信号与线性系统复习总结课件_管致中等主编
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k
则零输入响应的形式为
rzi (t ) (C 0 C1t C 2 t 2 C k 1t k 1 )e 1t C k 1e k 1 C n e n
其中 C0 ,, Ck 1 , Ck 1 ,, Cn 也是由系统的初始条件 确定的待定系数。
§2.6
§2.2
系统数学模型的建立
1) 构成电路各个元件上的电压和电流的关系。由于 所讨论的电路系统最终可以等效为由理想元件电阻、 电容、电感所构成，因此应掌握这些元件电压与电流 的关系：
R:
L:
C:
uR R iR
di L uL L dt
1 t uC iC (τ )dτ C
2) 基尔霍夫电压和电流定律。
由上式可见： • 仅当2π/ β为整数时，正弦序列才具有周期N = 2π/ β。 • 当2π/ β为有理数时，正弦序列仍为具有周期性，但其周期 为N= m(2π/ β)，m取使N为整数的最小整数。 • 当2π/ β为无理数时，正弦序列为非周期序列。
1.2 信号的分类及性质 4．能量信号与功率信号
将信号f (t)施加于1Ω电阻上，它所消耗的瞬时功率为| f (t) |2， 在区间(–∞ , ∞)的能量和平均功率定义为：
阶跃响应和冲激响应
单位冲激响应 以单位冲激信号作为激励信号时， 系统的零状态响应,记为 h(t ) 。 单位阶跃响应 以单位阶跃信号作为激励信号时, 系统的零状态响应，记为 r (t )。
一、冲激响应
d n h(t ) dt n a n 1
bm
d n 1 h(t ) dt n 1
a1
一、特征根为单根的情况
p n a n1 p n1 a1 p a0 0 的根为 设
1 , 2 , , n ,且彼此不等，即 1 2 n ( p 1 )( p 2 ) ( p n ) 0
则零输入响应Hale Waihona Puke Baidu形式为
k
e(kt ) (t kt ) t
e(kt ) h(t kt ) t
eb (t ) e(t )
rb (t )
t 0
k
rb (t ) r (t )
dh(t ) a 0 h(t ) dt
b1 d (t ) b0 (t ) dt
d m (t ) dt m
bm 1
d m 1 (t ) dt m 1
*冲激响应的模式
n 1、 m 的情况
h(t )中不含冲激项
n Ci eit i 1 h(t ) 0
§2.3
系统的零输入响应
外加激励信号为0，仅仅由系 统的初始条件(状态)所产生的 响应，记为 rzi (t ) 。
零输入响应———
零输入响应的求解需要以下几步： (1) 建立系统的数学模型； (2) 列特征方程，求特征根； (3) 确定零输入响应的模式； (4) 用初始条件确定待定系数。
需要注意的就是初始条件（起始状态(0-)、初始状 态(0+)）的使用。
1.2 信号的分类及性质
例2 判断正弦序列f(k) = sin(βk)是否为周期信号， 若是，确定其周期。
解 f (k) = sin(βk) = sin(βk + 2mπ) ， m = 0,±1,±2,…
2π sin k m β sin[β (k mN)] β
1.3 信号的基本运算
一、信号的＋、－、×运算
两信号f1(· 和f2 (· ) )的相+、－、×指同一时刻两 信号之值对应相加减乘 。如
2 , k 1 3 , k 0 f1 (k ) 6 , k 1 0 , k其他
2, k 1 3 , k 0 6, k 0 2 , k 1 f 1 (k ) f 2 (k ) 8, k 1 f 2 (k ) 4, k 2 4 , k 2 0 , k其他 9 , k 0 0, k其他 f 1 ( k ) f 2 ( k ) 12 , k 1 0 , k其他
1.2 信号的分类及性质 2. 连续信号和离散信号
（1）连续时间信号：
在连续的时间范围内(-∞<t<∞）有定义的信号称为连 续时间信号，简称连续信号。 如取值也连续则常称为模拟信号。 这里的“连续”指函数的定义域—时间是连续的，但 可含间断点，至于值域可连续也可不连续。
（2）离散时间信号：
仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号， 简称离散信号。 如取值也离散则常称为数字信号。 这里的“离散”指信号的定义域—时间是离散的，它只 在某些规定的离散瞬间给出函数值，其余时间无定义。
t 0 n Ci ei t (t )
t 0
i 1
n 2、 m 情况
n i 1
h(t ) 中含有冲激项
ki eλ i t
h(t )
t 0
Bδ (t )
0
t 0
t 0
i 1
n
k i eλ i t ε (t ) Bδ (t )
3、n m 的情况 h(t )中不仅含有 (t ) 项， 而且还含有 (t )项、 (t )项等，这主要取决 于n 比 m 小几。
rzi (t ) C1e 1t C2 e 2t Cn e nt
其中 C1 , C2 ,, Cn 是由初始条件确定的待定系数。
二、特征根有重根的情况 假设1是特征方程的 k 阶重根，即特征方程有 ( p 1 ) 因子，其余为单根，即特征方程可表示为：
( p 1 ) k ( p k 1 ) ( p n ) 0
d n r (t ) d n1r (t ) dr(t ) an1 a1 a0 r (t ) n n 1 dt dt dt
bm d m e(t ) dt m bm 1 d m 1 e(t ) dt m 1 b1 de(t ) b0 e(t ) dt
第二章 连续时间系统的时域分析
基本概念：系统的数学模型、特征方程、特征根、
奇异函数、零输入响应、零状态响应 、 单位冲激响应、单位阶跃响应、自然 响应、受迫响应、瞬态响应、稳态响应、 卷积。
基本运算：零输入响应的求解、单位冲激响应及单位
阶跃响应的求解、零状态响应的求解、卷 积的几何含义、卷积性质的应用。
f (t )
t
不具有周期性的信号称为非周期信号。
1.2 信号的分类及性质
例1 判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。 （1）f1(t) = sin2t + cos3t （2）f2(t) = cos2t + sinπt
解：两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期 之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号， 其周期为T1和T2的最小公倍数。
（1）sin2t是周期信号，其角频率和周期分别为 ω1= 2 rad/s ， T1= 2π/ ω1= πs cos3t是周期信号，其角频率和周期分别为 ω2= 3 rad/s ， T2= 2π/ ω2= (2π/3) s 由于T1/T2= 3/2为有理数，故f1(t)为周期信号。 其周期为T1和T2的最小公倍数2π。 （2） cos2t 和sinπt的周期分别为T1= πs， T2= 2 s， 由于T1/T2为无理数，故f2(t)为非周期信号。
*几种典型信号的表达式和波形
* 抽样函数(sampling)
f (t )
t
sin t f (t ) Sa(t ) t
Sa(t ) 是偶函数， , 2 , t Sa(t ) 具有以下性质：
0
时，函数值为0。
Sa (t ) dt
2
Sa(t )dt
我爱信号
第一章 信号与系统 1.1 绪论 1. 信号的表示
电信号的基本形式：随时间变化的电压或电流。 描述信号的常用方法（1）表示为时间的函数 （2）图形表示--波形
2. 系统的表示
e(t )
• 系统可以用下面的方框图来表示
r (t )
e(t )是输入信号，称为激励; r (t )是输出信号，称为响应。
1.2 信号的分类及性质 3. 周期信号和非周期信号
周期信号(period signal)是定义在(-∞，∞)区间，每 隔一定时间T (或整数N），按相同规律重复变化的信号。 连续周期信号f(t)满足 f(t) = f(t + mT)，m = 0,±1,±2,… 离散周期信号f(k)满足 f(k) = f(k + mN)，m = 0,±1,±2,… 满足上述关系的最小T(或整数N)称为信号的周期。
（1）信号的能量E
E
def
def
f (t ) d t
2
（2）信号的功率P
1 P lim T T
T 2 T 2
f (t ) d t
2
定义：若信号f (t)的能量有界，即 E <∞ ,则称其为能量有限 信号，简称能量信号。此时 P = 0 定义：若信号f (t)的功率有界，即 P <∞ ,则称其为功率有限 信号，简称功率信号。此时 E = ∞
1.3 信号的基本运算
二、信号的时间变换运算
三种运算的次序可任意。 已知f (t)，画出 f (– 4 – 2t)。 但注意始终对时间 t 进行！
f(t) 1 -2 o 2
f (t -4)
右移4，得f (t – 4)
t
o
1 2 4 6 t
压缩，得f (2t – 4)
f (-2t -4) 1 -3 -1 o t
1.2
信号的分类及性质
1. 确定信号和随机信号
确定信号：
可以用确定时间函数表示的信号，称为确定信号或 规则信号。如正弦信号。
随机信号：
若信号不能用确切的函数描述，它在任意时刻的取 值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性，如在某 时刻取某一数值的概率，这类信号称为随机信号或不确 定信号。 研究确定信号是研究随机信号的基础。 本课程只讨论确定信号。
h(t ) 的系数 Ci 、k i 和 B 可以通过方程两
边平衡的原则加以确定。 二、阶跃响应 根据线性时不变系统的性质求 即 h(t ) 与 r (t ) 之间满足微积分的关系，因 此阶跃响应可以通过对冲激响应积分求解 得到。
§2.7 叠加积分
二、卷积积分 激励信号用冲激信号近似表示的形式为
eb (t )
R M
e(t )
L
L
i 2 (t )
i1 (t )
di2 (t ) di1 (t ) L dt R i1 (t ) M dt e(t ) R L di2 (t ) R i (t ) M di1 (t ) 0 2 dt dt
数学模型是线性常系数微分方程，推广得到n阶 系统的数学模型为：
反转，得f (– 2t – 4)
o
f (2t -4) 1 1 2 3 t
1.4 系统的分类方法
1. 连续系统与离散系统 2. 动态系统与即时系统 3. 线性系统与非线性系统 4. 时不变系统与时变系统 5. 因果系统与非因果系统 6. 稳定系统与不稳定系统
1.5 LTI系统的性质
1. 齐次性（homogeneity，均匀性、比例性scaling） 若 e(t ) r (t ) 则 ke(t ) kr(t ) 2．叠加性（可加性additivity） 若 e1 (t ) r1 (t ), e2 (t ) r2 (t ) 则 e1 (t ) e2 (t ) r1 (t ) r2 (t ) 3．时不变性（非时变性） 若 e(t ) r (t ) 则 e(t t0 ) r (t t0 ) 综合1、2、3性质有: 若 e1 (t ) r1 (t ), e2 (t ) r2 (t ) 则 k1e1(t t0 ) k2e2 (t t0 ) k1r1(t t0 ) k2r2 (t t0 ) * 线性时不变系统的判决（重要）
则零输入响应的形式为
rzi (t ) (C 0 C1t C 2 t 2 C k 1t k 1 )e 1t C k 1e k 1 C n e n
其中 C0 ,, Ck 1 , Ck 1 ,, Cn 也是由系统的初始条件 确定的待定系数。
§2.6
§2.2
系统数学模型的建立
1) 构成电路各个元件上的电压和电流的关系。由于 所讨论的电路系统最终可以等效为由理想元件电阻、 电容、电感所构成，因此应掌握这些元件电压与电流 的关系：
R:
L:
C:
uR R iR
di L uL L dt
1 t uC iC (τ )dτ C
2) 基尔霍夫电压和电流定律。
由上式可见： • 仅当2π/ β为整数时，正弦序列才具有周期N = 2π/ β。 • 当2π/ β为有理数时，正弦序列仍为具有周期性，但其周期 为N= m(2π/ β)，m取使N为整数的最小整数。 • 当2π/ β为无理数时，正弦序列为非周期序列。
1.2 信号的分类及性质 4．能量信号与功率信号
将信号f (t)施加于1Ω电阻上，它所消耗的瞬时功率为| f (t) |2， 在区间(–∞ , ∞)的能量和平均功率定义为：
阶跃响应和冲激响应
单位冲激响应 以单位冲激信号作为激励信号时， 系统的零状态响应,记为 h(t ) 。 单位阶跃响应 以单位阶跃信号作为激励信号时, 系统的零状态响应，记为 r (t )。
一、冲激响应
d n h(t ) dt n a n 1
bm
d n 1 h(t ) dt n 1
a1
一、特征根为单根的情况
p n a n1 p n1 a1 p a0 0 的根为 设
1 , 2 , , n ,且彼此不等，即 1 2 n ( p 1 )( p 2 ) ( p n ) 0
则零输入响应Hale Waihona Puke Baidu形式为
k
e(kt ) (t kt ) t
e(kt ) h(t kt ) t
eb (t ) e(t )
rb (t )
t 0
k
rb (t ) r (t )
dh(t ) a 0 h(t ) dt
b1 d (t ) b0 (t ) dt
d m (t ) dt m
bm 1
d m 1 (t ) dt m 1
*冲激响应的模式
n 1、 m 的情况
h(t )中不含冲激项
n Ci eit i 1 h(t ) 0
§2.3
系统的零输入响应
外加激励信号为0，仅仅由系 统的初始条件(状态)所产生的 响应，记为 rzi (t ) 。
零输入响应———
零输入响应的求解需要以下几步： (1) 建立系统的数学模型； (2) 列特征方程，求特征根； (3) 确定零输入响应的模式； (4) 用初始条件确定待定系数。
需要注意的就是初始条件（起始状态(0-)、初始状 态(0+)）的使用。
1.2 信号的分类及性质
例2 判断正弦序列f(k) = sin(βk)是否为周期信号， 若是，确定其周期。
解 f (k) = sin(βk) = sin(βk + 2mπ) ， m = 0,±1,±2,…
2π sin k m β sin[β (k mN)] β
1.3 信号的基本运算
一、信号的＋、－、×运算
两信号f1(· 和f2 (· ) )的相+、－、×指同一时刻两 信号之值对应相加减乘 。如
2 , k 1 3 , k 0 f1 (k ) 6 , k 1 0 , k其他
2, k 1 3 , k 0 6, k 0 2 , k 1 f 1 (k ) f 2 (k ) 8, k 1 f 2 (k ) 4, k 2 4 , k 2 0 , k其他 9 , k 0 0, k其他 f 1 ( k ) f 2 ( k ) 12 , k 1 0 , k其他
1.2 信号的分类及性质 2. 连续信号和离散信号
（1）连续时间信号：
在连续的时间范围内(-∞<t<∞）有定义的信号称为连 续时间信号，简称连续信号。 如取值也连续则常称为模拟信号。 这里的“连续”指函数的定义域—时间是连续的，但 可含间断点，至于值域可连续也可不连续。
（2）离散时间信号：
仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号， 简称离散信号。 如取值也离散则常称为数字信号。 这里的“离散”指信号的定义域—时间是离散的，它只 在某些规定的离散瞬间给出函数值，其余时间无定义。
t 0 n Ci ei t (t )
t 0
i 1
n 2、 m 情况
n i 1
h(t ) 中含有冲激项
ki eλ i t
h(t )
t 0
Bδ (t )
0
t 0
t 0
i 1
n
k i eλ i t ε (t ) Bδ (t )
3、n m 的情况 h(t )中不仅含有 (t ) 项， 而且还含有 (t )项、 (t )项等，这主要取决 于n 比 m 小几。
rzi (t ) C1e 1t C2 e 2t Cn e nt
其中 C1 , C2 ,, Cn 是由初始条件确定的待定系数。
二、特征根有重根的情况 假设1是特征方程的 k 阶重根，即特征方程有 ( p 1 ) 因子，其余为单根，即特征方程可表示为：
( p 1 ) k ( p k 1 ) ( p n ) 0
d n r (t ) d n1r (t ) dr(t ) an1 a1 a0 r (t ) n n 1 dt dt dt
bm d m e(t ) dt m bm 1 d m 1 e(t ) dt m 1 b1 de(t ) b0 e(t ) dt
第二章 连续时间系统的时域分析
基本概念：系统的数学模型、特征方程、特征根、
奇异函数、零输入响应、零状态响应 、 单位冲激响应、单位阶跃响应、自然 响应、受迫响应、瞬态响应、稳态响应、 卷积。
基本运算：零输入响应的求解、单位冲激响应及单位
阶跃响应的求解、零状态响应的求解、卷 积的几何含义、卷积性质的应用。
f (t )
t
不具有周期性的信号称为非周期信号。
1.2 信号的分类及性质
例1 判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。 （1）f1(t) = sin2t + cos3t （2）f2(t) = cos2t + sinπt
解：两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期 之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号， 其周期为T1和T2的最小公倍数。
（1）sin2t是周期信号，其角频率和周期分别为 ω1= 2 rad/s ， T1= 2π/ ω1= πs cos3t是周期信号，其角频率和周期分别为 ω2= 3 rad/s ， T2= 2π/ ω2= (2π/3) s 由于T1/T2= 3/2为有理数，故f1(t)为周期信号。 其周期为T1和T2的最小公倍数2π。 （2） cos2t 和sinπt的周期分别为T1= πs， T2= 2 s， 由于T1/T2为无理数，故f2(t)为非周期信号。
*几种典型信号的表达式和波形
* 抽样函数(sampling)
f (t )
t
sin t f (t ) Sa(t ) t
Sa(t ) 是偶函数， , 2 , t Sa(t ) 具有以下性质：
0
时，函数值为0。
Sa (t ) dt
2
Sa(t )dt
我爱信号
第一章 信号与系统 1.1 绪论 1. 信号的表示
电信号的基本形式：随时间变化的电压或电流。 描述信号的常用方法（1）表示为时间的函数 （2）图形表示--波形
2. 系统的表示
e(t )
• 系统可以用下面的方框图来表示
r (t )
e(t )是输入信号，称为激励; r (t )是输出信号，称为响应。
1.2 信号的分类及性质 3. 周期信号和非周期信号
周期信号(period signal)是定义在(-∞，∞)区间，每 隔一定时间T (或整数N），按相同规律重复变化的信号。 连续周期信号f(t)满足 f(t) = f(t + mT)，m = 0,±1,±2,… 离散周期信号f(k)满足 f(k) = f(k + mN)，m = 0,±1,±2,… 满足上述关系的最小T(或整数N)称为信号的周期。
（1）信号的能量E
E
def
def
f (t ) d t
2
（2）信号的功率P
1 P lim T T
T 2 T 2
f (t ) d t
2
定义：若信号f (t)的能量有界，即 E <∞ ,则称其为能量有限 信号，简称能量信号。此时 P = 0 定义：若信号f (t)的功率有界，即 P <∞ ,则称其为功率有限 信号，简称功率信号。此时 E = ∞
1.3 信号的基本运算
二、信号的时间变换运算
三种运算的次序可任意。 已知f (t)，画出 f (– 4 – 2t)。 但注意始终对时间 t 进行！
f(t) 1 -2 o 2
f (t -4)
右移4，得f (t – 4)
t
o
1 2 4 6 t
压缩，得f (2t – 4)
f (-2t -4) 1 -3 -1 o t
1.2
信号的分类及性质
1. 确定信号和随机信号
确定信号：
可以用确定时间函数表示的信号，称为确定信号或 规则信号。如正弦信号。
随机信号：
若信号不能用确切的函数描述，它在任意时刻的取 值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性，如在某 时刻取某一数值的概率，这类信号称为随机信号或不确 定信号。 研究确定信号是研究随机信号的基础。 本课程只讨论确定信号。
h(t ) 的系数 Ci 、k i 和 B 可以通过方程两
边平衡的原则加以确定。 二、阶跃响应 根据线性时不变系统的性质求 即 h(t ) 与 r (t ) 之间满足微积分的关系，因 此阶跃响应可以通过对冲激响应积分求解 得到。
§2.7 叠加积分
二、卷积积分 激励信号用冲激信号近似表示的形式为
eb (t )
R M
e(t )
L
L
i 2 (t )
i1 (t )
di2 (t ) di1 (t ) L dt R i1 (t ) M dt e(t ) R L di2 (t ) R i (t ) M di1 (t ) 0 2 dt dt
数学模型是线性常系数微分方程，推广得到n阶 系统的数学模型为：
反转，得f (– 2t – 4)
o
f (2t -4) 1 1 2 3 t
1.4 系统的分类方法
1. 连续系统与离散系统 2. 动态系统与即时系统 3. 线性系统与非线性系统 4. 时不变系统与时变系统 5. 因果系统与非因果系统 6. 稳定系统与不稳定系统
1.5 LTI系统的性质
1. 齐次性（homogeneity，均匀性、比例性scaling） 若 e(t ) r (t ) 则 ke(t ) kr(t ) 2．叠加性（可加性additivity） 若 e1 (t ) r1 (t ), e2 (t ) r2 (t ) 则 e1 (t ) e2 (t ) r1 (t ) r2 (t ) 3．时不变性（非时变性） 若 e(t ) r (t ) 则 e(t t0 ) r (t t0 ) 综合1、2、3性质有: 若 e1 (t ) r1 (t ), e2 (t ) r2 (t ) 则 k1e1(t t0 ) k2e2 (t t0 ) k1r1(t t0 ) k2r2 (t t0 ) * 线性时不变系统的判决（重要）