正弦交流电路.ppt

一、正弦量的基本概念
（一）正弦交流电的三要素 1. 正弦量瞬时值中的最大值, 叫振幅值, 也叫峰值。
用大写字母带下标“m”表示, 如Um、Im等。 瞬时值指交流电在某一瞬时的值，用小写字母
表示，如 i 、e 、u 。
2. 周期和频率
正弦量变化一周所需的时间称为周期。通常 用T表示，单位为秒（S）。
正弦量一秒内重复变化的次数成为频率，用f 表示，其单位为赫兹（HZ）。
正弦量变化的快慢速度除用周期和频率表示 外，还可用角频率ω来表示，单位是rad/s。角频 率ω表示正弦量在单位时间内变化的弧度数, 即
a
(1)
t
u
Um

0
(
T 2
)
T t
图1 交流电的波形
2 2f (2)
例 7 一正弦电压的初相为60°, 有效值为100V, 试求 它的解析式。
因为U=100V, 所以其最大值为 100 2V 则电压
的解析式为 u 100 2 sin(t 60)V
三、正弦量的相量表示法
（一）
(1) 复数的代数形式A a jb
(2) 复数的三角形式
A r cos jrsin
i Im sin(t i )
(5)
例 1 在选定的参考方向下, 已知两正弦量的解析式为 u=200sin (1000t+200°) V, i=-5sin (314t+30°) A, 试求两个 正弦量的振幅值、角频率和初相。
解 (1) u=200sin(1000t+200°)=200sin(1000t-160°)V
示, 试写出正弦量的解析式。
解wenku.baidu.com
u1

200sin(t


3
)V
u2

250sin(t


6
)V
u/V
250
u2
200 u1
0


3
6
图3 例 2图
2
t
（二）相位差
两个同频率正弦量的相位之差, 称为相位差, 用字母“φ” 表示。
u1 Um1 sin(t 1) u2 Um2 sin(t 2 )
Q I 2RT
Q T i2R dt 0
I 2RT T i2R dt 0
I 1 T i2dt T0
U 1 T u2dt T0
（二） 正弦量的有效值
I
1 T
T 0
I
2 m
sin2 tdt

I
2 m
T 1 cos2t dt
T0
2

I
2 m
() i
10A
ωt
o
45°
74. 如图所示正弦交流电流的有效值是( )A。
i 10A
t o
A、5 2 B、5 C、10 D、6.7
60. 如图所示正弦交流电的角频率为( )rad/s。
i
o 0.5
T(s)
1.5
2.5
A、2.5
B、2
C、3.14
D、1.5
主要内容
一、正弦量的基本概念 二、正弦量的有效值 三、正弦量的相量表示法 四、正弦电路中的电阻元件 五、正弦电路中的电感元件 六、正弦电路中的电容元件 七、复阻抗 八、RLC串联电路 九、正弦交流电路的功率 十、功率因数的提高
0.01 o
0.03
0.05 T(s)
A、25
B、40
C、100
D、50
67. 电流i=10 2 Sin(314t-30°)A的相量为( )。 A、i=10ej30°A B、I=10e-j30°A C、I=14.1e-j30°A
D、I =10e-j30°A
180. 如图所示正弦交流电的瞬时值表示式为i=10Sin(ωt+45°)A。
φ12=θ1-θ2=120°-(-90°)=210°
考虑到正弦量的一个周期为360°, 故可以将φ12=210°表示 为φ12=-150°<0, 表明u1滞后于u2 150°。
二、 正弦量的有效值
（一） 有效值的定义 交流电的有效值。 交流电的有效值是根
据它的热效应确定的。交流电流i通过电阻R 在一个周期内所产生的热量和直流电流I通过 同一电阻R在相同时间内所产生的热量相等, 则这个直流电流I的数值叫做交流电流i的有效 值, 用大写字母表示, 如I、 U等。
220 2 sin(t 125)V
所以电压u的初相角为-125°, 电流i的初相角为45°。
ui u i 125 45 170 0
表明电压u滞后于电流i 170°
例 4 分别写出图4中各电流i1、 i2的相位差, 并说明i1 与i2
i
i1
i2

3
A r1 1 r1 B r2 2 r2
1 2
（三） 正弦量的相量表示法
＋j
＋j
B
b
t1 A
O

＋1
a t1
Um
O′
t
图7 正弦量的复数表示
U me j e jt U me j(t )
Um cos(t ) jUm sin(t )
(3) 复数的指数形式
A re j
(4) 复数的极坐标形式
A r
＋j b
r
O
P a ＋1
图5 复数的矢量表示
例 7 写出复数A=100/30°的三角形式和代数形式。 解 三角形式A=100（cos30°+jsin30° 代数形式A=100(cos30°+jsin30°)=86.6+j50 （二） 复数的四则运算 (1) 复数的加减法
相位差
12 (t 1) (t 2 ) 1 2 （4.8）
例 3 已知 u 220 2 sin(t 235)V , i 10 2 sin(t 45) A
求u和i的初相及两者间的相位关系。
解
u 220 2 sin(t 235)V
试求两正弦电压的解析式。
解 由于
2f 2 50 100rad / s
U1 10 2V , 1 60
U2 20 2V , 2 30
所以
u1 2U1 sin(t 1) 20sin(100t 60)V u2 2U2 sin(t 2 ) 40sin(100t 30)V
A、模表示正弦量的有效值
B、幅角表示正弦量的初相
C、幅角表示正弦量的相位
D、相量只表示正弦量与复数间的对应关系
29. 如图所示正弦交流电的初相位是( )。
i
o π /6
7π /6 13π /6 ω t
A、π/6
B、-(π/6) C、7π/6
D、π/3
37. 如图所示正弦交流电的频率为( )Hz。
i
所以电压的振幅值Um=200V, 角频率ω=1000rad/s, 初相θu=160°。
(2) i=-5sin(314t+30°)=5sin(314t+30°+180°)=5sin(314t150°)A
所以电流的振幅值Im=5A, 角频率ω=314rad/s, 初相θi=-150°。
例 2 已知选定参考方向下正弦量的波形图如图4.4所
正弦交流电路
正弦交流电
1 正弦交流电路中的总电压、总电流的最大值分别为
U m和 I m ，则视在功率为
.
2 已知正弦交流电流的最大值是 I m正弦交流电流的
有效值是
。
3 正弦交流电的角频率、频率、周期。
4 正弦量的向量表示法
设某正弦电流为 i 2Im sin(t i ) 其对应的
向量表示为
2
2
2
0
t
i i1
i2
0


2
3
2 t
2
＝
(a)
(b)
i
i1
i2
i
i1
i2

3 2 t
2
2



3 2
t
2
2
3 4
(c)
图4 例 4图
(d)
解 (a) 由图知θ1=0, θ2=90°, φ12=θ1-θ2=-90°, 表明i1滞后 于i2 90°。
(b) 由图知θ1=θ2, φ12=θ1-θ2=0, 表明二者同相。

U
Ue j

Um
e j
U

Um

2
2
例 8 已知同频率的正弦量的解析式分别为
i=10sin(ωt+30°), 写出电流的相量

I
。
解 由解析式可得

I

10
e j30

10
30 5 2 30A
2
2
例 9 已知工频条件下, 两正弦量的相量分别为


U1 10 2 60V ,U 2 20 2 30V
T
3.相位和初相
e Em sin(t )
上式中的(ωt+θ)是反映正弦量变化进程的电角度, 可根 据(ωt+θ)确定任一时刻交流电的瞬时值, 把这个电角度称为 正弦量的“相位”或“相位角”, 把t=0时刻正弦量的相位 叫做“初相”, 用字母“θ”表示。规定|θ|不超过π弧度。
i i1＝Imsint
A1 a1 jb1 r1 1 A2 a2 jb2 r2 2
则
A1 A2 (a1 a2 ) j(b1 b2 )
（4.16）
＋j A1＋A2
(2) 复数的乘除法
A2
A1－A2 A1
O
＋1
图6 复数相加减矢量图
A B r1 1 r2 2 r1 r2 1 2
t

U Rm I Rm 2
(1

cos2t)
URIR (1 cos2t)
工程上都是计算瞬时功率的平均值, 即平均功率, 用大 写字母P表示。 周期性交流电路中的平均功率就是其瞬时 功率在一个周期内的平均值, 即
(
T
dt
T
cos2tdt)
I
2 m
(T
0)
2T 0
0
2T
I

Im 2
0.707Im
U

Um 2

0.707Um
Um 220 2 311V
例 6 电容器的耐压值为 250V, 问能否用在220V的单
解 因为 220V的单相交流电源为正弦电压, 其振幅值 为311 V, 大于其耐压值250V,电容可能被击穿, 所以不能接 在220 V的单相电源上。各种电器件和电气设备的绝缘水 平（耐压值）, 要按最大值考虑。
或
URm IRm R
IR

UR R
3) 电阻元件上电流和电压之间的相位关系
iR uR uR
iR
0

t
·IR U·R
(a)
(b)
图9 电阻元件上电流与电压之间的关系
（二） 电阻元件上电压与电流的相量关系
iR IRm sin(t )

IR IR
uR U Rm sin(t )

U

L

I
。（）
11、采用降低供用电设备的无功功率，可提高
。
12、在感性电路中，提高用电器的效率应采用电容并联补偿 法。（）
13、阻值为6 的电阻与容抗为8 的电容串联后接在交流电
路中，功率因数为
。
14、为了提高设备的功率因数，可采用措施降低供用电设备 消耗的无功功率。（）
15. 关于正弦交流电相量的叙述中，( )的说法不正确的。
。
5、纯电容或纯电感电路无功功率等于电路瞬时功率 的最大值。（）
6、解析法是用三角函数表示正弦交流电的一种方法。
7、在感性负载的两端并联适当的电容器，是为了 提高功率因数 。
8、阻值为4 的电阻和容抗为3 的电容串联，总复数阻
抗为
。
9、纯电容电路的功率因数
零。
10、在纯电感电路中欧姆定律的符号形式是
(c) 由图知θ1-θ2=π, 表明二者反相。
(d) 由图知θ1=0,
前于 i2
3
4
2


3
4
,12

1
2

3
4
,
表明i1超
例5已知 u1 220 2 sin(t 120 )V , u2 220 2 sin(t 90 )V ,
试分析二者的相位关系。
解 u1的初相为θ1=120°, u2的初相为θ2=-90°, u1和u2的 相位差为
i
i2＝Imsin(t＋
2)
i
i3＝Imsin(t＋
6)
i
i4＝Imsin(t－
6)
0
t
0
t
0
t 0
t
2
6
6
(a)
(b)
(c)
(d)
图2 几种不同计时起点的正弦电流波形
e Em sin(t e ) (3)
u Um sin(t u ) (4)
四、正弦电路中的电阻元件
（一）电阻元件上电压与电流的关系
iR
uR
R
图 8 纯电阻电路
1) 电阻元件上电流和电压之间的瞬时关系
iR

uR R
2)
若 uR URm sin(t )
则
iR

uR R
URm R
sin(t )
IRm sin(t )
其中
I Rm

U Rm R

U R UR IR R


UR IR R
（二） 电阻元件的功率
交流电路中, 任一瞬间, 元件上电压的瞬时值与电流的 瞬时值的乘积叫做该元件的瞬时功率, 用小写字母p表示, 即
p ui
pR uRiR URm sint IRm sint

U Rm I Rm
sin2