圆中的基本图形和常见数学思想

圆中的基本图形和常见数学思想

圆一直是初中阶段数学学习的一个难点，因为圆中知识点很多，综合性也很强。而且中考中圆常常和四边形，三角形，甚至代数中的二次函数结合起来考察学生的能力。所以学生遇到圆的综合题往往觉得相当吃力。针对这种情况，笔者一直在考虑如何突破圆的教学难关，让学生对圆不再望而生畏，并且提高解题能力。

教师有必要把圆中涵盖的知识点融入到几个基本图形中，并教会学生在复杂的图形中提炼出基本图形。另外一定要帮助学生进行解题方法的训练和总结。让他们熟悉圆中常用的数学方法。笔者归纳了以下几个方面的内容，概述如下。

1 圆中基本图形主要有

这个图形中涵盖了：

１、垂径定理及其推论；

２、同弧所对的圆心角是圆周角的两倍；

３、半径、弦心距、弓形高、弦长四者的关系；

４、直径所对的圆周角是直角

这个图形中涵盖了：

１、圆的内接四边形的对角互补，外角等于内对角，

２、相似关系;

３、割线定理

这个图形中涵盖了：

１、弦切角等于所夹弧所对的圆周角，

２、相似关系;

３、切割线定理

这个图形中涵盖了：

１、三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点，并且到三角形三个顶点的距离相等２、同弧所对的圆心角是圆周角的两倍

这个图形中涵盖了：

１、从圆外引圆的两条切线，切线长相等。

２、三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，并且到三角形三条边的距离相等３、三角形的面积和周长、内切圆半径三者的关系，

４、三角形两条内角角平分线组成的夹角与第三个内角的关系

这个图形中涵盖了：

１、同弧所对的圆周角相等，

２、相似关系，

３、相交弦定理

这个图形中涵盖了：

１、直径所对的圆周角是直角，９０度的圆周角所对的弦是直径

２、相似关系，射影定理，

３、直角三角形的外心在斜边的中点

４、直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半

这个图形中涵盖了：

１、连心线垂直平分公共弦

２、圆的对称性

这个图形中涵盖了:

等边三角形的内切圆半径、外接圆半径、等边三角形的边长三者的比例关系。这个图形中涵盖了:

正方形的内切圆半径、外接圆半径、正方形的边长三者的比例关系。

这个图形中涵盖了:

正六边形的内切圆半径、外接圆半径、正六边形的边长三者的比例关系。

以上基本图形中蕴涵了圆和四边形.三角形中众多的知识点,教师在教学过程中应当提醒学生关注这些图形的特点,并针对性地训练学生去发现和识别基本图形.另外为了得到基本图形,有时需要我们添加辅助线.圆中常见辅助线有:

1.已知直径时,常构造直径所对的圆周角.

2.连接半径或者作弦心距, 构造直角三角形,为用垂径定理或者勾股定理创造条件.

3.与切线有关的问题也常常连接圆心和切点, 构造直角三角形.

4.两圆的问题中常常连接两个圆心或者连接两圆的交点.

5.需要转化角度的时候，常作弦构造同弧所对的圆周角

做辅助线是解决圆中问题常用的方法，一条恰当的辅助线可以达到柳暗花明又一村的效果，可以事半功倍，将问题迎刃而解。所以多让学生体会辅助线的做法，发动他们自己总结。初中数学教师的任务是教会学生思考,善于思考,古语有云:学而不思则罔,思而不学则贻,当然,强化思维训练对培养和提高学生的创新能力和水平,也是大有帮助的. 所以除了让学生掌握基本图形之外,还需要在教学过程中渗透数学思想方法.因为只有学生掌握了数学的思想方法,才是掌握了数学的精髓..数学的知识点会随着时间慢慢地遗忘。但是数学的思想方法一旦学生掌握之后就很难遗忘并且会让学生终生受益。数学说穿了就是一种思维训练，只要数学思维能力强的人就会比较轻松地解决数学问题。我们要培养的不是只会计算的学生，而是会学习会思考会探究问题的学生。为了达到这个目的，我们应当把对学生的思维训练放在教学的首位。

2 圆中常用的数学方法有

1.设未知数建构方程，或者引入参数，构造直角三角形，相似三角形，利用勾股定理，三角函数，比例线段解决问题，这不仅仅是解决圆中计算题常用的方法，其实也是解决几何问题常用的方法。

2.转化的思想：

例如：证明线段相等证明角相等

利用全等三角形利用相似三角形或者全等三角形

找中间量找中间量

利用同弧或者等弧利用互余或者互补的角转化

利用中点或者中位线利用同弧或者等弧

利用线段的垂直平分线利用平行线的性质

利用对称性利用角平分线或者对顶角的性质

转化的思想是数学中极其重要的思想方法，把未知量转化为已知量，把新问题转化为已经解决的问题，把不规则图形转化为规则图形，把一般情况转化为特殊情况，把线段相等转化为角相等。。。。。。可以这么说，处处都可以用到转化的思想。

3.分类讨论的思想，这是解决圆中问题经常运用到的方法。遇到需要自己画图解决的问题中常要考虑分类的方法，遇到动点，动弦的问题时也常常要考虑分类解决。还有在两个三角形相似但对应关系不确定的时候往往也要考虑多种情况。两圆相切时要考虑外切和内切；求弓形面积的时候要考虑优弧还是劣弧所对应的弓形。分类讨论是学生容易忽视的，但是只要经过专题训练和意识强化，学生会逐渐掌握这种重要的思想方法。

4.从特殊到一般的思想。在证明有些结论的时候，如果感觉无从下手，可以把特殊情况

下的图形画出来后证明此结论，然后再通过作辅助线把原图形转化为特殊情况下的图形进行证明。

5.数形结合的思想，就是能把图形和对应的数量关系紧密地联系起来。这样可以非常形象地

记忆知识点，也可以全面把握图形的特征和性质。

比如说,看见以下图形就分别与三种数量关系联系在一起: 直线与圆相离d〉r ; 直线与圆相切d=r ;直线与圆相交d〈r.

又例如,说起外离就联想到d〉R+r和图1．说起外切就联想到d=R+r和图2．说起相交就想起R-r〈d〈R+r和图３．

圆中的题需要反复练反复总结，教师要精选例题和训练题，并培养学生自觉总结一道题中的知识要点和数学思想的良好习惯。同时应该加强对学生学生发散思维能力的训练。培养学生学生发散思维能力的方法有：

1.变式训练。变换问题的条件和结论，引导学生进行多角度、多层次的思考。

2.多向思考训练。鼓励学生一题多解，多题一解。

另外，要想提高学生学习数学的兴趣，不被数学中的困难所吓倒，教师可以开展多种教学活动。比如手工操作，作图演示，合作交流，质疑探究，争当小老师。。。。。。尽可能多给学生思考和表诉的机会，让同学们互相评议，积极探究最好的解题方法。一旦学生在合作交流中获得快乐和信心，就会逐渐对学习充满兴趣。

作为老师，应该不断给学生鼓励，让他们对圆的学习充满信心。告诉学生；只要用心体会，学习一定可以走上新的台阶。

以上是笔者结合工作实际总结出来的一些心得体会，不当之处敬请大家批评指正。

圆中的题需要反复练反复总结，教师要精选例题和训练题，并培养学生自觉总结一道题中的知识要点和数学思想的良好习惯。同时应该加强对学生学生发散思维能力的训练。培养学生学生发散思维能力的方法有：

1.变式训练。变换问题的条件和结论，引导学生进行多角度、多层次的思考。

2.多向思考训练。鼓励学生一题多解，多题一解。另外，要想提高学生学习数学的兴趣，不被数学中的困难所吓倒，教师可以开展多种教学活动。比如手工操作，作图演示，合作交流，质疑探究，争当小老师。。。。。。尽可能多给学生思考和表诉的机会，让同学们互相评议，积极探究最好的解题方法。一旦学生在合作交流中获得快乐和信心，就会逐渐对学习充满兴趣。作为老师，应该不断给学生鼓励，让他们对圆的学习充满信心。告诉学生；只要用心体会，学习一定可以走上新的台阶。以上是笔者结合工作实际总结出来的一些心得体会，不当之处敬请大家批评指正。