对偶理论与灵敏度分析
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大纲解读第三章对偶问题与灵敏度分析
问题有最优解则原（对偶）问题也有最优解，且它 们的目标函数值相等，（5）互补松弛性定理。
2、领会：（1）对称性，（2）弱对偶性，（3） 无界性，（4）强对偶定理，（5）互补松弛性定理 及其应用。
3、应用：运用互补松弛性定理求解线性规划问题。
（三）对偶解的经济解释
1、识记：（1）对偶解与影子价格，（2）影子价 格的特点。
一、考核知识点 （一）对偶模型 （二）对偶性质 （三）对偶解的经济解释 （四）灵敏度分析
பைடு நூலகம்
（一）对偶模型 1、识记：（1）原问题与对偶问题的关系，（2）
对偶问题的转换。 2、领会：（1）研究对偶问题的原因， （2）原问题与对偶问题的关系。
（二）对偶性质
1、识记：（1）对偶问题的对偶就是原问题，（2） 弱对偶性，（3）对偶（原）问题无可行解则原 （对偶）问题不可能有最优解，（4）对偶（原）
2、领会：影子价格的经济指导意义和管理决策价 值。
3、应用：怎样利用影子价格改善经营策略。
（四）敏感性分析
1、识记：（1）约束方程右边项变化的敏感分析， （2）增加新的决策变量的敏感性分析，（3）目标 函数系数变化的敏感性分析，（4）投入或技术系 数变化的敏感性分析。
2、领会：（1）敏感性分析的意义及其必要性， （2）如何进行敏感性分析。
2、领会：（1）对称性，（2）弱对偶性，（3） 无界性，（4）强对偶定理，（5）互补松弛性定理 及其应用。
3、应用：运用互补松弛性定理求解线性规划问题。
（三）对偶解的经济解释
1、识记：（1）对偶解与影子价格，（2）影子价 格的特点。
一、考核知识点 （一）对偶模型 （二）对偶性质 （三）对偶解的经济解释 （四）灵敏度分析
பைடு நூலகம்
（一）对偶模型 1、识记：（1）原问题与对偶问题的关系，（2）
对偶问题的转换。 2、领会：（1）研究对偶问题的原因， （2）原问题与对偶问题的关系。
（二）对偶性质
1、识记：（1）对偶问题的对偶就是原问题，（2） 弱对偶性，（3）对偶（原）问题无可行解则原 （对偶）问题不可能有最优解，（4）对偶（原）
2、领会：影子价格的经济指导意义和管理决策价 值。
3、应用：怎样利用影子价格改善经营策略。
（四）敏感性分析
1、识记：（1）约束方程右边项变化的敏感分析， （2）增加新的决策变量的敏感性分析，（3）目标 函数系数变化的敏感性分析，（4）投入或技术系 数变化的敏感性分析。
2、领会：（1）敏感性分析的意义及其必要性， （2）如何进行敏感性分析。
运筹学对偶理论与灵敏度分析
17
（6）（互补松驰性）
若X*、Y*分别是原问题和对偶问题的可行解，则X*、Y*是最优解的充要条件是： Y*XS=0,YSX*=0 (其中XS，YS分别是原问题和对偶问题的松驰变量向量)。
证明：设原问题和对偶问题的标准型是 原问题
对偶问题
max Z CX
s.t.
AX X, Xs
Xs 0
b
CX (0) Y (0)b CX
所以 X是(0最) 优解。
15
（5）（强对偶定理） 若互为对偶问 题之一有最优解，则另一问题必有最优解，且它们的 目标函数X值* 是相原等问题。的最优解，对应基阵B必存在
C CB B1A 0
即得到 Y *A， C其中
Y * CB B 1
若 Y * 是对偶问题的可行解，它使
3x5 2 x4 2x5
3
解：对偶问题为
maxW 2 y1 3y2
x2 3x5 2
x1
x2
2x5
3
化简为
x1 1 x5
x2
2
3x5
y2 3
(1)
y1 y2 4
( 2)
5
y1 y1
y2 2 y2 5
( 3) ( 4)
3y1 2 y2 9
( 5)
y1, y2 0
n
max z c j x j j 1
s.t.
n
aij x j bi ,
j1
i 1, 2,
,m
x
j
0,
j 1, 2, , n
特点：对偶变量符号不限
对偶问题:
m
minW bi yi i 1
s.t.
m
aij yi c j ,
i1
（6）（互补松驰性）
若X*、Y*分别是原问题和对偶问题的可行解，则X*、Y*是最优解的充要条件是： Y*XS=0,YSX*=0 (其中XS，YS分别是原问题和对偶问题的松驰变量向量)。
证明：设原问题和对偶问题的标准型是 原问题
对偶问题
max Z CX
s.t.
AX X, Xs
Xs 0
b
CX (0) Y (0)b CX
所以 X是(0最) 优解。
15
（5）（强对偶定理） 若互为对偶问 题之一有最优解，则另一问题必有最优解，且它们的 目标函数X值* 是相原等问题。的最优解，对应基阵B必存在
C CB B1A 0
即得到 Y *A， C其中
Y * CB B 1
若 Y * 是对偶问题的可行解，它使
3x5 2 x4 2x5
3
解：对偶问题为
maxW 2 y1 3y2
x2 3x5 2
x1
x2
2x5
3
化简为
x1 1 x5
x2
2
3x5
y2 3
(1)
y1 y2 4
( 2)
5
y1 y1
y2 2 y2 5
( 3) ( 4)
3y1 2 y2 9
( 5)
y1, y2 0
n
max z c j x j j 1
s.t.
n
aij x j bi ,
j1
i 1, 2,
,m
x
j
0,
j 1, 2, , n
特点：对偶变量符号不限
对偶问题:
m
minW bi yi i 1
s.t.
m
aij yi c j ,
i1
3对偶理论与灵敏度分析解析
X ≥0
对偶的定义 min W= Y b s.t. ATY ≥ C
Y≥0
min Z’= - CX
max W’ = -Yb
s.t. - AX ≥ - b
s.t. -ATY ≤ -C
X ≥0 对偶的定义
Y≥0
__
__
（2）弱对偶性：设 X和 分Y 别是问题（P）和（D）的
可行解，则必有
__ __
n
m
C X Y b, 即 c j x j yibi
i 1
m
aij yi
c j ( j 1,2,, n)
i1
yi无符号限制（无约束）(i 1,2,, m)
例： 原问题为
max Z 2 x1 3 x2 4 x3
2 x1 3 x2 5 x3 2
3
x1
x2
7 x3 3
x1 4 x2 6 x3 5
x1 , x2 , x3 0
对偶问题的无界性。
无界
关于无界性有如下结论：
minW 4 y1 2 y2
原问题 问题无界
对偶问题 无可 行解
（D）
y1 y1
y2 y2
2 1
y1
0,
y2
0
无可 行解
问题无界
无可 行解
推论3：在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个可行 （如P），而另一个不可行，（如D），则该可行的问 题无界。
一、问题的提出
• 对偶是什么：对同一事物（或问题），从不同 的角度（或立场）提出对立的两种不同的表述。 • 在平面内，矩形的面积与其周长之间的关系， 有两种不同的表述方法。 （1）周长一定，面积最大的矩形是正方形。 （2）面积一定，周长最短的矩形是正方形。 • 这种表述有利于加深对事物的认识和理解。 • 线性规划问题也有对偶关系。
对偶的定义 min W= Y b s.t. ATY ≥ C
Y≥0
min Z’= - CX
max W’ = -Yb
s.t. - AX ≥ - b
s.t. -ATY ≤ -C
X ≥0 对偶的定义
Y≥0
__
__
（2）弱对偶性：设 X和 分Y 别是问题（P）和（D）的
可行解，则必有
__ __
n
m
C X Y b, 即 c j x j yibi
i 1
m
aij yi
c j ( j 1,2,, n)
i1
yi无符号限制（无约束）(i 1,2,, m)
例： 原问题为
max Z 2 x1 3 x2 4 x3
2 x1 3 x2 5 x3 2
3
x1
x2
7 x3 3
x1 4 x2 6 x3 5
x1 , x2 , x3 0
对偶问题的无界性。
无界
关于无界性有如下结论：
minW 4 y1 2 y2
原问题 问题无界
对偶问题 无可 行解
（D）
y1 y1
y2 y2
2 1
y1
0,
y2
0
无可 行解
问题无界
无可 行解
推论3：在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个可行 （如P），而另一个不可行，（如D），则该可行的问 题无界。
一、问题的提出
• 对偶是什么：对同一事物（或问题），从不同 的角度（或立场）提出对立的两种不同的表述。 • 在平面内，矩形的面积与其周长之间的关系， 有两种不同的表述方法。 （1）周长一定，面积最大的矩形是正方形。 （2）面积一定，周长最短的矩形是正方形。 • 这种表述有利于加深对事物的认识和理解。 • 线性规划问题也有对偶关系。
运筹学线性规划对偶理论和灵敏度分析
建立非对称形式线性规划问题旳对偶模型可采用下 列环节： （1）经过变换，把线性规划问题化为具有对称形式 旳原问题。 （2）根据原问题，写出对偶问题。（此时旳对偶并 非是原线性规划问题旳对偶） （3）经过变量代换等，把参数还原为最初旳形式 （必须做）。
例2.1.2写出下面非对称线性规划问题旳对偶。 max z = x1+2 x2 + x3 x1 + x2 － x3 ≤ 2
xj x1 x2 …
xn 原始约束 对偶：极小化 w
y1
a11 a12
…a22
… a2n ≤
b2
：
：
：
：
：
ym
am1 am2
…
amn ≤
bm
对偶约束 ≥ ≥ …
≥
原始极大化 z c1 c2 …
cn
阐明：表 2旳变量行与参数行相乘构成原始问题旳约 束条件和目旳函数；表2 旳变量列与参数列相乘构成 对偶问题旳约束条件和目旳函数。
max
z 33
=22002233 x1+4000 x1+ 44x2 + 2 2x3
x2 ≤
+3000 606000
x3 y1
22x1 + 1x2 + 2 2x3 ≤ 404000 y2 1 x1+ 33x2 + 33x3 ≤ 30300 y3 1x1+ 2 2x2 + 4 4x3 ≤ 20200 y4 x1 ≥0, x2 ≥ 0,x3 ≥0
max z = CX +0Xs st. AX + IXs = b
X , Xs≥0
其中，I 是相应于松弛变量旳单位方阵。
单纯形法计算时，总是选择 I 为初始可行基，松 弛变量作为初 始基变量旳。因为松弛变量作为基变
例2.1.2写出下面非对称线性规划问题旳对偶。 max z = x1+2 x2 + x3 x1 + x2 － x3 ≤ 2
xj x1 x2 …
xn 原始约束 对偶：极小化 w
y1
a11 a12
…a22
… a2n ≤
b2
：
：
：
：
：
ym
am1 am2
…
amn ≤
bm
对偶约束 ≥ ≥ …
≥
原始极大化 z c1 c2 …
cn
阐明：表 2旳变量行与参数行相乘构成原始问题旳约 束条件和目旳函数；表2 旳变量列与参数列相乘构成 对偶问题旳约束条件和目旳函数。
max
z 33
=22002233 x1+4000 x1+ 44x2 + 2 2x3
x2 ≤
+3000 606000
x3 y1
22x1 + 1x2 + 2 2x3 ≤ 404000 y2 1 x1+ 33x2 + 33x3 ≤ 30300 y3 1x1+ 2 2x2 + 4 4x3 ≤ 20200 y4 x1 ≥0, x2 ≥ 0,x3 ≥0
max z = CX +0Xs st. AX + IXs = b
X , Xs≥0
其中，I 是相应于松弛变量旳单位方阵。
单纯形法计算时，总是选择 I 为初始可行基，松 弛变量作为初 始基变量旳。因为松弛变量作为基变
对偶理论与灵敏度分析
1 0 1 / 2 1 0
N 2 (2，0) (0，0，3) 0 1 0 / 4 0 (2， 3 / 4)
0 0 1 / 4 0 1
换入换变入量变x1量 x2
1 B21 (bB，11P(1b)， P200)
10 0
1 0 0
01 / 10
200181686
10/ 4 11122
设B是一个可行基，令（A，I）=（B，N，I），则：
max z CB X B C N X N 0X S BX B NX N IX s b XB 0 XN 0 Xs 0
max z C B X B C N X N X B B 1 NX N B 1 X s B 1b XB 0 XN 0 Xs 0
ω^ =Y^AX^+Y^XS 当Y^Xs=0，Ys X^=0时z ^=ω^，则X，Y^是最优解。 当 X，Y^是最优解时 z ^= ω^，则Y^Xs=0，Ys X^=0 19
例：已知线性规划问题
min z
2 x1
3 x2
5 x3
2 x4
3
xX5
* 1
(1,0,0,0,1)T
y1 y2
x1 x2 2 x3 x4 3 x5 x46 2 x1 x2 3 x3 x4 x5 3 x7
max z CX
Y # AX # b
X #0
对偶问题（原问题）
min Yb
X # YA# C Y #0
例：min z 2 x1 3 x2 5 x3 x4
y1 x1 x2 3 x3 x4 5
y2
2
x1
2x3 x4 4
y3
x2 x3 x4 6
x1 0，x2，x3 ，x4无 约 束
对偶理论与灵敏度分析课件
航空航天领域
飞机和航天器的设计过程中需要 对气动性能、结构性能等进行灵
敏度分析，以优化设计方案。
机械工程领域
在机械设计中，需要对机构性能 、动力学特性等进行灵敏度分析 ，以提高机械设备的性能和稳定
性。
环境工程领域
在环境治理和生态保护方面，需 要对污染物扩散、水体自净等进 行灵敏度分析，以制定有效的环
详细描述
在机器学习中，我们通常会使用各种模型来预测未知数据。对偶理论和灵敏度分析可以 帮助我们理解这些模型的预测能力和泛化性能。例如，通过对偶理论，我们可以将一个 复杂的模型转化为一个更简单的模型，从而更容易理解和使用。同时，灵敏度分析可以
用来研究模型参数变化对预测结果的影响，从而更好地调整模型参数。
详细描述
在优化问题中，对偶理论可以将原问题转化为一个等价的优 化问题，有时这个新问题可能更容易求解。同时，灵敏度分 析可以用来研究原问题的参数变化对最优解的影响，从而更 好地理解问题的性质和最优解的稳定性。
金融问题中的对偶与灵敏度分析
总结词
在金融领域，对偶理论和灵敏度分析可 以用于风险评估、投资组合优化等问题 。
对偶理论的应用场景
资源分配问题
对偶理论可以应用于资源分配问 题，通过求解对偶问题来获得最
优解。
运输问题
对偶理论可以应用于运输问题，通 过求解对偶问题来获得最优解。
投资组合优化
对偶理论可以应用于投资组合优化 问题，通过求解对偶问题来获得最 优解。
02
灵敏度分析简介
灵敏度分析的定义
01
灵敏度分析是指对系统参数变化 引起系统性能变化的程度进行分 析，旨在了解系统对参数变化的 敏感程度。2
灵敏度分析算法的改进
《运筹学》胡运权第4版线性规划的对偶理论及灵敏度分析省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
13
2
y3
2 3
题
y1符号不限, y 2 0, y3 0
非 对 偶 形 式 旳 原对 偶 问 题
例2-4 写出下列问题旳对偶问题
max z c1x1 c2 x2 c3x3
a11x a12 x a13x3 b1
s.t.
a21x1 a31x1
a22 x2 a32 x2
a23 x3 a33 x3
出让自己旳资源？
问 题 旳 导 出
例2-1
条件：出让代价应不低于用同等数量资源由自己组织生 产活动时获取旳获利。
y1,y2,y3分别代表单位时间（h）设备A、设备B和调试工 序旳出让代价。 y1,y2,y3旳取值应满足：
6y 2
y 3
2
5y 1
2y 2
y 3
1
美佳企业用6h设备B和1h调试可 生产一件家电I,获利2元
y1, y2 , y3 0
LP1和LP2两个线性规划问题，一般称LP1为原问题， LP2为前者旳对偶问题。
max Z c1x1 c2 x2 cn xn
对 偶 问 题
s.t.
a11 a21
am1
a12 a22
am2
a1n x1 b1
a2n
x2
b2
amn xn bm
规 划 问
minW b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1 a21 y2 am1 ym (, )c1
a12y1
a22 y2
am2
ym
(,
)c2
题 旳 对 偶 问
a1n y1 a2n y2 amn ym (, )cn
题
y j 0(符号不限,或 0)i 1 ~ m
灵敏度分析与对偶理论
min f 300 y 1 400 y 2 250 y 3 1 y 1 2 y 2 50 y 1 y 2 y 3 100 y1 , y 2 , y 2 0
原问题：求目标函数 值最大值问题
对偶问题：求目标函数 值最小值问题
互为对偶问题
m ax z C X
m in f b Y
min f 3 x 1 9 x 2 4 x 3 x 1 2 x 2 3 x 3 180 2 x 1 3 x 2 x 3 60 5 x 1 3 x 2 240 x 1 , x 2 0 , x 3 无约束变量
max z 180 y 1 60 y 2 240 y 3
'
xB
'
0
x Bi ' x Bi ' m a x ' d ik 0 b k m in ' d ik 0 d ik d ik
例：
X5
X1
X2
X3
X4
CB 50 0
XB X1 X4
b 50 50
50 1 0
资源限制
问题2（对偶问题） 现在假设工厂准备把设 备A,B,C用于出租，确定 合理的租金？
300 400 250
设y1, y2, y3 分别为三种 设备的租金。
max z 50 x 1 100 x 2 x 1 x 2 300 2 x 1 x 2 400 x 2 250 x1 , x 2 0
j
cj CBB
1
Pj c j C B Pj
'
c j ( C B 1 ,..., C BK C K ,..., C Bm ) P j
原问题：求目标函数 值最大值问题
对偶问题：求目标函数 值最小值问题
互为对偶问题
m ax z C X
m in f b Y
min f 3 x 1 9 x 2 4 x 3 x 1 2 x 2 3 x 3 180 2 x 1 3 x 2 x 3 60 5 x 1 3 x 2 240 x 1 , x 2 0 , x 3 无约束变量
max z 180 y 1 60 y 2 240 y 3
'
xB
'
0
x Bi ' x Bi ' m a x ' d ik 0 b k m in ' d ik 0 d ik d ik
例：
X5
X1
X2
X3
X4
CB 50 0
XB X1 X4
b 50 50
50 1 0
资源限制
问题2（对偶问题） 现在假设工厂准备把设 备A,B,C用于出租，确定 合理的租金？
300 400 250
设y1, y2, y3 分别为三种 设备的租金。
max z 50 x 1 100 x 2 x 1 x 2 300 2 x 1 x 2 400 x 2 250 x1 , x 2 0
j
cj CBB
1
Pj c j C B Pj
'
c j ( C B 1 ,..., C BK C K ,..., C Bm ) P j
第2章对偶理论与灵敏度分析
五.互补松弛性（松紧定理）
在线性规划问题的最优解中，如果对应某一约束
条件的对偶变量值为非零，则该约束条件取严格等式；
反之如果约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变
量一定为零。也即：
n
若yˆi 0, 则有 aij xˆ j bi ,即xˆsi 0
n
j 1
若 aij xˆ j bi ,即xˆsi 0, 则有yˆi 0
minW=bTy
bT (12 8 16 12 )
y1 y2 y3
4x1 16 4x2 12
x1 x2 0
minW=12y1+8y2 +16y3+12y4
y4
ATy CT
AT 2140
2204
y1
CT
y2 y3
2 3
y4
2y1 +y2 +4y3 2 2y1 +2y2 +y4 3 y1 … y4 0
x (0,5,0)
对于对偶问题的可行解y (5,0)
有 80.
由弱对偶性,最优目标函数值z* *有上.下界。 25 z* * 80
互补松弛定理: 在线性规划问 题的最优解中，
一 . 对称性 ：
对偶问题的对偶是原问题
二. 弱对偶性：
若x′是原问题的可行解，y′是对偶问题的可行 解。则有 cx′≤y′b
弱对偶性的三个推论
推论(1)： 原问题任一可行解的目A标≦函Z数=W值是≦其B对偶
问题目标函数值的下界，反之对偶问题任一可行解的 目标函数值是其原问题目标函数值的上界。
推论(2)： 若原问题（对偶问题）为无界解，则其对 偶问题（原问题）无可行解。注 ： 其逆不成立。
由此y1，y2，y3的取值应满足:
《运筹学》第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及答案
《运筹学》第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及答案一、填空题1. 在线性规划问题中，若原问题存在最优解，则其对偶问题也一定存在最优解，这是线性规划的基本性质之一，称为______。
答案：对偶性2. 在线性规划问题中，若原问题与对偶问题均存在可行解，则它们均有______。
答案：最优解3. 对于线性规划问题，若原问题约束条件系数矩阵为A，目标函数系数向量为c，则其对偶问题的目标函数系数向量是______。
答案：c的转置（c^T）二、选择题1. 线性规划的原问题与对偶问题之间的关系是：A. 原问题的最优解和对偶问题的最优解相同B. 原问题的最优解是对偶问题的最优解的负数C. 原问题的最优解与对偶问题的最优解互为对偶D. 原问题的最优解和对偶问题的最优解没有关系答案：C2. 在线性规划中，若原问题不可行，则其对应的对偶问题：A. 可行B. 不可行C. 无界D. 无法确定答案：B三、判断题1. 线性规划的原问题和对偶问题具有相同的可行解。
（）答案：错误2. 若线性规划的原问题存在唯一最优解，则其对偶问题也一定存在唯一最优解。
（）答案：正确四、计算题1. 已知线性规划问题：max z = 3x1 + 2x2s.t.x1 + 2x2 ≤ 42x1 + x2 ≤ 5x1, x2 ≥ 0求该问题的对偶问题，并求解原问题和对偶问题的最优解。
答案：对偶问题为：min w = 4y1 + 5y2s.t.y1 + 2y2 ≥ 32y1 + y2 ≥ 2y1, y2 ≥ 0原问题和对偶问题的最优解如下：原问题最优解：x1 = 2, x2 = 1，最大利润z = 8对偶问题最优解：y1 = 2, y2 = 1，最小成本w = 82. 某工厂生产甲、乙两种产品，生产一件甲产品需要2小时的机器时间和3小时的工人劳动时间，生产一件乙产品需要1小时的机器时间和1小时的工人劳动时间。
工厂每周最多能使用12小时的机器时间和9小时的工人劳动时间。
对偶问题与灵敏度分析
主 元
-8
-12
x2 0 1 0
-
-36
x3 -3 2 -12
4
0
x4 1 0 0
-
0
x5 0 -1/2 -6
-
b
-3 5/2 30
x1 -1 0 -8
8
-12
x2
检验数j 比值
-36 x3
1 1/2 42
1/3 -2/3 -4
0 1 0
1 0 0
-1/3 2/3 -4
0 -1/2 -6
-12
x2
主 元
列初始单纯形表
Cj CB XB -8 -12 x2
-36 x3
0 x4
0 x5
b
-3 -5 -5
0
x1
0
0
x4
x5
-1
0 -8
-
0
-2 -2 -12
6
-3
-4 -36
9
1
0 0
-
0
1 0
-
检验数j 比值
•
x5为出基变量，x2为进基变量
第一讲 对偶理论
• 对偶单纯形法(续)
Cj
CB 0 XB x4
第一讲 对偶理论
例:写出对偶模型
Min Z= 5x1 +3 x2- x3 x1 - x2 +2 x3 ≥ 5 S.t. 4x1 +x2 - x3 ≤10 x1 + x2 - x3 = 4 x1 ≥0, x2 ≤0, x3 无限制 Max W= 5y1+10y2+4y3 y1+ 4y2+ 1y3 ≤ 5 S.t. -y1+ y2+ y3 ≥ 3 2y1 - y2 - y3 =-1 y1≥0, y2≤0, y3 无限制
-8
-12
x2 0 1 0
-
-36
x3 -3 2 -12
4
0
x4 1 0 0
-
0
x5 0 -1/2 -6
-
b
-3 5/2 30
x1 -1 0 -8
8
-12
x2
检验数j 比值
-36 x3
1 1/2 42
1/3 -2/3 -4
0 1 0
1 0 0
-1/3 2/3 -4
0 -1/2 -6
-12
x2
主 元
列初始单纯形表
Cj CB XB -8 -12 x2
-36 x3
0 x4
0 x5
b
-3 -5 -5
0
x1
0
0
x4
x5
-1
0 -8
-
0
-2 -2 -12
6
-3
-4 -36
9
1
0 0
-
0
1 0
-
检验数j 比值
•
x5为出基变量，x2为进基变量
第一讲 对偶理论
• 对偶单纯形法(续)
Cj
CB 0 XB x4
第一讲 对偶理论
例:写出对偶模型
Min Z= 5x1 +3 x2- x3 x1 - x2 +2 x3 ≥ 5 S.t. 4x1 +x2 - x3 ≤10 x1 + x2 - x3 = 4 x1 ≥0, x2 ≤0, x3 无限制 Max W= 5y1+10y2+4y3 y1+ 4y2+ 1y3 ≤ 5 S.t. -y1+ y2+ y3 ≥ 3 2y1 - y2 - y3 =-1 y1≥0, y2≤0, y3 无限制
线性规划中的对偶问题与灵敏度分析
线性规划中的对偶问题与灵敏度分析线性规划是一种优化方法，广泛应用于各个领域的决策问题。
在线性规划中，对偶问题与灵敏度分析是两个重要的概念和工具，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
1. 对偶问题在线性规划中，对偶问题是指与原始问题相对应的一个问题。
它通过转换原始问题并构造一个新的问题，以便从不同的角度来解释和解决原始问题。
对偶问题能够提供原始问题的一些有用信息，并且在某些情况下，对偶问题的解与原始问题的解是相等的。
对偶问题的构造可以通过拉格朗日对偶性理论来完成。
该理论通过构造一个拉格朗日函数，将原始问题中的约束条件转化为拉格朗日乘子，从而得到对偶问题。
对偶问题的目标函数是原始问题的约束条件的线性组合。
解决对偶问题可以通过求解拉格朗日函数的最优化问题来实现。
对于线性规划问题，对偶问题的解可以通过求解一组线性方程或线性不等式来获得。
对偶问题的解不仅可以提供原始问题的一些信息，还可以用于检验原始问题的解的可行性和最优性。
2. 灵敏度分析灵敏度分析是在线性规划中评估解决方案对问题参数变化的响应程度的方法。
它可以帮助我们了解如果问题的参数发生变化，对解决方案的影响有多大，并做出相应的调整和决策。
灵敏度分析可以通过改变单个参数或多个参数来进行。
其中，常见的灵敏度分析包括目标函数系数的变化、约束条件右侧常量的变化和新增或取消约束条件。
这些变化可以用来模拟实际情况中可能发生的条件变化，以及评估解决方案的稳定性和可行性。
在进行灵敏度分析时，我们可以通过计算变动参数对解决方案的影响程度来得到一些关键指标。
例如，参数的变化导致目标函数值的变化量称为“影子价格”，而约束条件右侧常量的变化导致解决方案中相应决策变量的变化量，则称为“机会成本”。
灵敏度分析的结果可以帮助我们确定参数的重要性，判断解决方案的可行性和稳定性，以及找到最佳的决策方案。
在实际应用中，灵敏度分析可以帮助我们应对不确定性和风险，做出更加准确和可靠的决策。
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对偶理论与灵敏度分析
第三章 对偶理论与灵敏度分析
第一节 对偶问题的提出
例：常山机械厂生产Ⅰ和Ⅱ两种产品。生产中需使用A、B、C三种设备进行加工，加工每件Ⅰ产品或Ⅱ产 品所需的设备机时数、利润值及每种设备可利用机时数列于下表，请问：充分利用设备机台时，工厂应生 产Ⅰ和Ⅱ产品各多少件才能获得最大利润？试列出相应的线性规划数学模型。
4x1 +2x2 - x3 20 y2 x1，x2 ， x3 0 解：该问题的对偶问题： min w = 10 y1 + 20 y2 s.t. y1 + 4y2 10
y1 + 2y2 1 2 y1 - y2 2
y1，y2 0
第一节 对偶问题的提出
例：写出下列线性规划问题的对偶问题 min w = x1 + 2x2 + 3x3
解：化为对称形式。 令 x2 x2，x3 x3 x3 (x3 0, x3 0) max z c1x1 c2x2 c3x3 c3x3
s.t. a11x1 a12x2 a13x3 a13x3 b1
aaa222a111xxx2111x1 aaa222a222xx2x2222x2 aaa222a333xxx23333x3 aaa222a333xxx23333x3 bbb222b2 a3a13x11x1 a3a23x22x2 a3a33x33x3 a3a33x33x3 b3b3 x1, x2 , x3, x3 0
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤ b2 ……
am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤ bm xj ≥ 0 （j = 1,2,…,n）
则称下列 LP 问题
min w = b1 y1 + b2 y2 + … +bm ym s.t. a11y1 + a21 y2 + … + am1ym ≥ c1
A
B
C
产品利润（元／件）
Ⅰ
2
4
0
2
Ⅱ
2
0
5
3
设备可用机时数（工时）
12
16
15
第一节 对偶问题的提出
解：设Ⅰ、Ⅱ产品的生产数量分别为x1和x2，建立问题数学模型如下： max z =2x1+3x2 2x1+2x2≤12 4x1 ≤16 5x2 ≤15 xj≥0，j=1，2
现假设有另一家四海机器厂，为了扩大生产想租借常山机器厂拥有的设备资源，问常山厂分别以每小时 什么样的价格才愿意出租自己的设备呢？
第一节 对偶问题的提出
设A、B、C设备的机时单价分别为y1、y2、y3，新的线性规划数学模型为
max z =2x1+3x2 2x1+2x2≤12 4x1 ≤16
5x2 ≤15 xj≥0，j=1，2
min w=12y1+16y2+15y3 2y1+4y2 ≥2 2y1 +5y3≥3 yj≥0，j=1，2，3
原始问题
max z=CX
s.t.
AX≥b
X ≥0
max
C
m
A
n
≥b
对偶问题 min w=bTY s.t. ATY≤CT
Y ≥0
min
bT
n
AT
≤ CT
m
第一节 对偶问题的提出
原问题与对偶问题
设原 LP 问题为
max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn s.t. a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤ b1
s.t. 2y1- 3y2 1 3y1- y2 2 5y1- 7y2 3 y1，y2 0
第一节 对偶问题的提出
例：写出下述线性规划问题的对偶问题
max z = c1x1 + c2x2 + c3x3 s.t. a11x1 + a12x2 + a13x3 ≤ b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 ≥ b3 x1≥0, x2≤0, x3 无约束
a12y1 + a22y2 + … + am2 ym ≥ c2 ……
a1ny1 + a2ny2 + … + amnym ≥ cn yi≥ 0 （i = 1,2,…,m）
第一节 对偶问题的提出
例：写出下列线性规划问题的对偶问题
min w=12x1+8x2 +16x3+12x4
s.t. 2x1+ x2 +4x3
Ⅰ（x1） Ⅱ （x2） 设备可用机时数（工时）
A（y1） 2 2 12
B（y2） 4产品利润（元／件） 2 3
第一节 对偶问题的提出
2
3
x1
x2
原问题
12
y1
2
2
≤
12
16
y2
4
0
≤
16
15
y3
0
5
≤
15
对偶问题
2
3
第一节 对偶问题的提出
原问题与对偶问题的形式关系
s.t. 2x1+3x2 + 5x3 2 3x1+ x2 + 7x3 3 x1，x2 ， x3 0
解：用（-1）乘以第二个约束方程两边 min w=x1+2x2 +3x3
s.t. 2x1+3x2 + 5x3 2 y1 -3x1- x2 - 7x3 -3 y2 x1，x2 ， x3 0
该问题的对偶问题： max z = 2 y1 - 3y2
2 y1
2x1+2x2 + 4x4 3 y2
x1，x2 ， x3 ， x4 0
解：该问题的对偶问题：
max z = 2y1 + 3y2
s.t. 2y1 + 2y2 12
y1 + 2y2 8
4 y1
16
4y2 12
y1，y2 0
第一节 对偶问题的提出
例：写出下列线性规划问题的对偶问题 max z = 10x1 + x2 + 2x3 s.t. x1 + x2 + 2x3 10 y1
第一节 对偶问题的提出
max z c1x1 c2x2 c3x3 c3x3 s.t. a11x1 a12x2 a13x3 a13x3 b1
a21x1 a22 x2 a23x3 a23x3 b2 a2a1x21x1 a2a2 x222x2 a2a3x233x3 a2a3x233x3 b2b2 a31x1 a32x2 a33x3 a33x3 b3
xj yi
u1 u2 ... um
原问题
Max Z
X1 ,
a11 a21 ... am1
c1
X2 , … ,
a12 ... a22 ... ... ... am2 ...
…
c2 ...
Xn
对偶问题 Min w
a1n
b1
a2 n
b2
... ... ...
amn
bm
Max Z = Min w
cn
第一节 对偶问题的提出
第三章 对偶理论与灵敏度分析
第一节 对偶问题的提出
例：常山机械厂生产Ⅰ和Ⅱ两种产品。生产中需使用A、B、C三种设备进行加工，加工每件Ⅰ产品或Ⅱ产 品所需的设备机时数、利润值及每种设备可利用机时数列于下表，请问：充分利用设备机台时，工厂应生 产Ⅰ和Ⅱ产品各多少件才能获得最大利润？试列出相应的线性规划数学模型。
4x1 +2x2 - x3 20 y2 x1，x2 ， x3 0 解：该问题的对偶问题： min w = 10 y1 + 20 y2 s.t. y1 + 4y2 10
y1 + 2y2 1 2 y1 - y2 2
y1，y2 0
第一节 对偶问题的提出
例：写出下列线性规划问题的对偶问题 min w = x1 + 2x2 + 3x3
解：化为对称形式。 令 x2 x2，x3 x3 x3 (x3 0, x3 0) max z c1x1 c2x2 c3x3 c3x3
s.t. a11x1 a12x2 a13x3 a13x3 b1
aaa222a111xxx2111x1 aaa222a222xx2x2222x2 aaa222a333xxx23333x3 aaa222a333xxx23333x3 bbb222b2 a3a13x11x1 a3a23x22x2 a3a33x33x3 a3a33x33x3 b3b3 x1, x2 , x3, x3 0
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤ b2 ……
am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤ bm xj ≥ 0 （j = 1,2,…,n）
则称下列 LP 问题
min w = b1 y1 + b2 y2 + … +bm ym s.t. a11y1 + a21 y2 + … + am1ym ≥ c1
A
B
C
产品利润（元／件）
Ⅰ
2
4
0
2
Ⅱ
2
0
5
3
设备可用机时数（工时）
12
16
15
第一节 对偶问题的提出
解：设Ⅰ、Ⅱ产品的生产数量分别为x1和x2，建立问题数学模型如下： max z =2x1+3x2 2x1+2x2≤12 4x1 ≤16 5x2 ≤15 xj≥0，j=1，2
现假设有另一家四海机器厂，为了扩大生产想租借常山机器厂拥有的设备资源，问常山厂分别以每小时 什么样的价格才愿意出租自己的设备呢？
第一节 对偶问题的提出
设A、B、C设备的机时单价分别为y1、y2、y3，新的线性规划数学模型为
max z =2x1+3x2 2x1+2x2≤12 4x1 ≤16
5x2 ≤15 xj≥0，j=1，2
min w=12y1+16y2+15y3 2y1+4y2 ≥2 2y1 +5y3≥3 yj≥0，j=1，2，3
原始问题
max z=CX
s.t.
AX≥b
X ≥0
max
C
m
A
n
≥b
对偶问题 min w=bTY s.t. ATY≤CT
Y ≥0
min
bT
n
AT
≤ CT
m
第一节 对偶问题的提出
原问题与对偶问题
设原 LP 问题为
max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn s.t. a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤ b1
s.t. 2y1- 3y2 1 3y1- y2 2 5y1- 7y2 3 y1，y2 0
第一节 对偶问题的提出
例：写出下述线性规划问题的对偶问题
max z = c1x1 + c2x2 + c3x3 s.t. a11x1 + a12x2 + a13x3 ≤ b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 ≥ b3 x1≥0, x2≤0, x3 无约束
a12y1 + a22y2 + … + am2 ym ≥ c2 ……
a1ny1 + a2ny2 + … + amnym ≥ cn yi≥ 0 （i = 1,2,…,m）
第一节 对偶问题的提出
例：写出下列线性规划问题的对偶问题
min w=12x1+8x2 +16x3+12x4
s.t. 2x1+ x2 +4x3
Ⅰ（x1） Ⅱ （x2） 设备可用机时数（工时）
A（y1） 2 2 12
B（y2） 4产品利润（元／件） 2 3
第一节 对偶问题的提出
2
3
x1
x2
原问题
12
y1
2
2
≤
12
16
y2
4
0
≤
16
15
y3
0
5
≤
15
对偶问题
2
3
第一节 对偶问题的提出
原问题与对偶问题的形式关系
s.t. 2x1+3x2 + 5x3 2 3x1+ x2 + 7x3 3 x1，x2 ， x3 0
解：用（-1）乘以第二个约束方程两边 min w=x1+2x2 +3x3
s.t. 2x1+3x2 + 5x3 2 y1 -3x1- x2 - 7x3 -3 y2 x1，x2 ， x3 0
该问题的对偶问题： max z = 2 y1 - 3y2
2 y1
2x1+2x2 + 4x4 3 y2
x1，x2 ， x3 ， x4 0
解：该问题的对偶问题：
max z = 2y1 + 3y2
s.t. 2y1 + 2y2 12
y1 + 2y2 8
4 y1
16
4y2 12
y1，y2 0
第一节 对偶问题的提出
例：写出下列线性规划问题的对偶问题 max z = 10x1 + x2 + 2x3 s.t. x1 + x2 + 2x3 10 y1
第一节 对偶问题的提出
max z c1x1 c2x2 c3x3 c3x3 s.t. a11x1 a12x2 a13x3 a13x3 b1
a21x1 a22 x2 a23x3 a23x3 b2 a2a1x21x1 a2a2 x222x2 a2a3x233x3 a2a3x233x3 b2b2 a31x1 a32x2 a33x3 a33x3 b3
xj yi
u1 u2 ... um
原问题
Max Z
X1 ,
a11 a21 ... am1
c1
X2 , … ,
a12 ... a22 ... ... ... am2 ...
…
c2 ...
Xn
对偶问题 Min w
a1n
b1
a2 n
b2
... ... ...
amn
bm
Max Z = Min w
cn
第一节 对偶问题的提出