变系数(2+1)维Broer-Kaup方程的新精确解P

第21卷第1期原子与分子物理学报

V o l .21，№.1

2004年1月

J O U R N A LO FA T O M I CA N D M O L E C U L A RP H Y S I C S

J a n .，2004

文章编号：1000-0364（2004）01-0133-06

变系数（2+1）维B r o e r -K a u p 方程的新精确解

✷

李德生

（沈阳工业大学理学院，沈阳110023

）摘要：通过一个简单的变换，变系数（2+1）维B r o e r -K a u p 方程被简化为人们熟知的变系数B u r g e r s 方程。利用近年来广泛使用的齐次平衡法和t a n h -函数法，获得了变系数（2+1）维B r o e r -K a u p 方程的一些新的精确解。

关键词：变系数（2+1）维B r o e r -K a u p 方程；齐次平衡法；t a n h -函数法；精确解中图分类号：O 175.2

文献标识码：A

S o L e n e we x a c t s o l u t i o n s t o t h e （2+1）-d i L e n s i o n a l B r o e r -K a u p

e q

u a t i o nw i t h v a r i a b l e c o e f f i c i e n t s L I D e -S h e n g

（S c i e n c e S c h o o l o f S h e n y a n g U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y ，S h e n y a n g 1

10023，P .R .C h i n a ）A b s t r a c t ：T h e （2+1）-d i m e n s i o n a l B r o e r -K a u p e q

u a t i o nw i t h v a r i a b l e c o e f f i c i e n t s a r e r e d u c e d t o t h e f a m i l i a r B u r g e r s e q u a t i o nw i t h v a r i a b l e c o e f f i c i e n t s b y a s i m p l e t r a n s f o r m a t i o n .S o m e n e we x a c t s o l u t i o n s o f t h e （2+1）-d i m e n s i o n a l B r o e r -K a u p e q u a t i o nw i t hv a r i a b l e c o e f f i c i e n t s a r eo b t a i n e db y t h eu s eo f t h eh o m o g e n e o u s m e t h o d a n d t h e t a n h -f u n c t i o nm e t h o dw h i c h a r ew i d e l y u s e d t e c h n i q u e s i n r e c e n t y

e a r s .K e y

w o r d s ：T h e （2+1）-d i m e n s i o n a lB r o e r -K a u p e q u a t i o n w i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t s ；T h eh o m o g e n e o u s m e t h o d ；T a n h -f u n c t i o nm e t h o d ；E x a c t s o l u t i o n s

1引言

本文再次考虑变系数（2+1）维B r o e r -K a u p 方程的精确求解问题

H y

t E α（t ）［H x x y -2（H H x ）y -2G x x ］G 1E α（t ）［-G x x -2（G H ）x <

╰╰］

（1

）对于该方程的研究人们已获得了大量的结果。在文献［1~2］中，利用改进的齐次平衡法，作者深入细致地

研究了常系数方程的局域相干结构，给出了一些新的具有特殊形式的精确解，如多D r o m i o n 解，多L u m p

解，振荡型D r o m i o n 解，圆锥曲线孤子解，运动和静止呼吸子解和似瞬子解等。文献［3］进一步考虑了变系数（2+1）维B r o e r -K a u p 方程的精确求解问题，利用王明亮于90年代中期提出的齐次平衡法［4~5］

，导出了该方程的B T ，

并由此得到了类似于文献［1~2］中的局域相干结构和一些新的精确解。✷收稿日期：2003-06-25

基金项目：国家“973“项目（批准号：1998030600）；国家自然科学基金（批准号：10072013

）资助的课题。作者简介：李德生（1963-），男。吉林抚松县人，沈阳工业大学理学院副教授，大连理工大学在读博士生，主要从事孤立子理论与数学机械化研究。

最近的研究发现，一些高维的耦合非线性偏微分方程均可通过某种简单的变换，简化为低维的简单的

单个的非线性偏微分方程［6~8］，通过求解低维的简单的单个的非线性偏微分方程，不仅能够大大地简化

方程的求解，而且还能获得一些新的精确解。下面，利用这一想法来求解变系数（2+1）维B r o e r -K a u p 方程。具体的求解过程中分别使用了齐次平衡法［4~5］和t a n h -

函数法［9~10］。2变系数（2+1）维B r o e r -K a u p 方程的简化

作变换

G E H y

（2

）将（2）式代入（1）式中，则方程（1

）式被简化为同一个方程H y t E-α（t ）［H x x y +2（H

H x ）y ］（3

）对方程（3）式两边关于y 积分，并取积分常数为零，得到熟知的变系数B u r g

e r s 方程H t +2α（t ）H H x +α（t ）H x x E 0

（4

）此方程不显含变量y ，由此我们可以看到变系数（2+1）维B r o e r -K a u p 方程的解对变量y 的要求是有相当

大的自由度的，这也许是该方程具有如此丰富的解的结构的原因之一。由于方程（4）式的结构简单，当我们使用齐次平衡法和t a n h -函数法求解时，大大简化了计算过程。同时，由于方程不显含变量y 也为我们选取求解的方法带来了方便。下面，分别使用齐次平衡法和t a n h -函数法构造该方程的新的多孤子解和精确解。

3

变系数（2+1）维B r o e r -K a u p 方程的新的多孤子解

由齐次平衡法，设方程（4

）式有如下形式解H E f ◜Фx +a

（x ，t ）（5

）这里f E f （Ф）为单变元函数，Ф（x ，y ，

t ），a （x ，t ）均为待定函数。将（5）式代入（4）式中，有H t +2α（t ）H H x +α（t ）H x x E α（t ）（f

‴+2f "f ◜））Ф3x +f "Фx Фt +3α（t ）f "Фx Фx x +2α（t ）（f ◜）2Фx Фx x +2α（t ）a （x ，t ）f "Ф2x +f ◜Фx t +2

α（t ）a x （x ，t ）f ◜Фx +2α（t ）a （x ，t ）f ◜Фx x +a t （x ，t ）+α（t ）f ◜Фx x x +2

α（t ）a （x ，t ）a x （x ，t ）+α（t ）a x x （x ，t ）E 0（6

）令方程（6）式中Ф3x

的系数为零，则得到关于f 的常微分方程f ‴+2f "f

◜E 0（7

）易知该方程有特解

f E l

n Ф（8

）且f 满足

f "E-（f

◜）2（9

）将（8）、（9）式代入到（6

）式中，则有H t +2α（t ）H H x +α（t ）H x x E-Фx Ф2（Фt +2α（t ）a （x ，t ）Фx +α（t ）Фx x ）+1Ф（Фt

+2α（t ）a （x ，t ）Фx +α（t ）Фx x ）x +a t （x ，t ）+2α（t ）a （x ，t ）a x （x ，t ）+a （t ）a x x （x ，t ）E 0（10

）4

31原子与分子物理学报

2004年