弯矩曲率计算示例[详细]

0.123 103
0.933106
普通钢筋的压应力:
Es s 2 105 0.389 3 77.8MPa
预应力筋在有效应力下的应变:
ps pe ce 5.324103
ce 0.324 103
s 0.389 103
0.436 103
c c / Ec
应变图
pe f pe Ep 1000/ 200000 5 103
1 初始阶段
无外力作用，仅考虑有效预应力作用
毛截面特征值
A 180 103 mm2 I 5.4 109 mm4
Pe Ap f pe 784 1000 784 kN
计算有效预应力及偏心距引起的应力应变
Pe 784 kN
e 180mm
-4.36 +7.84
1 初始阶段
+3.48
0.123 103
0
4 非线性阶段
求压应力合力，对应力
图积分，计算出合力大
小及位置。
顶部纤维应变 c
C0
bfc
0
c2 (1
c 3 0
)
x 0.35c
C X
中性轴
应变图
中性轴
应力图
4 非线性阶段
进行试算，确定中性轴高度。
1
假定中性轴高度 c=300mm c
受压区总压力为:
c
C0 4375c 4375 300 1312.5kN
0.441103
-9.64 -11.60
-13.0
-16.06
+9.64 +13.38
P Pey AI
M
+1.78 +3.06
应力图
0.317 106 0.0636 103
0.109 103
应变图
此阶段结束时，曲率为： (0.441 0.109) 103 0.917 106 rad/mm
3 开裂阶段
由ΔM 对非预应力筋产生的拉应力为：
s
ns
My I
11.5 106 250 7.14 5.4 109
3.8MPa
因此开裂弯矩下，非预应力筋中的应力为：
s 12.7 3.8 16.5MPa
3 开裂阶段
由纤维应力0.64MPa而增加的曲率如图所示：
-0.64
-0.229 104
ce 0.324 103
s 0.389 103
0.436 103
c c / Ec
应变图
2 加载阶段
-4.64 +8.35
+3.71
-4.64
P A
-8.35
Pey I
(P 834.8kN)
-9.64 -11.60
-13.0
P Pey AI
+3.71
2 加载阶段
-16.06
-12.35
+0.64
应力图
0.076 106
+0.229 104
应变图
3 开裂阶段
在开裂弯矩作用下， 截面的开裂曲率等于阶段（2）的曲率与开裂增加曲率之和， 也就是：
cr (0.917 0.076 ) 10 6 0.993 10 6 rad/mm
开裂弯矩为：
M cr 289 11.5 300 .5kNm
p
(
480 c
c
)
c
s
(550 c
c )e
5.324 103
2 加载阶段
加载阶段，是指在外弯矩开始作 用，直到预应力钢筋处的混凝土 应变为零的阶段。
0.123 103
0.933106
预应力钢筋除混凝土应变为零时 ，预应力筋的应力为:
ps Ep ps 2 105 5.324 103 1064.8MPa
此时，预应力筋中的拉力为：
P Ap ps 784 1064 .8 834 .8kN
0.933106
-4.36
P A
-7.84
Pey I
-9.06 -10.89
-12.2
P Pey AI
应力图
ce 0.324 103
s 0.389 103
0.436 103
c c / Ec
应变图
1 初始阶段
当外力矩（包括自重）M 0 时，截面曲率：
0.993106 rad/mm
y
300
开裂弯矩为： M cr 289 11.5 300 .5kNm
3 开裂阶段
由ΔM 对预应力筋产生的拉应力为：
ps
n p c
np
Me I
7.14
11
.5 106 180 5.4 109
2.7MPa
因此开裂弯矩下，预应力筋中的应力为： ps 1064 .8 2.7 1067 .8MPa
4 非线性阶段
假定截面顶纤维混凝土应变 c 0.001
截面开裂时，顶部纤维应变为：
c 0.464 103
0.464103 0.001 因此，在本阶段采用开裂截面分析。 即，假设中性轴以下混凝土不起作用。
4 非线性阶段
应力应变关系符如右图所
示，符合二次抛物线形曲
线
开裂后，截面扔符合平截面 假定。根据应力应变关系得 到应力图。
混凝土：
本构关系
c
2
f
c
0
0
2
抗压抗拉强度
fc 35MPa ft 3.7MPa
550 mm 480 mm
600 mm
预应力混凝土梁
Ap 784 mm2 As 402 mm2
Ap As
300 mm
预应力混凝土梁
550 mm 480 mm
600 mm
钢筋：
假定预应力高强高筋的极限强 度和其屈服强度相等
弯矩曲率计算示例
北京交通大学
主要内容
弯矩曲率一般分为两个阶段进行：
梁未开裂
阶
段
一般假定为弹性阶段
一
梁开裂
阶
段
应力应变关系为非线性
二
弯矩曲率曲线
破坏ຫໍສະໝຸດ Baidu
开裂
弯矩曲率曲线
曲线上的6个控制点
1.初始阶段，即外弯矩为零， f pe 1000 MPa 2.预应力筋水平处混凝土的应变为零。 3.裂缝出现，即混凝土达到其抗拉强度， ft 3.7MPa 4.梁截面顶纤维混凝土压应变达到 0.001 5.梁截面顶纤维混凝土压应变达到 0.002 6.梁截面顶纤维混凝土压应变达到 0.003
f pu f p0.2 1540 MPa
预应力筋有效预应力
f pe 1000 MPa
弹性模量
Ep Es 2 105 MPa
Ap 784 mm2 As 402 mm2
Ap As
300 mm
弯矩曲率计算
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
仅预应力 筋有效力 作用
梁底混凝 土达到抗 拉强度， 裂缝出现
给定顶部 应变，计 算弯矩曲 率
600
弯矩为： M I 5.4 103 9.64 289 .0kNm
e
180
3 开裂阶段
截面开裂点将为截面弯矩曲率线弹性关系的终点
在上个阶段，截面底纤维已经存在3.06MPa的拉应力， 由于混凝土出现裂缝的抗拉强度为3.7MPa。
3.7 3.06 0.64MPa
M I 5.4 109 0.64 11.5kNm