7、第七章刚体的基本运动
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刚体的基本运动
转速：刚体每分钟转过的圈数。单位：r / min。 转速 n 与角速度 2n n 60 30
的关系：
（7-6）
角加速度
d d 2 lim 2 t 0 t dt dt
（7-7）
刚体的角加速度（Angular acceleration）
等于其角速度对时间的一阶导数，也等于其转角对
v r 0.4 50 20 m / s
an r 0.4 50 1000 m /s
2 2
2
例7-4 定轴轮系如图7-9所示，主动轮I通过轮齿
与从动轮II轮齿啮合实现转动传递。主动轮I和从动轮 II的节圆半径分别为r1、r2，齿数分别为z1、z2。设I轮 的角速度为 1 （转数为n1），角加速度为 1 ；II轮的 角速度为 2（转数为n2），角加速度为 2 。试求上
2 a a2 an (r )2 (rω2 )2 r 2 ω4
tan
a an
ω
2
（7-13）
在给定瞬时，刚体的角速度和角加速度有确 定的值，对刚体上任何点都是一样。因而，在同一瞬 时，转动刚体上各点的速度 v 和加速度 a 的大小均与
该点的转动半径 r 成正比；各点速度 v 的方向都垂直
O轴作定轴转动，其转动方程为 t 2 4t （1）当t = 1 s时，试求轮缘上M点速度和加速度；
（2）若轮上绕一不可伸长的绳索，并在绳索下端
悬一物体A，求当t = 1 s时，物体A的速度和加速度。 解：圆轮在任一瞬时的角速 a M 度和角加速度为 d 2t 4 rad / s
当
t 1s，直杆AB上D点的速度和加速度。
解：由于O1A与O2B平行等
第七章 刚体力学
令 TP y
R / 2 cos y R
因 dy tan dx
(1)
又 1 tan 2 sec2
故得所求曲线的方程
dy 2 2 1 ( ) [ ( R y )]2 dx R
(2)
采用
sec ，（1）式变成
dy 2 R / 2 y R, 又有1＋（ ） 2 dx dy dy d R d dx d dx 2 dx
令t 0，刚体在一瞬刻的运动情况可以这样来描述：刚 体随着基点 A 以速度 v A 平动（ v A 即基点A的速度），并以角 速 ω绕基点 A 转动，平动的速度 v即基点的速度，与基点的选 取有关，转动的角速度ω则与基点的选取无关。 基于以上论述，可将刚体平面运动视为随基点的平动与绕
基点的转动的合成，事实上，平动与转动是同时进行的。
匀变速转动 =常量
0 (t )dt
0
t
0 t
1 2 0 t t 2 2 0 2 2（ 0）
与质点匀变速直线运动公式相对应.
(6) 角量与线量的关系
线量——质点做圆周运动的位移r、速度v、加速度a 角量——描述刚体转动整体运动的 ，，
(2)组内任意两点间的距离保持不变.
§7.1 刚体运动的描述
刚体运动学的任务在于研究如何描述刚体运动但不涉及运
动变化的原因， 只有给出刚体上所有质元的运动状况，才算 完整描述了刚体的运动。
§7.1.1 刚体的平动
平动——如果在运动中，刚体上任意两质元连线的空间方向 始终保持不变，这种运动就称为刚体的平动。例如电梯的升 降、活塞的往返等都是平动。
Δ d lim Δt 0 Δt dt
R / 2 cos y R
因 dy tan dx
(1)
又 1 tan 2 sec2
故得所求曲线的方程
dy 2 2 1 ( ) [ ( R y )]2 dx R
(2)
采用
sec ，（1）式变成
dy 2 R / 2 y R, 又有1＋（ ） 2 dx dy dy d R d dx d dx 2 dx
令t 0，刚体在一瞬刻的运动情况可以这样来描述：刚 体随着基点 A 以速度 v A 平动（ v A 即基点A的速度），并以角 速 ω绕基点 A 转动，平动的速度 v即基点的速度，与基点的选 取有关，转动的角速度ω则与基点的选取无关。 基于以上论述，可将刚体平面运动视为随基点的平动与绕
基点的转动的合成，事实上，平动与转动是同时进行的。
匀变速转动 =常量
0 (t )dt
0
t
0 t
1 2 0 t t 2 2 0 2 2（ 0）
与质点匀变速直线运动公式相对应.
(6) 角量与线量的关系
线量——质点做圆周运动的位移r、速度v、加速度a 角量——描述刚体转动整体运动的 ，，
(2)组内任意两点间的距离保持不变.
§7.1 刚体运动的描述
刚体运动学的任务在于研究如何描述刚体运动但不涉及运
动变化的原因， 只有给出刚体上所有质元的运动状况，才算 完整描述了刚体的运动。
§7.1.1 刚体的平动
平动——如果在运动中，刚体上任意两质元连线的空间方向 始终保持不变，这种运动就称为刚体的平动。例如电梯的升 降、活塞的往返等都是平动。
Δ d lim Δt 0 Δt dt
工程力学-刚体的基本运动
d f （t） 角加速度 dt
刚体定轴转动的角加速度等于角速度对时间t的一 阶导数，转角对时间的二阶导数。 若α 与ω 符号相同，则ω 的绝对值随时间而增大， 刚体作加速转动；若相反，则刚体作减速转动。
洛 阳 职 业 技 术 学 院
四、刚体的匀速与匀变 速转动
1、刚体的匀速转动 角速度ω=常量，角加速度α=0
重物的速度及加速度为
vA方向铅锤向下， αA方向铅锤向上，即重物A在t=1s 时作减速运动
洛 阳 职 业 技 术 学 院
六、定轴转动刚体的传 动比
一对外啮合齿轮，已知两个齿轮的节圆半径r1、r2，主动轮Ⅰ的角
速度ω 1、角加速度α 1，从动轮Ⅱ的角速度ω 2，角加速度α 2。
设两轮无相对滑动，则它们的接触点 M1和M2的速度和切向加速度是相同的。
O1 M1 M2
O2
r2
r1
Ⅱ
传动比i12的公式为
φ =φ0+ ωt
2、刚体的匀变速转动 角加速度α=常量
其他方程
例 飞轮以n=120r/min的速度转动，截断电流后，飞 轮作匀速转动，经250s停止。试求轴的角速度和停止 之前所转过的圈数
=4πrad/s
断电后飞轮的角加速度
停止前飞轮转过的角度
洛 阳 职 业 技 术 学 院
五、定轴转动刚体上各 点的速度与加速度
刚体作定轴转动时，转轴上的速度、 加速度为零，其他个点在垂直于转
R
轴的平面上作圆周运动。
M点到转轴的距离为R，其所走的的弧长s与转角φ 的关系是
β
S=Rφ
解：1）研究M点的速度、加速度
VM
αMτ M θ
αM
O R
第七章 刚体
2v1 3 2 3 2 t , v2 v0 0 R , 2 v0 0 R 5g 5 3 5R 3
29
（3）经某段时间后，有
2 v 0, 0 v0 0 R 3 3v0 该阶段的末态为 1 0 , v1 0 2R
vB
R
平面平行运动 在每一个点部位对应的运动平面上 瞬心是一个点 由两点速度确定瞬心的位置
B
A
vA
刚体的任意运动 瞬心是一条线----瞬时转动轴 平动刚体的瞬心
23
例 两个质量同为m、半径同为R匀质实心滑轮，用不可伸长轻绳
连接，定滑轮可无摩擦的转动。将系统从静止释放，求下面滑 轮的平动加速度。
支持力
3 cos 2 6 cos 4 3(cos 1) 2 1 N mg mac mg mg 0 2 2 2 2 (1 3 sin ) (1 3 sin )
杆的下端不会跳离地面
33
例 物体落地为什么会翻转？
设刚体落地速度v0 与光滑地面的碰撞是弹性的 质心运动 刚体转动
P2
P0
d
vc
Nt m(v0 vc )
C
Nt d I
c
N
1 2 1 1 2 2 mvc I c mv0 机械能守恒 2 2 2
2
P1
I c md 2md vc v , v 2 0 2 0 I c md I c md
P0点速度反向
v vc d v0
34
思考题
两个质量比为 4：1 的小球用长 l 的轻质细杆相连， 重球在上，与竖直方向成300的夹角自由落下，下端 轻球触地前的速度为v0，碰撞为弹性碰撞。试求细杆 落地前能翻转成竖直的条件。
29
（3）经某段时间后，有
2 v 0, 0 v0 0 R 3 3v0 该阶段的末态为 1 0 , v1 0 2R
vB
R
平面平行运动 在每一个点部位对应的运动平面上 瞬心是一个点 由两点速度确定瞬心的位置
B
A
vA
刚体的任意运动 瞬心是一条线----瞬时转动轴 平动刚体的瞬心
23
例 两个质量同为m、半径同为R匀质实心滑轮，用不可伸长轻绳
连接，定滑轮可无摩擦的转动。将系统从静止释放，求下面滑 轮的平动加速度。
支持力
3 cos 2 6 cos 4 3(cos 1) 2 1 N mg mac mg mg 0 2 2 2 2 (1 3 sin ) (1 3 sin )
杆的下端不会跳离地面
33
例 物体落地为什么会翻转？
设刚体落地速度v0 与光滑地面的碰撞是弹性的 质心运动 刚体转动
P2
P0
d
vc
Nt m(v0 vc )
C
Nt d I
c
N
1 2 1 1 2 2 mvc I c mv0 机械能守恒 2 2 2
2
P1
I c md 2md vc v , v 2 0 2 0 I c md I c md
P0点速度反向
v vc d v0
34
思考题
两个质量比为 4：1 的小球用长 l 的轻质细杆相连， 重球在上，与竖直方向成300的夹角自由落下，下端 轻球触地前的速度为v0，碰撞为弹性碰撞。试求细杆 落地前能翻转成竖直的条件。
刚体平面运动
DE C
D B DB
大小 ？ l ? 方向
vD vDB vB l
v v 5 rad s DE l v v 5 rad s BD l
D B DE
DB
B
BD
22
[例3]曲柄连杆机构如图所示，OA =r, AB= 匀角速度ω转动。
变．也就是说，刚体上任一点都在与某固定平面平行的平面内运 动．这种运动称为刚体的平面运动．
1
刚体平面运动动画一：行星齿轮
2
刚体平面运动动画二：车轮运动情况
3
二、刚体的平面运动可以简化为平面图形S在其自身平面内的 运动 A1A2作平动 A点代表A1A2的运动 S代表刚体的运动
因此，在研究平面运动时， 不需考虑刚体的形状和尺寸，只
。如曲柄OA以 3r
求：当 60 ， 0， 90 时点B的速度。
23
已知：OA r , AB
3
r , OA , 求：vB。
解：1 AB作平面运动,基点：A
2
vB v A vBA 大小 ？ r ?
方向 60
vB v A cos 30 2 3r 3 0
vB v A / sin l / sin 45 不能求出 AB 2l ()
③速度瞬心法 研究AB，已知 v A , v B的方向，因此 可确定出I点为速度瞬心
v A l , AI l AB v A / AI l / l （ vB BI AB 2l ()
aa aB ; ae a A ; ar aBA aBA aBAn
由动系作平动时的加速度合成定理 aa ae ar 可得：
D B DB
大小 ？ l ? 方向
vD vDB vB l
v v 5 rad s DE l v v 5 rad s BD l
D B DE
DB
B
BD
22
[例3]曲柄连杆机构如图所示，OA =r, AB= 匀角速度ω转动。
变．也就是说，刚体上任一点都在与某固定平面平行的平面内运 动．这种运动称为刚体的平面运动．
1
刚体平面运动动画一：行星齿轮
2
刚体平面运动动画二：车轮运动情况
3
二、刚体的平面运动可以简化为平面图形S在其自身平面内的 运动 A1A2作平动 A点代表A1A2的运动 S代表刚体的运动
因此，在研究平面运动时， 不需考虑刚体的形状和尺寸，只
。如曲柄OA以 3r
求：当 60 ， 0， 90 时点B的速度。
23
已知：OA r , AB
3
r , OA , 求：vB。
解：1 AB作平面运动,基点：A
2
vB v A vBA 大小 ？ r ?
方向 60
vB v A cos 30 2 3r 3 0
vB v A / sin l / sin 45 不能求出 AB 2l ()
③速度瞬心法 研究AB，已知 v A , v B的方向，因此 可确定出I点为速度瞬心
v A l , AI l AB v A / AI l / l （ vB BI AB 2l ()
aa aB ; ae a A ; ar aBA aBA aBAn
由动系作平动时的加速度合成定理 aa ae ar 可得：
第七章 刚体力学
（二）刚体的定轴转动 1.各点运动的特点
在自己的转动平面内作圆周运动 2.描述的物理量 任一质点圆周运动的线 量和角量的关系 r r
简化
加速 z
r
an r an at r at r
细棒势能 质点势能
M l
o
2
0 m
两式联 立得解
25
例2 已知：细棒如图 求：任意位置时，轴给细棒的作用力
解：设任意位置时，细棒角速度为
设轴给细棒的作用力为 Fn Ft 作细棒受力图 F n
o
Mg
o
c
M l
26
Ft
Fn
o
o
c
M l
Ft
Mg
Fn Mg cos Macn
Ft Mg sin Mact l l 2 act acn 2 2
碰撞过程中系统对o 点 的合力矩为 M 0 即，
0 m
所以，系统对o点的角动量守恒。
L1 L2
1 2 m0l Ml m l2 3
1
24
过程2 质点、细棒上摆 系统中包括地球， 只有保守内力作功，所以机械能守恒。 设细棒处于最低点为势能零点
11 2 2 2 Ml m l 23 1 Mgl1 cos m gl1 cos 2
第七章 刚体力学
1
基本方法：
质点系运动定理
加 刚体特性 刚体定轴转动的
动能定理
平动：动量定理
F mac
角动量定理
可以解决刚体的一般运动（平动加转动）
2
大物刚体力学
2
圆板单位面积的质量；
大圆板质量：
大圆板质心坐标：xc
0
24
小圆板质量：
m1
R 2
4
y
o
小圆板质心坐标：x1c
R 2
3 R 2 剩余部分质量： m2 4
x
则剩余部分质的质心坐标
2 2
x2 c 由下式确定：
R R 3 R x2c 4 2 4 0 2 R
11
4. 刚体的平面运动
刚体上各点均在平面内运动，且这些平面均与一固定 平面平行－－－刚体的平面运动。
利用与固定平面平行的平面在刚体体内截出一平面图
形，此平面图形位置确定，则刚体的位置即可确定。
12
在图形所在的平面内建立O－xyz坐标系，z轴与图形平 面垂直，如图所示。在刚体上任选一点B－－基点， 位置矢量为：
V V
0 /2
a cos a sin d cos
3 2
1 4 a 2 3
3
3a 8
如果刚体由几个部分组成,则刚体的质心如何计算？
22
如果刚体由几个部分组成,则刚体的质心与组建刚体的 各部分的质心关系仍可采用前面讲过的质心坐标公式，
仅需做如下的变换:
mi －－表示刚体各部分的质量 xic , yic , zic ( 刚体各部分的质心坐标 ) xi , yi , zi
2 2 i 2 i i 2 i i 2 i
2
c
Z
m
O
m x m y I x I y
Iz Ix I y
yi
X
ri xi
mi
Y
33
例一 求一质量为 m，长为 l 的均匀细棒的转动 惯量。（1）轴通过棒的中心并与棒垂直。（2）轴 通过棒的一端并与棒垂直。 解：（1）在棒上 取质量元，长为 dx， 离轴 O 为 x，棒的线 密度为 m
圆板单位面积的质量；
大圆板质量：
大圆板质心坐标：xc
0
24
小圆板质量：
m1
R 2
4
y
o
小圆板质心坐标：x1c
R 2
3 R 2 剩余部分质量： m2 4
x
则剩余部分质的质心坐标
2 2
x2 c 由下式确定：
R R 3 R x2c 4 2 4 0 2 R
11
4. 刚体的平面运动
刚体上各点均在平面内运动，且这些平面均与一固定 平面平行－－－刚体的平面运动。
利用与固定平面平行的平面在刚体体内截出一平面图
形，此平面图形位置确定，则刚体的位置即可确定。
12
在图形所在的平面内建立O－xyz坐标系，z轴与图形平 面垂直，如图所示。在刚体上任选一点B－－基点， 位置矢量为：
V V
0 /2
a cos a sin d cos
3 2
1 4 a 2 3
3
3a 8
如果刚体由几个部分组成,则刚体的质心如何计算？
22
如果刚体由几个部分组成,则刚体的质心与组建刚体的 各部分的质心关系仍可采用前面讲过的质心坐标公式，
仅需做如下的变换:
mi －－表示刚体各部分的质量 xic , yic , zic ( 刚体各部分的质心坐标 ) xi , yi , zi
2 2 i 2 i i 2 i i 2 i
2
c
Z
m
O
m x m y I x I y
Iz Ix I y
yi
X
ri xi
mi
Y
33
例一 求一质量为 m，长为 l 的均匀细棒的转动 惯量。（1）轴通过棒的中心并与棒垂直。（2）轴 通过棒的一端并与棒垂直。 解：（1）在棒上 取质量元，长为 dx， 离轴 O 为 x，棒的线 密度为 m
第七章 刚体的基本运动
7
第二节 刚体绕定轴转动
一. 转动方程
(1)转角 Ⅰ和Ⅱ夹角 ,单位弧度(rad)
(2)转动方程 =f(t)
(3) 的正、负规定
对着z 轴正向看
逆时针为正 顺时针为负
第二节 刚体绕定轴转动
二、角速度
⑴ 平均角速度
t
⑵ 角速度（瞬时）:表示刚
体转动快慢和转动方向的物
理量。
刚体平动→点的运动
第二节 刚体绕定轴转动
1.定义：当刚体运动时 ，刚体内（刚体外）有一 条直线始终保持不动。 2.刚体定轴转动的特点
（1) 始终保持不动的直线称为转轴； （2）其余各点都在垂直于转轴的平面 上以轴上的一点为圆心做圆周运动。
定轴转动实例：电机的转子、机床的主轴、变速箱中 的齿轮、绕固定铰链开关的门窗等！
转动 刚体上任一点的速度分布：
第三节 定轴转动刚体上点的速度和加速度
二.定轴转动刚体上点的加速度
点的加速度包括切向加速度和法向加速度！
⒈ 切向加速度
a
dv dt
d dt
(R)
d
dt
R
R
垂直转动半径，并指向刚体转动的一方。
⒉法向加速度
an
v2 R
(R)2
R
R 2
始终指向转轴O
⒊ 全加速度
⑴ 大小 ： a a 2 an2 R 2 4
⑵
方向 ：
tg
| a an
|
R| | R 2
| | 2
转动刚体内任一点的切向加速度的大小，等于该点的 转动半径与刚体角加速度的乘积，方向沿轨迹的切线 （垂直于转动半径的方向），指向与ε的转向一致。
第二节 刚体绕定轴转动
一. 转动方程
(1)转角 Ⅰ和Ⅱ夹角 ,单位弧度(rad)
(2)转动方程 =f(t)
(3) 的正、负规定
对着z 轴正向看
逆时针为正 顺时针为负
第二节 刚体绕定轴转动
二、角速度
⑴ 平均角速度
t
⑵ 角速度（瞬时）:表示刚
体转动快慢和转动方向的物
理量。
刚体平动→点的运动
第二节 刚体绕定轴转动
1.定义：当刚体运动时 ，刚体内（刚体外）有一 条直线始终保持不动。 2.刚体定轴转动的特点
（1) 始终保持不动的直线称为转轴； （2）其余各点都在垂直于转轴的平面 上以轴上的一点为圆心做圆周运动。
定轴转动实例：电机的转子、机床的主轴、变速箱中 的齿轮、绕固定铰链开关的门窗等！
转动 刚体上任一点的速度分布：
第三节 定轴转动刚体上点的速度和加速度
二.定轴转动刚体上点的加速度
点的加速度包括切向加速度和法向加速度！
⒈ 切向加速度
a
dv dt
d dt
(R)
d
dt
R
R
垂直转动半径，并指向刚体转动的一方。
⒉法向加速度
an
v2 R
(R)2
R
R 2
始终指向转轴O
⒊ 全加速度
⑴ 大小 ： a a 2 an2 R 2 4
⑵
方向 ：
tg
| a an
|
R| | R 2
| | 2
转动刚体内任一点的切向加速度的大小，等于该点的 转动半径与刚体角加速度的乘积，方向沿轨迹的切线 （垂直于转动半径的方向），指向与ε的转向一致。
第七章 刚体力学
i
rc
mi ri
i
即：重心和质心重合。
M
注意：
① 该结论成立的条件是：刚体不是特别
大，各处的重力加速度相同。 ②重心仅在重力场中存在，若物体失重， 则无重心；但质心仍存在，故质心比重心更常 用到。
§7.2 刚体的平衡
刚体所受合外力为零，对任意参考点的力矩为零，则刚 体平衡。其充分必要条件可以表示为： Fi 0
解：
Q T1 T2
m1 g T1 m1a T m g m a 2 2 1 2 T1 R T2 R J a R , J MR 2 / 2
( m1 m 2 ) g a m1 m 2 M / 2
R
M
R
T1 '
Mg T ' 2
2
连续体的转动惯量： J
dm dl ：质量线密度 dm dS ：质量面密度 dm dV ：质量体密度
3.决定刚体转动惯量的因素 ⑴与刚体的体密度有关（即与m有关）； ⑵与刚体的几何形状有关（即与m的分布有关）； ⑶与刚体的转轴位置有关。
r 2 dm
dm ：质量元
即：与刚体的质量、质量的分布、以及转轴位置 有关。
P
R O m
4、垂直轴定理
如果薄板位于o-xy平面内, 则 J z J x J y
J z mi ri mi xi mi yi J y J x
2 2 2
z
yi
xi x
ri
y
mi
5. 常见对称刚体绕对称轴的转动惯量：
单个质点： I mr ，如图 7.2.2-1 (a)所示。
2
第7章-刚体力学
d
3g
cos
d
0
0 2l
＝
3g sin
l
运用质心运动定理，对质心C：
nˆ F1
F
F2
l
O C
ˆt
mg
x
nˆ : F1 mg sin man ˆt : F2 mg cos mat
F
an
r2
l 2 2
3g sin 2l
l 3g cos
at
r
2
4
F12 F22
arctan F1 F2
(7.5.2)
即刚体相对于质心的轴的转动同样服从定轴转 动定律. 式(7.5.1)和(7.5.2)称刚体平面运动的基本动 力学方程.
§7.5.2 作用于刚体上的力
1.作用于刚体上力的两种效果 ·滑移矢量
(1) 施于刚体的力的特点 施于刚体的某个点的力,决不可以随便移到另一点去.
A
F
作用力通过质心，对质心轴上的 力矩为零，使刚体产生平动.
FT
11 10
mg
比较上面结果，可见提升弧形闸门
所用的拉力较小.
W
图(b)
[例题3]如图表示一种用实验方法测量转动惯量的装置。
待测刚体装在转动架上，线的一端绕在转动架的轮轴上，
线与线轴垂直，轮轴的轴体半径为r，线的另一端通过定
滑轮悬挂质量为m的重物，已知转动架惯量为I0 ，并测得 m自静止开始下落 h 高度的时间为 t ,求待测物体的转动
L
r1
r1
L2
L1
r2
O r2
m2
k
2mr 2
v1 v2 r
2如.转图轴, 为非对称k 轴对O点同样有
07 刚体的简单运动Hxj
角位移
Δ d lim * lim Δt 0 Δt 0 Δt dt
说明： 角速度单位是rad/s,工程单位n rpm(r/min或转/分) 换算关系为:
2n n 0.105n rad/s 60 30
3、 角加速度 设当t 时刻为 , t +△t 时刻为+△ (1) 平均角加速度
R
0.4m/s
a
M t t 1
R
t 1
d 2 R 2 dt
t 1
d 2 t 2 4t R dt 2
t 1
v
0.4m / s 2
a
M n t 1
R
2 t 1
0.2 2 0.8m / s
2
2
A
aA
全加速度大小及方向
a a 2 a 2 0.4 2 0.82 0.894m/s2 t n t 1 t 1 2 t 1 arctan 2 arctan t 1 4
§7-1 刚体的平行移动
一、概念 刚体运动时，如果在刚体内任取一直线段，在运动过程中 该直线段始终与其最初位置平行，这种运动称为平行移动 (translation),简称平移或平动。
河南理工大学力学系
理论力学
第七章 刚体的简单运动
二、刚体平行移动的性质 设刚体作平行移动，如图。在刚 体内任取两点A和B，设其矢径分别为 rA和rB，则两条矢端曲线就是两点的轨 迹。由图中几何关系可知
1、 转动方程 Ⅰ和Ⅱ夹角 ---转角（位 置角）,单位为弧度(rad)
• 定轴转动方程 对着z轴正向看
t
7 2
• 的正、负规定 逆为正 顺为负
第七章 刚体的简单运动
答案： ① (b) ； ② (a)
§7-４ 轮系的传动比
１、齿轮传动
① 啮合条件
Rω1 = vA = vB = R2ω2 1
② 传动比
ω1 R2 z2 i12 = ± = ± = ± ω2 R z1 1
２、带轮传动
rω1 = vA = v′ = v′ = vB = r2ω2 1 A B
ω1 r2 i12 = = ω2 r 1
M点切向加速度 M点法向加速度
r r r at = α × r
r r r r r r an = ω×v = ω×(ω× r )
减速箱的齿轮Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ的 转轴在同一水平线上。各齿轮的齿数分别 为z1 = 36、z2= 112、z3 = 32 和 z4 = 128。 主动轮Ⅰ的转速n1 = 1450 r/min，求从动 轮Ⅳ的转速 n4 。 Ⅱ
例7-1 图示机构O1A = O2B = a，O1O2 = AB =
2R，半圆轮半径为R 。试问图示瞬时，轮上M点 的速度为 ① ；M点的轨迹曲率半径为 ② 。 M ① (a) Rω (b) a ω R A B (c) a ω sin 60° O ω
60 °
O1
O2
②
(a) a
(b) R
(c) a+R
( )
r r r dvB dvA r aB = = = aA dt dt
刚体平移→点的运动 →
§7-2 刚体绕定轴的转动
1、定义
刚体上(或其扩展部分)两点保持不动，则这种运动称 为刚体绕定ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ转动，简称刚体的转动。 转轴 ：两点连线 转角： 单位:弧度(rad)
2、运动方程
= f (t )
3、角速度和角加速度
工程力学-材料力学-第7章 刚体的基本运动(唐学彬)
=0.2m,O1O2=AB=0.6m,AM=0.2m，如O1A按φ=15πt的规律转动， 其中φ以rad计，t以s计。试求t=0.8s时，M点的速度与加速度。
解： 在运动过程中，杆AB始终与O1O2平行。因此，杆AB为 平移，O1A为定轴转动。根据平移的特点，在同一瞬时M、A两 点具有相同的速度和加速度。A点作圆周运动，它的运动规律为
rB rA rAB
(7-1)
式（7-3）、（7-4）两式表明，在任何瞬时，A、B两点的速 度相同，加速度也相同。由于A、B是任取的两点，于是可推得如 下的定理： 刚体平移时，其内所有各点的轨迹的形状相同。在同一瞬时， 所有各点具有相同的速度和相同的加速度。
既然平动刚体上各点的运动规律相同，因此只须确定出刚体 内任一点的运动，就确定了整个刚体的运动。由此可知刚体平动 的问题，可归结为点的运动问题。若刚体上任一点的轨迹为直线， 则刚体的运动称为直线平移；若刚体上任一点的轨迹为平面曲线 或空间曲线，则刚体的运动称为平面平移或空间平移，或称为曲 线平移。火车沿直线轨道行驶时，其车厢的运动即是直线平动， 其平行杆的运动就是平面运动。
沿逆时针方向量取为正值，反之为负值。当刚体转 动时，位置角φ随时间t变化，是时间t的单值连续函 数，可表示为
t
（7-5）
这就是刚体的定轴转动方程。若转动方程φ（t） 已知，则刚体在任一瞬时的位置即可确定。
转角φ实际上是确定转动刚体位置的“角坐标”。
设由瞬时t到瞬时t+Δt，位置角由φ改变到φ+ Δφ ，位置角的增 量Δφ称为角位移。比值Δφ/Δt称为在时间Δt内的平均角速度。当 Δt→0时， Δφ/Δt的极限称为刚体在瞬时t的角速度，并用字母ω表 示，即
at a sin 40sin 30 m s 20 m s
控制工程基础第七章
v v0 1600 625 a 1 0.27m/s2 2s 92200 301000 25 481000 40 v0 m/s, v1 m/s 3600 3 3600 3
2 v ( 25 / 3 ) 0 列车走上曲线时， a 0.27m/s2 ,an 0 0.23m/s2 R 300 a 2 2 a0 a an 0 0.356m/s 2 , 0 tg 1 49 29 ' 全加速度 an 0 2 v (40/3) 2 1 2 0.593m/s2 列车将要离开曲线时， a 0.27m/s , an1 R 300 a 2 2 2 1 全加速度 a1 a an1 0.652m/s , 1 tg 24 34 ' an1 2
22
三.例题 [例1]列车在R=300m的曲线上匀变速行驶。轨道上曲线部分长 l=200m，当列车开始走上曲线时的速度v0=30km/h，而将要离开
曲线轨道时的速度是v1＝48km/h。
求列车走上曲线与将要离开曲线时的加速度？
23
解：由于是匀变速运动，则a 常量。 由公式 v 2 v0 2 2a s 而由已知 s l 200 m,
a
dv d dw (wR) R R, dt dt dt
v 2 (wR ) 2 an Rw 2 R
|a全 ||an a | an 2 a 2 R 2 w 4
a R t g 2 2 an w R w
11
结论: ① v方向与w 相同时为正 , R ,与 R 成正比。
s r 0.3185.4m
w w0 t 3239 rad/s
vB rw 0.392.7m/s
2 v ( 25 / 3 ) 0 列车走上曲线时， a 0.27m/s2 ,an 0 0.23m/s2 R 300 a 2 2 a0 a an 0 0.356m/s 2 , 0 tg 1 49 29 ' 全加速度 an 0 2 v (40/3) 2 1 2 0.593m/s2 列车将要离开曲线时， a 0.27m/s , an1 R 300 a 2 2 2 1 全加速度 a1 a an1 0.652m/s , 1 tg 24 34 ' an1 2
22
三.例题 [例1]列车在R=300m的曲线上匀变速行驶。轨道上曲线部分长 l=200m，当列车开始走上曲线时的速度v0=30km/h，而将要离开
曲线轨道时的速度是v1＝48km/h。
求列车走上曲线与将要离开曲线时的加速度？
23
解：由于是匀变速运动，则a 常量。 由公式 v 2 v0 2 2a s 而由已知 s l 200 m,
a
dv d dw (wR) R R, dt dt dt
v 2 (wR ) 2 an Rw 2 R
|a全 ||an a | an 2 a 2 R 2 w 4
a R t g 2 2 an w R w
11
结论: ① v方向与w 相同时为正 , R ,与 R 成正比。
s r 0.3185.4m
w w0 t 3239 rad/s
vB rw 0.392.7m/s
第七章刚体的基本运动_理论力学
和
得： 由于轮子作匀速转动，所以 ，得：
§7-3
轮
系
的
传
动
比
1. 齿轮传动 机械中常用齿轮传动机构，以达到传递转动和变速的目的。图 7-6 所示为 一对外接（啮合）齿轮。图 7-7 为一对内接齿轮。 （1）齿轮传动特点 ①两轮接触点的速度大小、方向相同。 ②两轮接触点的切向加速度大小、方向相同。 （2）传动比 由图 7-6，7-7，并考虑式（7-4） ，可得：
2.
定轴转动的特点
观察刚体上任一点
的轨迹，可以看到刚体定轴转动的特点：
不在轴线上的各点均作圆周运动；圆周所在平面垂直转轴；圆心均在轴线上；半径为点 到转轴的距离。
3.
刚体的转动方程
为描述转动刚体在空间的位置随时间的
变化，需建立转动方程。 ★ 定轴转动刚体简化成平面图形 设刚体绕 轴作定轴转动， 如图 7-4 所示在刚体上任取一直线 作平动，可取其上任一点 代表 的运动。 平面上的平面图形绕 点的转动。 平行 轴， 则
。
， 此处 和 分别表示两皮带轮的角速度（rad/s） 。于是得
，
，
∴ 即两皮带轮的角速度（或转速）与其半径成反比。 §7-4 速度和加速度的矢量表示法
1.
以矢量表示角速度和角加速度 和角加速度矢量 。如图 7-11 所示。 （7-13） （7-14） 当 当 时，说明两者同向，作加速转动。 时，说明两者反向，作减速转动。
72刚体绕定轴的转动简称定轴转动定义刚体在运动过程中其上有且只有一条直线始终固定不动时称刚体绕定轴转动该固定直定轴转动的特点观察刚体上任一点的轨迹可以看到刚体定轴转动的特点
第七章 刚体的基本运动 知识点 1. 刚体的平动和定轴转动称为刚体的基本运动。 它不可分解， 是刚体运动的最简单形 态，刚体的复杂运动均可分解成若干基本运动的合成。 2.平动刚体上各点的轨迹形状相同。同一瞬时刚体上各点的 和 相同。因此可以用刚体上 任一点的运动代表整体。换言之，若知道平动刚体上某点的运动（ 、 等） ，则其它各点 均为已知。
刚体的基本运动
刚体的基本运动
答案：
刚体的基本运动形式包括平动、转动（分为定轴转动和非定轴转动）以及平面运动（随质心的平动、绕质心的转动）。
平动是指刚体在运动过程中，整体上以同一速度沿直线运动的现象，其特点是刚体内各点的运动轨迹完全相同。
转动则是刚体绕某一轴心进行旋转的运动，根据轴心的位置不同，可以分为定轴转动和非定轴转动。
平面运动则包括了随质心的平动和绕质心的转动，这种运动形式在工程实际中也是常见的。
复合运动，即平动和转动的组合运动，是刚体运动的一种特殊形式。
例如，自行车在平地上行驶时，既有整车质心的平动，又有轮胎相对于地面的转动。
因此，复合运动确实是刚体的基本运动形式之一。
延伸：
刚体指在运动中和受力作用后，形状和大小不变，而且内部各点相对位置不变的物体。
绝对刚体实际上只是一种理想模型，因为任何物体在受力作用后，都或多或少地变形，如果变形的程度相对于物体本身几何尺寸来说极为微小，在研究物体运动时变形就可以忽略不计。
把许多固体视为刚体，所得到的结果在工程上一般已有足够的准确度。
刚体的特点：刚体上任意两点的连线在平动中是平行且相等的。
刚体上任意质元的位置矢量不同，相差一恒矢量，但各质元的位移、速度和加速度却相同。
因此，常用“刚体的质心”来研究刚体的平动。
07 刚体的基本运动
a
n M
=0
am = a
τ
M
= π
2
方向垂直于AO1斜向右上方 因为半圆盘作平动，所以其角速度
ωab = 0 。
例7-7 转子启动时的角加速度与时间成正比增大,经过5分钟 转子的转速达到18000r/min,试问转子在这段时间内转了多少 转？ 【解】设比例系数为k，则
ε = kt
即
dω = kt dt
R2 , ω 2 , ε 2 .
v A = v B , a Aτ = a Bτ
又 υ A = R1ω1 , υ B = R2ω2 , a Aτ = R1ε 1 , a Bτ = R2ε 2 R1ω1 = R2ω2 , R1ε 1 = R2ε 2
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第七章 刚体的基本运动
传动比
i12 传动比
ω o R v M β A
ε o R
aτ
r
ε
A
M β
r
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第七章 刚体的基本运动
设刚体上一点M相对于角速度矢量 ω 的起点A的位置用矢径 表示， 与ω 之间的夹角为 β ， r 则M点： v = Rω = OM ω = ω r sin β 由此，据线性代数知
υ =ω×r
（转动刚体上点的速度矢积表示法） 又
s2
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第七章 刚体的基本运动
§7－3绕定轴转动刚体的问题
机器的运转要求一定的转速,而电动机的转速则是一定的. 这就需要变速,把电动机的转速提高或传递,使它符合要求. 变速常通过一系列相互啮合的齿轮或皮带传动,摩擦轮传 动来完成.几个轮子的组合称为轮系. 以一对啮合轮为例： I轮: R1 , ω 1 , ε 1 . II轮:
第7章 刚体的简单运动
第七章 刚体的简单运动在工程实际中，最常见的刚体运动有两种基本运动形式：平动和转动。
一些较为复杂的刚体运动，如车轮在直线轨道上的滚动等，都可以归结为这两种基本运动的组合。
因此，平动和转动是分析一般刚体运动的基础。
§7-1 刚体的平行移动平动是刚体最简单的一种运动。
例如，车刀的刀架，摆式输送机的料槽，以及沿直线轨道行驶的列车的车厢等，都是平动的实例。
这些刚体的运动具有一个共同的特点：运动时，刚体上任一直线始终与原来位置保持平行。
刚体的这种运动称为平行移动，简称为平动。
刚体作平动时，刚体上的点可以是直线运动(刀架)，也可以是曲线运动(送料槽)。
现在就一般情形，研究刚体内各点的运动轨迹，速度和加速度。
刚体作平动在刚体上任取一线段AB 。
该刚体的运动可由AB 在空间的位置确定。
为研究刚体内各点的运动，可以O 为参考点，向A 、B 两点分别引矢径r A 和r B ，则点A 和B 的运动方程分别为r A =r A (t), r B =r B (t)AB B A r r r += (*)由于刚体作平动，在运动中矢量AB 的大小和方向都不改变，所以AB 为一常矢量。
这说明：点A 和B 不仅运动轨迹形状相同，而且运动规律也相同。
如上面的各例中，刀架上各点的轨迹是相互平行的直线；料槽上各点的轨迹都是半径等于AC 的圆弧。
将式(*)对时间t 取一阶和二阶导数，同时注意到常矢量AB 的导数等于零，于是有B A v v =B A a a =这说明：刚体内任意两点的速度、加速度相等。
综合以上分析，可得如下结论：(1) 刚体平动时，其上各点的轨迹形状相同；(2) 同一瞬时各点的速度彼此相等，各点的加速度也彼此相等。
因此，在研究刚体平动时，只要知道刚体上某一点的运动，就能知道所有点的运动。
所以，刚体的运动可归结为点的运动。
§7-2 刚体绕定轴的转动定轴转动是工程中常见的一种运动，如电动机的转子，机床中的胶带轮、齿轮以及飞轮等的运动，都是定轴转动的实例。
第七章刚体力学
dv d(ω r ) a dt dt dω dr r ω dt dt r ω v
r
O
v
O 定点
刚体的平面运动
刚体的平面运动 刚体上各点均在平面内运动，且这些平面均与一固定 平面平行，称为刚体的平面运动。
2
球体：转轴沿直径
薄球壳：转轴沿直径
I 2mr 2 5
I 2mr 2 3
求均质薄球壳对任意直径的转动惯量。
刚体定轴转动的角动量定理
刚体也是质点系，所以质点系对轴的角动量定理及守恒 定律也适用于刚体。
质点系对轴的角动量定理：
i外z
dLz dt
刚体定轴转动动力学
刚体定轴转动的角动量
Lz rmi vi rmiri ( mi ri ) i i
2 i
令 Iz
mi ri 2
i
i
i
z
Iz 称为刚体对z 轴的转动惯量 (moment of inertia)。 （ri为第i个质点到转轴的距离） 则刚体对z轴的角动量为: 刚体 O
质量离散分布的刚体的质心
rC
xC
mi ri m
yC
z
mi m2
m x
m
zC
i i
m y
i
ri
O
C
i
m z
m
m
rc
m1
y
i i
x
刚体的质心
刚体的质心 质量连续分布的刚体的质心
z dm
m
x
xC
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a a cos 60 r
n
O
φ
2
两式相除：
tg 60
a
d d
d
2
2
3
2
d dt
d dt
3
d d
3
2
3d
3
2
0
d
3d
3
0
0e
aA aB
当刚体平行移动时,其上各点的轨迹、速度、 加速度也完全相同。刚体的平动可以归结为刚 体内一点的运动。
例： 如图所示机构,已知杆O1A与 O2B 长度相等且相互平 行。曲杆O1A为l，以匀角速度ω= 2 rad/s绕O1点转动，试 求任一瞬时刚体ABC上，点C的速度和加速度。 解：根据题意，刚体ABC 作平动。只需求出A点或B 点的速度和加速度即可。
2
常用转速n（每分钟的转数，单位为r/min）来表示转 动部件转动的快慢。角速度与转速之间的关系为
＝
2πn 60 πn 30
匀速运动，ω=常数，ε=0
d dt
t 0,
0
0 t
匀变速运动，ε=常数
d dt
t 0,
滑轮的半径r=0.2 m，
可绕水平轴O转动，轮缘上
缠有不可伸长的细绳，绳的
M O α ω
一端挂有物体A（如图）， 已知滑轮绕轴O的转动规律 φ=0.15t3 ，其中t以s计，φ 以 rad计，试求t=2 s时轮缘上
M点和物体A的速度和加速
A
度。
解：
首先根据滑轮的转动规律，求得它的角 速度和角加速度
vM M
0.45t 2
0.9t
O
α
代入 t =2 s， 得
ω
1.8 rad s
－1
, 1.8 rad s
－2
轮缘上 M 点上在 t =2 s 时的速度为
A
vM r 0.36 m s
－1
加速度的两个分量
at r 0.36 m s
落，初速v0=4 m·－1 ，求当物 s
B
体落下距离s =2 m时轮缘上一
s
A
点 M 的速度和加速度。
解:
根据 v2 – v02 = 2as，得M点的速度
v
M
2as v 5.96 m s
2 0
－1
R
O
v
M点的切向加速度
at
dv dt
a.
M点的法向加速度
an v
2
B
2as v0 R
s l l t
vA ds dt
C O1 O2
an
φ
v an B v A
l
A0
v A v B vC l
aτ
an v
2
d s dt
2
2
2
dv dt
0
aA
a
2
an
2
a n l
2
2
(l ) l
l
2
a C a A a n l
1 2
R2 R1
r2 r1
r1
i12
1 2
z2 z1
概念题 1)转动刚体的角加速度为正时，则刚体 （1）越转越快 （2）越转越慢 （3）不一定 2）两齿轮啮合时： 接触点的速度 （1）相等；（2）不相等；（3）不一定
接触点的切向加速度 （1）相等；（2）不相等；（3）不一定
3）平动刚体上点的轨迹不可能为空间曲线 4）某瞬时平动刚体上各点的速度大小相等而方向可以不同
v A vM 0.36 m s
a A at 0.36 m s
－1
ω
－2
A
vA
aA
它们的方向铅直向下。
半径R=20 cm的滑轮可绕 水平轴O转动，轮缘上绕有不 能伸长的细绳，绳的另一端与
M R
滑轮固连，另一端则系有重物
v
O
A，设物体A从位置B出发，以 匀加速度a =4.9 m·－2 向下降 s
vM at M
2
－2
aM
O α
φ
an ω
an r 0.648 m s
总加速度 aM 的大小和方向
aM at an 0.741 m s
2 2 －2
－2
A
tan
2
0.556,
29
vM at a O α an M
因为物体A与轮缘上M点的 运动不同，前者作直线平移， 而后者随滑轮作圆周运动 ，因 此，两者的速度和加速度都不 完全相同。由于细绳不能伸长， 物体A与M点的速度大小相等， A的加速度与M点切向加速度的 大小也相等，于是有
第七章
刚体的基本运动
第七章
刚体的简单运动
§7-1 刚体的平行移动(平动)
如果刚体在运动过程中,其上任一条直线始终与它的最初位置平 行,这种运动称为刚体的平行移动,简称平动或移动。 vA A1 A A2
rA
B
vB aA
aB B1 B2
平面平行四连杆机构
rB
o
r A rB B A
vA vB
0
0
0 t 0 0t
2 2
1 2
t
2
0 2 ( 0 )
§7-3 转动刚体内各点的速度和加速度
s R
速度:
v s R R
大小： 方向：
v
切向加速度:
a R R s
2
M点的总加速度
a at an 178 m s
2 2 －2
s
A
练习题：一飞轮绕固定轴O转动，其轮缘上任一点的全加速度在某 段运动过程中与轮半径的夹角恒为600，当运动开始时，其转角 φ0=0， 初角速度为 ω0，求飞轮的角速度与转角的关系。 解：
a a sin 60 r
τ
§7-2 刚体绕定轴的转动 在一般情况下，运动的 π 刚体或其扩大部分内有一条 φ 固定不动的直线，这种运动 称为刚体绕固定轴转动，简 称定轴转动。这条固定不动 的直线称为转轴（转动轴）。
转角:
转动方程: 角速度:
z
φ φ=φ(t)
d dt
2
角加速度:
d 度: a n 全加速度:
(R ) R
2
o
R
2
R
M
R
a a n a
a n a R
2 2 4 2
a
tg
a an
§7-4 轮系的传动比
ω1
ω2 r2
r1
v r1 1 r2 2
传动比： ω1
v
r2 ω2
i12