《复变函数》课程简介及教学大纲

《复变函数》课程简介及教学大纲

课程代码：112000091

课程名称：复变函数/Function of a Complex Variable

课程类别：公共基础课

总学时/学分：48/3

开课学期：第三或四学期

适用对象：非数学专业本科生

先修课程：高等数学

内容简介：本课程包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、共性映射等内容。

一、课程性质、目的和任务

本课程是理工科学生继高等数学后的又一门数学基础课。本课程主要讲授复变函数的基本理论和方法。通过本课程的学习，学生不仅能够学到复变函数的基本理论和数学物理及工程技术中常用的数学方法，同时还可以巩固和复习高等数学的基础知识，提高数学素养，为学习有关的后续课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。在培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和科学计算能力等方面起着特殊重要的作用。

二、课程教学内容及要求

本课程包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、共性映射共六章。

第1章复数与复变函数

主要内容：1复数的概念、运算及几何表示。

2 复平面上区域、曲线的概念及它们的复数表示。

3 复变函数、映射的概念及其复变函数的极限与连续性。

基本要求：1熟悉复数概念及各种几何表示。

2掌握复数的四则运算、乘幂方根共轭等运算并能简单应用。

3了解复平面上区域、曲线的概念，掌握用复数表示它们的方法。

4 了解复变函数与实二元函数的关系及复变函数的极限与连续性，熟悉复变函数极限与连续性的运算法则及性质，熟悉复变函数与实变函数的极限与连续性之间的联系与区别。

重点：复数的运算及各种几何表示法，复变函数及映射概念。

难点：用复数方法表示平面区域、曲线。

第2章解析函数

主要内容：1 复变函数的导数及解析函数的概念。

2 复变函数可导与解析的充要条件，柯西-黎曼方程及解析函数的性质。

3 初等函数。

基本要求：1 理解复变函数的导数及解析函数的概念，掌握复变函数连续、可导、解析之间的关系及求导法则。

2 熟练掌握复变函数可导与解析的判别法，掌握并灵活运用柯西-黎曼方程，能利用柯西-黎曼方程判定复变函数的解析性及证明解析函数的一些基本性质。

3 熟悉基本初等函数的定义，了解它们的性质，尤其是指数函数的定义、性

质及与其它基本初等函数的关系。

4掌握由初等函数构成的方程求根的方法，会判定初等函数的奇点及解析性

区域。

重点：解析函数的概念及函数解析性的判别。

难点：解析函数的概念及初等函数中多值函数及其单值解析分支的概念。 第3章 复变函数的积分

主要内容：1 复积分的概念、性质与计算方法。

2 柯西-古萨基本定理及推广。

3柯西积分公式及推论。

4 解析函数与调和函数的关系。

基本要求：1 熟悉复积分的概念及基本性质，理解复积分的曲线积分法，掌握并熟练运用复积分计算的参数方程法和积分估值公式。

2 理解柯西-古萨基本定理及推广复合闭路定理，了解复变函数的原函数存在

定理及牛顿-莱布尼兹公式。

3熟练掌握柯西积分公式及高阶导数公式，了解解析函数的平均值定理、无

穷可微性等性质，掌握并能灵活运用柯西积分理论计算沿闭曲线的复积分。

4 理解调和函数概念，掌握解析函数与调和函数的关系及由已知调和函数求

以其为实部或虚部的解析函数的方法。

重点：柯西-古萨基本定理及推广，柯西积分公式及高阶导数公式。 难点：复合闭路定理与复积分的计算。 第4章 级数

主要内容：1 复数项级数。

2 幂级数。

3 泰勒级数。 4洛朗级数。

基本要求：1 了解复数列极限、复级数收敛、发散概念，与高等数学中相应内容的关系。

2 熟悉幂级数概念，理解Abel 定理，掌握幂级数收敛半径求法、幂级数的运

算及性质。

3理解泰勒展开定理，熟练掌握α

)1(),1ln(,cos ,sin ,z z z z e z

++等函数的泰

勒展式，掌握函数展开成幂级数（泰勒级数）的直接展开法和间接展开法，能比较熟练地将一些解析函数在指定点展开成幂级数（泰勒级数），并会确定收敛半径。

4熟悉双边幂级数概念和性质，理解洛朗展开定理，掌握函数展开成洛朗级

数的间接展开法，能比较熟练地将一些解析函数在不同圆环内展开成洛朗级数。

重点：函数展开成泰勒级数、洛朗级数。 难点：函数展开成洛朗级数。 第5章 留数

主要内容：1孤立奇点的定义及分类。

2留数的定义及计算。

3留数定理及应用。

基本要求：1 了解孤立奇点的定义、分类及特征，熟悉零点与极点的关系。

2 理解留数概念，掌握计算留数的一般方法，熟练掌握极点处留数的求法。

3 掌握利用留数定理计算闭路复积分的方法，了解应用留数定理计算定积分

的围道积分法，能熟练利用留数计算下面三种类型的定积分：

dx e x R dx x R d R iax ⎰

⎰

⎰

∞+∞

-∞+∞

-)(,

)(,

)sin ,(cos 20

πθθθ。

重点：留数的计算、留数定理及应用。 难点：留数在定积分计算上的应用。 第6章 共性映射

主要内容：1解析函数导数的辐角与模的几何意义。

2共性映射的概念。

3 分式线性映射。

4初等函数以及分式线性映射构成的映射。

基本要求：1 理解解析函数导数的几何意义，了解共性映射的概念及其重要性质。

2 理解分式线性映射的概念，掌握分式线性映射的保角性、保圆性、保对称

点性与保交比性等重要性质，了解唯一确定分式线性映射的条件。

3 熟悉并掌握几个基本初等函数构成的映射特点，了解幂函数能实现角形域

到角形域之间、指数函数与对数函数能实现带形域到角形域之间的共形映射，熟练掌握上半平面到上半平面、上半平面到单位圆、单位圆到单位圆的分式线性映射，掌握并能运用初等函数以及分式线性映射构成的映射特点处理一些边界由圆弧、直线、直线所围成区域的共性映射问题。

重点：分式线性映射及其映射性质

难点： 分式线性映射与初等函数相结合，求一些简单区域之间的共形映射。

三、课外习题及自学要求

为了使学生较好掌握并能灵活运用所学内容，提高学生的基本素质及分析问题解决问题的能力，每章都配置适当的习题，以巩固和加深对基本理论、方法的理解和应用。每次课后结合所授内容布置相关的课外习题。

自学要求：在理解和掌握教材内容的基础上，可以再适当读一些教学参考书，增加对复变函数基本理论及方法的理解，拓宽知识面。

四、课程教学基本要求

课堂教学：

本课程以课堂讲授为主，由于内容、概念、理论较多，课时紧，要求学生课前要预习，课后要认真复习和完成相应作业以保证教学效果和质量。

作业：

为使学生更好地消化和理解课堂上所讲授的内容，每次课后布置一定数量习题，教师要认真、及时地批改作业和答疑。

成绩考核：

本课程为考试课。期末命题考试成绩占80%左右，平时成绩占20%左右。总评成绩及格，方可获得本门课程的学分。

五、学时分配