矢量的合成与分解的讨论 (1)

a
b
2I 0
I 0
O
·矢量的合成与分解的讨论
湖北省恩施高中
陈恩谱
一、矢量的合成1、平行四边形定则
【例1】小船渡河合速度：小船参与了两个分运动——随水运动和相对水的运动，因此，小船的实际对地速度，是水速和船相对水的速度（即所谓船在静水中的速度）的矢量和。

【例2】电场强度的叠加：（原创·单选）如图所示，真空中两个带电小球靠近放置，其中A 球带电量为+Q ，B 球带电量为－q ，且有Q ＞q ，则下列四幅图中，能正确表示A 、B 两球附近的电场线分布的是
【解析】如图，在A 、B 两球附近选择C 、D 、F 三个点，其中D 在A 、B 连线中垂线上；由点电荷的场强决定式2Q
E k
r
=和电场强度的矢量叠加，可作出三个点的合电场强度方向如图所示。

由D 点电场强度方向可知选项A 、C 错误；C 点电场强度方向相对A 球径向线向右偏、F 点
电场强度方向相对B 球径向线也是向右偏、可知选项D 错误。

故选B 。

【例3】磁感应强度的叠加：圆心为O 、半径为R 的半圆的直径线两端，各固定有一根垂直圆平面的长直导线a 、b ，两导线中通有大小分别为2I 0和I 0、方向相同的电流．已知长直导线在周围产生的磁场的磁感应强度r
I
k
B =，其中k 为常数、I 为导线中电流、r 为点到导线的距离．则下列关于该圆平面内电流的磁场的说法中，正确的是
A ．圆心O 点处的磁感应强度的方向由a 指向b
B ．在直径线上、到b 距离为
R 3
2
处的磁感应强度为0C ．在半圆上一定存在“磁感应强度平行于直径线”的位置
D ．在半圆上一定存在“磁感应强度沿半圆切线方向”的位置
【解析】如图（1）所示，在直径线上，导线a 中电流产生的磁场磁感应强度都向下，导线b 中电流产生的磁场磁感应强度都向上，其大小分布规律如图，可知，圆心O 点处的磁感应强度的方向向下，A 错；两导线
中电流在直径线上、到b 距离为R 32
处的磁感应强度大小分别为
d I k B a 3202=、d
I
k B b 310=，其中d 为直径长度，即B a 、B b 大小相等、方向
相反，所以该处的磁感应强度为零，B 正确；如图（2）所示，在圆周上任
取一点，并将B a 、B b 分解到垂直直径线方向，得：
A B
＋－A B ＋－E 1E 2
E 3
C
D
F
a b
2I 0
I 0
O
·B a
B b ·图（1）
a b
2I 0
I 0
O ·B a
B b
B by
B ay θ图（2）
a
b
2I 0
I 0
O ·B a B
b
B b n
B a n
θ
图（3）
d I k d I k
B B a ay 002sin sin 2sin =⋅==θθθ，d
I
k d I k B B b by 0
0cos cos cos =⋅==θθθ即有：by ay B B 2=，可见，B a 、B b 的矢量和不可能平行于直径线，C 错。

如图（3）所示，将B a 、B b 分解到半径方向，得
θ
θθcos sin 2cos 0
n ⋅==d I k B B a a θ
θ
θsin cos sin 0
n ⋅==d I k B B b b 解n n b a B B =，得33cos =
θ，即当3
3arccos =θ时，B a 、B b 的矢量和沿圆周切线方向。

2、三角形定则与多边形定则
如图所示，将平行四边形的一条边平移，即可得到矢量合成的三角形定则；多个矢量合成，可以逐个
利用三角形定则合成，得到矢量合成的多边形定则。

【例4】小船渡河合速度——渡河航程问题
河宽确定时，渡河航程仅仅取决于合速度v 与河岸的夹角θ，即sin d
l θ
=；要使渡河航程最短，只需让sin θ取最大值，若v 船＞v 水，则θ可取90°，渡河航程最短为sin 90
d
l d =
=
，若v 船＜v 水，则以v 水的末端为圆心、v 船为半径作圆弧，可知合速度v 的末端在圆弧上移动，当v 船⊥v 时，θ取最大值，此时有
sin v v θ=
船水
，则渡河航程最短为sin v d
l d v θ=
=水船。

【例5】如图所示，在倾角为θ的固定粗糙斜面上，一个质量为m 的物体在拉
力F 的作用下沿斜面向上做匀加速直线运动，已知物体与斜面间的动摩擦因数为μ，为使物体加速度大小为a ，试求力F 的最小值及其对应的方向。

【解析】物体受力如图，将支持力F N 和滑动摩擦力F f 合成为一个力F 合，由N f F F μ=可知，μα=tan 。

将三个力按顺序首尾相接，与三者的合力形成如图所示四边形，其中mg 、ma 不变，F 合的方向不变。

当F 取不同方向时，F 的大小也不同，当F 与F 合垂直时，F 取最小值。

由几何关系，得：αθαcos )sin(min ma mg F ++=，解得：2
min 1)sin cos (μθθμ+++=
ma
mg F mg
F
F 合ma α
F N
mg
F f
F 合
F
mg
F
F 合
ma
α+θαF
2
F
1
F F 2
F 1
F 合
F 合
F 4F 1
F 2
F 3
【例6】平抛运动的速度与位移
平抛物体的水平位移x 、竖直位移y 与实际位移s 之间满足如图所示的三角形关系；同样的，水平分速度v x 、v y 与实际速度v 也满足三角形关系。

3、合力为零的情况：闭合三角形、多边形
若作用在物体上的几个力合力为零，则按多边形定则可知，将这些力按顺序首尾相接连起来，必定形成闭合三角形或多边形，这在动态平衡问题中有较多的应用。

【例7】如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间。

设墙面对球的压力大小为F N1，球对木板的压力大小为F N2。

以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。

不计摩擦，在此过程中
A ．F N1始终减小，F N2始终增大
B ．F N1始终减小，F N2始终减小
C ．F N1先增大后减小，F N2始终减小
D ．F N1先增大后减小，F N2先减小后增大
【解析】小球受力如图，由平衡条件可知，将三个力
按顺序首尾相接，可形成如右图所示闭合三角形，其中重力mg 保持不变，F N1的方向始终水平向右，而F N2的方向逐渐变得竖直。

则由右图可知F N1、F N2都一直在减小。

4、摩擦角：将滑动摩擦力与对应的正压力合成为一个力，这个合力与正压力的方向夹角满足：tan αμ
=【例8】水平地面上有一木箱，木箱与地面间的动摩擦因数为μ(0＜μ＜1)。

现对木箱施加一拉力F ，使木箱做匀速直线运动。

设F 的方向与水平地面的夹角为θ，如图所示，在θ从0逐渐增大到90°的过程中，木箱的速度保持不变，则
A ．F 先减小后增大
B ．F 一直增大
C ．F 一直减小
D ．F 先增大后减小
【解析】小球受力如图，将支持力F N 和滑动摩擦力F f 合成为一个力F 合，由N f F F μ=可知，tan αμ=。

由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如右图所示闭合三
角形，其中重力mg 保持不变，F 合的方向始终与竖直方向成α角。

则由右图可知，当θ从0逐渐增大到90°的过程中，F 先减小后增大。

二、矢量的分解
1、平行四边形定则（1）正交分解法（略）（2）斜交分解法
【例9】如图4所示，用两根长度相同的绝缘细线把一个质量为0.1kg
的小球A 悬挂到水平板的M 、N 两点，A 上带有Q ＝3.0×10－
6C 的正电荷。

两线夹角为120°，两线上的拉力大小分别为F 1和F 2。

A 的正下方0.3m 处放有一带等量异种电荷的小球B ，B 与绝缘支架的总质量为0.2kg(重力加速度取g ＝10m/s 2；静电力常量k ＝9.0×109N·m 2/C 2，A 、B 球可视为点电荷)，则()
A.支架对地面的压力大小为2.0N
B.两线上的拉力大小F 1＝F 2＝1.9N
C.将B 水平右移，使M 、A 、B 在同一直线上，此时两线上的拉力大小F 1＝1.225N ，F 2＝1.0N
D.将B 移到无穷远处，两线上的拉力大小F 1＝F 2＝0.866
N
F N2
mg F N1
F N1F N2mg θ
F F 合
mg
αF N
F
mg
F f
F 合
θαv x
v y
x
y
【解析】可将重力分解到MA 、NA 方向，然后在MA 、NA 方向应用平衡条件，则很容易就确定出各种情况下F 1、F 2的数值了。

【例10】从O 点以初速度v 0抛出球B ，同时从距地面高为h 处落下小球A ，若使两者能相遇，求B 球的抛射角θ及两球相遇时间t （已知A 、B 两球间的水平距离为L ）。

【解析】将B 球的运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，则A 、B 两球竖直方向分运动相同，故要相遇，只需要B 球沿初速度方向
的分运动到达A 球初位置即可。

故有tan h
L θ=
，00
BA t v v ==
【例11】倾角为θ、质量为M 的斜面体放在光滑水平地面上，其上表面光滑，将质量m 的物体放在斜面上，开始时系统处于静止状态。

现对斜面体施加一水平推力，如图所示。

要使物体m 相对斜面静止，力F 应为多大？此时斜面对物体支持力为多大？
【解析】以m 为研究对象，其受力如图所示，将系统加速度分解到垂直斜面、
竖直方向，由牛顿第二定律，有
y ma mg =解得g
a y =则有
θθtan tan g a a y ==，θθcos cos /g
a a y x =
=则由牛顿第二定律，有对m ：θ
cos N mg
ma F x =
=对整体：
θ
tan )()(g m M a m M F +=+=2、关联速度问题
（1）绳连接：正交分解，沿绳方向分速度相等
【解释】如右图所示，用手将绳的A 端向左拉动时，小船B 沿水面向左运动——我们可以将B 的运动想象成先沿BB ’圆弧运动到B ’，然后再运动到B 1位置，容易看出，AA 1=BB 1，故将小船的速度沿绳、垂直绳（沿圆弧切线）方向分解时，就必然有v 2x =v 1；但是，如果不是正交分解，而是如下图所示斜交分解——先运动到B 1，再运动到B 2，则A 端的运动则是先运动到A 1，再运动到A 2，则AA 2≠B 1B 2，故v 1≠v 2x .因此，绳连接的两个物体沿绳分速度相等的前提是沿绳、垂直绳正交分解两物体的速度。

（2）杆连接：正交分解，沿杆方向分速度相等，且相对杆上任一点角速度相同
（3）面连接：正交分解，垂直接触面方向分速度相等3、运动的分解
（1）分解为同一条直线上两个直线运动
【例12】竖直上抛运动——速度为v 0的竖直向上的匀速直线运动和竖直向下的自由落体运动：10v v =，
F N
G
a
a x
a
y
F
mg
mg
10x v t =，2v gt =-，2212x gt =-，合运动是120v
v
v v
gt
=
+=-，21201
2
x x x v t gt =+=-。

（2）分解为同一平面内的两个直线运动
【例13】小船渡河时间问题：
可将小船的实际运动，分解为垂直、平行河岸方向两个匀速直线运动，渡河时间仅仅取决于v x ，即2x x
d d
t v v =
=
；要渡河时间最短，只需要v 2x 最大，即船头正对河岸，此时船对地的实际速度并不是正对河岸。

【例14】平抛运动——水平匀速直线运动、竖直自由落体运动，或垂直斜面方向的类竖直上抛运动、平行斜面的初速度不等于零的匀加速直线运动；
圆周运动——两个互相垂直方向的、振幅为R 周期为T 的简谐运动。

（3）分解为一个直线方向和垂直直线平面内的两个运动
【例15】带电粒子与磁感线成一般夹角射入匀强磁场，可将初速度v 0分解到平行磁场和垂直磁场两个方向v x 、v y ，则沿磁感线方向分速度v x 不会引起洛伦兹力，故这个方向粒子的分运动是速度大小为v x 的匀速直线运动，垂直磁感线方向的分速度v y 则会引起洛伦兹力f y =qv y B ，这个洛伦兹力会使粒子在垂直磁感线方向做匀速圆周运动，该圆周运动的半径和周期分别为y mv R qB
=
，
2πm
T qB
=
，则粒子的实际运动是这两个分运动的合运动——等距螺旋运动，螺距为x d v T =.（4）分解为同一平面内的一个直线运动和圆周运动【例16】2013年福建理综物理第22题改编
如图甲，空间存在—范围足够大的垂直于xoy 平面向外的匀强磁场和沿y 轴正向的匀强电场，磁感应强度大小为B ，电场强度大小为E 。

让质量为m ，电量为q （q <0)的粒子从O 点以初速度v 0沿y 轴正向发射。

不计重力和粒子间的影响，求该粒子运动过程中的最大速度值v m 。

【解析】将v 0按平行四边形定则分解为1v 和2v ，且使1v 满足
1qv B qE =，即1v 引起的洛伦兹力与粒子所受电场力平衡，1v 引起的
分运动是沿x 轴正方向的匀速直线运动；而2v 引起的洛伦兹力将导致粒子在xoy 平面内做匀速圆周运动，其半径为2
mv R qB
=。

粒子实际的运动就是这两个分运动的合运动。

当粒子圆周分运动的速度也沿x 轴正方向时，粒子的合速度最大，为2
2120m E E v v v v B B ⎛⎫=+=
++ ⎪⎝⎭
4、绳连接物体的加速度分析
【例17】如图所示，将质量为2m 的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m 的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d .现将小环从与定滑轮等高的A 处由静止释放，B 处在A 处正下方距离为d 处，则下列说法正确的是
A ．小环刚释放时轻绳中的张力一定大于2mg
B ．小环在B 处的速度与重物上升的速度大小之比等于2
C ．小环下降速度最大时，轻绳中的张力一定等于2mg
D ．小环从A 处开始能够下降的最大高度为4/3
d v 0
v 1
v 2
[解析]本题B 、D 选项学生基本上都能应付，笔者在此着重分析A 、C 选项。

按常规思路，我们需要根据机械能守恒定律和牛顿定律，算出小环、重物速度随时间变化的函数，然后对时间求导。

但是，若用微元法，则更简单直接。

（1）A 选项：
设小环经过一段极短的时间t 下落一小段距离y ，小环的速度增加为v 1，此时重物上升的速度为v 2，则有：21
tan 2
y gt d θ==，21sin sin v v gt θθ
==而sin tan θθ=，则有：2232122gt
g t v gt d d ==则重物上升的加速度为：22
22v g t a t d
==当取t →0时，易知a =0.则绳中张力等于2mg .（2）C 选项：
当小环速度最大时，小环加速度为零，经过一段极短的时间Δt ，
小环的速度和重物的速度关系及其变化如图所示，由图极易看出，重物速度v 2的大小增大了，即重物具有竖直向上的加速度，则绳中张力大于2mg .更细致的分析如下：
将v 1垂直于绳方向分速度v τ的变化量Δv τ分解为Δv τ1、Δv n1，v 1沿绳方向分速度v n 的变化量Δv n 分解为Δv τ2、Δv n2，由于小环的加速度为0，必有：
Δv τ＝－Δv n 则有：Δv τ1＝－Δv τ2，Δv n1＝－Δv n2
其中，Δv n1产生的加速度大小为：2223ττττn111n1ΔΔ(cos )cos ΔΔ/cos v v v v v v v a t t l l d d
θθθθ⋅⋅======
方向由小环指向滑轮，即为向心加速度。

Δv n2产生的加速度大小为：
23n 2n11n2n1ΔΔcos ΔΔv v v a a t t d
θ-===-=-
其中负号表示该加速度沿绳向左下方。

故此时重物上升的加速度为：231n2cos ||v a a d
θ==，可知绳中张力大于2mg .
本文收录于陈恩谱老师《物理原来可以这样学》2019年6月第三次修订版
d
θ
v 2
v 1
y v τ’d
θ
v 2
v 1y v 1
v 2
v 2’v 1
v 2’
v τl
v τΔv τ
v τ’d
θv 2v 1y
v 1
v 2
v 2’
v 1
v 2’
v τ
l
v τ
Δv τ1
Δv n1Δv n Δv τ2Δv n2。