两角和差正余弦公式的证明

两角和差正余弦公式的证明
两角和差的正余弦公式是三角学中很重要的一组公式。

下面我们就它们的推导证明方
法进行探讨。

由角比,尸的三角函数值表示"E的正弦或余弦值，这正是两角和差的正余弦公式的功能。

换言之，要推导两角和差的正余弦公式，就是希望能得到一个等式或方程，将或现与盘,戸的三角函数联系起来。

根据诱导公式，由角旧的三角函数可以得到—日的三角函数。

因此，由和角公式容易得到对
应的差角公式，也可以由差角公式得到对应的和角公式。

又因为an（——二™
2，即原角的余弦等于其余角的正弦，据此，可以实现正弦公式和余弦
公式的相互推导。

因此，只要解决这组公式中的一个，其余的公式将很容易得到。

（一）在单位圆的框架下推导和差角余弦公式
注意到单位圆比较容易表示°，Q和口±P，而且角的终边与单位圆的交点坐标可
以用三角函数值表示，因此，我们可以用单位圆来构造联系皿在士Q与口，/的三角
函数值的等式。

1.和角余弦公式
（方法1）如图所示，在直角坐标系 Q中作单位圆°，并作角c，〃和一尸，使角C的始边为°，交口°于点A，终边交口°于点B ;角幻始边为，终边交
口。

于点C;角一〃始边为Off ,终边交DO于点。

从而点A, B, C和D的坐标分别为
XLO) ^(cos a^dii 刀厂血Q)
, , ,。

由两点间距离公式得
曲低晋血一»了 +弘》(a+/D = 2-2cos&z*/9 ；
JJD3 ={cos/f-cos(E)2 +(-sm/J—sin^z)?= 2-2(c asCEtjOfi/f-品么血历。

注意到血=刼，因此叭伍+何=皿住£»5#_血啦sinQ。

注记：这是教材上给出的经典证法。

它借助单位圆的框架，利用平面内两点间距离公
式表达两条相等线段,从而得到我们所要的等式。

注意,公式中的 C和©为任意角。

2.差角余弦公式
仍然在单位圆的框架下，用平面内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段，也可以得到我们希望的三角等式。

这就是
(方法2)如图所示，在坐标系心中作单位圆°，并作角①和尸，使角比和卩的始边均为皿,交口。

于点C,角比终边交口°于点A,角力终边交口°于点。

从而
点A, B的坐标为施西心血毋股g且血Q。

由两点间距离公式得
由余弦定理得
沏f 二必+ OB1-TO J CDB COS ZJOB二场’ -2tM»J5cus(a-/?)
= 2-2cos(a-fi)。

从而有COS(a^^=COSaCDS^-3IiaSUlfi o
注记：方法2中用到了余弦定理，它依赖于厶08是三角形的内角。

因此，还需要补充讨论角。

和刃的终边共线,以及厶OJJ大于話的情形。

容易验证,公式在以上情形中依然成立。

在上边的证明中，用余弦定理计算如'的过程也可以用勾股定理来进行。

也可以用向量法来证明。

则fi A < t*cs a• 5in u > • ( rfi (L<J> y?* i/)4
山向秋数秋枳的定义*有
* oA= |OA | • | ( )51 post a—/J) =cos(o—J).
由向最效皐积的坐标表示• ti
页• (jfi-((X>S o • >111 a) * (ct)s Sill /)
cos ams (i ・own 戌
ro、(和i'(is oeos ^+sui osin
（二）在三角形的框架下推导和差角正弦公式
除了在单位圆的框架下推导和差角的余弦公式 ，还可以在三角形中构造和角或差角来
1.和角正弦公式 （一）
（方法3）如图所示,劝为 WC 的&边上的高,CE 为血边上的高。

设
= — g #,则。

从而有
—frcOSS CE = han a.
BC=CEcscP=b^n^cscfl
o
因此 zMJ AK I BK 吒rmc I “n LTG ■丿。

RD = AB sin a 二 A(oosa T sin acai 尸JsLaa
注意到 ED BC I 口 I
丄。

从而有： (cos24 sjaaajt/Qsuia ^sin^csc^suiOz-t
siii(a+^) =&n 在 casQ* cosasnfi
注记：在方法 3中，用丄忙 和与底角。

，"相关的三角函数
,从两个角度来表示
&边上高初，
从而得到所希望的等式关系。

这一证明所用的图形是基于钝角三角形
的，对基于直角或锐角三角形的情形，证明过程类似。

利用方法3中的图形，我们用类似于恒等变形的方式，可以得到下面的
（方法4）如图所示，M为 '仞C的AC边上的高，CE为佃边上的高。

设
ZCAB^a,43/二力，则如山=血+0。

AE AD
注意到“旦匚皿D，则有他占卫，即。

ADCJE BDRE
AB RC l AS迟c = 在血/T1■血<ZssQ。

利用正弦定理和射影定理，将得到下面这个非常简洁的证法。

架与方法3,4所用的图形框架是相同的。

（方法5）如图所示，8为厘盹的"边上的高。

设厶a
注意证明利用的图形框
/屮，则有圧（口丨旳，。

由正弦定理可得
JC £C
J
an/T sma oM^LA-fl ）
5
其中d 为的外接圆直径。

由 M = AC^os^-VBCcxts ff 得 ”^^口十血=皿血 “lbis<E*l ■疗或ndthos 咼
从而有
Qnkz 4-/A =sm aujfi^-kcos^Zsui Q。

2.和角正弦公式（二）
方法3,4和5利用的图形框架是将角
,丿*放在三角形的两个底角上。

如果将这两
个角的和作为三角形的一个内角
，将会有下面的几种证法
（方法6~11）。

（方法6）如图所示，作曲丄恥于D,交必^外接圆于E,连肚和心。

设 ZJtAE=a WCA£ = p 则a ZJCSK^P Z£AC M "
设 sc 的外接圆直径为d,则有, BE=d an a
BD = BEcxrsfi=d^auK fl CE=dsinp CD = CE OOG a =
dsin^cosa
所以有f>C fiB I 显(sin mis/门mscrsin //)
注意到DC = d从而血® *0)二siiimcosQT cnsasim0
(方法7)如图所示,初为山肚的必边上的高,皿为俪边上的高。

设AJCE=a, ZBCE=fi,则厶设CE= h ,则
AK=h^n rr BE = h tan fi BC = hsa.fi AH = J4JT+hftaurr-I tan/f)
5 5 5
又5D = 5Cani(ff + /9 =^scc /?sin(a*/9
从而(tan<l 4 tan/9 = sec/?sin(a +
整理可得血(a+网二血在cos强+0圧血0。

(方法8)如图所示，作妙丄OC于D,过D作Q打丄场于F,7X7丄砲于G。

设ZAOC = a,3C詡,则3雄二U",设血二r,从而
ED =rsin /? 6M) =rcxts/3 BG= BD casa =rsinflcGsa
5 5 5
GE = BF =OZ)SUKZ =rcosfiwi a。

所以该超二BGl-GE = r^m/?co£4Z-l-cos/7suia)。

注意到R2现+网，则有
sn(<Z + £T) =sm 口cfisE + cosa 血 fi。

注记：我们用两种不同的方法计算朋，得到了和角的正弦公式。

如果我们用两种方法来计算(M,则可以得到和角的余弦公式。

由上图可得
OF = ODaK<L=rcQ<sffGGsa
5
= =：iEDsuia = rsm/Jsiij£r
5
从而有OE = OF-EF=r(cos^ccsp-tijLadxkfi)。

注意到Qff = rcos(a+ff), 从而可得心比鲁厉二亦么口^厅-血盘血尸。

方法6,7和8都是用角。

,Q的三角函数从两个角度表示图形中的同一线段,从而构造出我们所希望的等式关系。

（方法9 ）如图所示，设切为^^的曲边上的高。

设ZG4
^ = a
N64二0,止=’ BC=a ,从而有
AD — b cos cc RD = d g 呂 b
1
CD = i since = tarsin p
因此
=—dcoscfjjsin /? + —a -(sin a cos /?+ cos a sin /3)
S JJSC —
sin XJCff = ^ab sin(ct + p)
sinfet + /?) = sin er cos p 4-cos ffsin /?
又因为 从而可得
方法9利用面积关系构造三角恒等式。

下面这两个证法的思路则有所不同。

AB = d cos p BC = d siny? CD = d sin a. . DA = zf cos a
RD — d
p)
由托勒密定理知
ACZBD = ABJ3)^AD^C
即
did sin(a 十 &〉= dcos 灼/ sin o:十 dcostxNsin 0
整理即得
sJn 《cr 十向二 sin or cos >5+cos cr sin p
（方法10）如图所示，设鹿为 的外接圆直径d,长度为d 。

设 Z^4C=ji?
ZC4£I = «
,从而
AB = d cos p EC = d siny?
CD=dsina^A=d^a
ED = d sin(ar+ 0)
由托勒密定理知
= +閱DNC
艮卩did sin(a+ ff) = dcQ^J^jd sin iZ+rfcosaG/sin
整理即得
sin(cr + /7) =sifi er cos >?+cos a sin B
注记：这一证明用到了托勒密定理：若必和建D是圆内接四边形的对角线d［甘sinfa+旬=rfcos貝甘血住+ £8£住山弘尸
（方法11）如图所示,CD为MSC的廊边上的高。

设厶切二a ,
ZBCD = fi,则ZACS =d ft。

设切“，则则有
AB = AD+ BZ? = ft(tan<z 十tan Q
JC=/tsecfi =
由正聽定理可徐
AB _ M _ EC
sin((X + /3) sin^ sin A
AB _ AC 月C
即sin(a + /J) cos/? cos a
AB AC+ EC
从而sifl(a+J3)casy?+ccs^
ftftan ff + tan 0) _ /j(secCK±5ec/5)
即sin(tr-i-j0} cos ]3+cQsa
整理即得
si n(oc + /?) - sin a cos /?十cos 兌sin 0
方法10和11将某一线段作为基本量，利用与角a ,尸相关的三角函数表示其它线段，再通过联系这些线段的几何定理（托勒密定理或正弦定理）,构造出我们希望的等式关系。

3.差角正弦公式
仍然还是在三角形中，我们可以在三角形的内角里构造出差角来。

方法12和13便
是用这种想法来证明的。

（方法12）如图所示
ZACB=-
2。

设—Q, "，记妙―\ 作
DE 丄如于E,则 从而有
CD = b stn DE —b sin(ez - J3)
DA = DE sec CL —b dn( OL — P) sec a.
因此有
AC = CD +ZM = &(siii 0+
p) see Ct)
注意到
RC = »亡3$ AC = BC tan« = i?os/?tan
■
sin jS+sin(t7—j^sectz = cos/? tan a
sin(cr -jJ)- sir crcosQ- cosasin 0
（方法13）如图所示,血为氐収的外接圆直径,长度为d 。

设 山仍
心门卩,则心门巴NS 戸化从而
从而 整理可得
.AD cos a;BD= e/sin cr
BC —d sin(a —AC —d C0s(£3( - p)
f
DE = AD tan/?—cos dttan/?
BE= 5Csec/? = rfsin(a-/?)sec/5
所以
RD = BE -\- DE —d—/7) sec /? + cos C L tan p)
注意到ED = £sin皿从而
sin a = sin(tr- sec/? + cosatan P
整理可得
sin(as -p) -sin ffcosy?- cossin /?
方法12和13的基本思路仍然是用两种不同方法计算同一线段，借此来构造等式关系。

很显然，在这十二种证法中，方法1和2更具普遍性。

换言之，这两种方法中出现的角 C ,刃是任意角。

而其余方法中,角皿和尸则有一定的限制,它们都是三角形
的内角(甚至都是锐角)。

因此，对于方法3~13,我们需要将我们的结果推广到角住和
B S亡［碍
P是任意角的情形。

具体而言，我们要证明：如果公式对任意2成立，则对
任意角也成立。

容易验证，角C和“中至少有一个是轴上角(即终边在坐标轴上的角),我们的公式是成立的。

下面证明,角也和庐都是象限角(即终边在坐标系的某一象限中的
角)时,我们的公式也成立。

不妨设m为第二象限角,尸为第三象限角,从而有
(2)简化课题：四个公式只要解决一个 ，其余的都可由它推出
a - + — 0<ofj < —
0二(2xl)g 戸J"】*亍叱2
sin （flr 4 0\ =sin ［（2?w^+
丄駕）+
（（加+ 1｝更+ 百）］ =呂in ［（2"i + 2« +》）处 + （□］ +
件）］
= _C0S@i +0J
=—costz T cos A 十 &in sm^
=cos 省（-cos + sin ：（-sin 处 —giiio cos p + cos a sin f3
同理可证，公式对于象限角 比和”的其它组合方式都成立。

因此 ，我们可以将方法
究性学习很有帮助。

从上文中可以看到，这一探究过程可分为四个步骤:
的等式或方程
从而
因此有
sin a — cos a cos a =—sin ct
* «. 4 d. h
V
sin^ = -sin^ cos ）S = -cos^
3~13推导的公式推广到角
是任意角的情形。

两角和差的正余弦公式是三角学中很基本的一组公式。

其推导证明对指导学生进行探
(1)明确推导证明的目标：构造联系。

和 川三角函数与网小“或"如旳
(3)解决问题：利用单位圆或三角形作为联系c和月三角函数与
品(比±£)的工具，寻找我们希望的等式关系；
(4)完善解决问题的方法：考察方法是否有普遍性。

如果普遍性有欠缺
可考虑将其化归为已解决的情形，必要时还要进行分类讨论。