工程力学第十章强度理论与组合变形

在平行xy的前后面上，无应力作用，ss、1 t均为s3a零0=5。8.28 故此面上还有第三个主应力 sz=0。 s 2 x
三个主应力按大小排列。
s3 s1 平面应
用主应力表示应力状态，简洁、清晰。 力状态
14
3)最大、最小切应力
由（10-7）式有：
s
tmax
y
-tmax a1=13.28
s
ttmmainx =±
极值切应力与主应力关系： t max=(s1 -s3)/2
第一不变量：
J1 = s x +s y +s z = s1 +s 2 +s3 = const.
过某点任意三个相互垂直平面上的正应力之和不变。
22
返回主目录
作业: P265 习题: 10.1 (b)、(c)、(e);
10.2(a)、(b)。
返回主目录
[(s
x
-
s
y
)
/
2]2
+
t
2 xy
s
tmax x
-tmax s
=± [(30 -10) ]2 + 202 =±22.36MPa
2
a=103.28时:
作用平面方向角：a 1=a0+p/4=13.28 t=a-02=2.-3361M.7P2a
a=13.28时，由（10-2）式有:
s=20MPa
t
=
s x -s y
2
sin 26.56o+t xycos
26.56 o =
22.36MPa
注意 还有
s= 30+10 + 30-10 cos26.56°- 20 sin26.56°= 20MPa
2
2
15
分析结果汇总与讨论 ( 已知 sx、sy、 t xy )
求任一截面应力---（10-1）、（10-2）式 求主应力及其方位---（10-5）、（10-4）式
如果正确，单元体应力状态用主应力如何表示？
(a)
(b)
(c)
切应力互等？
t
t
t
t是极限切应力，主平面？ 与极限剪应力面成 45 。
s1
二主应力之和？
s1 在哪个面上？
s1
s1 +s3 =sx +sy=0。 s1 =-s3
多大？ (s1 -s3 )/2=t
s1
=t 20
平面应力状态小结
求任一截面应力—(10-1)、(10-2)式
t t
max min
=±
[(s
x
-
s
y
)
/
2]2Fra Baidu bibliotek
+
t
2 xy
12
返回主目录
例1 已知某点的应力状态为:
sx =30MPa， s y=10MPa，t xy=20MPa。
求 1) 主应力及主平面方向；2) 最大、最小切应力。
解：1）主应力与主方向 主应力：由（10-5）式有：
ssmmianx
=
30
+10± 2
讨论一、应力状态的第一不变量
由(10-5)式
s s
max min
=
s
x
+ 2
s
y
±
[(s
x
-s
y
)
/
2]2
+
t
2
xy
显然有： smax + s min= sx + sy
即过某点任意两相互垂直平面上正应力之和不变。
在三向应力状态下，同样可以得到：
J1 = s x +s y +s z = s1 +s 2 +s3 = const.
第十章 强度理论与组合变形
10.1 应力状态 10.2 强度理论 10.3 组合变形
返回主目录
1
10.1 应力状态
概
拉压
扭转
述
截面 应力
y
C
FN s=smax
危险点
应力状态
smax
强度 判据
smax拉 [s 拉 ] smax压 [s 压 ]
y
o
T
t max
t max t max [t ]
弯曲
s
n
=
s
x
+s
2
y
+
s
x
-s
2
y
cos2a
-txysin2a
t
n
=
s
x
-s
2
y
sin
2a
+
t
xy
cos
2a
y
sy sn
tyx n a sx
sx
tn txy x
sy
求主应力大小和方位—(10-5)、(10-4)式
s s
max
min
=
s
x
+ 2
s
y
±
[(s
x
-s
y
)
/
2]2
+t
2
xy
tg
2a0
=
-
2t xy sx -sy
主平面: 切应力为零的平面。
a=a 0时，t n=0，故对应的平面是主平面。
主应力: 主平面上的正应力。故极值应力是主应力。 8
切应力的极值？
t
n
=
s
x
-s
2
y
sin
2a
+
t
xy
cos
2a
---(10-2)
令dtn/da=0，有(sx-sy)cos2a-2txysin2a=0
t取得极值的条件：
tg
(
30
-10)2 2
+
202
=
42.36MPa - 2.36MPa
主方向角：由（10-4）式有：
y
tyx sx
sy a=s5x8.28
txy
a
x 0
sy
n
tg
2a 0 =
-
2 20 30 -10
=
-2
2a 0= -63.43， a 0= -31.72
主平面方位: a01=58.28， a02=148.28
J1--- 称为表示一点应力状态的第一不变量，即过某 点任意三个相互垂直平面上的正应力之和是不变的。
17
讨论二、主应力与极值切应力
平面应力
由(10-5)式
ssmmianx
=
s
x
+ 2
s
y
±
状态sz=0
[(s
x
-
s
y
)
/
2]2
+
t
2
xy
平有面：应s力1 -状s态3 =s2z=0[(s
x
-
s
y
)
/
2]2
txy
t t
max min
=±
[(s
x
-
s
y
)
/
2]2
+
t
2 xy
=±t
xy
x
tyx txy
y
若s x 0 或 sy 0，
tyx sy sx=0
则xy平面上的txy不是极值切应力。
若s x 0 且 s y 0， 则极值切应力面上必有 sx=sy 。
txy sy
txy x tyx
19
思考题1： 图中表示的纯切应力状态是否正确？
y
(10-6)
tg 2a0=-s2xt-xsyy (10-4)
切应力取得极值的角a 1有两个，二者相差90。 即t max和t min分别作用在两相互垂直的截面上。
a 1和a 0 的关系？
tg
2a 1 =
-
1
tg 2a0
=-ctg2a 0=-
tg
(p2±2a0) =
tg
(2a
0
p m
2
)
即有：a1=a0p/4
主应力作用面上t=0，是主平面；主平面相互垂直。
一点的应力状态可由三个主应力描述，对于平面应
力状态，第三个主应力 s z =0。 21
求极值切应力 --(10-7)式，作用面与主平面相差45。
t t
max min
=±
[(s
x
-
s
y
)
/
2]2
+
t
2 xy
除纯剪情况外，极值切应力平面上正应力不为零，
且必有sx=sy。
s s
max
min
=
s
x
+ 2
s
y
±
[(s
x
-s
y
)
/
2]2
+t
2
xy
tg
2a0
=
-
2t xy sx -sy
主应力作用面上t=0，是主平面；主平面相互垂直。
一点的应力状态可由三个主应力描述，对于平面应
力状态，第三个主应力 s z =0。 11
求极值切应力 --(10-7)式，作用面与主平面相差45。
13
各主平面上的应力？(t=0)
yy
a=58.28时，由(10-1)式有:
sn
=
30+10 2
+
30-10cos116.56-20sin116.56 2
=-2.36MPa=smin
s3
tsy1x
ssx 2=0
z
sy s3
a=s5x8.28
ss3y
txy as0x1x
n
a=148.28时有: sn=smax=42.36MPa ys 1
sin2a=2sinacosa，得到平面应力状态下的一般公式：
s
n
=
s
x
+s
2
y
+
s
x
-s
2
y
cos2a
-txysin2a
t
n
=
s
x
-s
2
y
sin
2a
+t
xy
cos
2a
---(10-1) ---(10-2)
sn、t n是a角的函数，a角是x轴与斜截面正法向n的
夹角，从x轴到n轴逆时针转动时，a为正。
还有： s1、s 2平面内，t max 之值等于 (s1- s2 )/2。
s2、s 3平面内，t max 之值等于
(s2
-
s3
)/2。 18
讨论三、极值切应力作用面上s是否为零？
除若纯极剪限情况剪外应，力极作值用切面应力上平面上
正s应均力为不零为，零，且必纯有剪sx=sy。
y
txy
sx=sy=0
由(10-7)式知，此时应有：
主应力作用面上t=0，是主平面；主平面相互垂直。
一点的应力状态可由三个主应力描述，对于平面应
力状态，第三个主应力 s z =0。
求极值切应力 ---(10-7)式，作用面与主平面相差45。。
极值切应力作用面相互垂直，切应力互等（大小相 等、符号相反，使单元体顺时针转者为正）。
注意：极值切应力作用面上一般 s0。 16
y smax压
C
M
s max 拉
smax
s max拉 [s 拉 ] s max压 [s 压 ]
2
返回主目录
组合变形：
A
压弯组合 e F
FT2 FT1 弯扭组合
B
AC
D
B
M
(b) 带传动轴 (a) 钻床立柱 承受组合变形的构件
问题： 危险点应力状态？ 强度判据？
3
返回主目录
10.1.1 平面应力状态
5
返回主目录
10.1.2 极值应力与主应力
任一 截面 应力
s
n
=
s
x
+s
2
y
+
s
x
-s
2
y
cos2a
-t
xy
sin2a
t
n
=
s
x
-s
2
y
sin
2a
+t
xy
cos
2a
txy a sn
aa
sx
tn
o
tyx
b
sy
n x
令ds n/da=0，有：
s n是a的函数，极值？
s -s
x
2
y sin 2a +t xy cos 2a = 0
23
前节回顾:
相差45的平面
y
sy
y
s1
主
s3
sx
sx 应
x
sz=0
z
txy x 力
sy
;
s3 s1
三维
y
主
sy tyx sx
平 面
s1
y
s3
sx
x
txy
sy
s2=0
x
z s3
s1
平面应力状态
三维一般情况
s
tmax
y
-tmax
s
s
tmaxx
-tmax s
tmax=(s1-s3)/2 s+s=s1+s3
2]2
+t
2
xy
(10-5)式
7
10.1.2 极值应力与主应力
极值 应力
s s
max min
=
s
x
+ 2
s
y
±
[(s
x
-
s
y
)
/
2]2
+t
2
xy
(10-5)式
极值应力截面方位：
tg
2a0
=
-
2t xy sx -sy
(10-4)式
注意到： tg2a0=tg(p+2a0)
正应力取得极值的角a 0有两个，二者相差90。 即smax和smin分别作用在两相互垂直的截面上。
最一般状态：
有s x、s y、t xy =t yx。
y
sy tyx
sx
sx
x
txy
sy
一般情况
txy a
a
sn
a
n
sx otyx
tn
b
sy
x
问题: 任意斜横截面上的应力s 、n t ?n
思路：研究力的平衡。设单元体厚度为1，有
SFx=snabcosa+tnabsina-sxabcosa+tyxabsina=0 SFy=snabsina-tnabcosa-syabsina+txyabcosa=0
tg2a0 = -s2xt-xsyy ---（10-4）
---（10-3）
在a=a 0 的斜截面上，s n 取得极值；且 t n =0。
6
返回主目录
10.1.2 极值应力与主应力
s
n
=
s
x
+s
2
y
+
s
x
-s
2
y
cos2a
-t
xy
sin2a
（10-1）式
sn取极值的条件：
tg2a0
=
-
2t xy sx -sy
2a1=
s
x -s 2t xy
y
=x （10-6）
同样有 sin2a=x/(1+ x 2)1/2 ；cos2a=1/(1+ x 2)1/2
代入(10-2)式：
极值切应力
t t
max min
=±
[(s
x
-
s
y
)
/
2]
2
+
t
2 xy
(10-7)式
9
极值切应力作用平面？ 主平面方位
tg
2a1=
s
x -s 2t xy
4
返回主目录
注意到txy=tyx，解得：
sn=sxcos2a+ s ysin2a- 2txysinacosa t n=(s x-s y)sinacosa+txy(cos2a -sin2a)
txy a
a
sn
a
n
sx otyx
tn
b
sy
x
利用cos2a=(1+cos2a)/2，sin2a=(1-cos2a)/2，
切应力取得极值的平面与主平面间的夹角为45。
10
平面应力状态
求任一截面应力—(10-1)、(10-2)式
s
n
=
s
x
+s
2
y
+
s
x
-s
2
y
cos2a
-txysin2a
t
n
=
s
x
-s
2
y
sin
2a
+t
xy
cos
2a
y
sy sn
tyx n a sx
sx
tn txy x
sy
求主应力大小和方位—(10-5)、(10-4)式
+
t
2 xy
假定smin<0
(若 若10ss-mm7ii)nn式<00为::
ttttmmmmaaainxxx==((=ss±11--0s[)3(/s)2/2=x s-1s/2y )
/
2]2
+
t
2 xy
二主应力 之差的一 半即该平
显然可知有：
t max
t
min
=±
s1- s3
2
面内的最 大切应力
s1、s 3平面内，t max 之值等于二主应力之差的1/2。
y
s3
s2
s1
s1
x
s2
z
s3
24
返回主目录
10.1.3 广义胡克定理与应变能
=x
记 tg2a =0 x, 有 sin2a=x/(1+ x 2) 1/2 cos2a=1/(1+ x2)1/2
x
a
1
代入(10-1)式：
s
n=
s
x
+
s
y±{
(s
x
-
s
y
)2/
2
+
2t
2 xy
2
(s x -s y)2 +4t xy
}
极值 应力
s s
max
min
=
s
x
+ 2
s
y
±
[(s
x
-s
y
)
/