积分变换与场论_ 场论_

2019年11月6日5时52分
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(1) 散度定义
设有矢量场 A(M)，于场中一点 M 的某邻域内作 一包含 M 点的任一闭曲面ΔS，设其中所包围的空间 区域为ΔΩ，以 ΔV 表示其体积，以ΔΦ 表示从其内穿 出 S 的通量. 若当 ΔΩ 以任意方式缩向 M 点时，
A dS
s
V
V
M
若把矢量场中每一点的散度与场中之点一一对应起来，
S M dS
体积相等
流量
v 在 n 上的投影
dQ vndS
面积
2019年11月6日5时52分
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通量
设 n0 表示点 M 的单位法矢
n0
dQ vndS
v n 0 dS
vn
dS n0dS
v n0dS 矢量微元
v dS
v
M dS
据此所求的问题可以用曲面积分表示
Q vndS v dS
2019年11月6日12时34分
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矢量场的通量及散度 本节解决的问题：
如何使用几何图形从 微观 探讨矢量场的特性？
2019年11月6日5时52分
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预备知识
(1) 简单曲线: 设其参数方程为
x t, y t,z t
特征: 连续、单值, 没有重点的连续曲线. (2) 有向曲线: 封闭曲线, 正向为保持所围区域
在左边时的前进方向. (3) 简单曲面: 设其参数方程为
x u,v, y u,v,z u,v
特征: 连续、单值、没有重点的连续曲面. (4) 有向曲面: 封闭曲面, 外侧为正、内侧为负.
2019年11月6日5时52分
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1. 通量
问题提出：流速场 v(M)，S 为场中一曲面，
vM
n
vn
v 截面面积与高均相等 祖暅原理
n0 dS
yz
dScosn,zk dS 向 yz 平面投影
dScos()
dydzidxdz jdxdyk
A dS
s
2019年11月6日5时52分
s
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通量
(2) 通量为正、为负、为零时的物理意义 同样可以用流速场加以说明.
设在单位时间内流体向正侧穿过 S 的流量为 Q，则单位时间内流体向 正侧穿过曲面元素 dS的流量.
2019年11月6日12时34分
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数量场的等值面
等值线: 是指由平面数量场中使函数 u
取相同数值的点组成的曲线.
应用：
ux, y C
2019年11月6日12时34分
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3. 矢量场的矢量线
同数量场一样, 则有
A Ax, y,z
其坐标式:
A Axx, y,zi Ayx, y,z j Azx,Leabharlann Baiduy,zk
u ux, y,z
等值面: 场中使函数 u 取相同值的点所组成的曲面.
ux, y,z C
常数
隐函数存在定理：u 为单值, 各连续偏导数ux,uy,u z 不全为零. 在 M0(x0, y0,z0) 附近, 设 ux 不 为零, 则
u(x,y,z) = C 有唯一解 x = f(y,z).
注意：在一定条件下,等值面必存在.
2019年11月6日12时34分
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数量场的等值面
性质： 1. C 取不同的数值，得到不同的等值面。
2. 等值面互不相交。 u = Cl
只需证明性质2 反证法
M0 u = C2
若 C1 不等于 C2, 对应的两个等值面有交点, 设为 M0(x0,y0,z0), 则由 u 单值可得如下矛盾
C1 = u(x0, y0, z0) = C2
i1
m
m
m
A dS
s
s i1
i1 s
i
通量可以叠加
2019年11月6日5时52分
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通量
在直角坐标系中，设 矢量微元
A Px, y,zi Qx, y,z j Rx, y,zk
又 dS n0 dS n0 cosn,xi cosn, y j cosn,zk
x
dScosn, xi dScosn, y j
就得到一个数量场，称为由此矢量场产生的散度场.
2019年11月6日12时34分
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1. 场的概念
如果在全部空间或部分空间 D 里的每一点 M(x,y,z) 对应着某个物理量的一个确定的值， 就说在这空间 确定了该物理量的一个场. 物理量是数量为数量场; 是矢量为矢量场.
给定一个场就相当于给定一个函数u = u(x,y,z) . 数量场 数性函数 矢量场 矢性函数
s
s
2019年11月6日5时52分
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通量
(1) 通量: 设有矢量场 A(M)，沿其中
有向曲面 S 某一侧的曲面积分
AndS A dS
S
S
叫做矢量场 A(M) 穿过曲面 S 的通量.
2019年11月6日5时52分
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通量
通量的叠加性: 若 A A1 A2
则有
m
Am Ai
场中物理量在各点处的值不随时间变化, 即 u 与 t 无关, 为稳定场.反之, 即 u = u(x,y,z,t) , 为不稳定场.
2019年11月6日12时34分
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2. 数量场的等值面
数量场中各点的数量u是场中之点M的函数u= u(M) 在 Oxyz 直角坐标系中点 M(x,y,z) 的坐标函数是
场的概念 本节解决的问题：
如何使用几何图形从 宏观 揭示场的分布规律？
2019年11月6日12时34分
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场的概念
电场
温度场
场
磁场
重力场 速度场
在物理里，场是一个以时空为变量的物理量。 场在时空中每一点的值都是标（数）量，则为数量场。 场在时空中每一点的值都是矢（向）量，则为矢量场。 场在时空中每一点的值都是张量，则为张量场。 场还可以分为“经典场”和“量子场”两种。
矢量线: 在它上面每一点处，曲线都和
对应于该点的矢量相切.
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矢量场的矢量线
矢量面: 场中的任意一条曲线 C，在其上
的每一点处，也皆有且有一条矢量线通过， 这些矢量线的全体构成的曲面.
C
2019年11月6日12时34分
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矢量场的矢量线
矢量管: 场中的任意一条曲线 C 为一封闭曲线时， 通过 C 的矢量面，就构成一管形曲面.
dQ v dS
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通量
n v
n v
dS
dS
dQ v dS 0正流量
dQ v dS 0负流量
若 S 封闭
S 内有正源
S 内有负源
2019年11月6日5时52分
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2. 散度
通量与曲面 S 有关
AndS A dS
S
S
不足之处：无法判断场源大小