图形的翻折和对称

图形的翻折和对称

概念总汇

1、旋转对称图形与中心对称图形

（1）把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角

（2）如果把一个图形绕着一个定点旋转180°后，与初始图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心

2、中心对称

（1）把一个图形绕着一个定点旋转180°后，和另一个图形重合，那么这两个图形叫做关于这点对称，也叫做中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点

（2）寻找对称中心，只需分别连结两队对应点，所得两条直线的交点就是对称中心

3、翻折与轴对称图形

（1）轴对称图形的概念

把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴

（2）轴对称图形的特征

对称轴左右两旁的部分能完全重合

说明：

掌握轴对称图形的特征，会用轴对称图形的知识画轴对称图形，并且能自己创造涉及轴对称图形，体会数学之美和数学价值

4、轴对称

（1）如果把一个图形沿某一条直线翻折，能与另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴。两个图形的对应点叫做关于这条直线的对称点

（2）两个图形关于某条直线成轴对称，这两个图形对应线段的长度和对应角的大小相等，它们的形状相同，大小不变

说明：

（1）在学习了对称轴与轴对称图形知识的基础上，研究画轴对称图形，可以更好地加深对轴对称的理解。画轴对称图形的关键是找到对称轴，然后由图形上的关键点，作对称轴的垂线，并延长，使对称轴的两边线段相等，即得关键点的对应点，将所有对应点，顺次连接，即得轴对称图形

（2）通过运用轴对称知识解决生活中的数学问题，体会数学的价值

例题讲解

例1如图，每一对三角形ABC和A’B’C’的形状、大小完全相同。

（1）哪些图形是旋转对称图形？

（2）在旋转对称图形中，哪些图形是中心对称图形？并指出这些图形的对称中心

难度等级：A

解：（1）图形甲、乙、丙都是旋转对称图形。图形丁不是旋转对称图形。

（2）在图形甲、乙、丙这些旋转对称图形中，图形甲和乙是中心对称图形。

【知识体验】要学会区分旋转对称图形和中心对称图形这两种既有联系又有差异的不同类型图：如果旋转对称图形的旋转角等于1800，那么它就是中心对称图形，所以是中心对称图形一定是旋转对称图形；反之则不是。

【解题技巧】图形甲中，CC’的中点是对称中心；图形乙中，点C（C’）是对称中心。

【搭配练习】

下列各组图形中,由左边变成右边的图形,分别进行了平移、旋转、轴对称、中心对称等变换,其中进行了中心对称变换的是 ( )组,进行轴对称变换的是 ( )

A B C D

例2（1）如图所示，已知三角形ABC和三角形A’B’C’关于某点成中心对称，试确定对称中心O的位置。

（2）如图所示，画出四边形ABCD关于点O的中心对称图形。

难度等级：B

解：（1）通过观察，可知点A 与点A ’、点B 与点B ’是对称点，联结AA ’、BB ’，设交点是O ，则点O 即为所求的对称中心（图（1））。 （2）画法如下：

（I ）联结AO 并延长到A ’，使OA ’=OA ，得到点A 的对称点A ’； （II ）同样，分别画出B 、C 、D 的对称点B ’、C ’、D ’； （III ）顺次联结A ’B ’、B ’C ’、C ’D ’和D ’A ’。

四边形A ’B ’C ’D ’就是四边形ABCD 关于点O 的中心对称图形（图（2）） 【知识体验】画图的关键是找出已知图形中特殊点（这里是四边形的顶点）的对称点。画法的依据仍是中心对称图形的特征

【解题技巧】（1）是已知中心对称图形，要找出它的对称中心，其解法除了分别联结AA ’、BB ’外，还可以分别联结BB ’、CC ’或联结AA ’、CC ’，它们的交点都是对称中心。这里，找对应点是关键。如果对应点比较明显，可用直接观察的方法来找对应点（如在方格纸上）；如果对应点不明显，可以借助尺规或三角尺，用测量的方法找出对应点。（2）和（1）不同，它是在成中心对称的两个图形中已知其中一个及对称中心，要求画出另一个图形。画图时一般需要用尺规或三角尺等工具。如果在方格纸上画图，那么可以利用小方格来判断线段的长。

【搭配练习】

如图所示，画出两个半圆关于点B 成中心对称的图形.

例3 如图所示，正方形ABC ，图形的中心是点O （对角线的交点），

P 是BC 边上一点。

（1）试将正方形分割成形状相同、大小相等的两块； （2）试将正方形分割成形状相同、大小相等的四块。

难度等级：C

解：（1）如图1所示，连结PO的直线交AD边于点P’，则P’与P为对称点，所以四边形ABPP’与四边形CDP’P的形状相同、大小相等的两块（读者可将四边形ABPP’绕着点P旋转1800，看是否与四边形CDP’P重合）；

（2）如图2所示，在AB上取一点Q，使BQ=CP，连结QO直线交DC于点Q’，则四边形CPOQ’、BQOP、AP’OQ、DQ’OP’是形状相同、大小相等的四块。

图1图2

【知识体验】正方形是旋转对称图形也是中心对称图形，其对称中心就是正方形对角线的交点，【解题技巧】利用对称中心就能找到点P的对称点。

【搭配练习】

如图，△DEF是由△ABC旋转得到的，请作出它的旋转中心

例4补画下面的图形，使它成为一个轴对称图形。

难度等级：B

解：如图

【知识体验】轴对称图形的特征：对称轴左右两旁的部分能完全重合

【解题技巧】本例题是一道开放性习题，答案不唯一，用于培养学生的发散思维，学生可以根据轴对称图形的定义，任意选择补画图形的方案，上图中分别用不同的方案给你示范补全了两个轴对称图形，你还可以设计一些其他的方案来补画此图。当然必须满足题目要求画成一个轴对称图形。