第八章、刚体力学

y
j


z
k
•
av定 轴转动rr,中a，线v量 与r,角量an关 系 的v矢量表示：
z
y


an
r
v a
6
㈢刚体的平面运动
（1）平面运动的特点及方法
• 特点：①刚体上各质元均在相互平行的平面内运动；
②垂直于平行平面的直线上的各点，运动情况相同。
一般来说，刚体任何运动都可分解为基点的平动和绕 该点的定点转动的合成；选择不同的基点，平动速度就不 同，转动角速度就与基点的选择无关。 ？刚体角速度的绝对性：刚体上的角速度矢量的大小和方 向都相同。
证明：如图,选c为基点，则p点速度
vp vc R
若速选度cω’’为基，点则，vp则p点vc绕 c’点有一R角
第八章 刚体力学
§１.刚体运动学 §２.刚体的质心及其运动定理 §３.刚体定轴转动定律 §４.刚体定轴转动能量及其规律 §５.刚体的平面运动的动力学 §6.刚体的静力学 §7.刚体定点的运动
《物体转动的新理论》
1
引言
• ?刚体:把物体看作有质量和大小形状，但在外力作用下大小
形状不发生改变的理想模型； (1)在外力的作用下, 任意两点均不发生相对位移; (2)内力无穷大的特殊质点系——内力做功为零； (3)刚体是弹性系数很大的一类物体的抽象； (4)若把刚体分为许多质元，每个质元都小到可看作质点，那 么刚体就是各质元间相对位置不发生变化的特殊质点系，简称 不变质点系； 研究刚体力学的基本思路和方法：把质点系的一般概念、规律 应用到刚体这个特殊质点系上，就可得到刚体运动的特殊规律。
• ?自由度:确定力学体系在空间几何位形所需独立变量个数。
①刚体几何位形变量只要6个（位置变数3、方位变数2和转动角变数1）； ②体系运动自由度m，决定了其独立的微分方程组的数目有m个,其中每个 方程均为二阶微分方程；
③若运动被限制或被约束,其自由度将减少，多一个约束条件,就减少一个自
由度。
2
§1 刚体运动学
yFra Baidu bibliotek
A
r
r'B
x'
o
rB x
考虑刚体上任意一点A：
r

rB

r'
v vB v ' vB r '
表明：刚体上任一点的速度等于该点随基点坐标系的平动速
度加上该点绕基点坐标系的转动速度；
a

aB

d
(
dt
r
')

aB

d
dt

r
'


dr dt
'

aB


z y
A
oθ x
o
y
θ
x
A
4
（2）定轴转动的基本运动学问题
θ(t)
求导
积分 ω(t)
求导
积分 β(t)
初始条件: t=t0时,θ=θ0 ，ω=ω0
r(t)
求导 积分
v(t)
求导 积分
a(t)
初始条件: t=t0时, r=r0 ,v=v0
匀变速转动(β=C)和匀变速直线运动(a=C)相对应：
初始条件
r, v r, a
r, an

v2 r
v 2r
ds
r
dθ
s
x
（4）角量的矢量表示
•
角速度矢量：


d
/
dt
，方向沿转轴

• 角与并加与速方刚度向体矢相转量同动：，方也向可构d能成 /和右dt，手螺方方旋向向系可相；能反；
x
•
在直角x坐i 标系y j中的z分k, 量表 示：xi
R
p
c
R
Rc c
10
注意到
vc

vc




Rc
R Rc R
R
c
p
R
Rc
c
代入前一式则有

由此得到
vc
vcRRRvcRRR R0


r
考虑与地面接触点E的速度：
如果圆柱体只滚不滑，应满足：
vE

vC
r
0
即 vC
r
两边对时间求导： aC r
vC vA

vD r
A
r
vC D
vB
ω
C
E

vC
vC

r


B
r
9
（3）刚体角速度(矢量)的绝对性
z
y
x
z
y
θ
x
A
3
（1）定轴转动的角量描述
角坐标： (t) 角位移： (t t) (t) 角速度： d / dt 角加速度： d / dt
• 两点说明：
①这些角量都是代数量，一般规定：面对z轴， 逆时针转 动为正，顺时针转动为负；
②刚体上各点角位移、角速度和角加速度都是相同。

r
'


v
'
表明：刚体上任意一点的加速度等于该点随基点坐标系的平 动加速度加上该点绕基点坐标系的转动加速度。
8
例8.1：如图所示，半径为r的圆柱体做无滑滚动，画出A、
B、D点的速度矢量图，并讨论圆柱体只滚不滑的条件。

解：选圆柱的几何中心C为基点，
则圆柱边缘上任一点的速度：
v

vC


速度公式
t 0, x 0,v v0 v v0 at
t 0, 0, 0 0 t
位移公式
x

v0t

1 2
at 2

0t

1 2

t2
速度位移关系
v2 v02 2ax
2 02 2
5
（3）角量与线量的关系
ds d
故刚体上角速度矢量的大小和方向都相同，与基点无关。11
§2、 刚体的质心及其运动定理
㈠刚体的质心
y
（1）质心计算公式
㈠刚体平动
如果刚体上任意一条直线在运动过程中的各 个位置都互相平行，那么刚体的运动就是平 动（平动刚体不一定做直线运动） ； 平动刚体上各质元的速度、加速度都相同。
㈡刚体定轴转动
？定轴转动：如果刚体上各质元都绕同一 条轴线做圆周运动 ； 与转轴平行的直线上各点运动情况完全相 同，因此只需选取与转轴垂直的一个平面 图形（转动平面图形）来研究就可以了， 其位置可由角坐标θ=θ(t)确定。
• 方法：
①建立固定坐标系o-xyz，使运动平面图形在o-xy平面内；
②在运动平面图形上任选一点B做为基点，建立基点坐标
系B-x’y’z’,基点坐标系相对固定坐标系只发生平动；
③刚体的平面运动 = 刚体随基点坐标系的平动 + 刚体绕
基点坐标系的转动。
y'
y
B
x'
o
x
7
y'
（2）平面运动刚体上任意 一点的速度、加速度