矢量的合成与分解的讨论 (1)

a

b

2I 0

I 0

O

·矢量的合成与分解的讨论

湖北省恩施高中

陈恩谱

一、矢量的合成1、平行四边形定则

【例1】小船渡河合速度：小船参与了两个分运动——随水运动和相对水的运动，因此，小船的实际对地速度，是水速和船相对水的速度（即所谓船在静水中的速度）的矢量和。

【例2】电场强度的叠加：（原创·单选）如图所示，真空中两个带电小球靠近放置，其中A 球带电量为+Q ，B 球带电量为－q ，且有Q ＞q ，则下列四幅图中，能正确表示A 、B 两球附近的电场线分布的是

【解析】如图，在A 、B 两球附近选择C 、D 、F 三个点，其中D 在A 、B 连线中垂线上；由点电荷的场强决定式2Q

E k

r

=和电场强度的矢量叠加，可作出三个点的合电场强度方向如图所示。由D 点电场强度方向可知选项A 、C 错误；C 点电场强度方向相对A 球径向线向右偏、F 点

电场强度方向相对B 球径向线也是向右偏、可知选项D 错误。故选B 。

【例3】磁感应强度的叠加：圆心为O 、半径为R 的半圆的直径线两端，各固定有一根垂直圆平面的长直导线a 、b ，两导线中通有大小分别为2I 0和I 0、方向相同的电流．已知长直导线在周围产生的磁场的磁感应强度r

I

k

B =，其中k 为常数、I 为导线中电流、r 为点到导线的距离．则下列关于该圆平面内电流的磁场的说法中，正确的是

A ．圆心O 点处的磁感应强度的方向由a 指向b

B ．在直径线上、到b 距离为

R 3

2

处的磁感应强度为0C ．在半圆上一定存在“磁感应强度平行于直径线”的位置

D ．在半圆上一定存在“磁感应强度沿半圆切线方向”的位置

【解析】如图（1）所示，在直径线上，导线a 中电流产生的磁场磁感应强度都向下，导线b 中电流产生的磁场磁感应强度都向上，其大小分布规律如图，可知，圆心O 点处的磁感应强度的方向向下，A 错；两导线

中电流在直径线上、到b 距离为R 32

处的磁感应强度大小分别为

d I k B a 3202=、d

I

k B b 310=，其中d 为直径长度，即B a 、B b 大小相等、方向

相反，所以该处的磁感应强度为零，B 正确；如图（2）所示，在圆周上任

取一点，并将B a 、B b 分解到垂直直径线方向，得：

A B

＋－A B ＋－E 1E 2

E 3

C

D

F

a b

2I 0

I 0

O

·B a

B b ·图（1）

a b

2I 0

I 0

O ·B a

B b

B by

B ay θ图（2）

a

b

2I 0

I 0

O ·B a B

b

B b n

B a n

θ

图（3）

d I k d I k

B B a ay 002sin sin 2sin =⋅==θθθ，d

I

k d I k B B b by 0

0cos cos cos =⋅==θθθ即有：by ay B B 2=，可见，B a 、B b 的矢量和不可能平行于直径线，C 错。如图（3）所示，将B a 、B b 分解到半径方向，得

θ

θθcos sin 2cos 0

n ⋅==d I k B B a a θ

θ

θsin cos sin 0

n ⋅==d I k B B b b 解n n b a B B =，得33cos =

θ，即当3

3arccos =θ时，B a 、B b 的矢量和沿圆周切线方向。2、三角形定则与多边形定则

如图所示，将平行四边形的一条边平移，即可得到矢量合成的三角形定则；多个矢量合成，可以逐个

利用三角形定则合成，得到矢量合成的多边形定则。

【例4】小船渡河合速度——渡河航程问题

河宽确定时，渡河航程仅仅取决于合速度v 与河岸的夹角θ，即sin d

l θ

=；要使渡河航程最短，只需让sin θ取最大值，若v 船＞v 水，则θ可取90°，渡河航程最短为sin 90

d

l d =

=

，若v 船＜v 水，则以v 水的末端为圆心、v 船为半径作圆弧，可知合速度v 的末端在圆弧上移动，当v 船⊥v 时，θ取最大值，此时有

sin v v θ=

船水

，则渡河航程最短为sin v d

l d v θ=

=水船

。【例5】如图所示，在倾角为θ的固定粗糙斜面上，一个质量为m 的物体在拉

力F 的作用下沿斜面向上做匀加速直线运动，已知物体与斜面间的动摩擦因数为μ，为使物体加速度大小为a ，试求力F 的最小值及其对应的方向。【解析】物体受力如图，将支持力F N 和滑动摩擦力F f 合成为一个力F 合，由N f F F μ=可知，μα=tan 。将三个力按顺序首尾相接，与三者的合力形成如图所示四边形，其中mg 、ma 不变，F 合的方向不变。当F 取不同方向时，F 的大小也不同，当F 与F 合垂直时，F 取最小值。

由几何关系，得：αθαcos )sin(min ma mg F ++=，解得：2

min 1)sin cos (μθθμ+++=

ma

mg F mg

F

F 合ma α

F N

mg

F f

F 合

F

mg

F

F 合

ma

α+θαF

2

F

1

F F 2

F 1

F 合

F 合

F 4F 1

F 2

F 3