磁场中的“最小面积”问题

磁场中的“最小面积”问题

河南省信阳高级中学 陈庆威 2016.12.27

带电粒子在磁场中运动类题目本身就是磁场中的重难点问题，而求粒子在磁场中运动时的“最小面积”问题，又是这类问题中比较典型的难题。很多时候面对这种题目，同学们的大脑都是一片空白，没有思路、没有方法、也没有模型。那么，如何突破这一难题呢？以下是我精心整理的几道相关试题。相信，我们通过该种模型题的训练，能学会举一反三、活学活用、准确把握模型、深刻理解模型，形成自己独立解决该类问题的思维和方法，从而全面提升我们的解题能力。 例题1：如图所示，一质量为m 、电荷量为q 的带电粒子，从y 轴上的P 1点以速度v 射入第一象限所示的区域，入射方向与x

轴正方向成α角．为了使该粒子能从x 轴上的P 2点射出该区域，

且射出方向与x 轴正方向也成α角，可在第一象限适当的地方加一个垂直于xoy 平面、磁感应强度为B 的匀

强磁场．若磁场分布为一个圆形区域，求这一

圆形区域的最小面积为（不计粒子的重力）

解析：粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，

R

v m qvB 2=由牛顿第二定律得： qB

mv R =则粒子在磁场中做圆周的半径： 由题意可知，粒子在磁场区域中的轨道为半

径等于r 的圆上的一段圆周，这段圆弧应与入射方向的速度、出射方向的速度相切，如图所示：

则到入射方向所在直线和出射方向所在直线相距为R 的O ′点就是圆周的圆心．粒子在磁场区域中的轨道就是以O ′为圆心、R 为半径的圆上的圆弧ef ，而e 点和f 点应在所求圆形磁场区域的边界上，在通过e 、f 两点的不同的圆周中，最小的一个是以ef 连线为直径的圆周．

qB mv R r ααsin sin =

=即得圆形区域的最小半径 则这个圆形区域磁场的最小面积

222222min sin B q v m r S α

ππ==

例题2：如图所示，一带电质点,质量为m ，电量为q ，以平行于ox 轴的速度v 从y 轴上的a 点射入图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从x 轴上的b 点以垂直于ox 轴的速度v

射出，可在适当的地方加一个垂直于xoy 平面、

磁感应强度为B 的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最

小半径.重力忽略不计。

解析：质点在磁场中作半径为R 的圆周运动,

R mv qvB 2=qB

mv R =,得 根据题意，质点在磁场区域中的轨道是半径等于R 的圆上的1/4圆周,

这段圆弧应与入射方向的速度、出射方向的速度相切。过a 点作平行于x 轴的直线,过b 点作平行于y 轴的直线，则与这两直线均相距R 的O ′点就是圆周的圆心。质点在磁场区域中的轨道就是以O ′为圆心、R 为半径的圆(图中虚线圆)上的圆弧 MN ，M 点和N 点应在所求圆形磁场区域的边界上。

qB

mv R r 2222min ==所求圆形磁场最小半径为 例题3：一匀强磁场，磁场方向垂直于xoy 平面，在xoy 平面上，磁场分布在以O 为中心的一个圆形区域内。一个质量为m 、电荷量为q 的电带粒子，由原点O 开始运动，初速度为v ，方向沿x 正方向。后来，粒子经过y 轴上的P 点，此时速度方向与y 轴的夹角为30°，P 到O 的距离为L ，如图所示。不计重力的影响。求磁场的磁感应强度B 的大小和xoy 平面上磁场区域的半径R 。

解析：粒子在磁场中受到洛伦兹力作用，做匀速圆周运动，则有

据此并由题意可得，粒子在磁场中的轨迹的圆心C 必在y 轴上，且P 点在磁场区之外．过P 沿速度方向作延长线，它与x 轴相交于

Q 点．作圆弧过O 点与x 轴相切，并且与PQ 相切，切点A 即粒子离开磁场区的地点．这样也求得圆弧轨迹的圆心C ，

如图所示

由图中几何关系得：L=3r 由以上两式可得： 图中OA 的长度即圆形磁场区的半径R ，

L R 3

3 由图中几何关系可得 例题4：如图所示，在纸平面内建立如图所示的直角坐标系xoy ，在第一象限的区域存在沿y 轴正方向的匀强电场。现有一质量为m 、电)8

3,(L L P 量为e 的电子从第一象限的某点以初速度v 0沿x 轴的负方向开始运动，经过轴上的点Q （L/4、0 ）进入第四象限，先做匀速直线运动然后进入垂直纸面的矩形匀强磁场区域，其左边界和上边界分别与y 轴、x 轴重合，电子经磁场偏转后恰好经过坐标原点O 并沿y 轴的正方向运动，不计电子的重力。求

（1）电子经过Q 点的速度 ；

（2）该匀强磁场的磁感应强度 ；

（3）该匀强磁场的最小面积S 。

解析:（1）电子类平抛运动，

解得

所以经过Q点的速度

方向与水平方向夹角为

（2）速度偏转角为，则圆弧所对的圆心角为。由几何关系得

解得

由向心力公式

解得

方向垂直纸面向里。

（3）矩形磁场的右边界距y轴的距离为

矩形磁场的下边界距x 轴的距离为

故磁场的最小面积为

例题5：一个质量为m,带+q 电量的粒子在BC 边上的M 点以速度v 垂直于BC 边飞入正三角形ABC 。为了使该粒子能在AC 边上的N 点垂直于AC 边飞出该三角形，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B 的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力。试求：

（1）该粒子在磁场里运动的时间t ；

（2）该正三角形区域磁场的最小边长；

（3）画出磁场区域及粒子运动的轨迹。

分析：根据题意，画出粒子运动的轨迹，根据几何关系可求解粒子在磁场里运动的时间以及正三角形区域的最小边长．

解析：（1）由洛伦兹力提供向心力

r

mv qvB 2=得： qB

m v r T ππ22==且周期 qB mv r =

得轨道半径 由题意知，粒子刚进入磁场时应该先向左偏转，不可能直接在磁场中由M 点作圆周运动到N 点，当粒子刚进入磁场和刚离开磁场时，其速度方向应该沿着轨迹的切线方向并垂直于半径，如图粒子的运动轨迹