中考数学专题复习 函数类应用题(讲义)

函数类应用题（讲义）

一、知识点睛

函数类应用题一般处理步骤：

1. 理解题意，_____________．

应用题常见类型有方程不等式类、测量类、函数类．

2. 梳理题干信息，________________．

函数关系通常由__________、__________、__________、或___________来刻画，借助_________等方式梳理信息，由此确定函数关系式．

3. 根据函数性质求解，____________．

检验结果是否符合实际背景及题意取值范围要求．

二、精讲精练

1. 某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，

边长在5～50（单位：cm）之间．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例；每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据：

（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式．

（2）已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得的利润为26元．（利润=出厂价-成本价）

①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．

②当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？

2. 某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400元，销售单价

定为3000元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该产品，公司决定商家一次购买该产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．

（1）商家一次购买该产品多少件时，销售单价恰为2600元？

（2）设商家一次购买该产品x件，开发公司所获得的利润为y元，求y与x 之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

（3）开发公司的销售人员发现，当商家一次购买该产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买数量的增多，公司所获得的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买该产品的数量越多，公司所获得的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其他销售条件不变）

3. 某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产

设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到35元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为

.

（年获利=年销售收入-生产成本-投资成本）

（1）当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少？

（2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损．若是盈利，最大利润是多少？若是亏损，最小亏损是多少？

（3）第二年，该公司决定给希望工程捐款Z万元，该项捐款由两部分组成．一部分为10万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款．若除去第一年的最大获利（或最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的范围．

4. 我国首条磁悬浮轨道全长约为30km，列车走完全程包含启动加速、匀速运

行、制动减速三个阶段．已知磁悬浮列车从启动加速到稳定匀速运行共需200秒，在这段时间内有以下记录数据：

（1）请你在一次函数、二次函数和反比例函数中选择合适的函数来分别表示在启动加速阶段（0≤t≤200）速度v与时间t的函数关系，路程s与时间t的函数关系．

（2）最新研究表明，此种列车的匀速运行速度可以达到180米/秒，为了检测匀速运行时的各项指标，在列车达到这一速度后至少要运行100秒，才能收集全相关数据．若在启动加速过程中路程、速度随时间的变化关系仍然满足（1）中的函数关系式，并且制动减速所需的路程与启动加速的路程相同．根据以上要求，至少还要再建多长的轨道才能满足试验检测要求？

（3）若制动减速过程与启动加速过程完全相反，请根据对问题（2）的研究，求出列车在试验检测过程中从启动到停车这段时间内，列车离开起点的距离y（米）与时间t（秒）的函数关系式．

5. 某企业的污水处理有两种方式，一种是输送

到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．该企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：

月份x（月）123456

输送的污水

1200060004000300024002000

量y1（吨）

7至122

数）之间满足二次函数关系：y2=ax2+c（a≠0），其图象如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费用z1（元）与月份x之间满足函数关系式：，该企业自身处理每吨污水的费用z2（元）与月份x之间满足函数关系式：；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身

处理每吨污水的费用均为1.5元．

（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别求出y1，y2与之间的函数关系式；

（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用．

【参考答案】

一、知识点睛

1.辨识类型

2.确定函数关系表达式函数图象文字描述图表信息列表

3.验证结果

二、精讲精练

1．解：（1）设出厂价为y元，边长为x cm，

一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式为：；

（2）①设一张薄板的利润为P元，则

一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式为：；

②∵

∴当x=25元时，最大利润为35元．

2. 解：（1）50件．

（2）当时，y=（3000-2400）x=600x

当时，y= [3000-10（x-10）-2400）]x=

当时，y=（2600-2400）x=200x

（3）一次函数y=600x与y=200x均为y随x增大而增大，

二次函数，

当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小；因此，当x=35时，销售单价最低，最低单价为3000-10（35-10）=2750元．3. 解：（1）∵25≤28≤30

由题意计算可得：y=40-28=12（万件）

（2）①当25≤x≤30时，

此时，当x=30时，W max=-25（万元）；