对偶理论与灵敏度分析
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4x1 +2x2 - x3 20 y2 x1，x2 ， x3 0 解：该问题的对偶问题： min w = 10 y1 + 20 y2 s.t. y1 + 4y2 10
y1 + 2y2 1 2 y1 - y2 2
y1，y2 0
第一节 对偶问题的提出
例：写出下列线性规划问题的对偶问题 min w = x1 + 2x2 + 3x3
对偶理论与灵敏度分析
第三章 对偶理论与灵敏度分析
第一节 对偶问题的提出
例：常山机械厂生产Ⅰ和Ⅱ两种产品。生产中需使用A、B、C三种设备进行加工，加工每件Ⅰ产品或Ⅱ产 品所需的设备机时数、利润值及每种设备可利用机时数列于下表，请问：充分利用设备机台时，工厂应生 产Ⅰ和Ⅱ产品各多少件才能获得最大利润？试列出相应的线性规划数学模型。
解：化为对称形式。 令 x2 x2，x3 x3 x3 (x3 0, x3 0) max z c1x1 c2x2 c3x3 c3x3
s.t. a11x1 a12x2 a13x3 a13x3 b1
aaa222a111xxx2111x1 aaa222a222xx2x2222x2 aaa222a333xxx23333x3 aaa222a333xxx23333x3 bbb222b2 a3a13x11x1 a3a23x22x2 a3a33x33x3 a3a33x33x3 b3b3 x1, x2 , x3, x3 0
第一节 对偶问题的提出
max z c1x1 c2x2 c3x3 c3x3 s.t. a11x1 a12x2 a13x3 a13x3 b1
a21x1 a22 x2 a23x3 a23x3 b2 a2a1x21x1 a2a2 x222x2 a2a3x233x3 a2a3x233x3 b2b2 a31x1 a32x2 a33x3 a33x3 b3
Ⅰ（x1） Ⅱ （x2） 设备可用机时数（工时）
A（y1） 2 2 12
B（y2） 4 0 16
C（y3） 0 5 15
产品利润（元／件） 2 3
第一节 对偶问题的提出
2
3
x1
x2
原问题
12
y1
2
2
≤
12
16
y2
4
0
≤
16
15
y3
0
5
≤
15
对偶问题
2
3
第一节 对偶问题的提出
原问题与对偶问题的形式关系
原始问题
max z=CX
s.t.
AX≥b
X ≥0
max
C
m
A
n
≥b
对偶问题 min w=bTY s.t. ATY≤CT
Y ≥0
min
bT
n
AT
≤ CT
m
第一节 对偶问题的提出
原问题与对偶问题
设原 LP 问题为
max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn s.t. a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤ b1
A
B
C
产品利润（元／件）
Ⅰ
2
4
0
2
Ⅱ
2
0
5
3
设备可用机时数（工时）
12
16
15
第一节 对偶问题的提出
解：设Ⅰ、Ⅱ产品的生产数量分别为x1和x2，建立问题数学模型如下： max z =2x1+3x2 2x1+2x2≤12 4x1 ≤16 5x2 ≤15 xj≥0，j=1，2
现假设有另一家四海机器厂，为了扩大生产想租借常山机器厂拥有的设备资源，问常山厂分别以每小时 什么样的价格才愿意出租自己的设备呢？
s.t. 2x1+3x2 + 5x3 2 3x1+ x2 + 7x3 3 x1，x2 ， x3 0
解：用（-1）乘以第二个约束方程两边 min w=x1+2x2 +3x3
s.t. 2x1+3x2 + 5x3 2 y1 -3x1- x2 - 7x3 -3 y2 x1，x2 ， x3 0
该问题的对偶问题： max z = 2 y1 - 3y2
第一节 对偶问题的提出
设A、B、C设备的机时单价分别为y1、y2、y3，新的线性规划数学模型为
max z =2x1+3x2 2x1+2x2≤12 4x1 ≤16
5x2 ≤15 xj≥0，j=1，2
min w=12y1+16y2+15y3 2y1+4y2 ≥2 2y1 +5y3≥3 yj≥0，j=1，2，3
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤ b2 ……
am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤ bm xj ≥ 0 （j = 1,2,…,n）
则称下列 LP 问题
min w = b1 y1 + b2 y2 + … +bm ym s.t. a11y1 + a21 y2 + … + am1ym ≥ c1
xj yi
u1 u2 ... um
原问题
Max Z
X1 ,
a11 a21 ... am1
c1
X2 , … ,
a12 ... a22 ... ... ... am2 ...
…
c2 ...
Xn
对偶问题 Min w
a1n
b1
a2 n
b2
... ... ...
amn
bm
Max Z = Min w
cn
第一节 对偶问题的提出
s.t. 2y1- 3y2 1 3y1- y2 2 5y1- 7y2 3 y1，y2 0
第一节 对偶问题的提出
例：写出下述线性规划问题的对偶问题
max z = c1x1 + c2x2 + c3x3 s.t. a11x1 + a12x2 + a13x3 ≤ b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 ≥ b3 x1≥0, x2≤0, x3 无约束
2 y1
2x1+2x2 + 4x4 3 y2
x1，x2 ， x3 ， x4 0
解：该问题的对偶问题：
max z = 2y1 + 3y2
s.t. 2y1 + 2y2 12
y1 + 2y2 8
4 y1
16
4y2 12
Байду номын сангаас
y1，y2 0
第一节 对偶问题的提出
例：写出下列线性规划问题的对偶问题 max z = 10x1 + x2 + 2x3 s.t. x1 + x2 + 2x3 10 y1
a12y1 + a22y2 + … + am2 ym ≥ c2 ……
a1ny1 + a2ny2 + … + amnym ≥ cn yi≥ 0 （i = 1,2,…,m）
第一节 对偶问题的提出
例：写出下列线性规划问题的对偶问题
min w=12x1+8x2 +16x3+12x4
s.t. 2x1+ x2 +4x3
y1 + 2y2 1 2 y1 - y2 2
y1，y2 0
第一节 对偶问题的提出
例：写出下列线性规划问题的对偶问题 min w = x1 + 2x2 + 3x3
对偶理论与灵敏度分析
第三章 对偶理论与灵敏度分析
第一节 对偶问题的提出
例：常山机械厂生产Ⅰ和Ⅱ两种产品。生产中需使用A、B、C三种设备进行加工，加工每件Ⅰ产品或Ⅱ产 品所需的设备机时数、利润值及每种设备可利用机时数列于下表，请问：充分利用设备机台时，工厂应生 产Ⅰ和Ⅱ产品各多少件才能获得最大利润？试列出相应的线性规划数学模型。
解：化为对称形式。 令 x2 x2，x3 x3 x3 (x3 0, x3 0) max z c1x1 c2x2 c3x3 c3x3
s.t. a11x1 a12x2 a13x3 a13x3 b1
aaa222a111xxx2111x1 aaa222a222xx2x2222x2 aaa222a333xxx23333x3 aaa222a333xxx23333x3 bbb222b2 a3a13x11x1 a3a23x22x2 a3a33x33x3 a3a33x33x3 b3b3 x1, x2 , x3, x3 0
第一节 对偶问题的提出
max z c1x1 c2x2 c3x3 c3x3 s.t. a11x1 a12x2 a13x3 a13x3 b1
a21x1 a22 x2 a23x3 a23x3 b2 a2a1x21x1 a2a2 x222x2 a2a3x233x3 a2a3x233x3 b2b2 a31x1 a32x2 a33x3 a33x3 b3
Ⅰ（x1） Ⅱ （x2） 设备可用机时数（工时）
A（y1） 2 2 12
B（y2） 4 0 16
C（y3） 0 5 15
产品利润（元／件） 2 3
第一节 对偶问题的提出
2
3
x1
x2
原问题
12
y1
2
2
≤
12
16
y2
4
0
≤
16
15
y3
0
5
≤
15
对偶问题
2
3
第一节 对偶问题的提出
原问题与对偶问题的形式关系
原始问题
max z=CX
s.t.
AX≥b
X ≥0
max
C
m
A
n
≥b
对偶问题 min w=bTY s.t. ATY≤CT
Y ≥0
min
bT
n
AT
≤ CT
m
第一节 对偶问题的提出
原问题与对偶问题
设原 LP 问题为
max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn s.t. a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤ b1
A
B
C
产品利润（元／件）
Ⅰ
2
4
0
2
Ⅱ
2
0
5
3
设备可用机时数（工时）
12
16
15
第一节 对偶问题的提出
解：设Ⅰ、Ⅱ产品的生产数量分别为x1和x2，建立问题数学模型如下： max z =2x1+3x2 2x1+2x2≤12 4x1 ≤16 5x2 ≤15 xj≥0，j=1，2
现假设有另一家四海机器厂，为了扩大生产想租借常山机器厂拥有的设备资源，问常山厂分别以每小时 什么样的价格才愿意出租自己的设备呢？
s.t. 2x1+3x2 + 5x3 2 3x1+ x2 + 7x3 3 x1，x2 ， x3 0
解：用（-1）乘以第二个约束方程两边 min w=x1+2x2 +3x3
s.t. 2x1+3x2 + 5x3 2 y1 -3x1- x2 - 7x3 -3 y2 x1，x2 ， x3 0
该问题的对偶问题： max z = 2 y1 - 3y2
第一节 对偶问题的提出
设A、B、C设备的机时单价分别为y1、y2、y3，新的线性规划数学模型为
max z =2x1+3x2 2x1+2x2≤12 4x1 ≤16
5x2 ≤15 xj≥0，j=1，2
min w=12y1+16y2+15y3 2y1+4y2 ≥2 2y1 +5y3≥3 yj≥0，j=1，2，3
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤ b2 ……
am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤ bm xj ≥ 0 （j = 1,2,…,n）
则称下列 LP 问题
min w = b1 y1 + b2 y2 + … +bm ym s.t. a11y1 + a21 y2 + … + am1ym ≥ c1
xj yi
u1 u2 ... um
原问题
Max Z
X1 ,
a11 a21 ... am1
c1
X2 , … ,
a12 ... a22 ... ... ... am2 ...
…
c2 ...
Xn
对偶问题 Min w
a1n
b1
a2 n
b2
... ... ...
amn
bm
Max Z = Min w
cn
第一节 对偶问题的提出
s.t. 2y1- 3y2 1 3y1- y2 2 5y1- 7y2 3 y1，y2 0
第一节 对偶问题的提出
例：写出下述线性规划问题的对偶问题
max z = c1x1 + c2x2 + c3x3 s.t. a11x1 + a12x2 + a13x3 ≤ b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 ≥ b3 x1≥0, x2≤0, x3 无约束
2 y1
2x1+2x2 + 4x4 3 y2
x1，x2 ， x3 ， x4 0
解：该问题的对偶问题：
max z = 2y1 + 3y2
s.t. 2y1 + 2y2 12
y1 + 2y2 8
4 y1
16
4y2 12
Байду номын сангаас
y1，y2 0
第一节 对偶问题的提出
例：写出下列线性规划问题的对偶问题 max z = 10x1 + x2 + 2x3 s.t. x1 + x2 + 2x3 10 y1
a12y1 + a22y2 + … + am2 ym ≥ c2 ……
a1ny1 + a2ny2 + … + amnym ≥ cn yi≥ 0 （i = 1,2,…,m）
第一节 对偶问题的提出
例：写出下列线性规划问题的对偶问题
min w=12x1+8x2 +16x3+12x4
s.t. 2x1+ x2 +4x3