小学奥数教程：质数与合数(二)全国通用(含答案)

1.掌握质数与合数的定义 2.能够用特殊的偶质数2与质数5解题 3.能够利用质数个位数的特点解题 4. 质数、合数综合运用一、质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.二、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p 的质数q (均为整数)，使得q 能够整除p ，那么p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于p 的质数去除p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p ，我们可以先找一个大于且接近p 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除p ，如没有能够除尽的那么p 就为质数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.。

模块一、偶质数2 【例 1】 如果,,a b c 都是质数，并且a b c -=，则c 的最小值是_________【考点】偶质数2 【难度】2星 【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，17题【解析】 本题考察的是最小的偶质数2，所以c 最小是2.【答案】2【例 2】 两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少.【考点】偶质数2 【难度】2星 【题型】解答【解析】 因为和为奇数，所以这两个数必为一奇一偶，所以其中一个是2，另一个是37，乘积为74.我们要善于抓住此类题的突破口。

【答案】74【巩固】 将1999表示为两年质数之和：l 999=口+口，在口中填入质数。

共有多少种表示法?例题精讲知识点拨知识框架5-3-2.质数与合数（二）【解析】 因为两个奇数的和是偶数，所以将1999表示成两个质数的和，这两个质数中必有一个是偶数，因而也就是2，另一个是 1999－2＝1997即1999＝2十1997，只有一种填法(我们将2＋1997与1997＋2作为同一种)．【答案】一种【例 3】 A ，B ，C 为3个小于20的质数，30A B C ++=，求这三个质数.【考点】偶质数2 【难度】2星 【题型】解答【解析】 因为三个质数之和为偶数，所以这三个质数必为两奇一偶，其中偶数只能是2，另两个奇质数之和为28，又因为这三个数都要小于20，所以只能为11和17，所以这三个质数分别是2，11，17.【答案】2，11，17【巩固】 把100分拆成三个质数（只能被1和它本身整除且大于1的自然数叫做质数）的和，共有_____种方法。

【考点】偶质数2 【难度】2星 【题型】填空【关键词】走美杯，四年级，初赛，第6题【解析】 100是个偶数，拆成3个质数之和，而质数中除2以外，其他的都是奇数，3个奇数之和为奇数，所以其中必有2，现在知两个质数之和为98，则可拆成61+37、67+31、19+79。

所以共有3种方法。

【答案】3种【例 4】 已知3个不同质数的和是最小的合数的完全平方，求这3个质数的乘积是多少？【考点】偶质数2 【难度】2星 【题型】解答【解析】 最小的合数是4，其平方为16．我们知道奇数个奇数的和是奇数，所以这3个质数中必然有2，那么其余2个的和是14，只能一个是3一个是11，因此这3个质数的乘积是231166⨯⨯=．【答案】66【例 5】 7个连续质数从大到小排列是a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 已知它们的和是偶数，那么d 是多少？【考点】偶质数2 【难度】2星 【题型】解答【解析】 因为7个质数的和是偶数，所以这7个质数不可能都是奇数.我们知道是偶数的质数只有2，因此这7个质数中必有一个是2.又因为2是最小的质数，并且这7个连续质数是从大到小排列的，所以2g =.其他6个数从大到小依次是17、13、11、7、5、3.这样7d =.【答案】7【例 6】 如果a ，b 均为质数，且3741a b +=，则a b +=______.【考点】偶质数2 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，复赛，第8题，4分【解析】 根据题意a ,b 中必然有一个偶质数2，，当2a =时，5b =，当2b =时不符合题意，所以257a b +=+=. 【答案】7【巩固】 如果a ，b 均为质数，且3d ＋7b ＝41，则a ＋b ＝________。

【考点】偶质数2 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯，六年级，二试，第9题，4分【解析】 根据奇偶性我们可以知道a 、b 中必然有一个是2，若a =2，则b =7,满足题意；若b =2,则a =9，与题意不符。

所以a 为2、b 为7，则a +b =9。

【答案】9【例 7】 已知P ,Q 都是质数，并且11932003P Q ⨯-⨯=，则P Q ⨯=【考点】偶质数2 【难度】3星 【题型】填空【解析】 本题充分考察质数与数字奇偶性知识点的结合。

通过观察发现题目中有2个未知数，但是都是质数，从结果上看2003是一个奇数，那么前面2个乘积必须为1个奇数1个偶数，那么P 和Q 中必须有一个是2才可以。

由大小关系可以发现只能Q 是2，解出P =199,P ×Q =398。

【答案】398【例 8】 a b c 、、都是质数，如果()()342a b b c +⨯+=，那么b = 。

【解析】 由于342是2的倍数，不是4的倍数，所以a b +与b c +为一奇一偶，则a 或者c 为质数2，令2a =，而342=2×3×3×19，则9a b +=或者31957a b +=⨯=或者919171a b +=⨯=，对应的b 为7或者55或者169，只有7是质数，所以b =7。

【答案】7【例 9】 三个质数△、□、○，如果□>△>1，△+□=○，那么△是多少？【考点】偶质数2 【难度】3星 【题型】填空【解析】 除了2以外的质数都是奇数，这样的两个奇数相加必然得偶数不成立，所以△、□必有一个偶质数2，又因为□>△>1，所以△=2【答案】2【例 10】a ，b ，c 都是质数，并且33a b +=，44b c +=， 66cd +=，那么cd = ____ 。

【考点】偶质数2 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，初赛，第8题，5分【解析】 33a b +=为奇数，所以a=2，b=31，c=13，d=53，那么cd=13×53=689 【答案】689【例 11】 已知P 是质数，21P +也是质数，求51997P +是多少？【考点】偶质数2 【难度】3星 【题型】解答【解析】 P 是质数，2P 必定是合数，而且大于1．又由于21P +是质数，2P 大于1，21P +一定是奇质数，则2P 一定是偶数．所以P 必定是偶质数，即2P =．55199721997P +=+321997=+2029=【答案】2029【巩固】 当p 和 3p +5都是质数时，5p +5= 。

【考点】偶质数2 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，初赛，第6题，6分【解析】 p 和p 3+5奇偶性不同，所以较小的p 一定是2，所以p 3+5=13，5p +5=37【答案】37【例 12】 P 是质数，10P +，14P +，210P +都是质数．求P 是多少？【考点】偶质数2 【难度】3星 【题型】解答【解析】 由题意知P 是一个奇数，因为10331÷=，14342÷=，所以P 是3的倍数，所以3P =【答案】3【例 13】 4只同样的瓶子内分别装有一定数量的油．每瓶和其他各瓶分别合称一次，记录千克数如下：8，9，10，11，12，13．已知4只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，求最重的两瓶内有多少油？【考点】偶质数2 【难度】3星 【题型】解答【解析】 由于每只瓶都称了三次，因此记录数据之和是4瓶油(连瓶)重量之和的3倍，即4瓶油(连瓶)共重(8910111213+++++)321÷=(千克)而油重之和及瓶重之和均为质数，所以它们必为一奇一偶，由于2是唯一的偶质数，只有两种可能：⑴ 油重之和为19千克，瓶重之和为2千克，每只瓶重12千克，最重的两瓶内的油为1132122-⨯=(千克)．⑵ 油重之和为2千克，瓶重之和为19千克，每只瓶重194千克，最重的两瓶内的油为19713242-⨯=(千克)，这与油重之和2千克矛盾．因此最重的两瓶内共有12千克油。

【答案】12【例 14】 三个数,1,3p p p ++都是质数，它们的倒数和的倒数是_______。

【解析】 P 与P+1和+2奇偶性不同，所以P 只能是2,另外两个是3和5，所以它们的倒数和的倒数是130********=++. 【答案】3031【例 15】 用0，1，2，…，9这10个数字组成6个质数，每个数字至多用1次，每个质数都不大于500，那么共有多少种不同的组成6个质数的方法．请将所有方法都列出来．【考点】偶质数2 【难度】3星 【题型】解答【关键词】小学数学夏令营【解析】 除了2以外，质数都是奇数，因为0～9中只有5个奇数，所以如果想组成6个质数，则其中一定有2．又尾数为5的数中只有5是质数，所以5只能单独作为6个质数中的一个数．另4个质数分别以1，3，7，9为个位数，从而列举如下：{2，3，5，7，41，89}，{2，3，5，7，61，89}，{2，3，5，7，89，401}，{2，3，5，7，89，461}，{2，3，5，7，61，409}，{2，3，5，47，61，89}，{2，3，5，41，67，89}，{2，3，5，67，89，401}，{2，5，7，43，61，89}，{2，5，7，61，83，409}．即共有10种不同的方法．【答案】10【例 16】 如果一些不同质数的平均数为21，那么它们中最大的一个数的最大可能值为 ．【考点】偶质数2 【难度】4星 【题型】填空【关键词】迎春杯，高年级，复赛，4题【解析】 对于任意一组数，其中大于平均数的超出部分之和一定等于小于平均数的不足部分之和，所以为了使这些质数中最大的数更大，应该尽可能多地取小于21的质数，由于大于21的所有质数都是奇数，所以大于平均数21的超出部分之和一定是偶数，相应的所取的小于21的质数与21的差之和也应该是偶数，所以唯一的偶质数2是不能取的，因为它与21的差为奇数．剩下7个数的和是75，21×8-75=93，小于93的最大的质数是89．当这些质数取3，5，7，11，13，19，89时符合条件．【答案】89模块二、质数5【例 17】 已知n ，6n +，84n +，102n +，218n +都是质数，那么n = 。