§1-2 函数极限的运算规则

第1章 函数的极限和连续函数

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§1-2 函数极限的运算规则·单调有界原理

1.极限的运算规则 记号“(,)x c c c -+→”和“(,)x →∞+∞-∞”都称为极限过程.若把它们统一地表示成“x →∙”，则各种形式的函数极限，都具有像数列极限那样的运算

规则.要证明它们，也属于高等微积分（证明在第二篇中）.

设在同一个极限过程中，有极限)(lim x f x ∙

→和)(lim x g x ∙

→.

⑴ lim[()]lim ()x x c f x c f x →∙

→∙

=（c 为常数）； （齐次性）

⑵ lim[()()]lim ()lim ()x x x f x g x f x g x →∙

→∙

→∙

±=±； （可加性）

⑶ lim[()()]lim ()lim ()x x x f x g x f x g x →∙

→∙

→∙

=⋅； （乘积的极限等于极限的乘积）

⑷ lim ()()lim

lim ()0()lim ()

x x x x f x f x g x g x g x →∙

→∙→∙→∙

⎡⎤=≠⎢⎥⎣⎦

； （商的极限等于极限的商）

⑸ 若()()f x g x ≤，则lim ()lim ()x x f x g x →∙

→∙

≤； （极限运算的单调性） ⑹ 若()()()f x h x g x ≤≤，且lim ()lim ()x x f x g x C →∙

→∙

==，则也有极限lim ()x h x C →∙

=.

（夹挤规则）

根据夹挤规则，若lim ()0x f x →∙

=，且)(x g 在极限过程∙→x 中是有界变量(())g x B ≤，

则应直接写成

lim[()()]0x f x g x →∙

=

因为

0()()()0()f x g x B f x x ≤≤→→∙且lim ()()0lim[()()]0x x f x g x f x g x →∙

→∙

=⇐⇒=

而不能写成

[]lim ()()lim ()lim ()0x x x f x g x f x g x →∙

→∙

→∙

=⋅=[逻辑错误!]

例如函数1sin y x x

=（图1-15），应当直接写成

01

lim sin 0x x x

→=(因为1sin 1x ≤) 而不能写成

00011

lim sin lim limsin 0x x x x x x x

→→→=⋅= 因为不存在极限01

limsin x x

→(图1-10).

例3 设有多项式

2012()(0)n n n P x a a x a x a x a =+++

+≠

则

2012lim ()lim lim()lim()lim()n n x c

x c

x c

x c

x c P x a a x a x a x →→→→→=+++

+

2012(lim )(lim )(lim )n n x c

x c

x c

a a x a x a x →→→=+++

+

§1-2 函数极限的运算规则·单调有界原理

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2012n n a a c a c a c =+++

+()P c =

其中，把x 看作它自己的函数时，显然有lim x c

x c →=.

同样，若另有多项式

)0()(2210≠++++=m m m b x b x b x b b x Q 且()0Q c ≠

根据“商的极限等于极限的商”和上面的结果，则有

lim ()()()lim ()lim ()()

x c

x c x c

P x P x P c Q x Q x Q c →→→== 读者从例3中看到，对于多项式和有理函数来说，它们在定义域内每一点处的极限值等于它们在该点的函数值.换句话说，多项式和有理函数(即多项式的商)在自己定义域内每一点处都是连续的.

例4 因为sin sin 2cos

sin

22

x c x c

x c +--=(差化积)，所以 |||sin sin |2cos

sin 21222

x c x c x c x c +---=≤⋅⋅||0()x c x c =-→→ 因此，limsin sin x c

x c →=.同理，limcos cos x c

x c →=.于是，又有

limsin sin sin lim tan lim tan ()cos limcos cos 2

x c

x c x c x c

x x c x c c k x x c ππ→→→→====≠± limcos cos cos limcot lim cot ()sin limsin sin x c x c x c x c

x x c x c c k x x c

π→→→→====≠ 例4说明，简单三角函数sin ,cos ,tan ,cot x x x x 在自己定义域内每一点处也都是连续的.

例5 证明0

lim 1x x a →=（因此中学数学中规定01a =是合理的）.

证 我们先证明右极限0

lim 1x

x a +

→=.不妨设01x <≤，令 1()n n x x ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦（1

x

的整数部分）

因为1111x x x ⎡⎤⎡⎤

≤<+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

，即11n n x ≤<+，所以111x n n ≥>+. 于是

(1)x a a <≤> 或

(1)x a a >≥<

又因为lim 1n n →∞

=（见第0章例3），所以0

lim 1x x a +

→=.

其次，当0x -→时，0x +-→，根据已证的结论，

000

1111lim lim 1lim lim 1x

x x x x x x x a a a a ---+

---→→→-→===== 因此，0

lim 1x x a →=(因为左右极限相等)