C6模态分析

（ 7）
等于仅在 j 坐标激振（其余坐标激振力为零）时， i 坐标响应与激振力之比。 在（3）式中令 s = jω ，可得阻抗矩阵
Z(ω ) = (K − ω 2 M ) + jωC
利用实对称矩阵的加权正交性，有
（ 8）
O T Φ MΦ= mr O
O T Φ KΦ= kr O
mr 、 k r 分别称为第 r 阶模态质量和模态刚度（又称为广义质量和广义刚度） 。 ωr 、 ξ r 和φ r 分别称为
第 r 阶模态频率、模态阻尼比和模态振型。 不难发现，N 自由度系统的频率响应，等于 N 个单自由度系统频率响应的线形叠加。为了确定全 ，实际上只需测量频率响应矩阵的一列（对应一点激振， 部模态参数 ω r 、 ξ r 和 φ r （ r=1， 2，…，N） 各点测量的 H(ω ) ）或一行（对应依次各点激振，一点测量的 H(ω ) ）就够了。
λr = e µ ∆t ⇒ µ r = σ r + iω r =
r
1 ln(λ r ) ∆t
这里，σr 是阻尼因子，ωr 是 r 阶固有频率，阻尼比ξr 由下式给出：
ξr =
−σ r
ω r2 + σ r2
第 r 阶模态的振型{ψ}r 是矩阵[Φ]r 的系统特征向量{φ}r 的可观部分，表示如下： {ψ}r =[C]{φ}r 可见,只要求出[A][C]便可进行模态参数的识别。 下面是利用输出相应的相关函数和 Hankel 矩阵来求[A][C]。 相关函数 Rk 表示成下式： T Rk=E({yk+m}{ym}) 用[Rk]相关矩阵建立 p 行和 q 列的 Hankel 矩阵,(p≥q)如下:
第 6 章
第 3 页
[ R1 ] [ R2 ] [ R ] [ R ] 2 3 [ H p ,q ] = M M [ R p ] [ R p +1 ]
L [ Rq ] L [ Rq +1 ] = [O ][C ] p q O M L [ R p + q +1 ]
T d Kφ Kφ K d KφKφK ) G yy ( jω ) = H ( jω )G xx (ω ) H ( jω ) = ∑ ( + jω − λ K K ∈sub (ω ) jω − λ K T T
(1) 阶功
式中 G xx (
jω ) 为 x(t)的功率谱阵（r×r 阶） ，r 为激励点数。 G yy ( jω ) 为响应的 m×m
Z( s ) = Ms 2 + Cs + K
[
]
第 1 页
（ 3）
第 6 章
反映了系统动态特性，称为系统动态矩阵或广义阻抗矩阵。其逆阵
H( s ) = Ms 2 + Cs + K
X ( s ) = H ( s ) F( s )
[
]
−1
（ 4）
称为广义导纳矩阵，也就是频响函数矩阵。由式（2）可知 （ 5）
第 6 章 第 4 页
T
∑a Z
i i =0
n
i
=0
由方程得到复根λr ，可用下式求得系统的特征值μr：
λr = e µ ∆t ⇒ µ r = σ r + iω r =
r
1 ln(λ r ) ∆t
由此可算出各阶的频率和阻尼。 在所有响应点中挑出一些点， 综合这些点的频率阻尼得到一组总体 的频率和阻尼。根据各点和参考点的互相关函数，用最小二乘法可逐点识别出每阶模态的留数，由此得 到模态振型。 复指数法的精度一般不如 SSI 方法。其优点是可挑选部分响应点来计算模态的频率和阻尼。 对于只有响应没有输入的情况，即响应模态分析，用特征系统实现算法、随机子空间法和复指数法 都可进行模态分析， 特征系统实现算法需要先用随机减量法准备自由衰减函数。 建议用随机子空间法为 主，其余两种方法可用作校核，判断有无虚假模态和是否丢失重要模态。 EFDD 法 （ 增强型频域分解法） 增强型频域分解法 ） 的原理 EFDD 方法即为（Enhanced frequency domain decomposition） ，由峰值拾取法（ Peak picking technique）发展而来。是一种白噪声激励时在频域识别参数的一种方法。能识别密集模态，得到系 统的阻尼比。 设 x(t)是未知的不能测量的激励，y(t)是测量的响应数据。对欠阻尼的情况，有
T
试验模态分析或模态参数识别的任务就是由一定频段内的实测频率响应函数数据， 确定系统的模 态参数——模态频率 ω r 、模态阻尼比 ξ r 和振型 φ r = (φ r1 ,φ r 2 ,L, φ rN ) ， r=1， 2，…，n（ n 为系统在
T
测试频段内的模态数） 。 随机子空间法（ 随机子空间法 （ SSI） 的原理 自由度为 n 的线性系统，其离散状态空间方程表示如下： {xk+1}=[A] {xk}+{wk} {yk}=[C]{xk}+{vk} 式中，{xk}是 n 维状态向量，{yk}是 N 维输出向量，N 为响应点数，{wk}和{vk}分别是均值为零的 输入和输出白噪声，[A]和[C]分别表示 n*n 阶状态矩阵和 N*n 阶输出矩阵，系统的特性完全由特征矩 阵[A]的特征值和特征向量表示。特征矩阵[A]的特征值分解如下： -1 [A]=[Φ][Λ][Φ] 由Λ矩阵得到离散的特征值λr，可用下式求得系统的特征值μr：
其中矩阵 Φ = [φ 1,φ 2 ,L,φ N ] 称为振型矩阵，假设阻尼矩阵 C 也满足振型正交性关系
O Φ CΦ= cr O
T
代入（8）式得到
O −1 Φ Z(ω ) = Φ zr O
−T
（ 9）
式中 z r = (k r − ω 2 mr ) + jωcr
因此 H (ω ) = Z(ω )
−1
O =Φ zr
Φ T O
第 6 章
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H ij (ω ) = ∑
r =1
N
mr (ω − ω 2 ) + j 2ξ rω rω
2 r
[
φ riφ rj
]
（10）
上式中， ω r2 =
cr kr ， ξr = 2 m mr rω r
率谱阵，m 为测量点数。 H (
jω ) 为 m×r 阶频响函数矩阵。矩阵的上角标“-” 、 “T”分别表示复共
轭和转置。 当 K 一定时，d K 是常数； 然后对其进行奇异值分解（SVD）
λ K 为 K 阶极点。当 ω = ω i 时，可从式（1）估计 G yy ( jω ) ，
G yy ( jω ) = U i S iU iH
在上式中令 s = jω ，即可得到系统在频域中输出（响应向量 X (ω ) ）和输入（激振向量 F(ω ) ）的 关系式
X (ω )Fra Baidu bibliotek= H(ω )F(ω )
式中 H(ω ) 为频率响应函数矩阵。 H(ω) 矩阵中第 i 行第 j 列的元素
（ 6）
H ij (ω ) =
X i (ω ) F j (ω )
第六章 模态分析
6.1 模态分析方法介绍
(应变模态分析的操作参见 6.3 参数设置部分 参数设置 )
6.1.1 模态分析方法及其应用
模态分析实质上是一种坐标变换，其目的在于把原物理坐标系统中描述的相应向量，转换到"模态 坐标系统"中来描述，模态试验就是通过对结构或部件的试验数据的处理和分析，寻求其"模态参数"。 主要应用有: 用于振动测量和结构动力学分析。可测得比较精确的固有频率、模态振型、模态阻尼、模态质量和 模态刚度。 可用模态试验结果去指导有限元理论模型的修正，使理论模型更趋完善和合理。 用模态试验建立一个部件的数学模型，然后再将其组合到完整的结构中去。这通常称为"子结构方 法"。 用来进行结构动力学修改、灵敏度分析和反问题的计算。 用来进行响应计算和载荷识别。 由于理论模型计算很难得到模态阻尼， 因而进行响应计算结果往往 不理想。利用模态试验结果进行响应计算则无此弊端。
6.1.2 模态分析基本原理
频域法模态拟合的基本原理 经离散化处理后，一个结构的动态特性可由 N 阶矩阵微分方程描述：
& + Cx & + Kx = f ( t ) M& x
（1）
& 、& & 分别为 N 维位移、速度和加速度响应向量；M、K、C 分 式中 f ( t ) 为 N 维激振力向量； x 、 x x
式中,[Op]、[Cq]分别是离散状态空间方程的 p 阶可观矩阵和 q 阶可控矩阵,分别为:
[C ] [C ][ A] , [O p ] = M p −1 [C ][ A] [C q ] = [[G ] [ A][G ] L [ A]q −1[G ]]
式中，[G]＝E({xk+1}{yk}) 对 Hankel 矩阵进行奇异值分解，再根据矩阵[Op]、[Cq]的特点，可以求得矩阵[A]、[C]，由此识别 出系统模态参数。 随机子空间法适用于线性结构平稳激励下参数的识别， 对输出噪声由一定的抗干扰能力。 其最大优 点是不需要输入，仅通过输出就可进行识别，可用来进行响应模态分析。本方法属于整体拟合法，拟合 时同时考虑多点的输出波形，当模态比较密集时，即使模态频率比较接近，也不会影响识别的精度。拟 合过程中需要用户选择 Hankel 矩阵的阶数， 当 Hankel 矩阵的阶数较高时， 计算量很大， 比较费时。 Hankel 矩阵的阶数选定后，还需要确定状态方程的阶数，阶数太低，会造成模态丢失，太高会出现虚假模态， 通过稳定图可以找到合适的阶数。 对于响应模态的识别，随机子空间法是目前最好的选择，仿真计算表明，随机子空间法识别出的频 率、阻尼和振型的精度都非常高。由于只有响应信号，所以无法对各界模态的质量和刚度进行归一化处 理。 特征系统实现算法（ 特征系统实现算法 （ ERA） 的原理 自由度为 n 的线性系统，其离散状态空间方程表示如下： {xk+1}=[A] {xk}+{wk} {yk+1}=[C]{xk+1} 式中，{xk}是 n 维状态向量，N 为响应点数，{wk}是均值为零的输入白噪声，[A]和[C]分别表示 n*n 阶状态矩阵和 N*n 阶输出矩阵，系统的特性完全由特征矩阵[A]的特征值和特征向量表示。 其拟合过程类似于 SSI,所不同的是 Hankle 矩阵是由脉冲响应函数或自由响应信号得到。脉冲响 应函数可通过频响函数的逆变换得到，自由响应信号可通过随机减量法得到。 通过脉冲响应函数进行特征系统实现算法，除得到模态频率、阻尼和振型外，也可得到模态质量 和刚度。当模态频率较密集，频域法识别有难度时，将频响函数逆变换得到脉冲响应函数，用 ERA 方 法进行识别，可得到更为令人满意的结果。 通过自由响应信号进行特征系统实现算法，其结果往往没有 SSI 的结果理想，这是因为 SSI 方法 中考虑了输出噪声而 ERA 方法中没有考虑。建议大家今后不用随机减量法，凡是想用随机减量法的地 方，都改用 SSI 方法。 复指数法（ 复指数法（Prony）的原理 对每个响应信号建立 AR 自回归模型，根据自回归系数 ai ，可建立系统的特征方程
式中 Ui = [ui1，ui2，ui3，…，uim] 是一个酉阵。当 K 阶模态为主要模态时，式（1）仅有一项。 那么，振型为
ˆ=u φ i −1
(2)
频率和阻尼从对应单自由度相关函数（功率谱的逆 FFT 变换）的对数衰减可得，或由东方所的阻 尼计技术求出。可见，频域分解法的核心是对响应功率谱进行奇异值分解，把功率谱分解为对应多阶 模态的单自由度系统功率谱。该方法识别精度高，有抗干扰能力。但是，频域分解法有三个假设必须 同时满足：一是激励为白噪声；二是结构的阻尼为欠阻尼；三是当有密集模态时必须是正交的。否则， 该方法仅是一个近似方法。 POLY_LSCF 方法的原理 最小二乘复频域法（Least Squares Complex Frequency Domain method, LSCF）的出发点是频
别为结构的质量、刚度和阻尼矩阵，通常为实对称 N 阶矩阵。 设系统的初始状态为零，对方程式（1）两边进行拉普拉斯变换，可以得到以复数 s 为变量的矩 阵代数方程
[M s
2
+ Cs + K X ( s ) = F( s )
]
（ 2）
频域 GLOBAL 方法就是利用所有测点的频响函数,利用最小二乘法估计出矩阵 M、K、C。 式中的矩阵