根轨迹在控制系统校正中的应用1030

49.6 × 3.9 × 0.1 K0 = = 10.3 × 5 = 51.5 > 20 2 × 9.4 × 0.02
利用根轨迹图设计的基本步骤
分析被控对象的基本特性，根据给定的性能 指标确定期望的闭环主导极点。 绘制比例控制下的系统的根轨迹，看其是否 通过期望的闭环极点，如果没有通过，则必 须加入开环零、极点以改造根轨迹。 校核系统的静态和动态指标是否满足要求。 如果系统性能不满足指标要求，则对设计方 案进行修正，直到满足指标要求为止。
∏
i =1 n
s − zi s− pj
=1
典型系统的根轨迹
根轨迹校正的主要任务
研究的主要的问题是， 研究的主要的问题是，当所希望的闭 环极点（尤其是闭环主导极点） 环极点（尤其是闭环主导极点）不在原根 轨迹上时，怎样选择合适的校正装置， 轨迹上时，怎样选择合适的校正装置，使 得根轨迹在合适的增益下通过期望闭环极 从而获得满意的性能。 点，从而获得满意的性能。
β ≤ cos −1 0.3 ≈ 72o
由调节时间： 由调节时间：
ts =
4
ζωn
≤ 1 .5 s
8 ξωn ≥ 3
为了使系统性能有一定的裕度， 为了使系统性能有一定的裕度，取
β = 60 , ξωn = 3
o
因此，选定期望的闭环主导极点为： 因此，选定期望的闭环主导极点为：
S1,2 = −3 ± 3 3i
根轨迹设计举例
现给出某一被控制对象的传递函数为：
1 G (s) = s ( s + 2)
现要求设计一个控制器C(s)和该被控对象G(s)形成 闭环系统, 并满足系统的性能指标要求。
调节时间： 调节时间：
t s ≤ 1.5s (2%)
最大超调量： M P ≤ 30% 最大超调量： 开环比例系数： 开环比例系数： K 0 ≥ 20
一些说明
在以上的系统综合过程中，均是在理想的环境 下进行的，并未考虑一些限制因素，比如工艺流程， 滞后因素、环境干扰因素、模型误差因素、测量误 差因素、执行器的限幅和非线性因素等等，在实际 系统中均是影响系统性能的重要因素。 在后续的课程中，大家还会学习到最优控制、 鲁棒控制、抗滞后的一些策略和不依赖于精确模型 的模糊控制和神经网络控制等等方法。 以后的课程将更加精彩！
所以，不能精确的计算出期望的闭环极点，只 能初步确定一对闭环极点使系统先镇定，然后 在对其进行修正和优化。 现初步设定期望闭环极点为：
S1,2 = −8.1197 ± 10.8262i
这对极点至少可以使系统镇定。
如果仅使用比例控制器
R( s)
+
∑
_
e( s )
K
G(s)
Y (s)
其根轨迹为
显然必须加入开环零、极点，按照根轨迹设计的基 本步骤可确定出，校正器的传函为：
Βιβλιοθήκη Baidu
即是要加入一个校正装置： 即是要加入一个校正装置：
s − zc C (s) = K s − pc
关键是确定开环零点 z c和开环极点 p c的位 置及对应的根轨迹增益 K ，使得系统根轨 迹通过期望的闭环极点 S1,2 。
期望闭环极点 件，既是 ：
s1 要在根轨迹上，就必须满足角条 要在根轨迹上，
ts ≈ 1.3s
ess = 0
超调量、调节时间和稳态误差均在在要求的范 围之内。
系统的开环传函： 系统的开环传函：
1 49.6 × 3.9( s + 1) 49.6( s + 3.9) 3.9 C ( s )G ( s ) = = s ( s + 2)( s + 9.4) 2 × 9.4s ( 1 s + 1)( 1 s + 1) 2 9.4 1 10.3( s + 1) 3.9 = 1 1 s ( s + 1)( s + 1) 2 9.4
根轨迹方法在控制系统校正中的 应用
祁 虔
2007年10月 年 月
根轨迹的基本特性
给定单位闭环控制系统，如下图所示： 给定单位闭环控制系统，如下图所示：
K ( s − z1 )( s − z2 )L ( s − zm ) G(s) = ( s − p1 ))( s − p2 )L ( s − pn )
K ( s − z1 )( s − z 2 ) L ( s − z m ) = −1 ( s − p1 ))( s − p 2 ) L ( s − p n )
角条件
∑ arg(s − z ) − ∑ arg(s − p ) = ±π (2k + 1)
i =1 i j =1 j
m
n
模条件 m
K
∏
j =1
期望的闭环极点位置图
如果该被控对象只使用比例控制器， 如果该被控对象只使用比例控制器，并 形成如下闭环系统： 形成如下闭环系统：
R(s)
+
∑
_
e(s)
K
G(s)
Y(s)
其根轨迹如下图所示： 其根轨迹如下图所示：
从以上根轨迹图分析可知，仅使用比例控制器不能 满足系统性能的要求。
可见要使系统的根轨 迹通过期望的闭环极点， 就必须在左半平面加入开 环零点，使得根轨迹整体 向左偏移，同时对于实际 的物理系统，没有纯粹的 零点，所以，要同时加入 一个开环极点。
arg( s1 − zc ) − arg( s1 − pc ) − arg( s1 − 0) − arg( s1 + 2) = −π
代入数据， 代入数据，计算出 arg ( s1 − z c ) − arg ( s1 − p c ) = 4 1 °
作图法
A
Im
× S1
×
PC
B
ZC -2
×
O
×
Re
由此确定: 由此确定
谢 谢！
根据性能指标确定期望的闭环极点
调节时间： ts ≤ 1.5s (2%) 最大超调量： M P ≤ 30% 开环比例系数 K 0 ≥ 20 利用典型二阶系统闭环主动极点与性能指标 的关系
MP = e
ts =
− (ζ / 1−ζ 2 )π
≤ 30％
4
ζω
≤ 1 .5 s
n
查表可知： 查表可知：
ξ ≥ 0 .3
s + 0 .1 s + 0 .0 2
此时控制系统的结构图为：
加入超前—滞后校正器后系统的根轨迹图 加入超前 滞后校正器后系统的根轨迹图
原点附近的根轨迹图
此时系统的阶跃响应图为： 此时系统的阶跃响应图为：
再次校验性能指标： 再次校验性能指标： M P ≈ 29%
ts ≈ 1.3s
ess = 0
s − zc C (s) = K s − pc
arg(s1 − zc ) − arg(s1 − pc ) − arg(s1 − 5.114) − arg(s1 + 5.114) = −π
A Im
× S1
10 5 14 0
×
PC
B
ZC
× -5.114
.5
× O
×
5.114
.7
Re
arg ( s1 − z c ) − a rg ( s1 − p c ) = 6 6 .2 o
系统开环比例系数为： 系统开环比例系数为：
49.6 × 3.9 K0 = = 10.3 < 20 2 × 9.4
如果要大幅提高开环比例系数， 如果要大幅提高开环比例系数，同时对系统动 态性能不产生太大影响的话， 态性能不产生太大影响的话，可以考虑加入开 环偶级子 本例中， 本例中，可加入如下开环偶级子
single inverted pendulum
The transfer function:
Φ( s) 0.02725 = 2 V ( s ) 0.0102125s − 0.26705
2.6683 G ( s) = ( s − 5.114)( s + 5.114)
利用根轨迹图进行系统镇定
给定被控对象为： 给定被控对象为：
ϕ
B ZC -5.114
×
PC
×
O
×
×
5.114
Re
Play the video
控制器的参数优化
目前已经有多种方法进行控制器参数优化， 比如单纯形法、动态规划、遗传算法、蚁群 算法等。
通过两个例子，我们发现设计校正器的一些 关键步骤： 立足于被控对象本身的特性 仔细分析设计要求和性能指标 合理选用控制器和设计工具。 设计过程需要反复的验算和校正。 根轨迹图是工具，而不是目的。
y(s)
图8 系统结构图
系统设计的任务是使其镇定， 系统设计的任务是使其镇定，并具备一定的抗 干扰能力。但是，问题也随之而来， 干扰能力。但是，问题也随之而来，对于这样 的自不稳定系统，难于找到系统在扰动作用下， 的自不稳定系统，难于找到系统在扰动作用下， 输出的最大偏差， 输出的最大偏差，静态误差和过渡时间与闭环 极点的数学关系。 极点的数学关系。
Im A
×
S1
×
PC
B
ZC
× -5.114
× O
5.114
×
Re
通过作图法和模条件得到控制器的参数
141.7(s + 6.87) C ( s) = s + 26.63
检验该系统的抗干扰能力
抗干扰仿真结构图
延迟4秒后发生的单位阶跃干扰响应图
如果静态误差不能满足要求，则可以加入开环偶 极子的办法，来增大开环比例系数，从而降低静 态误差。 可加入开环偶极子
s +1 s + 0 .0 1
并形成完整的超前——滞后校正器：
141.7(s + 6.87) s +1 C(s) = s + 26.63 s + 0.01
再次验证系统的抗干扰能力
加入偶极子后的仿真图
系统响应图
加入超前—滞后校正器后系统根轨迹图
计算机辅助设计
ϕc / 2
A Im
ϕc ×
S1
ϕ/2
2.6683 G(s) = (s − 5.114)(s + 5.114)
其设计目标是设计一个校正器， 其设计目标是设计一个校正器，使得该被控对象在 设定值为零时保持稳定， 设定值为零时保持稳定，并具备一定的抗干扰能 其系统框图如下所示： 力。其系统框图如下所示：
干扰
0
+
∑
_
e(s)
控 器 制
被控对象
zc = −3.9
pc = −9.4
在根据模条件：
s1 + 3 .9 K =1 s1 s1 + 2 s1 + 9 .4
求得 K = 49.6 从而得出校正器的传递函数为
C ( s ) = 4 9 .6 s + 3 .9 s + 9 .4
系统结构图为：
系统根轨迹图为：
从图中可以计算出：
M P ≈ 29%
利用根轨迹图进行系统镇定
给定被控对象为： 给定被控对象为：
2.6683 G(s) = (s − 5.114)(s + 5.114)
其设计目标是设计一个校正器， 其设计目标是设计一个校正器，使得该被控对象在 设定值为零时保持稳定， 设定值为零时保持稳定，并具备一定的抗干扰能 其系统框图如下所示： 力。其系统框图如下所示：