§1-2 函数极限的运算规则

第1章 函数的极限和连续函数8§1-2 函数极限的运算规则·单调有界原理1.极限的运算规则 记号“(,)x c c c -+→”和“(,)x →∞+∞-∞”都称为极限过程.若把它们统一地表示成“x →∙”，则各种形式的函数极限，都具有像数列极限那样的运算规则.要证明它们，也属于高等微积分（证明在第二篇中）.设在同一个极限过程中，有极限)(lim x f x ∙→和)(lim x g x ∙→.⑴ lim[()]lim ()x x c f x c f x →∙→∙=（c 为常数）； （齐次性）⑵ lim[()()]lim ()lim ()x x x f x g x f x g x →∙→∙→∙±=±； （可加性）⑶ lim[()()]lim ()lim ()x x x f x g x f x g x →∙→∙→∙=⋅； （乘积的极限等于极限的乘积）⑷ lim ()()limlim ()0()lim ()x x x x f x f x g x g x g x →∙→∙→∙→∙⎡⎤=≠⎢⎥⎣⎦； （商的极限等于极限的商）⑸ 若()()f x g x ≤，则lim ()lim ()x x f x g x →∙→∙≤； （极限运算的单调性） ⑹ 若()()()f x h x g x ≤≤，且lim ()lim ()x x f x g x C →∙→∙==，则也有极限lim ()x h x C →∙=.（夹挤规则）根据夹挤规则，若lim ()0x f x →∙=，且)(x g 在极限过程∙→x 中是有界变量(())g x B ≤，则应直接写成lim[()()]0x f x g x →∙=因为0()()()0()f x g x B f x x ≤≤→→∙且lim ()()0lim[()()]0x x f x g x f x g x →∙→∙=⇐⇒=而不能写成[]lim ()()lim ()lim ()0x x x f x g x f x g x →∙→∙→∙=⋅=[逻辑错误!]例如函数1sin y x x=（图1-15），应当直接写成01lim sin 0x x x→=(因为1sin 1x ≤) 而不能写成00011lim sin lim limsin 0x x x x x x x→→→=⋅= 因为不存在极限01limsin x x→(图1-10).例3 设有多项式2012()(0)n n n P x a a x a x a x a =++++≠则2012lim ()lim lim()lim()lim()n n x cx cx cx cx c P x a a x a x a x →→→→→=++++2012(lim )(lim )(lim )n n x cx cx ca a x a x a x →→→=++++§1-2 函数极限的运算规则·单调有界原理92012n n a a c a c a c =++++()P c =其中，把x 看作它自己的函数时，显然有lim x cx c →=.同样，若另有多项式)0()(2210≠++++=m m m b x b x b x b b x Q 且()0Q c ≠根据“商的极限等于极限的商”和上面的结果，则有lim ()()()lim ()lim ()()x cx c x cP x P x P c Q x Q x Q c →→→== 读者从例3中看到，对于多项式和有理函数来说，它们在定义域内每一点处的极限值等于它们在该点的函数值.换句话说，多项式和有理函数(即多项式的商)在自己定义域内每一点处都是连续的.例4 因为sin sin 2cossin22x c x cx c +--=(差化积)，所以 |||sin sin |2cossin 21222x c x c x c x c +---=≤⋅⋅||0()x c x c =-→→ 因此，limsin sin x cx c →=.同理，limcos cos x cx c →=.于是，又有limsin sin sin lim tan lim tan ()cos limcos cos 2x cx c x c x cx x c x c c k x x c ππ→→→→====≠± limcos cos cos limcot lim cot ()sin limsin sin x c x c x c x cx x c x c c k x x cπ→→→→====≠ 例4说明，简单三角函数sin ,cos ,tan ,cot x x x x 在自己定义域内每一点处也都是连续的.例5 证明0lim 1x x a →=（因此中学数学中规定01a =是合理的）.证 我们先证明右极限0lim 1xx a +→=.不妨设01x <≤，令 1()n n x x ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦（1x的整数部分）因为1111x x x ⎡⎤⎡⎤≤<+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即11n n x ≤<+，所以111x n n ≥>+. 于是(1)x a a <≤> 或(1)x a a >≥<又因为lim 1n n →∞=（见第0章例3），所以0lim 1x x a +→=.其次，当0x -→时，0x +-→，根据已证的结论，0001111lim lim 1lim lim 1xx x x x x x x a a a a ---+---→→→-→===== 因此，0lim 1x x a →=(因为左右极限相等)第1章 函数的极限和连续函数10根据0lim 1x x a →=，则对任意(,)c ∈-∞+∞，都有()lim lim()lim lim 1x x c x c x cc x cc x c c x cx cx cx a a aa aa a a a ∆=---∆→→→∆→=======⋅=即指数函数x a 在每一点(,)c ∈-∞+∞也都是连续的.在定义域内每一点处都连续的函数，称为连续函数.因此，多项式、有理函数、简单三角函数和指数函数都是连续函数.2.单调有界原理 近代极限理论中有所谓“极限存在性”问题.讨论这个问题会涉及到实数的一个重要性质，即“实数连续性质”.实数的这个性质与下面的“单调有界原理”是等价的(证明在第二篇中)：变量y 在无限变化过程中，若它的值单调增大有上界(或单调减小有下界)， 则必有极限lim y .具体到数列(1,2,)n x n =，则单调有界原理只有两种说法，即单调增大()1231n n x x x x x +≤≤≤≤≤≤有上界()n x M ≤，则必有极限lim n n x →∞；或单调减小()1231n n x x x x x +≥≥≥≥≥≥有下界()n x m ≥，则必有极限lim n nx →∞. 可是，对于函数来说，由于自变量有四种（单调）变化方式(,,,)x c x c x x -+→→→+∞→-∞而函数又可能单调增大或单调减小，所以关于函数极限的单调有界原理就会有八种说法(见下图1-16).其中两种对偶说法是[见图①]：当x c -→时，若函数()f x 单调增大有上界[]()f x B ≤，则有极限lim ()x cf x -→； 当x c -→时，若函数()f x 单调减小有下界[]()f x A ≥，则有极限lim ()x cf x -→.请你看图1-16，说出其他情形下的单调有界原理.【点评】 在数学专业用的微积分教科书中，有所谓“极限存在的柯西准则”，函数的“可积准则”等.数学中说的“准则”是指那些充分必要条件（见[前苏]辛钦著《数学分析简明教程》的脚注）.可是国内有许多非数学专业用的《微积分》或《高等数学》的教科书中，都把“单调有界原理”说成“极限存在的准则”.虽然从逻辑上说，“单调有界原理”与“柯西准则”是等价的，但不能把前者也说成“准则”，因为有极限的数列或函数不一定是单调的.上述不妥的说法，可能出自中译本《数学分析习题集》([前苏]吉米多维奇著，第6页),但它是翻译上的疏忽(把“判别法”与“准则”译颠倒了),不是原书中的错误.B①② ③ ④图1-16§1-2 函数极限的运算规则·单调有界原理11例6 设a 和b 为正数，并令1x a =，11(1,2,)2n n n b x x n x +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭证明有极限lim n n x →∞.证 先证有极限lim n n x →∞，然后求出极限值.根据“算术平均值不小于几何平均值”，则112n n n b x x x +⎛⎫=+≥= ⎪⎝⎭另一方面，121111122n n n x b x x +⎛⎫⎛⎫=+≤+= ⎪⎝⎭⎝， 即1n n x x +≤（数列单调减小） 因此有极限lim n n x →∞(单调有界原理).设极限(lim n n x c c →∞=≥，在112n n n b x x x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭两边让n →∞，则得12b c c c ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，化简为2c b =，即lim n n x →∞=(注意0c ≥).例7 设0c >. 11(1,2,)n x x n +===.证明有极限lim n n x →∞=证2132,,x x x x =>==，一般地，1(1,2,)n nx x n +>=，即数列n x是单调增大的；又11x =<，而21x =<一般地(或用数学归纳法)，则有1n x <（即n x 有上界）因此，有极限lim n n x →∞.设lim n n x a →∞=，并在1n x +=两端让n →∞，则得a ，即20a a c --=.注意0a >，因此，(1)122a --+==，即1lim 2n n x →∞+=. 【注释】①对偶性 我们把那些成双且又处于两极对立状态的概念、结论(命题)或方法之间的关系，称为“对偶关系”.例如，日常生活中的“上”与“下”，“左”与“右”；实数集合的“上界”与“下界”等.它们每两个都是对偶概念.“单调增大有上界的数列必有极限”与“单调减小有下界的数列必有极限”是相互对偶的结论(定理).在数学中，对偶的结论常用对偶的方法来证明(见下面等价性的证明).②等价性 在相同的前提下，用结论A 能够推出结论B ，且又用结论B 能够推出结论A ，则称“结论A第1章 函数的极限和连续函数12与结论B 是等价的”.例如，(A)“单调增大有上界的数列必有极限”； (B)“单调减小有下界的数列必有极限”.它们之间的等价性可以这样来证明：(A)⇒(B) 设数列(1,2,)n x n =单调减小有下界，即1231n n x x x x x m +≥≥≥≥≥≥≥则1231n n x x x x x m +-≤-≤-≤≤-≤-≤≤-，即数列(1,2,)n x n -=单调增大有上界.根据结论(A)，必有极限lim()n n x →∞-=β，因此，也有极限lim n n x →∞=-β. 用类似的方法可以证明(B)⇒(A).③逆否命题 读者在中学数学中都已经知道，命题有四中形式，即“正命题”、“逆命题”、“否命题”和“逆否命题”.若把“S 是P ”看作正命题，则“非P 是非S ”就是前者的“逆否命题”.正命题与逆否命题(逆命题与否命题)是同真或同假的一对儿命题.因此，当你知道其中一个是真命题时，就可以得出结论说，另一个也是真命题，而不需要再证明.例如，若你知道“有极限的数列是有界的”(作为正命题)，就可以得出结论说“无界数列没有极限”(这里用的不是反证法).定理与命题不同，前者是已经被证明为正确的命题(即真命题).④反例 我们平时说话或写文章时，讲了某个道理之后，经常插入一些例子再加以说明，使对方更加明白.在数学的各种书籍或论文中，读者会看到有许多例题.有的是说明某个结论的正确性，而有的是说明某个结论的虚假性(不正确的结论).为了说明或论证某个结论是不正确的，举出的例子就称为“反例”.举出反例也是一种论证方法(逻辑学中称为“反驳”).譬如，要说明有界数列不一定有极限，而举出的例子1，0，1，0，……就是一个反例.因为数学中有些命题(或定理)的逆命题是不成立的，或者某人说出的一个结论是错误的，你要说明它是不对的，最好的方法就是举出反例，所以学习数学的人就要培养自己举反例的能力.请注意，在数学中可以用反例说明一个结论的虚假性，而不能用具体的例子去证明一个结论的真实性.根据提示做习题1.利用极限的运算规则，求下列极限(请你根据提示，接着做下去)：⑴22111(1)(1)lim lim 21(1)(21)x x x x x x x x x →→--+==---+(约去公因式) ⑵32228(2)(24)lim lim 22x x x x x x x x →→--++==--(约去公因式) ⑶333223300()(33)lim lim h h x h x x x h xh h x h h →→+-+++-== ⑷21lim 1n x x x x n x →+++--21(1)(1)(1)lim1→-+-++-==-n x x x x x⑸001111()lim lim ()h h x x h h x h x h x h x →→⎡⎤-+⎡⎤-=⋅=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⑹lim n n x a x a x a →--(n 为正整数)1221()()lim n n n n x a x a x x a xa a x a ----→-++++==- ⑺222232lim 6x x x x x →--+-(因式分解)=§1-2 函数极限的运算规则·单调有界原理13⑻23112lim 11x x x x x →-⎡⎤--⎢⎥++⎣⎦(先通分后因式分解)= 答案：⑴32；⑵12；⑶23x ；⑷2)1(n n +；⑸21x-；⑹1-n na ；⑺1；⑻31.2.设m 和n 均为正整数.求极限(请你写出简单解题过程)：⑴11lim 1m n x x x →--(因式分解)= ⑵20(1)(1)lim n mx mx nx x →+-+(用二项式公式)= 答案：⑴nm；⑵()2nm n m -.3.根据x →⑴0)x aa →>=提示:x a -=⑵00)h a →>=提示:分子分母同乘⑶x →=提示: 分子分母同乘)23⑷0x →(提示：令t = 答案；⑶43；⑷1n. 4.根据0sin lim1x xx→=，则有000sin5sin5sin5lim lim 55lim 55x x x x x x x x x →→→⎛⎫== ⎪⎝⎭515=⋅= (把5x 看作x )0000tan sin sin 1limlim lim lim 111cos cos x x x x x x x x x x x x→→→→==⋅=⋅=请你根据提示求极限：第1章 函数的极限和连续函数14⑴00sin3sin335limlim sin535sin5x x x x x x x x x x →→⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭⑵22220002sin sin1cos 122lim lim lim 22x x x x x x x x x →→→⎛⎫ ⎪-=== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⑶2001cos 1cos lim lim sin sin x x x x x x x x x →→--⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭ ⑷sin 1sin limlim sin sin 1x x xx x x xx x x→∞→∞--==++答案：⑴35；⑵12；⑶21；⑷1. 5.根据1lim 1e xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则有11lim lim lim111x xxx x x x x x x x -→∞→∞→∞+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭111e e1lim 1xx x -→∞===⎛⎫+ ⎪⎝⎭请你根据1lim 1e xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭或()10lim 1e x x x →+=，求极限：⑴2222lim 1lim 1xxx x x x →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⑵()[]31130lim 13lim 1(3)x xx x x x --→→⎧⎫-=+-⎨⎬⎩⎭[把(3)x -看作x ]=⑶1lim 1lim 11x x x →+∞→+∞⎡⎛⎛⎛⎢⎥-== ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎝⎣⎦答案：；⑴2e ；⑵3e -；⑶1.6.求下列极限：⑴2222322232lim lim 1661x x x x x x x x x x→∞→∞-+-+==+-+- ⑵4(1)(2)(3)(4)1234lim lim (51)51515151x x x x x x x x x x x x x x x →∞→∞--------⎛⎫=⋅⋅⋅= ⎪-----⎝⎭§1-2 函数极限的运算规则·单调有界原理15⑶2030203050(23)(32)2332lim lim lim (21)2121x x x x x x x x x x →∞→∞→∞----⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⑷212(1)(1)(1)lim[()1]n n x n x x x nx +→∞+++=+提示：分子分母同除以(1)2n n x +.⑸lim x x →+∞⎤=⎦提示：先乘后再除以x ⎤⎦.⑹limx =⑺limx =答案：⑴2；⑵451；⑶3032⎛⎫⎪⎝⎭；⑷2)1(+-n n n ；⑸2a b+；⑹12；⑺3.7.已知 21lim 01x x ax b x →∞⎛⎫+--=⎪+⎝⎭，求a 与b . 提示：221(1)1lim lim 011x x x a x ax ax b b x x →∞→∞⎛⎫⎛⎫+-+---=-=⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭. 答案：1;1-==b a .8.设0x ≠. 证明23sin lim cos cos cos cos 2222n n x x x x x x →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭提示:222sin 2cos sin 2cos cos sin 22222x x x x x x ===9.指出下列函数的间断点，并说明它们各属于间断点的哪种类型：⑴xx y =； ⑵||x y x =；⑶23122+--=x x x y ； ⑷x xx y --+=11；⑸xy 121=； ⑹xxy sin =.答案：⑴0(可除)；⑵0(第一类)；⑶1(可除)，2(第二类)；⑷0(可除)；⑸0(第二类)；⑹0(可除)；),2,1( ±±=k k π(第二类).10.设1103,(1,2,)n x x n +<<==.证明数列(1,2,)n x n =的极限存在，并求出此极限.第1章 函数的极限和连续函数16分析1(3)3(1,2,)22n n n x x x n ++-===，即数列(1,2,)n x n =有上界.另一方面，11(2)n n n x n x +==≥[用了不等式3(2)2n x n ≤≥] 即1(2)n n x x n +≥≥.因为数列(2,3,)n x n =单调增大有上界，所以存在极限lim n n x →∞.其次，设lim n n x c →∞=；在1n x +=n →∞，则得c =32c =.。