双曲线的知识点
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知识点：1 .双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线。即a MF MF 221=-。当2a ﹤2c 时，轨迹是双曲线；当2a =2c 时，轨迹是两条射线；当2a ﹥2c 时，轨迹不存在。
2．焦点在x 轴上时：12222=-b y a x ；焦点在y 轴上时：12222=-b
x a y （2
22b a c +=）
3．范围、对称性 顶点：()0,),0,(21a A a A - 特殊点：()b B b B -,0),,0(21 实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长
4．渐近线：双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程是x a b y ±=（0=±b
y
a x ）
双曲线12222=-b
x a y 的渐近线方程是x b a y ±=（0=±b x
a y ）
5．等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，
6．共渐近线的双曲线系：渐近线为x a b
y ±=，双曲线方程就是： λ=-2222b
y a x
7．离心率：双曲线的焦距与实轴长的比22
122a
b a
c a c e +===
范围：1>e ，“e 的大小”与“开口的阔窄”的关系
8．共轭双曲线： 12222=-b y a x 的共轭为22
22-=-b
y a x
9． 双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数)0(>>=
a c a
c
e 的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e 是双曲线的离心率．
10．准线方程：左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 21:-=，右焦点)0,(2c F 对应着右准线
c a x l 22:=；上焦点),0(1c F -对应着上准线c
a y l 2
1:-=；下焦点),0(2c F 对应着下准线c a y l 22:=
焦点到准线的距离c
b p 2
=（也叫焦参数）
11 .双曲线的焦半径（ 21,F F 分别是双曲线的左（下），右（上）焦点）
即有焦点在x 轴上的双曲线的焦半径公式：⎩⎨⎧-=+=∴0
20
1ex a MF ex a MF 焦点在y 轴上⎩⎨⎧-=+=∴0201ey a MF ey a MF
12．焦点弦：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦
基本题型：1．双曲线16x 2―9y 2
=―144的实轴长、虚轴长、离心率分别为_________
2．顶点在x 轴上，两顶点间的距离为8， e =
4
5
的双曲线的标准方程为_________ 3．双曲线
22
134
x y -=的两条准线间的距离等于_____ 4．若双曲线
22
16436
y x -=上一点P 到双曲线上焦点的距离是8，那么点P 到上准线的距离是___ 5．经过点M (3, ―1)，且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是_____ 6．以y =±
3
2
x 为渐近线的双曲线的方程是_____ 7．等轴双曲线的离心率为 ；等轴双曲线的两条渐近线的夹角是
8．从双曲线)0,0( 122
22>>=-b a b y a x 的一个焦点到一条渐近线的距离是 .
9．与
2214924x y +=有公共焦点，且离心率e =4
5的双曲线方程是 10．以5x 2
+8y 2
=40的焦点为顶点，且以5x 2
+8y 2
=40的顶点为焦点的双曲线的方程是 __.
11．已知双曲线
136
642
2=-x y 上一点到其右焦点距离为8，求其到左准线的距离 12．若共轭双曲线的离心率分别为e 1和e 2，则e 1和e 2必满足的关系式为________ 13．若双曲线经过点(6, 3)，且渐近线方程是y =±3
1
x ，则这条双曲线的方程是_____ 14．双曲线的渐近线为y =±
4
3
x ，则双曲线的离心率为_______ 15．如果双曲线
22
1169
x y -=右支上一点P 到它的右焦点的距离等于2，则P 到左准线的距离为___ 16．已知双曲线422
2
=-ky kx 的一条准线是y =1，则实数k 的值是______
17．在双曲线
22
11213
y x -=的一支上有不同的三点A (x 1, y 1), B , 6), C (x 3, y 3)与焦点F 间的距离成等差数列，则y 1+y 3等于 ___
参考答案：1. 8, 6, 45 2. 221169x y -= 3.776 4. 325
5.82
2=-y x
6. 36492
2
=-x y 7. 0
90,2 8. b 9. 19
162
2=-y x
10.
15322=-y x 11. 答案：596 12. 221
211e e +=1 13. 2219x y -= 14. 45或35 15. 8 16. ―32
17. 12