20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题7.4 二项分布(解析版)

第四讲 二项式分布

一．条件概率及其性质 (1)条件概率的定义

对于两个事件A 和B ，在已知事件B 发生的条件下事件A 发生的概率，称为事件B 发生的条件下事件A 的条件概率．

(2)条件概率的求法

求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典概率公式，即P (B |A )＝

P (AB )

P (A )

. 二．二项分布

在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k

(1－p )

n －k

(k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记为X ～B (n ，p )．

考向一 条件概率

【例1】已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，则在他第1次取到的是螺口灯泡的条件下，第2次取到的是卡口灯泡的概率为________． 【答案】 79

【解析】 方法一 设事件A 为“第1次取到的是螺口灯泡”，事件B 为“第2次取到的是卡口灯泡”， 则P (A )＝310，P (AB )＝310×79＝730，则所求概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝7

30310

＝7

9

.

方法二 第1次取到螺口灯泡后还剩余9只灯泡，其中有7只卡口灯泡，故第2次取到卡口灯泡的概率为C 1

7

C 1

9＝79

.

【举一反三】

1．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为________．

【答案】

499

【解析】 方法一 (应用条件概率公式求解)设事件A 为“第一次取到不合格品”，事件B 为“第二次取到不合格品”，则所求的概率为P (B |A )，

因为P (AB )＝C 25

C 2100＝1495，P (A )＝C 15

C 1100＝120，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1

495120

＝4

99

.

方法二 (缩小样本空间求解)第一次取到不合格品后，也就是在第二次取之前，还有99件产品，其中有4件不合格品，因此第二次取到不合格品的概率为4

99

.

2. 某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

设该险种续保人一年内出险次数与相应概率如下：

(1)求续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

(2)若续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．

【答案】（1）0.55 （2）

3

11

. （3）1.23. 【解析】(1)设A 表示事件“续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P (A )＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55.

(2)设B 表示事件“续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P (B )＝0.1＋0.05＝0.15.

又P (AB )＝P (B )，故P (B |A )＝

P (AB )P (A )＝P (B )P (A )＝0.150.55＝311.因此所求概率为3

11

. (3)平均保费E (A )＝0.85a ×0.3＋0.15a ＋1.25a ×0.2＋1.5a ×0.2＋1.75a ×0.1＋2a ×0.05＝1.23a ， 因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23a

a

＝1.23

考向二 二项分布

【例2】为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100 km/h 的有40人，不超过100 km/h 的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100 km/h 的有20人，不超过100 km/h 的有25人．

(1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100 km/h 的人中随机抽取2人，求这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；

(2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100 km/h 且为男性驾驶员的车辆为X ，求X 的概率分布．

【答案】（1）25

52

（2）见解析

【解析】 (1)平均车速不超过100 km/h 的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总数为C 2

40，记“这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A ，则事件A 所包含的基本事件数为C 1

15C 125，所以所求的概率P (A )＝C 1

15C 1

25C 240＝15×2520×39＝25

52

.

(2)根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车速超过100 km/h 且为男性驾驶员的概率为

40

100＝25，故X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25.所以P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫250⎝ ⎛⎭⎪⎫353

＝27125

， P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫25⎝ ⎛⎭⎪⎫

352＝

54

125， P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫252⎝ ⎛⎭⎪⎫

35＝36

125，P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫253⎝ ⎛⎭⎪⎫

350＝8

125

. 所以X 的概率分布为

【举一反三】

1．某兴趣小组在科学馆的帕斯卡三角仪器前进行探究实验.如图所示，每次使一个实心小球从帕斯卡三角