的程序的最后一句改成Show[LSystem["F",{"F"->"FTFtFtFFTFTFtF"},Pi/2]]即可. 若k = 1 , 2 , 3 , 4 , 我们将分别得到图 5.30 ~ 5.33.图5.31 : M 2 图5.32 : M 3 图5.33 : M 4实验5.6.5 Peano 曲线若取生成元为图5.34的P 1 , 则产生的分形图形称为Peano 曲线, 这也是近代数学史上的一个十分著名的曲线.295图5.34 : P 1用Mathematica 作P k ，只要将前面作Koch 曲线的程序的最后一句改成Show[LSystem["F",{"F"->"FTFtFtFtFTFTFTFtF"},Pi/2]]即可. 若k = 1 , 2 , 3 , 4 , 我们将分别得到图 5.34 ~5.37.图5.35 : P 2 图5.36 : P 3图5.37 : P 4实验5.6.6 树木花草图若取生成元为图5.38的T 1 , 则产生的分形图形称为树木花草图.用Mathematica 作T k ，只要将前面作Koch 曲线的程序的最后一句改成Show[LSystem["F",{"F"->"F[TF]F[tF]F"},Pi/10]]同时，将a = 0改成a = Pi/2即可. 若k = 1 , 2 , 3 , 4 , 我们将分别得到图5.38~5.41.296图5.38 : T 1图5.39 : T 2 图5.40 : T 3 图5.41 : T 4通过对上述几个分形图形的观察研究, 我们大致可以看到它们的一些典型性质, 比如: 具有无限精细的结构, 比例自相似性质, 可以由非常简单的方法定义并由迭代产生.5.6.2. 分数维数的概念我们熟悉的维数都是非负整数，在物理学中反映了自由度的数目. 但Cantor 集与Peano 曲线的出现，使人们不得不要突破这种经典观念的束缚. 以Peano 曲线为例，k k P lim P ∞→= ，P 与正方形，作为点集，它们之间可以做出1-1对应来. 于是平面上的点就可以不用两个有序实数（横坐标与纵坐标）表示，而只需用一个实数就可表示出来. 那么我们就很难说P 究竟是1维还是2维. 实际上，对任何有限的正整数n ，Peano 曲线可以填满n 维立方体.为了克服上面的困难，必须从根本上重新考虑维数的意义. 目前考虑的方法有多种多样，但较易理解的一种是相似性维数的概念.我们从上面几个分形图形已经看到，它们的结构都有内在的几何规律性，特别是比例自相似性. 为理解相似性维数的意义, 先从最简单的线段、正方形与立方体的经典维数开始. 把线段、正方形与立方体的边二等分，于是线段是其一半长的2倍，正方形是边长为一半的小正方形的4倍，而立方体则是边长为1 ⁄ 2 的立方体的8倍. 换言之, 线段、正方形与立方图5.42297体分别是由2个、4个与8个相似形组成的. 把2、4、8分别写成21，22，23，即 2 = 21, 4 = 22, 8 = 23. (5.6.2)其中的指数1, 2, 3恰是对应图形的经验维数, 底数2则是分割边长的等分数, 或其倒数1/ 2是所占原长度的分数. 于是我们就可突破经验维数必须是整数的观念. 现在我们对(5.6.2)各式取对数, 得三个图形的维数分别是2ln 2ln 1=, 2ln 4ln 2=, 2ln 8ln 3=. 一般地说，如果一个集合F 可分成k 个与原集相似且尺寸大小为1/r 倍的子集, 则F 的相似性维数是r k d ln ln = , (5.6.3) 例如, 康托集的维数是 6309.03ln 2ln ≈. 请你写出Koch 曲线, Minkowshi 香肠与树木花草图的维数. 实验5.6.7 Sierpinski 三角垫. 从一个正三角形S 0出发, 连接相邻两边中点的联线, 构成一个小正三角形, 从原三角形中挖掉这个小三角形, 得到的图形( 由三个小正三角形组成, 见图 5.43) S 1, 就是Sierpinski 三角垫的生成元. 则Sierpinski 三角垫m m S S ∞→=lim 的维数是5850.12ln 3ln ≈. 作S m 的程序是 :Clear[Sp]Sp[nn_Integer]:=Module[{lt,lt1,k,t,n =nn},lt ={{{0,0},{1.,0},{0.5,Sqrt[3.]/2}}};While[ -- n >0 ,lt1={};For[k =1,k<=Length[lt],k++,t =lt[[k]];lt1=Append[lt1, {t[[1]],(t[[1]]+t[[2]])/2,(t[[3]]+t[[1]])/2}];lt1=Append[lt1, {t[[2]],(t[[1]]+t[[2]])/2,(t[[3]]+t[[2]])/2}];lt1=Append[lt1, {t[[3]],(t[[3]]+t[[2]])/2,(t[[3]]+t[[1]])/2}]];lt = lt1];Return[Graphics[Map[Polygon,lt]]]]Sp[m+1]//Show图5.43：S 1 图5.44：S 2298图5.45：S 3 图5.46：S 4 请你计算Sierpinski 三角垫m m S S ∞→=lim 的维数是多少？。
分形分维ppt
分形理论
提出：曼德.布罗特，题为“英国的海岸线有多长？”的论文使得 数学家开始正视“无限复杂性” 基础：分形几何学（以不规则几何形态为研究对象的几何学） 特点：用分数维度的视角和数学方法描述和研究客观事物
分形特征：
1.在任何细小的尺度下， 分形具有精细的结构,，即有任意小 比例的细节 2.分形不规则，因而它的整体和局部都不能用传统的几何语言 来描述 3.分形通常有某种自相似的形式,可能是近似的或是统计的 4.一般地， 分形的 “分形维数” (以某种方式定义)大于它的 拓朴维数
• 3.相似维数：F是Rd上的有界子集，如果F可划分为N个同等大小的部分， 且每部分与F的相似比为r，则称dimsF=logN/log1/r
• 特点：1.不规则形2.长度为(4/3)k,为无穷 大3.自相似性4.平面内面积为零
分形的度量尺度—分维
• 分维产生原因：近似或统计的图形自相似性
• 自相似性：如果一个物体自我相似，表明它每部分的曲线 有一小块和它相似，比如海岸线 • 维数：几何对象的一个重要特征量，是为了确定几何对象中的 一个点的位置所需要的独立坐标的个数或独立方向的数目
KOCH曲线
• 产生：设 E0是单位长度的直线段,E1是由 E0去掉中间 1 /3的线段,而代替以底边在 被除去的线段上的等边三角形的另外两边 所得的图形,它包含四个线段,对 E1的每个 直线段重复上述同样的过程构造出 E2.依 此类推,从 Ek - 1得到Ek.当 k→∞时,折线 序列趋于极限曲线 E,称 E 为 koch 曲线, 它是一条处处连续但处处不可微的曲线。
常见分维数的定义
• 1.豪斯道夫维数：提出连续空间概念，认为空间维数连续。取D维物体， 将每一维尺寸放大L倍，得到K个原来的物体，则K=LD，两边取对数，得 到维数D=lnk/lnL • 2.盒维数：设E属于Rd且有界非空, 令 Nδ(E)为半径为 δ的覆盖 E 的球的 最小个数, 则称dimBE =limδ→ 0[log Nδ(E)/(- logδ)]为 E 的盒维数
分维(Fractal Dimension)fractal_dimension
d. 体 —— 三维
平面中的曲线和空间的曲线是几维呢？
答案：一维 答案：
让我们对维数有更多的理解： 让我们对维数有更多的理解：
图形名称 线段 正方形 立方体
维数
复制个数 2 = 21 4 = 22 8 = 23
1 2 3
自相似几何体线度的2 自相似几何体线度的2倍所得复制个数
ｋ = 2d
其实， 自相似几何体线度的λ 倍所得复制个数 其实，
喉肿癌细胞核边界分维值的比较
类型 正常上皮 乳头状瘤 喉鳞癌 个数 1500 1000 1900 分维（DF）（X士S） 1.0638士0.0167 1.1142士0.0173 1.2035士0.0316 <0.01** Ｐ值 <0.01*
*正常上皮与乳头状瘤相比**乳头瘤与鳞癌比较
谢尔平斯基垫片或海绵的维数： 谢尔平斯基垫片或海绵的维数： d=log3/log2 d=log3/log2 =1.58… 58… 科赫曲线的维数： 科赫曲线的维数： 维数 d=log4/log3 =1.26…
象相对论发展了传统力学一样， 象相对论发展了传统力学一样 ， 分维是对传 统维数概念的进一步发展！ 统维数概念的进一步发展！
如果某图形是由把原图缩小为1/ 如果某图形是由把原图缩小为1/λ的 1/λ 相似的ｋ个图形所组成， ：ｋ= 相似的ｋ个图形所组成，有：ｋ= λD D即维数
分形维数文档
分形维数分形维数是描述分形结构复杂度和自相似性的一个重要指标。
在数学和物理学中，分形维数是用于度量非整数维度对象的一种方法。
分形维数具有广泛的应用，在图像处理、数据压缩、地理信息系统等领域都有着重要的作用。
本文将介绍分形维数的定义、计算方法以及一些常见的分形维数模型。
定义分形维数最初由法国数学家Benoit Mandelbrot于1975年提出。
它是描述自相似结构复杂性的一个指标。
自相似是指对象的不同部分具有相似的结构，通常通过缩放和旋转来得到。
分形维数可以用来描述分形对象的维度特征。
设分形对象的尺寸为L，将对象分成N个大小相同的小区域。
对每个小区域计算它的尺寸D，然后将L除以N，得到每个小区域的尺寸缩放比例。
计算这个缩放比例的对数值，并除以小区域的对数尺寸D，得到分形维数的近似值。
如果 N 越小，得到的分形维数越接近对象的真实维度。
计算方法计算分形维数有多种方法，下面介绍两种常用的计算方法。
盒计数法盒计数法是一种直观且简单的计算方法。
首先，在分形对象中放置一个固定大小的盒子，然后统计盒子中包含的分形结构的数量。
然后，改变盒子的大小，重复计算，得到一系列盒子的数量。
最后，用这些盒子的数量和尺寸的对数关系来计算分形维数。
盒计数法可以通过生成分形对象的图像来实现计算。
分形维数D的计算公式：D = log(N)/log(1/r)其中，N表示盒子的数量，r表示盒子的尺寸缩放比例。
程序计算法另一种计算分形维数的常用方法是使用计算机程序。
通过对分形对象进行迭代、缩放和测量，然后利用计算机程序计算出分形维数。
程序计算法可以应用于各种形状的分形对象，例如分形曲线、分形图像等。
常见分形维数模型分形维数模型是用来表示具有分形特征的对象的数学模型。
下面介绍一些常见的分形维数模型。
1. 分形线段分形线段是由一系列具有自相似性质的线段组成的。
分形线段的维数在1到2之间变化。
分形线段的一个著名例子是康托集。
2. 分形曲线分形曲线是由一系列具有自相似性质的曲线组成的。
第九讲 分形与分数维
积若用半径为 2 的圆去覆盖，至少需
1 1, 2 1 n n r 次迭代后， 的圆变成长半轴为 ，短半轴为 N 1 2 的椭圆，此时面
n
N ( 2 )
n
1 2
n n
个。严格讲前面可乘一有界正因子 C ( n) ，从而
9.3
D lim
则
rn 1 q e b rn
旋转自相似结构为
r eb r
（9.9）
习题
D m
k 1
m
k
m1
(9.5)
9.3
混沌吸引子的分数维
这对于任意吸引子都有意义的： 定常： 周期： 准周期：
1 0, 2 0, 3 0 m 0, D； 0
1 0, 2 0, 3 0 m 1, D； 1
1 2 0, 3 0 m 2, D 。 2
9.1
分形的描述之一 —— 分数维
D lim
0
一个集合的容量维 D定义为
ln N ( ) ln(1/ )
（9.1）
这里， 是长度尺寸，N ( )是覆盖所需的长度为
合，单元为边长 的正方形，对空间来说为边长为 的立方体。由于
单元的数目。对于平面上集
lim
ln N ( ) ln( ( ) N ( )) lim , 0 ln(1/ ) 0 ln(1/ )
1 3 32
ln 3n ln 3 D lim 1.5849 n ln 2n ln 2
类似地，
L( )
3 2 3 2 D 3 0.4150 垫片面积。 N ( ) 为Sierpinski 4 4 4
分形读书报告
读书报告近期,我阅读了一些有关于分形方面的文献，大致的了解了一下分形以及分形的量度——分数维，下面就是一些我对于分形的理解。
在经典的欧几里德几何中, 可以用直线、圆、球等这一类规则的形状去描述诸如墙、车轮、卫星等人造物体, 因为这些物体本来就是根据欧氏几何的规则图形生成的。
然而自然界中, 却存在着许许多多极其复杂的形状, 如: 山不是锥体, 云不是球体, 闪电不是折线, 雪花边缘也不是圆等等, 再如宇宙中点点繁星所构成的集合更非经典几何所能描述的, 它们不再具有人们早已熟知的数学分析中的连续、光滑(可导)这一基本性质了, 而是非线性的。
为了描述这些问题, 哈佛大学数学系教授曼德布罗特(BenoitB.Mandelbort) 在1975 年首次提出分形(Fractal)概念。
1982 年Mandelbrot 著作《The FractalGeometry of Nature》的出版, 标志着分形理论的产生。
分形理论的建立为研究无序结构和探索复杂事物提供了一极有力的工具。
分形理论与耗散结构理论、协同学、混沌理论都是同一时期在非线性科学研究中取得的重要成果。
所谓分形就是事物组成部分以某种方式与整体相似的形, 其整体具有自相似性。
分形研究的对象是具有自相似性的无序系统, 其维数的变化是连续的, 而非欧氏几何中的整数维, 如空间的欧氏维数是3。
(琚正挺,2006)从Mandelbrot在《英国的海岸线有多长》一文中提出分数维概念以后,分形几何学逐渐发展成为专门研究复杂、非规则现象的新理论,并已被证实在研究过去常被认为的无规律体,如地质体的内在规律方面行之有效,分形能够对自然世界和表面的复杂性作出更精确的表达。
分形具有自相似性和无标度性。
（1）自相似性：一个分形的某种结构或过程从不同的空间或时间尺度来看都是自相似的。
事实上,在标度区内具有对称性,即表征自相似系统或结构的定量性质,如分维数,并不会因为放大或缩小等而变化,所改变的只是系统的外部形式,即系统的部分和整体之间存在自相似性。
分形课件05
第讲分数维（Ⅰ）—分数维否定微分，这在历史上恐怕也是划时代的。
高安秀树第讲一、分数阶的发展史在分形几何的发展中，分数维有着关键的作用。
正如我们学习平面几何（二维几何），立体几何（三维几何）。
那么任何一种分形几何亦有着这特定的维数。
这一概念在提炼的过程中十分艰难，同时也很不容易获得一般人的承认。
第讲在分数维出现之前，对于分数维的研究，远远早得多。
它反映人们由整数转向分数或一般实数的概念发展。
分数阶研究的一个突出例子是Newton 的一般二项式定理。
第讲图2-1Newton第讲早在中国宋朝杨辉，伺后的欧洲巴斯卡都发现了整数型二项式展开系数——即所谓的“杨辉三角”。
图2-2杨辉三角它表示中各项对应的分数。
(1)nx +(1)nx +第讲Newton 的学术生涯，首先是从分数阶一般二项式定理着手的。
他作了两个大胆的推广：•广义组合，其中是分数。
n p C p 1(1)(1)!n p p p p n n C =−⋅⋅⋅−+（2-1）第讲•把二项式定理，实际上即级数推广到无限项：2331(1)1(1)2!1(1)(2)(2)3!p x px p p x p p p x p x ……+=++−+−−+−+（2-2）也即0(1)n p n n p x C x ∞==∑+（2-3）第讲这一分数阶的推广有着重要的历史意义。
尽管Newton 并没有严格的证明，但是他却巧妙地证明了1122(1)(1)x x =++2311111111()(2)(22)122481628x x x x +++−⋅+⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅=+（2-4）第讲123421115(1)12816128x x x x x +=+−+−+⋅⋅⋅（2-5）式中且。
这是跨越分数维的伟大一步。
1x <第讲伺后是分数维积分与微分的出现。
Newton发明微积分是数学史上最重要的事件之一。
法国数学家J.Liouville刘维尔试图把微积分的维数推广到分数情况。
4分形维数基本概念
DH=LnN(r)／Ln(1/f) DH 为豪斯多夫维数， 分形维数种类：
1.Hausdorff 维数（最基本）
2.相似维数
3.盒维数
4.容量维数
5.关联维数
6.信息维数
计算分形维数的具体方法：
（1）基于二值图像的 BC 算法
1.计盒算法（简易性和可计算性）（2）基于灰度图像的 DBC 算法
（3）基于三维图像的 3D 分形维数算
分形维数基本概念：
形维数是分形几何理论及应用中最为重要的概念和内容,它是度量物体或分
形体复杂性和不规则性的最主要的指标,是定量描述分形自相似性程度大小的参
数。
欧氏几何中,维数一般有两种含义:
(1)欧氏空间中的 4 个维数(D=0、1、2、3);
(2)—个动力系统所含的变量的个数。
整数维数是被包含在分数维数中的。相对于整数维数反映对象的静态特征,
分数维数则表征的是对象动态的变化过程。将其扩展到自然界的动态行为和现象
中,那么分数维数就是自然现象中由细小局部特征构成整体系统行为的相关性的
一种表征,即:对于一个对象,只有通过使用非整数数值的维数尺度去度量它,才
能准确地反映其所具有的不规则性和复杂程度,那么这个非整数数值的维数就
称为分形维数。
公式：N(r)面积测量法
6第六章 无特征尺度现象的描述
第六章无特征尺度现象的描述一、无特征尺度现象及分形 二、分形现象广泛存在 三、分数维----分形的度量 四、分数维的意义 五、混沌吸引子的分数维一、无特征尺度现象及分形1、特征尺度、特征尺度现象 特征尺度：特定现象的某一特性的一般大小，是 统计概念。
无特征尺度现象及分形特征尺度现象 (1) 成年人的身高、体重等； (2)大气中的特征尺度现象 大尺度: 大气长波、(反)气旋 ( L ~ 10 6 m )； 中尺度: 台风、低涡、海陆风 (L ~ 10 5 m )； 小尺度: 龙卷风、积云团 (L ~ 10 4 m )无特征尺度现象及分形2、无特征尺度现象 自然界存在某些非常复杂的现象（几何体），它们具 有多种尺度（无特征尺度），并且在不同的尺度上， 呈现不同的性质。
Mandelbrot(1982): 山不是锥体、云不是球体、海岸线 不平滑、树皮不光滑、闪电非直线等。
无特征尺度现象及分形3、分形 分形：具有如下两个重要特征的复杂几何形体 A、无特征尺度 B、自相似结构 自然界中，分形现象普遍存在：如海岸线、云团、湍 流、雪花、水系分布等。
分形为复杂现象的描述提供了一种方法。
二、分形现象广泛存在天安门国徽 Cantor 点集 Sierpinski 海绵（垫片） 大湍涡中的小旋涡数目 中国海岸线长度 气候的周期 类似个例很多，它们有共同的特点：分形三、分数维----分形的度量1、拓扑维： 维数是描述几何对象的一个重要的量。
一个几何对象 的拓扑维等于确定其中一点的位置所需要的独立坐标 数目。
欧几里德空间中的线、面、体的维数分别为1、2、3分数维--分形的度量用尺度为 r 的尺子度量单位几何体，满足如下关系：N (r) = 1 rm其中，m为拓扑维数，N(r) 为所测个数。
分数维--分形的度量将此概念推广到任意整数维d，可给出任意普通几何 对象的拓扑维定义：ln N ( r ) d = 1 ) ln( r分数维--分形的度量拓扑维的两个特点： (1) 维数d为整数； (2) 虽然盒子数N(r) 随尺子r变小而不断增大，但 几何对象的总量（长度、面积、体积）保持不变。
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1. 欧氏几何的长度、面积、体积等测度对分形刻划无效
——如何研究分形？
维数是几何学和空间理论的基本概念。
欧氏几何研究的规则图形，长度、面积、体积是它们最合适的特征量，但对海岸线这类不规则的分形，维数才能很好地刻划它们的复杂程度，因而维数才是最好的量化表征。
Mandelbrot提出了一个分形维数的概念。
2. 维数观念的历史回顾
（1）传统的欧氏维数
欧氏几何学、欧氏空间（即日常接触的普通空间）的维数概念
点---0维；
线---1维；
面---2维；
体---3维。
在欧氏几何学中，要确定空间一个点的位置，需要3个坐标，即要用三个实数（X、Y、Z）来表示立体图形中的一个点，坐标数目与空间维数相一致，立体图形的维数为3。
要确定平面一个点的位置，需要2个坐标，坐标数目与平面维数相一致，平面图形的维数为2。
相应地，直线的维数为1，点的维数为0。
这种维数概念和人们的经验相一致，被称为经验维数或欧氏维数，或经典维数，用字母d表示。
它的值为整数。
（2）传统维数观念的危机（1890年）
（3）维数研究的重要成果——拓扑维数
这是数学的一个重要分支——拓扑学中的维数概念。
拓扑学也称为橡皮几何学，它研究几何图形在一对一的双方连续变换下不变的性质。
比如画在橡皮膜上的两条相交曲线，对橡皮膜施以拉伸或挤压等形变，但不破裂或折叠时，它们“相交”始终是不变的，几何图形的这种性质称为拓扑性质。
画在橡皮膜上的三角形，经过拉伸或挤压可以变为一个圆，从拓扑学的观点看，三角形和圆有相同的拓扑维数。
对于任何一
个海岛的海岸线，经过某些形变总可以变为一个圆，因而海岸线与圆具有相同的拓扑维数Dt=1。
在欧氏几何中，圆作为一种曲线，它的经典维数d=1。
可以论证对一个几何图形，恒有Dt=d。
拓扑维数Dt的值也为整数。
（4）豪斯多夫连续空间理论和分数维数（1914年）
分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。
为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。
分形是与欧氏几何图形截然不同的另一类图形，它的维数一般是分数，所以分形的维数被称为分数维。
由于分形又分为规则分形、不规则分形等许多种类，所以为了测出各类不同分形的维数往往必须使用不同的方法，因而得出多种不同名称的维数。
在这些维数中，最重要的是豪斯多夫维数。
它之所以重要，是因为它不仅适用于分形，也适用于欧氏几何图形。
只不过当它用于欧氏几何图形时，值为整数，而用于分形时，值一般为分数。
3. 分数维数的合理性
（1）直观几何的启示
一条直线段是一维的，由四条这样的直线段组成的正方形是二维的。
六个这样的正方形组成的正方体是三维的。
直线的长度数值，正方形的面积数值和立方体的体积数值都和我们测量的单位有关。
测量的单位也往往是我们所能分辨的最小单位。
假设我们的分辨能力增加了一倍，因此我们把直线段长度单位减小到原单位的一半，直线段长度的计量值就变为原来的两倍，正方形面积就变为原来的四倍，体积则变为原来的八倍。
我们有下式:
log4/log2=2 log8/log2=3
这里的二和三不是巧合，这是另一种维数的定义:测度维的概念。
为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。
（2）豪斯多夫维数的基本思想
分维的概念我们可以从两方面建立起来：
一方面，我们首先画一个线段、正方形和立方体，它们的边长都是1。
将它们的边长二等分，此时，原图的线度缩小为原来的1/2，而将原图等分为若干个相似的图形。
其线段、正方形、立方体分别被等分为2^1、2^2和2^3个相似的子图形，其中的指数1、2、3，正好等于与图形相应的经验维数。
一般说来，如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组成，有：
a^D=b,?D=logb/loga
的关系成立，则指数D称为相似性维数，D可以是整数，也可以是分数。
另一方面，当我们画一根直线，如果我们用0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它，其结果是0，因为直线中不包含平面。
那么，用怎样的尺度来量它才会得到有限值哪？看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直线的维数为1（大于0、小于2）。
与此类似，如果我们画一个Koch曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是0（此曲线中不包含平面），
那么只有找一个与Koch曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于1、小于2，那么只能是小数（即分数）了，所以存在分维其实，Koch曲线的维数是1.2618……。
如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组成，有：a^D=b
D即维数D=logb/loga
分数维是衡量分形的基本参数之一。
（3）对单位直线段n等分，每段长为r ，有n × r 1 = 1
对单位正方形n等分，小正方形边长为r，有n × r 2 = 1
对单位正方体n等分，小正方体边长为r，有n × r 3 = 1
三个等式中r 的幂次实际上是该几何体能得到定常度量的空间维数，一般地n × r d s = 1
ds = -ℓn n / I n r, ds称为相似维数
4. 分数维的计算
（1）对科赫曲线：n = 4 n，每段长(1/3 ) n
ds = - ℓn 4 n /ℓn(1/3 ) n = ℓn 4 /ℓn3 ≈1.2618
（2）对谢尔宾斯基垫片：n = 3 n，每边长( 1/2 ) n
ds = - ℓn 3 n / ℓn（1/2）n = ℓn 3 /ℓn2 ≈1.5850
（3）对康托尔三分集：n = 2 n，每段长(1/3 ) n
ds = - ℓn 2 n / ℓn（1/3）n = ℓn 2 / ℓn3 ≈0.6309
（4）对门杰海绵：n = 20 n，小正方体每边长(1/3 ) n
ds = - ℓn 20 n / ℓn (1/3 ) n = ℓn 20 / ℓn3 ≈2.7268。