大学物理：3_2保守力与非保守力

2.3.5 保守力 势能
2.3 能量守恒定律
一 万有引力、重力、弹性力作功的特点
1） 万有引力作功
以M 为参考系，m的位置矢量为 r .
M 对 m 的万有引力为
F
G
Mm r3
r
m由 A点移动到 B点时 F 作功为
W
F dr
B
G
A
Mm r3
r
dr
m
A
r (t)
dr
M r(t dt)
mr'Am)
弹力功
W
(
1 2
kxB2
1 2
kx
2 A
)
Ep mgz
引力势能
Ep
G
m' m r
弹性势能
Ep
1 2
k x2
保守力的功 W ( Epb Epa ) EP
2.3.5 保守力 势能
讨论
2.3 能量守恒定律
势能是状态函数
Ep Ep (x, y, z)
势能具有相对性，势能大小与势能零点的选取有关 .
G
m'm r
Ep
Ep
Ep
x
O
z
O
重力势能曲线
z 0, Ep 0
x
O
弹性势能曲线
x 0, Ep 0
引力势能曲线
r , Ep 0
2.3.5 保守力 势能
一维势能曲线 1、保守力作功等于势能的 减少 fdx dU(x) f - dU(x)
dx
大小：正比于曲线斜率
2.3 能量守恒定律
2、物体运动区域 ：E低于势能曲线的区间，质点 不能到达
物体 A 和 C, B 和 D 之间摩擦因数均不为零，首 先用外力沿水平方向相向推压 A 和 B， 使弹簧压 缩，后拆除外力， 则 A 和 B 弹开过程中， 对 A、 B、C、D 组成的系统
（A）动量守恒，机械能守恒 . （B）动量不守恒，机械能守恒 . （C）动量不守恒，机械能不守恒 . （D）动量守恒，机械能不一定守恒 .
A C
D
物体沿闭合路径运动 一周时,
B
保守力对它所作的功等于零 .
非保守力: 力所作的功与路径有关 .（例如摩擦力）
2.3.5 保守力 势能
2.3 能量守恒定律
三 势能 势能
重力功
与物体间相互作用及相对位置有关的能量 . 重力势能
W (mgzB mgzA )
引力功
W
(G
m' m ) rB
(G
势能是属于系统的 .
势能计算 W (Ep Ep0 ) Ep
2.3.5 保守力 势能
2.3 能量守恒定律
若要求a点的势能，则可选择b点为参考点
令 Epb 0
势 能 零 点
Epa a
F dr
重力场中，以地面为势能零点，离地面高为h的 物体的重力势能为
0
Ep
mgdz
za
mgza
mgh
C
D
C
D
A
B
A
B
2.3.5 保守力 势能
2.3 能量守恒定律
四、保守力与势能的关系：
保守力所做的功等于势能的减少
A保 EP
对一个微小的过程 F dr dEp (x, y, z)
dE p
EP x
dx
EP y
dy
EP z
dz
F dr Fxdx Fydy Fzdz
2.3.5 保守力 势能
质点系的功能原理 质点系机械能的增量等于 外力和非保守内力作功之和 .
2.3.5 保守力 势能
2.3 能量守恒定律
二 机械能守恒定律
功能原理 A外 A非 保 内 E
当 A外 A非 保内 0 时，有 E1 E2
机械能守恒定律 只有保守内力作功的情况 下，质点系的机械能保持不变 .
2.3.5 保守力 势能
2.3.5 保守力 势能
2.3 能量守恒定律
2）
重力作功
P mgk
dr dxi dyj dzk
W
B P dr
zB mgdz
A
zA
z
zA
zB
A
mg
B
(mgzB mgz A )
o
x
y
W mgdz 0
2.3.5 保守力 势能
2.3 能量守恒定律
3 ） 弹性力作功
F
2.3 能量守恒定律
注意：
1、机械能守恒是有条件的。从初态到末态的每一 个微元过程中，外力和非保守内力所做的元功的 代数和均为零，则机械能守恒。
2、机械能守恒定律是指系统总的机械能不变，但 其动能和势能仍然可以相互转化
2.3.5 保守力 势能
2.3 能量守恒定律
讨论 如图的系统，物体 A，B 置于光滑的桌面上，
(G
mr'Am)
重力功 弹力功
W (mgzB mgz A )
W
(
1 2
kxB2
1 2
kxA2
)
A
D
C
F dr F dr
ACB
ADB
B
2.3.5 保守力 势能
2.3 能量守恒定律
F dr F dr
ACB
ADB
A
C
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F dr F dr F dr
l
ACB
BDA
D B
l F dr 0
2.3 能量守恒定律
Fx
E p x
Fy
E p y
Fz
E p z
保守力等于势能的负梯度
F保
EP x
i EP y
j EP z
k EP
对一维的保守力F(x)而言 F ( x) dEP ( x) dx
2.3.5 保守力 势能
2.3 能量守恒定律
四 势能曲线
Ep mgz
Ep
1 2
k x2
Ep
F kxi
x
o xA xB
W xB Fdx xB kxdx
xA
xA
W
(
1 2
kxB2
1 2
kx
2 A
)
W kxdx 0
2.3.5 保守力 势能
2.3 能量守恒定律
二 保守力和非保守力
保守力: 力所作的功与路径无关，仅决定于相 互作用质点的始末相对位置 .
引力功
W
(G
m' m ) rB
A Ek Ek0 Ek
A A外 A内 A外 A非 保 内 A保 内
保守内力的功和势能的关系
A保 内 E p 则有 A外 A非保内 （ E p） Ek
2.3.5 保守力 势能
2.3 能量守恒定律
A外 A非保内 ( E p Ek )
机械能 E Ek Ep
则有 A外 A非 保 内 E
2.3.5 保守力 势能
2.3 能量守恒定律
万有引力场中，以两物体相距无穷远时的引力势能 为零，则相距为r时的引力势能为
Mm
Mm
Ep
G
r
r2
G
r
以弹簧原长处的势能为零，则弹簧伸长为x时的势能
为
Ep
0
kxdx
x
1 kx2 2
2.3.5 保守力 势能
2.3 能量守恒定律
一 质点系的功能原理 质点系动能定理
O
B
2.3.5 保守力 势能
2.3 能量守恒定律
B Mm
W F dr A G r 3 r dr
r dr r dr cos rdr
W rB G Mm dr
rA
r2
W
(G
Mm ) (G rB
Mm rA
)
m
A
r (t)
dr
m'
r(t
dr
dt)
O
B
r (t)
dr
r(t dt)
3、平衡点
dU 0 , 即 : f(x) 0 dx