临场实战提分技巧 解析几何 第二讲 解析几何命题规律揭秘(中) 课件

模板④用抛物线定义解题时，常在图形中构造出直角三角形．
解析：由抛物线定义， | BF || BB1 | ，已知 | BC | 2 | BF | ， 则在直角 BCB1 中， | BC | 2 | BB1 | ，∴ B1BC 60 ， 则 KAF 60 ，又 | AK || AF | ，∴ KAF 为等边三角形，
用结论秒杀
•椭圆和双曲线焦点三角形面积用b及两焦半径夹角表示的结论 •双曲线焦点到渐近线距离的结论；三种曲线上的点到焦点距离最值的结论 •过焦点且与对称轴垂直的弦长的结论；抛物线过焦点的弦长结论
用特殊值秒杀
•画特殊图形 •找特殊位置
例题 1-1（辽宁理）已知椭圆 C： x2 y2 1 ，点 M 与 C 的焦点不重合，若 M 关于 C 的焦点的对称点分 94
解析几何命题规律揭秘（中） ——圆锥曲线选填题目可秒杀
命题规律揭秘
定义与方程 离心率
用定义秒杀
•条件中出现曲线上的点到焦点距离时，用定义可秒杀求解 •注意用数形结合的思想
用方程秒杀
•焦点位置不确定的椭圆或双曲线方程可设为mx2+ny2=1，避免讨论 •由双曲线方程求其渐近线方程时只需把1改为0，避免a，b颠倒
，又已知 ( x0
1)2
y02
4，
解得 x0 1, y0 2 ，则 k 1.
模板⑦焦点在y轴上的抛物线方程，可看作关于x的二次函数，所以求其切线方程 时可用导数求斜率．
解析：∵点 M 在抛物线上，∴过点 M 与抛物线有且仅有一个公共点的直线有两条，一条是 与对称轴平行的直线，直线方程为 x 1 ，另一条是抛物线以 M 为切点的切线，由 y 4x 得切线斜率为 4，其方程为 y 2 4( x 1) ，即 y 4x 2.
别为 A，B，线段 MN 的中点在 C 上，则| AN | | BN |
.
模板①有了曲线上的点到焦点的距离要想定义，有了中点要作中位线.
解析：由已知，F1 为 MA 的中点， F2 为 MB 的中点， Q 为 MN 的中点．
所以|AN|+|BN|=2(|QF1|+|QF2|)=12.
y N
Q
M
F1
故 S KAF
3 | AF |2 4 4
3 ，所以选 C.
模板⑤灵活选用方程形式可避免讨论.
解析：设此曲线方程为 mx2＋ny2＝1，(m≠0，n≠0)
4m＋12n＝1， 由已知94m＋5n＝1，
m＝1， 解之，得n＝－14.
曲线 C 为双曲线，方程为 x2－y42＝1.
模板⑥过x轴上一点的直线方程与一次项为x的抛物线方程联立时，可把直线方程设为x=my+a的形式， 这样既可避免对直线斜率是否存在的讨论，又可减少计算量．和弦的中点相关的问题用点差法可减少 计算量．
解法 2：设 A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ， B( x0 , y0 )
由
y12 y22
4 x1 4 x2
得 y2 y1 4 ， x2 x1 y2 y1
又 y2 y1 y0 ， 4 2 x2 x1 x0 1 y2 y1 y0
∴
y0 x0 1
2 y0
解析：设 PF1F2 内切圆的圆心为 M，切点分别为 A、B、C， 则 PMB PMC ， F1MA F1MC ， F2MA F2MB ， ∴ | F1 A | | F2 A | | F1C | | F2B | | F1P | | F2 P | 2a ， 又 | F1 A | | F2 A | 2c ，∴ | F1 A | a c ，∴ | OA | a.
结论①若两条焦半径夹角为
，则椭圆焦点三角形面积为 S
PF1F2
b2 tan 2
；
双曲线焦点三角形面积为 S PF1F2
b2 ．
tan
2
解析：∵ S PF1F2 b2 tan 45 9 ，∴b=3．
例题 3-2 如图，从椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)上一点 M 向 x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点 F1，且它的长轴端点 A 与短轴端点 B 的连线 AB∥OM．则椭圆的离心率 e=___________.
F2
A
B
x
模板②求不在圆锥曲线上的点到曲线上一点及到焦点距离最值时，要用定 义转化.
解析：|MA|+|MB|=10－|MF1|+|MB|， 而||MB|－|MF1||≤|BF1|= 2 10 ， 所以|MA|+|MB|的最大值为 10+ 2 10 ．
y
M B
F1
A
x
Q
模板③把三角形内切圆圆心和切点、顶点连接可得三个全等三角形.
结论②过圆锥曲线的焦点且与对称轴垂直的直线与曲线的两个交点间的距离叫通径，长为 2b2 a
解析：由已知 MF1O
b2
BOA ，则 | MF1 | | F1O | ，即 a c ，
| BO | | OA |
ba
即 b c ，∴ e 2 . 2
y
M
B
F1
O
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Ax
例题 3-3（山东）已知双曲线xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆 C：x2＋y2－6x＋5＝0 相切，且双
曲线的右焦点为圆 C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ）
A．x52－y42＝1
B．x42－y52＝1
C．x32－y62＝1
D．x62－y32＝1
结论③双曲线的焦点到准线的距离为b．
解析：圆的方程可化为 ( x 3)2 y2 4 ．所以椭圆中 c 3，b 2 ， a2 5 ，故选 A．
例题
解法 1：
设直线方程为 x my 1 ，设 A( x1, y1 ) ， B( x2 , y2 ) ， B( x0 , y0 )
由
y2
4x
得 y2 4my 4 0 ，
x my 1
∴
y0
y1
2
y2
2m ， x0
x1 2
x2
my1
my2 2
2
2m2
1，
由 | FQ | (x0 1)2 y02 2 得 m2 1 ，∴ k 1
4-1（福建理）椭圆 :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的左右焦点分别为
F1，F2，焦距为
2c，若直线
y
3(x c)
与椭圆的一个交点满足 MF1F2 2MF2F1 ，则该椭圆的离心率等于_________．
特法①充分利用数形结合．
解析：由方程可知， MF1F2 60 ，又 MF1F2 2MF2F1 ，