关于电路对偶关系的一点想法-《电路分析基础》-课程设计

涉及到量子力学的问题，已经远远超出笔者自认能够掌握的范围了，在此就省略了。
有了基尔霍夫定律和伏安特性以后可以开始进行一系列的简单的电路分析了。例：
Z Z
Z
Z
图7
对于节点 A，B，C，D，E 对于回路 A→B→C→A
均满足 KCL 约束条件。
A→C→D→A
B→C→E→B
C→D→E→C
A→B→E→D→A 均满足 KVL 约束条件
图 19 如果这种对偶关系有效的话，或许确实有一种元件直接连接电荷 Q 和磁通 Φ 变化！ 3、关于结构从内到外的推广
图 20
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这个推广的初衷也是好奇为什么一定要定义出割集，网孔。但是实质上作者认为 回路、节点——网孔，割集的关系是类似于电压、电流——电荷，磁通的关系，只 是为了方便分析实际电路，哪一种方便就用哪种。更何况，U，I，Q，Φ 是两组便 于分析的基本变量。 4、再简要叙述一下网络定理的对偶
（升降）]做了或正或负的贡献，因为我们在研究前既定特定电器元件和能量之间的 特定关系（即 VAR：Volt-Ampere Relation）
如：对电阻： vR (t) = RiR(t) ，对电容： iC ( t ) =
C
dvC dt
，对电感： vL (t )
=
L
diL dt
。
但是在进行更一步的学习的时候，笔者越发地感觉到了吃力，因为越来越多的问题
图 16
首先我想说的是：
这个图从萌芽到成形经历的时间难以计算，但就从画图本身而言就已经花去了我整
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整两个晚上。虽然到现在我仍然对这个图不够满意，但是有一点我又起想说的是这 个图（除了陈老师给出的核心关系部分）其他的关系网络结构绝对是我的原创，而 且花去了我想当多的心血，请老师一定要明鉴。 图是理论的抽象，在此我愿意对我作的这个图作一定的解释，因为仅仅看表面的话 很多时候是看不够全面和彻底的。 1、关于全图的左右之分 全图的左边部分是实际电路及电路定理，图的右边是电磁场理论以及基本电路理论 的基本要素——KLV，KCL 它们之间靠的是以下三个微分关系联系起来的：
自己的认识，肯定有不正确的地方，请老师提出批评！）
W
--
Q=CU
V=
U
Q
---
+ *I
微分关系
dQ/dt=I
P U=RI dQ/dt=d(ΔΦ/R)/dt Q=ΔΦ/R
--
*U +
dΦ/dt=U
I=
Φ=LI
I
Φ
W
Kirrhoff`s Current Law
Volt-Ampere Relation
Kirrhoff`s Voltage Law
图2
图3
这并不是基本电路理论课程的重点，但却是一切研究的出发点。
给出两个公理：电荷守恒公理，能量守恒公理
将这二公理运用到电路分析上来，伟大的科学家基尔霍夫证明了电路理论中最重要
的两个定律：
Kirrhoff`s Current Law: KCL--对于任一集中参数电路中的任一节点，在任一瞬间，流出（或流入）
关于电路对偶关系的一点想法
信息安全工程学院 F0403603 薛忆
摘要：电路理论是从电磁学衍生出来的一门逻辑性极强的解决实际电路问题的理论基础的重 要课程。本文仅从一个学生在学习的过程中对这门课程中涉及到的专有名词及其关系的对偶 （或远不止对偶这么简单的关系）的逐渐理解出发，罗列讨论了一些简单的电路情况。最后， 作者自己做出了一幅关系网络图以求尽可能全面地将这门课程中所涉及的电磁学理论，参数 元件特性，各种特性的电路定理联系在一起。 关键字：电荷守恒，能量守恒，路和场，KCL，KVL，数学（微分）关系，电路定理
（3）
由式（2）和（3）可解得
uC1
(0+
)
=
C2 C1 + C2
Us
，
uC2
(0+ )
=
C1 C1 + C2
Us
通过对这组典型的例题所反应出的对偶关系应该有以下几种，即：
节点—回路；网孔—割集；电容—电感；电压源—电流源；…………
浅显地讨论完电路的结构和元件以后，作者冒昧的给出了一个这样子的关系图（仅凭作者
现在我们换个角度来看待这个电路：
图8
图9
将 ACD 回路看作一个“节点”，取流入该节点的电流为正，流出为负：
i1 − i4 + i7 − i10 − i11 = 0
同时取“节点 AB”和“节点 CDE”之间的电压为：
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方向取从“节点 AB”流向“节点 CDE”为正，返回为负
“节点”间的电压= VBC +VAC +VAD +VBE
图 10
图 11
那么当激励接入或发生换路时，电容电压可能发生跃变;
如果电路中存在有全部由含电感支路组成的割集或由含电感之路与理想电流源组成
的割集，如下图
图 12
图 13
下面列举其中的一个电路来说明问题
例 这是一个电容电压跳变的例子。如图 15 的电路，如已知在 t < 0 时，电容电压均
为零，当 t = 0 时，开关 S 闭合，求电容电压的初始值 uC1 (0+ ) 和 uC2 (0+ ) 。
该节点的所有支路电流的代数和等于零。
n
∑ ik (t) = 0
k =1
图4
图5
Kirrhoff Voltage Law: KVL--对于任一集中参数电路中的任一回路，在任一瞬间，沿
该回路的所有支路电压的代数和等于零。
n
∑ vk (t) = 0
k =1
图6 对于这两个定理，我的理解是：
一个节点其实可以看作是将一个回路无限缩小成一个点（这种缩小应该是有条 件的吧），而一个回路则可以将其看作是无数个节点组合在一起形成（这种组合也应
“……荷电质点有序运动——电流产生热效应和磁效应……” [4] 这是我们对电路理论最原始最笼统的理解，而且本来《基本电路理论》也是从
物理学中的《电磁学》中慢慢发展演化成一门全面而独立的课程。这些论述都是从 两方面来讲的即电和磁，事实上到现在（学习完基本电路理论后）我们应该可以理 解到这其实也就是路和场的关系。 我们首先需要解决的是电磁关系的问题。即是图 3 中这部分的内容：
参考资料： 1 基本电路理论陈洪亮老师课件，上课笔记。 2《基本电路理论》上海科技文献出版社 王霭著，陈洪亮等改编 3《电路基础》西安电子科技大学出版社 吴大正 主编 4《电路的理论基础》科学出版社 王勇著 5《电路理论—电阻性网络》 华中科技大学出版社 黄冠斌著
2006-1-2
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“所谓电气器件是一些又人们设计制造的事物的总称，其特点是具有电气连接 的外渗端点和通电后其内不会出来这种或那种电磁过程。”[2]
“当实际电路的几何尺寸远小于工作波长时，我们能足够精确反映其电磁性质 的一些理想电路元件或它们的组合来模拟实际元件，这种理想化的电路元件称为集
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中参数元件，它们有确定的电磁性质和确切的数学定义。可以认为，电磁能量的消 耗都集中于电阻元件，电能只集中于电容元件，此能只集中于电感元件。”[3]
. 图 21 我想，戴维宁定理和诺顿定理得对偶关系是易于理解的，在此由于篇幅有限且时间 仓促，对这个图的进一步研究可能还需要一段时间。 5、最后我想说一下这幅图中间带的设计原理：
图 22 将“功”，“效”放在中间是我的初衷。故在整理电路定理时我注意到了，特勒根定 理得形式是类似于功率的表达形式的，可能本来其内在实质是和功效有关的吧，故 我将特勒根定理放在了 P 的旁边。 在中间的一条带中我还引进了热效，磁效两个概念且放在了对偶的位置。我们从基 点学习中了解到电流有两方面的效应一方面是热效应（如作用于电阻），另一方面是 磁效应（如作用于能够储存电能或磁能的元件 C，L 等）。 结束语： 怀着忐忑不安的心情写完了这一份基电的小论文。但是我毕竟只是一个电路理论的 初学者，对电路的理解有很多的问题，但至少，通过这次论文我对基本电路理论的 认识大大地迈进了一步。在此我感谢所有帮助过我的老师，同学！
−q1(0− ) + q2 (0− ) = 0
当开关闭合后，在t=0+时，根据电荷守恒原理，对于节点A而言，也应有
−q1(0+ ) + q2 (0+ ) = 0
考虑到式（1），上式可写为
−C1uC1 (0+ ) + C2uC2 (0+ ) = 0
（2）
另一方面，在t=0+时，根据KVL有
uC1 (0+ ) + uC2 (0+ ) = Us
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设电容 C1 和 C2 的电压分别为 uC1 (t) 和 uC2 (t) ，电荷分别为 q1(t) 和 q2 (t) ，Fra Baidu bibliotek根
据电容的定义有
q1 q2
(t) (t)
= =
C1uC1 C2uC2
(t) (t)
⎫⎪ ⎬ ⎪⎭
（1）
由于在t=0-时各电容电压为零，因而电荷也为零，即有q1(0-)= q2(0-)=0。由图 15 可见， C1的负极和C2的正极接于节点A 。在t=0-时，节点A处的总电荷
引言：我们先认识一下实际的电路是什么样子的，因为我们学习电路理论的目的是 为了解决实际生活中的电路问题，所以我们应该把理想模型和实际元件进行区别
图1 这是一个简单的串联电路。从此电路的结构的元件如我们可以得到如下的信息： 实际电路由电池，导线和用电器元件构成。其次我们从能量的角度来分析一些简单 的问题。这个电灯为什么亮？ 原因之一是它有一旦被通电就能够亮的特性——这是电灯元件的自身特性。 原因之二是有提供给它电能的系统——这是这个简单串联电路的特性。 所以在学习知识的过程中思维要严密，要体系，这样才有助于接收知识，理解知识， 以及更好的掌握知识。这也是作者执意宁愿写一篇理论整理不尽完善的“总结”以 希望得到老师的批评也不愿意仅仅只从某一些方面片面地分析电路问题以求得正确 的答案。 正文：在上基本电路理论的第一节课时，陈老师就已经给我们如图 2 的关系图。但 同时，陈老师并没有告诉我们这幅图真正的涵义，并且对于刚接触这门课的我们也 并不能理解这幅图的意思，在再后来的学习中陆续地我们有了对偶的概念。再翻回 笔记的第一页观察这幅图上的元素和元素之间的关系时，我们发现这些大都是对偶 的。其实这些相互“对偶”的关系是很微妙的。下面我们来看这样的一些论述。
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该是有条件的吧）所以，它们之间应该有我们所了解到的所谓的“对偶”关系。后
来经过翻阅很多电磁学方面的资料，我对这种对偶的理解有一定的变化，即我认为
节点电荷守恒是一种动态的静止，而回路的电压升降守恒亦是一种表观静态的电荷
运动。
那么也就是说，任意时刻，其实有很多的电荷在节点附近进行运动（要么流进节点，
图 15 解： 由于在 t = 0− 时（显然 t = 0− < 0 ），各电容电压均为零，因而在 t = 0− 时各电容 可看作短路。当开关在 t = 0 闭合时，充电电流将为无限大，这时电容电压将发生“强 迫跃变”，换路定理不再适用。在这种情况下，可根据电荷守恒的原理来确定各电容 的初始电压。
补充：换路定则：网络在 t0 时换路，换路后的 t0+ ， 对 C：只要|iC|≤M(有限量)，vC 不会跳变； 对 L：只要|vL|≤M(有限量)， iL 不会跳变。
由此我们可以得到“对偶”的节点，回路对偶关系。/
接下来我想通过动态电路的问题来进一步加深对网孔和割集的认识：
在学习动态电路的分析问题时，我们不仅了解到动态元件的特殊 VAR 以及电路响应 问题，还了解到，动态元件只是我们抽象出的理想元件，所以，有些时候分析是有 例外的。先列举出强迫跃变发生的情况： 如果电路中存在全部由电容组成的回路或由电容与理想电压源组成的回路，如下图：
要么流出节点，只要满足总合为 0 即可）。而对于一个回路，任意时刻都有电荷定向 运动从而导致回路中磁链的相对变化，（虽然在每个电器元件处电势差不一定要变
化）。同时，KCL 之所以针对节点，是人们既定节点在电路中是不储存电荷的，KVL 之所以针对回路，实质上是针对回路中的各种电器元件，它们对回路中电压的变化
微 分 关系
dQ/dt=I
dQ/dt=d(ΔΦ/R)/dt
微分关系
dΦ/dt=U
图 17 并且通过两个动态元件去研究电路性质以联系路和场的关系：
图 18 而这些性质在动态电路中体现出十分地明显的对偶，这样的对偶又利于简便我 们的思维模式和运算方法。 2、关于图的上下之分 其实图的上下是一种线性的关系，作者仅浅显的从以下两事实推断：