高中数学-数列课时训练

第五章 数 列

第1课时 数列的概念及其简单表示法

一、 填空题

1. 数列23,－45,67,－8

9,…的第10项是________．

答案：－20

21

解析：所给数列呈现分数形式,且正负相间,求通项公式时,我们可以把符号、分母、分子每一部分进行

分解,就很容易归纳出数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n ＋1

·2n 2n ＋1,故a 10＝－2021

.

2. 已知数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n ,且a 1＝2,a 2＝3,则a 2 016的值为________． 答案：－1 解析：由题意,得a 3＝a 2－a 1＝1,a 4＝a 3－a 2＝－2,a 5＝a 4－a 3＝－3,a 6＝a 5－a 4＝－1,a 7＝a 6－a 5＝2,∴ 数列{a n }是周期为6的周期数列．而2 016＝6×336,∴ a 2 016＝a 6＝－1.

3. 数列7,9,11,…,2n －1的项数是_________. 答案：n －3

解析：易知a 1＝7,d ＝2,设项数为m,则2n －1＝7＋(m －1)×2,m ＝n －3.

4. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n ≠0(n∈N *

),又a n a n ＋1＝S n ,则a 3－a 1＝________． 答案：1

解析：因为a n a n ＋1＝S n ,所以令n ＝1得a 1a 2＝S 1＝a 1,即a 2＝1.令n ＝2,得a 2a 3＝S 2＝a 1＋a 2,即a 3＝1＋a 1,所以a 3－a 1＝1.

5. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2

＋2n ＋1,则{a n }的通项公式为__________．

答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4（n ＝1），

2n ＋1（n≥2）

解析：当n ＝1时,a 1＝S 1＝4；当n≥2时,a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1,∴ a n ＝⎩

⎪⎨⎪⎧4（n ＝1），

2n ＋1（n≥2）.

6. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n ＝2a n －1(n ∈N *

),则a 5＝__________． 答案：16

解析：当n ＝1时,S 1＝2a 1－1,∴ a 1＝1；

当n≥2时,S n ＝2a n －1,S n －1＝2a n －1－1,则有 a n ＝2a n －2a n －1,∴ a n ＝2a n －1.∴ {a n }是等比数列,且a 1＝1,q

＝2,故a 5＝a 1×q 4＝24

＝16.

7. 若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋1

3

,则{a n }的通项公式a n ＝________．

答案：(－2)n －1

解析：当n ＝1时,a 1＝1；当n≥2时,a n ＝S n －S n －1＝23a n －23a n －1,则a n a n －1

＝－2,得a n ＝(－2)n －1

.

8. 设数列{a n }满足a 1＝a,a n ＋1＝a 2

n －2a n ＋1

(n∈N *

)．若数列{a n }是常数列,则a ＝________.

答案：－2

解析：因为数列{a n }是常数列,所以a ＝a 2＝a 21－2a 1＋1＝a 2

－2a ＋1

,即a(a ＋1)＝a 2

－2,解得a ＝－2.

9. 数列{a n }的前n 项积为n 2

,那么当n≥2时,a n ＝________．

答案：n

2（n －1）

2

解析：设数列{a n }的前n 项积为T n ,则T n ＝n 2

,当n≥2时,a n ＝T n T n －1＝n 2

（n －1）

2.

10. 数列{a n }满足：a 1＝1,且对任意的m,n ∈N *

都有a n ＋m ＝a n ＋a m ＋nm,则a 100＝________． 答案：5 050

解析：令m ＝1,则a n ＋1＝a n ＋1＋n ⇒a n ＋1－a n ＝n ＋1⇒a 100＝(a 100－a 99)＋(a 99－a 98)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝100＋99＋…＋2＋1＝5 050.

二、 解答题

11. 数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2

－7n ＋6.

(1) 这个数列的第4项是多少？

(2) 150是不是这个数列的项？若是这个数列的项,它是第几项？ (3) 该数列从第几项开始各项都是正数？

解：(1) 当n ＝4时,a 4＝42

－4×7＋6＝－6.

(2) 令a n ＝150,即n 2

－7n ＋6＝150,解得n ＝16或n ＝－9(舍去),即150是数列的第16项．

(3) 令a n ＝n 2

－7n ＋6＞0,解得n ＞6或n ＜1(舍),∴ 从第7项起各项都是正数．

12. 已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2

＋1,数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1

,且前n 项和为T n .设c n ＝T 2n ＋1－T n .

(1) 求数列{b n }的通项公式； (2) 判断数列{c n }的增减性．

解：(1) a 1＝2,a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n≥2),

∴ b n ＝⎩

⎪⎨⎪⎧2

3

（n ＝1），1

n

（n≥2）.

(2) ∵ c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1

＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1

, ∴ c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1

n ＋1

＝12n ＋3－12n ＋2＝－1（2n ＋3）（2n ＋2）<0, ∴ c n ＋1

∴ 数列{c n }为递减数列．

13. 已知数列{a n }中,a n ＝1＋1a ＋2（n －1）

(n∈N *

,a ∈R ,且a≠0)．

(1) 若a ＝－7,求数列{a n }中的最大项和最小项的值；

(2) 若对任意的n∈N *

,都有a n ≤a 6成立,求a 的取值范围．

解：(1) ∵ a n ＝1＋1a ＋2（n －1）

(n∈N *

,a ∈R ,且a≠0),

又a ＝－7,∴ a n ＝1＋12n －9(n∈N *

)．结合函数f(x)＝1＋12x －9

的单调性,可知1>a 1>a 2>a 3>a 4,a 5>a 6>a 7>…

＞a n >1(n∈N *

),

∴ 数列{a n }中的最大项为a 5＝2,最小项为a 4＝0.

(2) a n ＝1＋1a ＋2（n －1）＝1＋12n －2－a 2,对任意的n∈N *

,都有a n ≤a 6成立,结合函数f(x)＝1＋

12x －

2－a

2

的单调性,可知5<2－a

2

<6,即－10

一、 填空题

1. 在等差数列{a n }中,a 5＝33,公差d ＝3,则201是该数列的第________项． 答案：61

解析：∵ a n ＝a 5＋(n －5)d,∴ 201＝33＋3(n －5),n ＝61.

2. 已知{a n }为等差数列,a 1＋a 3＋a 5＝105,a 2＋a 4＋a 6＝99,则a 20＝________． 答案：1

解析：∵ a 1＋a 3＋a 5＝105,即3a 3＝105,解得a 3＝35,同理a 2＋a 4＋a 6＝99,得a 4＝33.∵ d＝a 4－a 3＝33－35＝－2,∴ a 20＝a 4＋(20－4)d ＝33＋16×(－2)＝1.

3. 在等差数列{a n }中,已知a 2＋a 8＝11,则3a 3＋a 11的值为__________． 答案：22

解析：3a 3＋a 11＝a 3＋a 3＋a 3＋a 11＝a 3＋a 2＋a 4＋a 11＝a 3＋a 2＋a 7＋a 8＝2(a 2＋a 8)＝11×2＝22. 4. 若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25,且a 4＝3,则a 7＝________．