精品初中数学竞赛专题讲解最短路径问题(资料)

初中数学竞赛专题讲解最短路径问题

【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：

①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．

②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．

③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．

④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．

【问题原型】“将军饮马” ，“造桥选址” ，“费马点”．

【涉及知识】“两点之间线段最短” ，“垂线段最短” ，“三角形三边关系” ，“轴对称”，“平移”．

【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．

【解题思路】找对称点实现“折”转“直” ，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．

PA PB 的值 最大 ．

【问题 12】

“费马点”

作法

图形

原理

A

所求点为“费马点” ，即满

足∠ APB ＝∠ BPC ＝∠

APC

D

A

E

B

B C

＝ 120°．以 AB 、 AC 为

边

P

两点之间线段最短．

△ ABC 中每一 内角都小于 向外作等边△ ABD 、△ ACE ， BC

PA +PB +PC 最小值 ＝ CD ．

120°，在△ ABC 内求一点 连 CD 、 BE 相交于 P ，点

P

P ，使 PA +PB +PC 值最小．

即为所求．

、基础过关

1.如图所示，是一个圆柱体，底面周长为 10,高为 6 ,一只蚂蚁要从外壁的 A 处到内壁的 B 处吃一食物 , 求 蚂蚁所走的最短程 .

2. 如右图是一个长方体木块，已知 AB 3,BC 4,CD 2 ，假设一只蚂蚁在点 A 处，它要沿着木块侧面 爬到点 D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是

。

3.正方形 ABCD 的边长为 8，M 在DC 上，且 DM 2， N 是AC 上的一动点， DN MN 的最小值

PE PB 的最小值为

的周长为

MP ＋PQ ＋QN 的最小值是

4. 在菱形 ABCD 中， AB 2 ， BAD 600 ， 点

E 是 AB 的中点， P 是对角线 AC 上的一个动点，则 5. 如图，在 ABC 中， AC BC 2，

ACB

900， D 是 BC 边的中点， E 是 AB 边上一动点，则 EC ED 的最小值为

点D 在 AC

第5题

上， D 为 AC 的三等分点，点 P 是半径 OC 上的一个动点，则 AP

PD 的最小值为 7. 如图，点 P 关于 OA 、 OB 的对称点分别为 C 、 D ，连接 CD ，交 OA 于

M ，交 OB 于 N ，若 CD ＝ 18cm ，则△ PMN 8. 如图，∠ AOB ＝ 30°， 点 M 、 N 分别在边 OA 、 OB

上，且 OM ＝1，ON ＝3，点 P 、 Q 分别在边 OB 、OA 上，则 是⊙ O 的直径， AB 2， OC 是⊙ O 的半径， OC 第4

图(2)

v1.0

可编辑可修改

第6

题

9.如图，在锐角△ ABC中，AB＝4 2 ，∠ BAC＝45°，∠ BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB

上的动点，则BM+MN的最小

值是

图

(3)

第7题

二、例题讲解

例 1：已知：直线

y

1与y 轴交于A，与x 轴交于D，抛

物线y

1 x

2 bx c与直线交于A、E

两

2

点，与x 轴交于B、C两点，且B点坐标为

( 1，0)．

1) 求抛物线的解析

式；

2) 动点P在x轴上移动，当△ PAE是直角三角形且以P为直角

顶点时，

求点P 的坐

标．

3) 在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM MC |的值最大，求

出点

M的坐

标．

例 2：如图，抛物线y

ax2

bx c 的顶点P 的坐

标为

1

，

43

3

，交x 轴于A、B两点，交y 轴

于点

C(0， 3) ．

1）求抛物线的表达式．

2）把△ ABC绕AB的中点E 旋转 180°，得到四边形ADBC．判断四边形ADBC的形状，并说明理由．

3）试问在线段AC上是否存在一点F，使得△ FBD的周长最小，若存在，请写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

例 3：如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点 O在坐标原点，顶点 A、 B分别在 x 轴、y 轴的正半

轴上， OA=3， OB=4，D为边 OB的中点．

（ 1）点 D的坐标为；

（2）若 E为边 OA上的一个动点，当△ CDE的周长最小时，求点 E 的坐标．

, A(-8,3),B(-4,5)C(0

例 4 ：如图，在直角坐标系中有四个点

n),D(m,0),

当四边形 ABCD 周长最短时 , 求 m

。 n

24m ，高为 6m ，一只老鼠从距底面 1m 的 A 处爬行到对角 B

处吃食物， 它爬行的最短路线长为多少

练习 1：桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖） ，高为 12厘米，底面周长 18厘米，在杯口内壁离杯口 3 厘米的

A 处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面 3 厘米的 B

例 5 ：有一圆形油罐底面圆的周长为