运筹学作业题

华南理工大学网络教育学院 2013–2014学年度第一学期 《 运筹学 》作业

1. 某工厂用ABCD 四种原料生产甲乙两种产品，生产甲和乙所需的各种原料的数量及在一个计划期内各种原料的现有数量见下表。又知每单位产品甲乙分别可获利400元和600元，设一个计划期内生产甲种产品1x 个单位，乙种产品2x 个单位，试写出以总利润为目标的线性规划模型，并化为标准型。

答案： 12

1212

112

12max 4006004428222032

2424

0,0

Z x x x x x x x x x x x =++≤⎧⎪+≤⎪⎪

≤⎨⎪+≤⎪⎪≥≥⎩，1212312415

126

123456max 4006004428

2220322424

,,,,,0

Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++=⎧⎪

++=⎪⎪+=⎨⎪++=⎪⎪≥⎩ 2.某厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及A 、B

两种原材料的消耗，如下表所示：

每生产一件产品I 可获利1元，每生产一件产品II 可获利3元，如何安排生产计划使获利最大？（有多种方法选择您熟悉的一种）（10分）

x 1

231

4

解

12

12

1

2

12

max3

28

416

412

,0

Z x x

x x

x

x

x x

=+

+≤

⎧

⎪≤

⎪

⎨

≤

⎪

⎪≥

⎩

，由图解法求出可行域各顶点的z值比较，得安排生产Ⅰ产品2件，、

Ⅱ产品3件，获利最大为11元。或加松弛变量用单纯形表计算。

3、用单纯形法求解

123 123

123

123

max2 23215

1

520 3

,,0

Z x x x

x x x

x x x

x x x

=++

-+≤

⎧

⎪

⎪

++≤

⎨

⎪

≥

⎪⎩

解先化为标准形式

123

1234

1235

12345

max2

23215

1

520

3

,,,,0

Z x x x

x x x x

x x x x

x x x x x

=++

-++=

⎧

⎪

⎪

+++=

⎨

⎪

≥

⎪⎩

，再列单纯形表计算如下

得到最优解为

35145 25,,0,0,0,max

33

T

X Z

⎛⎫

==

⎪

⎝⎭

4、写出线性规划问题1234

1234124

13341234max 23543253274

..23460;,0;Z x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x =+-++-+≥⎧⎪-+≤⎪⎨

-+++=⎪⎪≤≥⎩无符号限制

的对偶问题 解 对偶问题为123

12312313123

123min 54+64y 322233..345271

0;0;w y y y y y y y y s t y y y y y y y y =++-≤⎧⎪

-+≥⎪⎪-+≥-⎨⎪++=⎪⎪≤≥⎩无符号限制

5、已知线性规划问题112233

1311121123452321222max 10010,1,2,3,4,5j

Z c x c x c x a a a b x x x x x a a a b x j =++⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪≥=⎩

解 ()()1

11

32321/21/21/21/241,,,121221B P P B P P -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭

1

1112

131

2

2122233/210121/210b a a a B b a a a -⎛⎫⎛⎫

=

⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭ 从而1

11

12

132

2122

23413/210189/2142121/21055/212b a a a b a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

==

⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎝⎭ 再由()()()113211/21/2,0,0,3,0,41/21

2N N B C C B N c c c σ--⎛⎫

=-=-=--

⎪-⎝⎭，从而

1323232111

3,0,24222

c c c c c c c --=--+=-=-，解得2314,8,7c c c ===

6、已知线性规划问题1234

1341123421234

max 25628

..22212,,,0Z x x x x x x x y s t x x x x y x x x x =+++++≤⎧⎫

⎪

+++≤⎨⎬⎭

⎪≥⎩对偶变量，其对偶问题的最优解为**

124,1y y ==，试用对偶问题的性质，求原问题的最优解。

解 原问题的对偶问题为12

1221212

12min 81222221

..526

0,0

w y y y y y s t y y y y y y =++≥⎧⎪≥⎪⎪+≥⎨⎪+≥⎪⎪≥≥⎩，将**124,1y y ==代入第一、二个约束成为严格等式，由互补松弛性质得**120,0x x ==。又因**

120,0y y >>，由互补松弛性质，进而可

得34348212

x x x x +=⎧⎨

+=⎩，解之**344x x ==。原问题的最优解为()*

0,0,4,4T X =，最优值为44。

7、已知世界6大城市：Pe ，Pa ，T ，M ，N ，L 。试在下表所示交通网络的数据中确定最小树。 解 将题设中的表用图表示

采用避圈法，寻找最小边的过程如下：

[,][,][,][,][,]

2

13

20

34

50

12345|L Pa Pe T N M L N Pe L →→→→→

最后找到的[,],[,],[,],[,],[,]L Pa Pe T N M L N Pe L 构成

最小支撑树如图所示

Pe M